2016年天津高考文科数学试题及答案(Word版)下载

2016 年天津市高考数学试卷（文科） 　一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．（5 分）（2016•天津）已知集合 A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则 A∩B=（　　） A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 2．（5 分）（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（5 分）（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何 体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　） A． B． C． D． 4．（5 分）（2016•天津）已知双曲线 ﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ，且双曲 线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为（　　） A． C． ﹣y2=1 B．x2﹣ =1 ﹣=1 D． ﹣=1 5．（5 分）（2016•天津）设 x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 第 1 页 共 20 页 6．（5 分）（2016•天津）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单 调递增，若实数 a 满足 f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则 a 的取值范围是（　　） A．（﹣∞， ）B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） C．（ ，）D．（ ，+∞） 7．（5 分）（2016•天津）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 A．﹣ B． C． D． 8．（5 分）（2016•天津）已知函数 f（x）=sin2 •的值为（　　） +sinωx﹣ （ω＞0），x∈R，若 f（x ）在区间（π，2π）内没有零点，则 ω 的取值范围是（　　） A．（0， ] B．（0， ]∪[ ，1） C．（0， ] D．（0， ]∪[ ， ] 　二、填空题本大题 6 小题，每题 5 分，共 30 分 9．（5 分）（2016•天津）i 是虚数单位，复数 z 满足（1+i）z=2，则 z 的实部为______． 10．（5 分）（2016•天津）已知函数 f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为 f（x）的导函数，则 f′ （0）的值为______． 11．（5 分）（2016•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 ______． 12．（5 分）（2016•天津）已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点（0， ）圆C 上，且圆 心到直线 2x﹣y=0 的距离为 ，则圆 C 的方程为______． 13．（5 分）（2016•天津）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2， BD=ED，则线段 CE 的长为______． 第 2 页 共 20 页 14．（5 分）（2016•天津）已知函数 f（x）= （a＞0，且 a≠1） 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范 围是______． 　三、解答题：本大题共 6 小题，80 分 15．（13 分）（2016•天津）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 asin2B= bsinA． （1）求 B； （2）已知 cosA= ，求 sinC 的值． 16．（13 分）（2016•天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要 原料，生产 1 扯皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示： ABC甲乙4585310 现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥 料．已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车品乙种肥料，产生的利润为 3 万元、分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． （1）用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润． 17．（13 分）（2016•天津）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED⊥平面 ABCD， EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G 为 BC 的中点． （1）求证：FG∥平面 BED； （2）求证：平面 BED⊥平面 AED； （3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值． 第 3 页 共 20 页 18．（13 分）（2016•天津）已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn（n∈N*），且 ﹣=，S6=63． （1）求{an}的通项公式； （2）若对任意的 n∈N*，bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项，求数列{（﹣1）nb }的前 2n 项和． 19．（14 分）（2016•天津）设椭圆 +=1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为 A，已 知+=，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M， 与 y 轴交于点 H，若 BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线 l 的斜率． 20．（14 分）（2016•天津）设函数 f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中 a，b∈R． （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0），其中 x1≠x0，求证：x1+2×0=0； （3）设 a＞0，函数 g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 ．　第 4 页 共 20 页 2016 年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．（5 分）（2016•天津）已知集合 A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则 A∩B=（　　） A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 【分析】根据题意，将集合 B 用列举法表示出来，可得 B={1，3，5}，由交集的定义计算 可得答案． 【解答】解：根据题意，集合 A={1，2，3}，而 B={y|y=2x﹣1，x∈A}， 则 B={1，3，5}， 则 A∩B={1，3}， 故选：A． 【点评】本题考查集合的运算，注意集合 B 的表示方法． 　2．（5 分）（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出． 【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件． ∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率 P= + = ． 故选：A． 【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合 适的概率公式，属于基础题． 　3．（5 分）（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何 体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　） 第 5 页 共 20 页 A． B． C． D． 【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案． 【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 D﹣AD1C， 棱 CD1 在左侧面的投影为 BA1， 故选 B． 【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题． 　4．（5 分）（2016•天津）已知双曲线 ﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ，且双曲 线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为（　　） A． C． ﹣y2=1 B．x2﹣ =1 ﹣=1 D． ﹣=1 【分析】利用双曲线 ﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与 直线 2x+y=0 垂直，求出几何量 a，b，c，即可求出双曲线的方程． 【解答】解：∵双曲线 =1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ﹣，∴c= ，∵双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直， ∴= ， ∴a=2b， ∵c2=a2+b2， 第 6 页 共 20 页 ∴a=2，b=1， ∴双曲线的方程为 故选：A． =1． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关 键． 　5．（5 分）（2016•天津）设 x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直接根据必要性和充分判断即可． 【解答】解：设 x＞0，y∈R，当 x=0，y=﹣1 时，满足 x＞y 但不满足 x＞|y|，故由 x＞0， y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”， 而“x＞|y|”⇒“x＞y”， 故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件， 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题． 　6．（5 分）（2016•天津）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单 调递增，若实数 a 满足 f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则 a 的取值范围是（　　） A．（﹣∞， ）B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） C．（ ，）D．（ ，+∞） 即可． 【分析】根据函数的对称性可知 f（x）在（0，+∞）递减，故只需令 2|a﹣1| ＜【解答】解：∵f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减． ∵2|a﹣1|＞0，f（﹣ ）=f（ ）， ∴2|a﹣1| ＜=2 ．∴|a﹣1| ，解得 ．故选：C． 【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题． 　7．（5 分）（2016•天津）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 A．﹣ B． C． D． •的值为（　　） 第 7 页 共 20 页 【分析】由题意画出图形，把 【解答】解：如图， 、都用 表示，然后代入数量积公式得答案． ∵D、E 分别是边 AB、BC 的中点，且 DE=2EF， ∴•========．故选：B． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 　8．（5 分）（2016•天津）已知函数 f（x）=sin2 + sinωx﹣ （ω＞0），x∈R，若 f（x ）在区间（π，2π）内没有零点，则 ω 的取值范围是（　　） A．（0， ] B．（0， ]∪[ ，1） 【分析】函数 f（x）= C．（0， ] D．（0， ]∪[ ，由 f（x）=0，可得 ， ] =0，解得 x= ∉（π，2π），因此 ω∉ ，即可得出． ∪∪∪…= ∪【解答】解：函数 f（x）= ，+sinωx﹣ =+sinωx =由 f（x）=0，可得 =0， 第 8 页 共 20 页 解得 x= ∴ω∉ ∉（π，2π）， ∪∪∪…= ∪，∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点， ∴ω∈ ∪．故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 　二、填空题本大题 6 小题，每题 5 分，共 30 分 9．（5 分）（2016•天津）i 是虚数单位，复数 z 满足（1+i）z=2，则 z 的实部为　1　． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由（1+i）z=2， 得，∴z 的实部为 1． 故答案为：1． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 　10．（5 分）（2016•天津）已知函数 f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为 f（x）的导函数，则 f′ （0）的值为　3　． 【分析】先求导，再带值计算． 【解答】解：∵f（x）=（2x+1）ex， ∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex， ∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题． 　11．（5 分）（2016•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为　4　 ．第 9 页 共 20 页 【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出 S 的值． 【解答】解：第一次循环：S=8，n=2； 第二次循环：S=2，n=3； 第三次循环：S=4，n=4， 结束循环，输出 S=4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题． 　12．（5 分）（2016•天津）已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点（0， ）圆C 上，且圆 心到直线 2x﹣y=0 的距离为 ，则圆 C 的方程为　（x﹣2）2+y2=9　． 【分析】由题意设出圆的方程，把点 M 的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式 求解． 【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0）， 由点 M（0， ）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0 的距离为 ，得，解得 a=2，r=3． ∴圆 C 的方程为：（x﹣2）2+y2=9． 故答案为：（x﹣2）2+y2=9． 【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题． 　13．（5 分）（2016•天津）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2， BD=ED，则线段 CE 的长为　 　． 第 10 页 共 20 页 【分析】由 BD=ED，可得△BDE 为等腰三角形，过 D 作 DH⊥AB 于 H，由相交弦定理求 得 DH，在 Rt△DHE 中求出 DE，再由相交弦定理求得 CE． 【解答】解：如图， 过 D 作 DH⊥AB 于 H， ∵BE=2AE=2，BD=ED， ∴BH=HE=1，则 AH=2，BH=1， ∴DH2=AH•BH=2，则 DH= ，在 Rt△DHE 中，则 ，由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB， ∴．故答案为： ．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题． 　14．（5 分）（2016•天津）已知函数 f（x）= （a＞0，且 a≠1） 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范 围是　[ ， ）　． 【分析】由减函数可知 f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二 段上的最大值，作出|f（x）|和 y=2﹣ 的图象，根据交点个数判断 3a 与 2 的大小关系，列 出不等式组解出． 【解答】解：∵f（x）是 R 上的单调递减函数， ∴y=x2+（4a﹣3）x+3a 在（﹣∞．，0）上单调递减，y=loga（x+1）+1 在（0，+∞）上单调 递减， 且 f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于 f（0）． 第 11 页 共 20 页 ∴，解得 ≤a≤ ． 作出 y=|f（x）|和 y=2﹣ 的函数草图如图所示： ∵|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解， ∴3a＜2，即 a ．综上， ．故答案为[ ， ）． 【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点 值的大小是关键，属于中档题． 　三、解答题：本大题共 6 小题，80 分 15．（13 分）（2016•天津）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 asin2B= bsinA． （1）求 B； （2）已知 cosA= ，求 sinC 的值． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出 cosB； （2）求出 sinA，利用两角和的正弦函数公式计算． 【解答】解：（1）∵asin2B= bsinA， ∴2sinAsinBcosB= sinBsinA， ∴cosB= ，∴B= ．（2）∵cosA= ，∴sinA= ，第 12 页 共 20 页 ∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= =．【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题． 　16．（13 分）（2016•天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要 原料，生产 1 扯皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示： ABC甲乙4585310 现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥 料．已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车品乙种肥料，产生的利润为 3 万元、分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． （1）用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润． 【分析】（1）根据原料的吨数列出不等式组，作出平面区域； （2）令利润 z=2x+3y，则 y=﹣ ，结合可行域找出最优解的位置，列方程组解出最优 解． 【解答】解：（1）x，y 满足的条件关系式为： ．作出平面区域如图所示： （2）设利润为 z 万元，则 z=2x+3y． ∴y=﹣ x+ ∴当直线 y=﹣ x+ 经过点 B 时，截距 最大，即z 最大． 解方程组 得B（20，24）． ．第 13 页 共 20 页 ∴z 的最大值为 2×20+3×24=112． 答：当生产甲种肥料 20 吨，乙种肥料 24 吨时，利润最大，最大利润为 112 万元． 【点评】本题考查了简单的线性规划的应用，抽象概括能力和计算求解能力，属于中档题． 　17．（13 分）（2016•天津）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED⊥平面 ABCD， EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G 为 BC 的中点． （1）求证：FG∥平面 BED； （2）求证：平面 BED⊥平面 AED； （3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值． 【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形 OGEF 是平行四边形，再根据线面 平行的判定定理即可证明； （2）根据余弦定理求出 BD= ，继而得到 BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证 明； （3）先判断出直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角，再根 据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 【解答】证明：（1）BD 的中点为 O，连接 OE，OG，在△BCD 中， ∵G 是 BC 的中点， ∴OG∥DC，且 OG= DC=1， 又∵EF∥AB，AB∥DC， ∴EF∥OG，且 EF=0G， 即四边形 OGEF 是平行四边形， ∴FG∥OE， ∵FG⊄平面 BED，OE⊂平面 BED， ∴FG∥平面 BED； （2）证明：在△ABD 中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°， 由余弦定理可得 BD= ，仅而∠ADB=90°， 即 BD⊥AD， 又∵平面 AED⊥平面 ABCD， BD⊂平面 ABCD，平面 AED∩平面 ABCD=AD， ∴BD⊥平面 AED， ∵BD⊂平面 BED， ∴平面 BED⊥平面 AED． （Ⅲ）∵EF∥AB， 第 14 页 共 20 页 ∴直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角， 过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，连接 BH， 又平面 BED∩平面 AED=ED， 由（2）知 AH⊥平面 BED， ∴直线 AB 与平面 BED 所成的角为∠ABH， 在△ADE，AD=1，DE=3，AE= ，由余弦定理得 cos∠ADE= ，∴sin∠ADE= ∴AH=AD• ，，在 Rt△AHB 中，sin∠ABH= =，∴直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角， 考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题． 　18．（13 分）（2016•天津）已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn（n∈N*），且 ﹣=，S6=63． （1）求{an}的通项公式； （2）若对任意的 n∈N*，bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项，求数列{（﹣1）nb }的前 2n 项和． 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比 q，利用求和公式解出 a1，得出通 项公式； （2）利用对数的运算性质求出 bn，使用分项求和法和平方差公式计算． 【解答】解：（1）设{an}的公比为 q，则 ﹣=，即 1﹣ =，解得 q=2 或 q=﹣1． 若 q=﹣1，则 S6=0，与 S6=63 矛盾，不符合题意．∴q=2， 第 15 页 共 20 页 ∴S6= =63，∴a1=1． ∴an=2n﹣1 ．（2）∵bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项， ∴bn= （log2an+log2an+1）= （log22n﹣1+log22n）=n﹣ ．∴bn+1﹣bn=1． ∴{bn}是以 为首项，以1 为公差的等差数列． 2设{（﹣1）nbn }的前 n 项和为 Tn，则 22222Tn=（﹣b1 +b2 ）+（﹣b3 +b4 ）+…+（﹣b2n﹣12+b2n ）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n ===2n2． 【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题． 　19．（14 分）（2016•天津）设椭圆 +=1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为 A，已 知+=，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M， 与 y 轴交于点 H，若 BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线 l 的斜率． 【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入 +=，转化为 关于 a 的方程，解方程求得 a 值，则椭圆方程可求； （2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为 关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B 的坐标，再写出 MH 所在直线方程， 求出 H 的坐标，由 BF⊥HF，得 ，整理得到 M 的坐标与 k 的关系，由∠MOA=∠MAO，得到 x0=1，转化为关于 k 的等式求得 k 的值． 【解答】解：（1）由 +=，得+=，第 16 页 共 20 页 即=，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得 a=2． ∴椭圆方程为 ；（2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x﹣2），（k≠0）， 设 B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2））， ∵∠MOA=∠MAO， ∴x0=1， 再设 H（0，yH）， 联立 ，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0． △=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0． 由根与系数的关系得 ，∴，，MH 所在直线方程为 y﹣k（x0﹣2）=﹣ （x﹣x0）， 令 x=0，得 yH=（k+ ）x0﹣2k， ∵BF⊥HF， ∴，即 1﹣x1+y1yH=1﹣ [（k+ ）x0﹣2k]=0， 整理得： =1，即 8k2=3． ∴k=﹣ 或 k= ．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思 想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题． 　20．（14 分）（2016•天津）设函数 f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中 a，b∈R． （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0），其中 x1≠x0，求证：x1+2×0=0； 第 17 页 共 20 页 （3）设 a＞0，函数 g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 ．【分析】（1）求出 f（x）的导数，讨论 a≤0 时 f′（x）≥0，f（x）在 R 上递增；当 a＞0 时，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间； （2）由条件判断出 a＞0，且 x0≠0，由 f′（x0）=0 求出 x0，分别代入解析式化简 f（x0）， f（﹣2×0），化简整理后可得证； （3）设 g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值 M，根据极值点与区间的关系对 a 分三种情况讨 论，运用 f（x）单调性和前两问的结论，求出 g（x）在区间上的取值范围，利用 a 的范围 化简整理后求出 M，再利用不等式的性质证明结论成立． 【解答】解：（1）若 f（x）=x3﹣ax﹣b，则 f′（x）=3×2﹣a， 分两种情况讨论： ①、当 a≤0 时，有 f′（x）=3×2﹣a≥0 恒成立， 此时 f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）， ②、当 a＞0 时，令 f′（x）=3×2﹣a=0，解得 x= 或 x= ，当 x＞ 当﹣ 或 x＜﹣ ＜x＜ 时，f′（x）=3×2﹣a＞0，f（x）为增函数， 时，f′（x）=3×2﹣a＜0，f（x）为减函数， 故 f（x）的增区间为（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞），减区间为（﹣ ，）； （2）若 f（x）存在极值点 x0，则必有 a＞0，且 x0≠0， 2由题意可得，f′（x）=3×2﹣a，则 x0 = ，3进而 f（x0）=x0 ﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b， 3又 f（﹣2×0）=﹣8×0 +2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f（x0）， 由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数 x1，满足 f（x1）=f（x0），其中 x1≠x0， 则有 x1=﹣2×0，故有 x1+2×0=0； （Ⅲ）设 g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值 M，max{x，y}表示 x、y 两个数的最大值， 下面分三种情况讨论： ①当 a≥3 时，﹣ ≤﹣1＜1≤ ，由（I）知 f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减， 所以 f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（1），f（﹣1）]， 因此 M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|} =max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}= 所以 M=a﹣1+|b|≥2 ，②当 a＜3 时， ，第 18 页 共 20 页 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥ =f（ ），f（1）≤ ），f（﹣ =，所以 f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（ ）]， |，| 因此 M=max{|f（ =max{| ）|，|f（﹣ |，| ）|}=max{| |} |}= ，③当 0＜a＜ 时， ，由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜ =f（ ），f（1）＞ =，所以 f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（﹣1），f（1）]， 因此 M=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|} =max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|＞ ，综上所述，当 a＞0 时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 ．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思 想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题． 　第 19 页 共 20 页 第 20 页 共 20 页