第 1 页 共 20 页 2016 年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．（5 分）（2016•北京）已知集合 A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则 A∩B=（ ） A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5 分）（2016•北京）若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为（ ） A．0 B．3 C．4 D．5 3．（5 分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5 分）（2016•北京）设 ， 是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5 分）（2016•北京）已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，则（ ） A． ﹣ ＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（ ）x﹣（ ）y＜0 D．lnx+lny＞0 6．（5 分）（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） 第 1 页（共 20 页） 第 2 页 共 20 页 A． B． C． D．1 7．（5 分）（2016•北京）将函数 y=sin（2x﹣ ）图象上的点 P（ ，t）向左平移 s（s＞ 0）个单位长度得到点 P′，若 P′位于函数 y=sin2x 的图象上，则（ ） A．t= ，s 的最小值为 B．t= ，s 的最小值为 C．t= ，s 的最小值为 D．t= ，s 的最小值为 8．（5 分）（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三 个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另 一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．（5 分）（2016•北京）设 a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上， 则 a= ． 10．（5 分）（2016•北京）在（1﹣2x）6 的展开式中，x2 的系数为 ．（用数 字作答） 11．（5 分）（2016•北京）在极坐标系中，直线 ρcosθ﹣ ρsinθ﹣1=0 与圆 ρ=2cosθ 交于 A ，B 两点，则|AB|= ． 12．（5 分）（2016•北京）已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 a1=6，a3+a5=0，则 S6= ． 13．（5 分）（2016•北京）双曲线 ﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形 OABC 的 边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．第 2 页（共 20 页） 第 3 页 共 20 页 14．（5 分）（2016•北京）设函数 f（x）= ①若 a=0，则 f（x）的最大值为 ； ．②若 f（x）无最大值，则实数 a 的取值范围是 ． 三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13 分）（2016•北京）在△ABC 中，a2+c2=b2+ ac． （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）求 cosA+cosC 的最大值． 16．（13 分）（2016•北京）A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情 况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）： A 班 B 班 C 班 6636.5 777.5 98810 911 12 12 4.5 67.5 10.5 13.5 （Ⅰ）试估计 C 班的学生人数； （Ⅱ）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出 的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的 概率； （Ⅲ）再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是 7，9，8.25（ 单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 μ1，表格中数据 的平均数记为 μ0，试判断 μ0 和 μ1 的大小．（结论不要求证明） 17．（14 分）（2016•北京）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD ，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD= （Ⅰ）求证：PD⊥平面 PAB； ．（Ⅱ）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM∥平面 PCD？若存在，求 的值，若不存在，说 明理由． 18．（13 分）（2016•北京）设函数 f（x）=xea﹣x+bx，曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处 的切线方程为 y=（e﹣1）x+4， （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）求 f（x）的单调区间． 第 3 页（共 20 页） 第 4 页 共 20 页 19．（14 分）（2016•北京）已知椭圆 C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，A（a，0 ），B（0，b），O（0，0），△OAB 的面积为 1． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N．求证： |AN|•|BM|为定值． 20．（13 分）（2016•北京）设数列 A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于 n（2≤n≤N） 的每个正整数 k 都有 ak＜an，则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”，记 G（A）是数列 A 的所有 “G 时刻”组成的集合． （Ⅰ）对数列 A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出 G（A）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列 A 中存在 an 使得 an＞a1，则 G（A）≠∅； （Ⅲ）证明：若数列 A 满足 an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则 G（A）的元素个数不小于 aN﹣a1 ． 第 4 页（共 20 页） 第 5 页 共 20 页 2016 年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．（5 分）（2016•北京）已知集合 A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则 A∩B=（ ） A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；集合． 【分析】先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出 A∩B． 【解答】解：∵集合 A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}， B={﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B={﹣1，0，1}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．（5 分）（2016•北京）若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为（ ） A．0 B．3 C．4 D．5 【考点】简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】计算题；规律型；数形结合；函数思想；转化思想． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结 合即可求 z 的取值范围． 【解答】解：作出不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分）． 设 z=2x+y 得 y=﹣2x+z， 平移直线 y=﹣2x+z， 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时，直线 y=﹣2x+z 的截距最大， 此时 z 最大． 由，解得 ，即 A（1，2）， 代入目标函数 z=2x+y 得 z=1×2+2=4． 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 4． 故选：C． 第 5 页（共 20 页） 第 6 页 共 20 页 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法． 3．（5 分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】程序框图．菁优网版权所有 【专题】计算题；操作型；算法和程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值， 模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：输入的 a 值为 1，则 b=1， 第一次执行循环体后，a=﹣ ，不满足退出循环的条件，k=1； 第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2； 第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件， 故输出的 k 值为 2， 故选：B 第 6 页（共 20 页） 第 7 页 共 20 页 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程 序法进行解答． 4．（5 分）（2016•北京）设 ， 是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】充要条件；向量的模．菁优网版权所有 【专题】转化思想；平面向量及应用；矩阵和变换． 【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案． 【解答】解：若“| |=| |”，则以 ， 为邻边的平行四边形是菱形； 若“| + |=| ﹣ |”，则以 ， 为邻边的平行四边形是矩形； 故“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的既不充分也不必要条件； 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“| |=| |”与“| + |=| ﹣ |”表示 的几何意义，是解答的关键． 5．（5 分）（2016•北京）已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，则（ ） A． ﹣ ＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（ ）x﹣（ ）y＜0 D．lnx+lny＞0 【考点】不等关系与不等式．菁优网版权所有 【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式． 【分析】x，y∈R，且 x＞y＞0，可得： ，lnx+lny 与 0 的大小关系不确定，即可判断出结论． 【解答】解：∵x，y∈R，且 x＞y＞0，则 ，sinx 与 siny 的大小关系不确定， ，即 ＜0，lnx+lny 与 0 的大小关系不确定． 故选：C． ，sinx 与 siny 的大小关系不确定， ＜＜﹣【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题． 6．（5 分）（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） 第 7 页（共 20 页） 第 8 页 共 20 页 A． B． C． D．1 【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案 ．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 棱锥的底面面积 S= ×1×1= ， 高为 1， 故棱锥的体积 V= = ， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体 的形状是解答的关键． 7．（5 分）（2016•北京）将函数 y=sin（2x﹣ ）图象上的点 P（ ，t）向左平移 s（s＞ 0）个单位长度得到点 P′，若 P′位于函数 y=sin2x 的图象上，则（ ） A．t= ，s 的最小值为 B．t= ，s 的最小值为 C．t= ，s 的最小值为 D．t= ，s 的最小值为 【考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质． 【分析】将 x= 代入得：t= ，进而求出平移后 P′的坐标，进而得到 s 的最小值． 【解答】解：将 x= 代入得：t=sin =， 将函数 y=sin（2x﹣ ）图象上的点 P 向左平移 s 个单位， 得到 P′（ ﹣s， ）点， 第 8 页（共 20 页） 第 9 页 共 20 页 若 P′位于函数 y=sin2x 的图象上， 则 sin（ ﹣2s）=cos2s= ， 则 2s= 则 s= +2kπ，k∈Z， +kπ，k∈Z， 由 s＞0 得：当 k=0 时，s 的最小值为 故选：A． ，【点评】本题考查的知识点是函数 y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中 档． 8．（5 分）（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三 个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另 一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【考点】进行简单的演绎推理．菁优网版权所有 【专题】推理和证明． 【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲 中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析． 【解答】解：取两个球共有 4 种情况： ①红+红，则乙盒中红球数加 1 个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加 1 个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加 1 个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加 1 个． 设一共有球 2a 个，则 a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为 a，其中红球 x 个，黑球 y 个 ，x+y=a． 则乙中有 x 个球，其中 k 个红球，j 个黑球，k+j=x； 丙中有 y 个球，其中 l 个红球，i 个黑球，i+l=y； 黑球总数 a=y+i+j，又 x+y=a，故 x=i+j 由于 x=k+j，所以可得 i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球． 故选 B． 【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力 有一定要求，中档题 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．（5 分）（2016•北京）设 a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上， 则 a= ﹣1 ． 【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；转化法；数系的扩充和复数． 第 9 页（共 20 页） 第 10 页 共 20 页 【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，则 a+1=0，解得答案． 【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i， 若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上， 则 a+1=0， 解得：a=﹣1， 故答案为：﹣1 【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题． 10．（5 分）（2016•北京）在（1﹣2x）6 的展开式中，x2 的系数为 60 ．（用数字作答） 【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有 【专题】方程思想；转化思想；二项式定理． 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出． 【解答】解：（1﹣2x）6 的展开式中，通项公式 Tr+1 =（﹣2x）r=（﹣2）r xr， 令 r=2，则 x2 的系数= 故答案为：60． =60． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．（5 分）（2016•北京）在极坐标系中，直线 ρcosθ﹣ ρsinθ﹣1=0 与圆 ρ=2cosθ 交于 A ，B 两点，则|AB|= 2 ． 【考点】简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心 C 在直线上可得|AB|． 【解答】解：直线 ρcosθ﹣ ρsinθ﹣1=0 化为 y 直线 x﹣ y﹣1=0． 2圆 ρ=2cosθ 化为 ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为（x﹣1） +y2=1，可得圆心 C（1，0），半 径 r=1． 则圆心 C 在直线上，∴|AB|=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基 础题． 12．（5 分）（2016•北京）已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 a1=6，a3+a5=0，则 S6= 6 ． 【考点】等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前 n 项和公式能求 出 S6． 【解答】解：∵{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和． a1=6，a3+a5=0， ∴a1+2d+a1+4d=0， ∴12+6d=0， 解得 d=﹣2， 第 10 页（共 20 页） 第 11 页 共 20 页 ∴S6= =36﹣30=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查等差数列的前 6 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数 列的性质的合理运用． 13．（5 分）（2016•北京）双曲线 ﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形 OABC 的 边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= 2 ． 【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有 【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是 等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可． 【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线， ∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为 y=±x， 即 a=b， ∵正方形 OABC 的边长为 2， ∴OB=2 ，即 c=2 则 a2+b2=c2=8， 即 2a2=8， ，则 a2=4，a=2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴 双曲线是解决本题的关键． 14．（5 分）（2016•北京）设函数 f（x）= ．①若 a=0，则 f（x）的最大值为 2 ； ②若 f（x）无最大值，则实数 a 的取值范围是 （﹣∞，﹣1） ． 【考点】分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用． 第 11 页（共 20 页） 第 12 页 共 20 页 【分析】①将 a=0 代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当 x=﹣1 时，f（x） 的最大值为 2； ②若 f（x）无最大值，则 ，或 ，解得答案． 【解答】解：①若 a=0，则 f（x）= ，则 f′（x）= ，当 x＜﹣1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数， 当 x＞﹣1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数， 故当 x=﹣1 时，f（x）的最大值为 2； ②f′（x）= ，令 f′（x）=0，则 x=±1， 若 f（x）无最大值，则 ，或 ，解得：a∈（﹣∞，﹣1）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1） 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档． 三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13 分）（2016•北京）在△ABC 中，a2+c2=b2+ ac． （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）求 cosA+cosC 的最大值． 【考点】解三角形的实际应用．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形． 【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得 cosB= ，进而得到答案； （Ⅱ）由（I）得：C= ﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得 cosA+cosC 的最大 值． 【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a2+c2=b2+ ac． ∴a2+c2﹣b2= ac． ∴cosB= ==，第 12 页（共 20 页） 第 13 页 共 20 页 ∴B= （Ⅱ）由（I）得：C= ﹣A， ∴==cosA+cosC= cosA+cos（ ﹣A） cosA﹣ cosA+ sinA cosA+ sinA =sin（A+ ）． ∵A∈（0， ）， ∴A+ ∈（ ，π）， 故当 A+ =时，sin（A+ ）取最大值 1， 即cosA+cosC 的最大值为 1． 【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档 ． 16．（13 分）（2016•北京）A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情 况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）： A 班 B 班 C 班 6636.5 777.5 98810 911 12 12 4.5 67.5 10.5 13.5 （Ⅰ）试估计 C 班的学生人数； （Ⅱ）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出 的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的 概率； （Ⅲ）再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是 7，9，8.25（ 单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 μ1，表格中数据 的平均数记为 μ0，试判断 μ0 和 μ1 的大小．（结论不要求证明） 【考点】古典概型及其概率计算公式；用样本的频率分布估计总体分布．菁优网版权所有 【专题】计算题；定义法；概率与统计． 【分析】（I）由已知先计算出抽样比，进而可估计 C 班的学生人数； （Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）根据平均数的定义，可判断出 μ0＞μ1． 【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取 20 个学生，其中 C 班抽取 8 个， 故抽样比 K= = ， 故 C 班有学生 8÷ =40 人， 第 13 页（共 20 页） 第 14 页 共 20 页 （Ⅱ）从从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人， 共有 5×8=40 种情况， 而且这些情况是等可能发生的， 当甲锻炼时间为 6 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 2 种情况； 当甲锻炼时间为 6.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况； 当甲锻炼时间为 7 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况； 当甲锻炼时间为 7.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况； 当甲锻炼时间为 8 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 4 种情况； 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 P= = ； （Ⅲ）μ0＞μ1． 【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档． 17．（14 分）（2016•北京）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD ，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD= （Ⅰ）求证：PD⊥平面 PAB； ．（Ⅱ）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM∥平面 PCD？若存在，求 的值，若不存在，说 明理由． 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何． 【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得 AB⊥平面 PAD，进一步得到 AB⊥PD，再 由 PD⊥PA，由线面垂直的判定得到 PD⊥平面 PAB； （Ⅱ）取 AD 中点为 O，连接 CO，PO，由已知可得 CO⊥AD，PO⊥AD．以 O 为坐标原点， 建立空间直角坐标系，求得 P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0 ），进一步求出向量 的坐标，再求出平面 PCD 的法向量 ，设PB 与平面 PCD 的夹角为 θ，由 求得直线 PB 与平面 PCD 所成角 的正弦值； 第 14 页（共 20 页） 第 15 页 共 20 页 （Ⅲ）假设存在 M 点使得 BM∥平面 PCD，设 （0，1﹣λ，λ）， ，由此列式求得当 ，M（0，y1，z1），由 可得 M ，由 BM∥平面 PCD，可得 时，M 点即为所求． 【解答】（Ⅰ）证明：∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD， 且 AB⊥AD，AB⊂平面 ABCD， ∴AB⊥平面 PAD， ∵PD⊂平面 PAD， ∴AB⊥PD， 又 PD⊥PA，且 PA∩AB=A， ∴PD⊥平面 PAB； （Ⅱ）解：取 AD 中点为 O，连接 CO，PO， ∵CD=AC= ，∴CO⊥AD， 又∵PA=PD， ∴PO⊥AD． 以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则 P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0）， 则，，设为平面 PCD 的法向量， 则由 ，得 ，则 ．设 PB 与平面 PCD 的夹角为 θ，则 =；（Ⅲ）解：假设存在 M 点使得 BM∥平面 PCD，设 ，M（0，y1，z1）， ，B（1，1，0）， 由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1）， ，则有 ，可得 M（0，1﹣λ，λ）， 第 15 页（共 20 页） 第 16 页 共 20 页 ∴，∵BM∥平面 PCD， 为平面 PCD 的法向量， ∴，即 ，解得 ．综上，存在点 M，即当 时，M 点即为所求． 【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解 方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题． 18．（13 分）（2016•北京）设函数 f（x）=xea﹣x+bx，曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处 的切线方程为 y=（e﹣1）x+4， （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）求 f（x）的单调区间． 【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】函数思想；转化思想；转化法；导数的概念及应用． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及 f（2），建 立方程组关系即可求 a，b 的值； （Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求 f（x）的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y=（e﹣1）x+4， ∴当 x=2 时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即 f（2）=2e+2， 同时 f′（2）=e﹣1， ∵f（x）=xea﹣x+bx， ∴f′（x）=ea﹣x﹣xea﹣x+b， 则，即 a=2，b=e； （Ⅱ）∵a=2，b=e； 第 16 页（共 20 页） 第 17 页 共 20 页 ∴f（x）=xe2﹣x+ex， ∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e， f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x ，由 f″（x）＞0 得 x＞2，由 f″（x）＜0 得 x＜2， 即当 x=2 时，f′（x）取得极小值 f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0， ∴f′（x）＞0 恒成立， 即函数 f（x）是增函数， 即 f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）． 【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及 利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强． 19．（14 分）（2016•北京）已知椭圆 C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，A（a， 0），B（0，b），O（0，0），△OAB 的面积为 1． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N．求证： |AN|•|BM|为定值． 【考点】直线与椭圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 a，b，c 的关系，解方程 可得 a=2，b=1，进而得到椭圆方程； 22（Ⅱ）方法一、设椭圆上点 P（x0，y0），可得 x0 +4y0 =4，求出直线 PA 的方程，令 x=0， 求得 y，|BM|；求出直线 PB 的方程，令 y=0，可得 x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM| 为定值 4． 方法二、设 P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线 PA 的方程，令 x=0，求得 y，|BM| ；求出直线 PB 的方程，令 y=0，可得 x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得 到|AN|•|BM|为定值 4． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 e= = ，又△OAB 的面积为 1，可得 ab=1， 且 a2﹣b2=c2， 解得 a=2，b=1，c= ，可得椭圆 C 的方程为 +y2=1； （Ⅱ）证法一：设椭圆上点 P（x0，y0）， 22可得 x0 +4y0 =4， 直线 PA：y= （x﹣2），令 x=0，可得 y=﹣ ，第 17 页（共 20 页） 第 18 页 共 20 页 则|BM|=|1+ 直线 PB：y= 则|AN|=|2+ |； x+1，令 y=0，可得 x=﹣ ，|． 可得|AN|•|BM|=|2+ |•|1+ |=| |=| |=| |=4， 即有|AN|•|BM|为定值 4． 证法二：设 P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π）， 直线 PA：y= （x﹣2），令 x=0，可得 y=﹣ ，则|BM|=| |； 直线 PB：y= 则|AN|=| x+1，令 y=0，可得 x=﹣ ，|． 即有|AN|•|BM|=| |•| |=2| |=2| |=4． 则|AN|•|BM|为定值 4． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积 的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中 档题． 20．（13 分）（2016•北京）设数列 A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于 n（2≤n≤N） 的每个正整数 k 都有 ak＜an，则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”，记 G（A）是数列 A 的所有 “G 时刻”组成的集合． （Ⅰ）对数列 A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出 G（A）的所有元素； 第 18 页（共 20 页） 第 19 页 共 20 页 （Ⅱ）证明：若数列 A 中存在 an 使得 an＞a1，则 G（A）≠∅； （Ⅲ）证明：若数列 A 满足 an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则 G（A）的元素个数不小于 aN﹣a1 ．【考点】数列与函数的综合；数学归纳法．菁优网版权所有 【专题】新定义；点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】（Ⅰ）结合“G 时刻”的定义进行分析； （Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析； （Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析． 【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，a1=﹣2，a2=2，a3=﹣1，a4=1，a5=3，a1＜a2 满足条件， 2 满足条件，a2＞a3 不满足条件，3 不满足条件， a2＞a4 不满足条件，4 不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于 a5，因此 5 满足条件，因此 G（ A）={2，5}． （Ⅱ）因为存在 an＞a1，设数列 A 中第一个大于 a1 的项为 ak，则 ak＞a1≥ai，其中 2≤i≤k﹣1， 所以 k∈G（A），G（A）≠∅； （Ⅲ）设 A 数列的所有“G 时刻”为 i1＜i2＜L＜ik， 对于第一个“G 时刻”i1，有 ﹣ai≤ ≤1． 对于第二个“G 时刻”i1，有 ＞a1≥ai（i=2，3，L，i1﹣1），则 ﹣＞≥ai（i=2，3，L，i1﹣1），则 ﹣≤﹣≤1． 类似的 ﹣≤1，…， ）+（ ﹣≤1． 于是，k≥（ ﹣﹣）+L+（ ﹣）+（ ﹣a1）= ﹣a1 ．对于 aN，若 N∈G（A），则 =aN． 若 N∉G（A），则 aN≤ 个“G 时刻”矛盾． ，否则由（2）知 ，，L，aN，中存在“G 时刻”与只有 k 从而 k≥ ﹣a1≥aN﹣a1． 【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G 时刻”定义的把握，难度较大． 第 19 页（共 20 页） 第 20 页 共 20 页 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；qiss；翔宇老师；沂蒙松；jye 圈圈； 546278733@qq.com；maths；sxs123；双曲线；ww 方（排名不分先后） 菁优网 2016 年 6 月 13 日 第 20 页（共 20 页）
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