第 1 页 共 20 页 2015 年浙江省高考数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．（5 分）（2015•浙江）已知集合 P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则 P∩Q=（ ） （﹣1，2） C． （﹣1，3] D． A．[3，4） B．（2，3] 2．（5 分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 （ ） 33 A． 8cm B． 12cm C． D． 3．（5 分）（2015•浙江）设 a，b 是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（ ） A．充分不必要条 B．必要不充分条 件件 C．充分必要条件 D．既不充分也不 必要条件 4．（5 分）（2015•浙江）设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，m⊂β ，（ ） A．若 l⊥β，则 α⊥βB．若 α⊥β，则 l⊥mC．若 l∥β，则 α∥β D．若 α∥β，则 l∥m 5．（5 分）（2015•浙江）函数 f（x）=（x﹣ ）cosx（﹣π≤x≤π 且 x≠0）的图象可能为（ ） A． B． C． D． 第 1 页（共 20 页） 第 2 页 共 20 页 6．（5 分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色， 且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为 x，y，z，且 x＜y ＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为 a，b，c，且 a＜b＜c．在不同的方案 中，最低的总费用（单位：元）是（ ） A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz 7．（5 分）（2015•浙江）如图，斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 60°，B 为斜足，平面 α 上的动点 P 满足∠PAB=30°，则点 P 的轨迹是（ ） A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 8．（5 分）（2015•浙江）设实数 a，b，t 满足|a+1|=|sinb|=t．（ ） A． 若 t 确定，则 b 2 B．若 t 确定，则 a2+2a 唯一确定 唯一确定 C．若 t 确定，则 sinD．若 t 确定，则 a2+a 唯一确定 唯一确定 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 9．（6 分）（2015•浙江）计算：log2 = ，2 = ． 10．（6 分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差 d 不为零，若 a2，a3，a7 成等比数列 ，且 2a1+a2=1，则 a1= ，d= ． 11．（6 分）（2015•浙江）函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 ， 最小值是 ． 12．（6 分）（2015•浙江）已知函数 f（x）= ，则 f（f（﹣2））= ，f（x）的最小值是 ． 13．（4 分）（2015•浙江）已知 ，2 是平面向量，且 •2= ，若平衡向量 满足 • =111•=1，则| |= ． 第 2 页（共 20 页） 第 3 页 共 20 页 14．（4 分）（2015•浙江）已知实数 x，y 满足 x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值 是 ． 15．（4 分）（2015•浙江）椭圆 +=1（a＞b＞0）的右焦点 F（c，0）关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14 分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 tan （+A）=2． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 B= ，a=3，求△ABC 的面积． 17．（15 分）（2015•浙江）已知数列{an}和{bn}满足 a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求 an 与 bn； （Ⅱ）记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn． 18．（15 分）（2015•浙江）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4 ，A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1 的中点． （Ⅰ）证明：A1D⊥平面 A1BC； （Ⅱ）求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值． 19．（15 分）（2015•浙江）如图，已知抛物线 C1：y= x2，圆 C2：x2+（y﹣1）2=1，过点 P（t，0）（t＞0）作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切 点． （Ⅰ）求点 A，B 的坐标； （Ⅱ）求△PAB 的面积． 第 3 页（共 20 页） 第 4 页 共 20 页 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线 相切，称该公共点为切点． 20．（15 分）（2015•浙江）设函数 f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当 b= +1时，求函数 f（x）在[﹣1，1]上的最小值 g（a）的表达式． （Ⅱ）已知函数 f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求 b 的取值范围． 第 4 页（共 20 页） 第 5 页 共 20 页 2015 年浙江省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．（5 分）（2015•浙江）已知集合 P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则 P∩Q=（ ） （﹣1，2） C． （﹣1，3] D． A．[3，4） B．（2，3] 考点： 专题： 分析： 解答： 交集及其运算．菁优网版权所有 集合． 求出集合 P，然后求解交集即可． 解：集合 P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1 或 x≥3}， Q={x|2＜x＜4}， 则 P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）． 故选：A． 点评： 本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力． 2．（5 分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 （ ） 33 A． 8cm B． 12cm C． D． 考点： 专题： 分析： 解答： 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 空间位置关系与距离． 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可． 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为 2 的正方体，上部是底面为边长 2 的 正方形奥为 2 的正四棱锥， 所求几何体的体积为：23+ ×2×2×2= ．故选：C． 第 5 页（共 20 页） 第 6 页 共 20 页 点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． 3．（5 分）（2015•浙江）设 a，b 是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（ ） A．充分不必要条 B．必要不充分条 件件 C．充分必要条件 D．既不充分也不 必要条件 考点： 专题： 分析： 解答： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 简易逻辑． 利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可． 解：a，b 是实数，如果 a=﹣1，b=2 则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立． 如果 a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是 a+b＞0 不成立， 所以设 a，b 是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 点评： 本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查． 4．（5 分）（2015•浙江）设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，m⊂β ，（ ） A．若 l⊥β，则 α⊥βB．若 α⊥β，则 l⊥mC．若 l∥β，则 α∥β D．若 α∥β，则 l∥m 考点： 专题： 分析： 空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 综合题；空间位置关系与距离． A 根据线面垂直的判定定理得出 A 正确； B 根据面面垂直的性质判断 B 错误； C 根据面面平行的判断定理得出 C 错误； D 根据面面平行的性质判断 D 错误． 解答： 解：对于 A，∵l⊥β，且 l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得 α⊥β，∴A 正确； 对于 B，当 α⊥β，l⊂α，m⊂β 时，l 与 m 可能平行，也可能垂直，∴B 错误； 对于 C，当 l∥β，且 l⊂α 时，α 与 β 可能平行，也可能相交，∴C 错误； 对于 D，当 α∥β，且 l⊂α，m⊂β 时，l 与 m 可能平行，也可能异面，∴D 错误． 故选：A． 点评： 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应 用问题，是基础题目． 5．（5 分）（2015•浙江）函数 f（x）=（x﹣ ）cosx（﹣π≤x≤π 且 x≠0）的图象可能为（ ） A． B． C． D． 考点： 函数的图象．菁优网版权所有 第 6 页（共 20 页） 第 7 页 共 20 页 专题： 分析： 函数的性质及应用． 由条件可得函数 f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据在（0，1 ）上，f（x）＜0，结合所给的选项，得出结论． 解答： 解：对于函数 f（x）=（x﹣ ）cosx（﹣π≤x≤π 且 x≠0），由于它的定义域关于 原点对称， 且满足 f（﹣x）=（ ﹣x）cosx=﹣f（x），故函数 f（x）为奇函数，故它的图 象关于原点对称． 故排除 A、B． 再根据在（0，1）上， ＞x，cosx＞0，f（x）=（x﹣ ）cosx＜0，故排除 C， 故选：D． 点评： 本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域 ，属于中档题． 6．（5 分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色， 且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为 x，y，z，且 x＜ y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为 a，b，c，且 a＜b＜c．在不同的方 案中，最低的总费用（单位：元）是（ ） A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz 考点： 函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 作差法逐个选项比较大小可得． 解答： 解：∵x＜y＜z 且 a＜b＜c， ∴ax+by+cz﹣（az+by+cx） =a（x﹣z）+c（z﹣x） =（x﹣z）（a﹣c）＞0， ∴ax+by+cz＞az+by+cx； 同理 ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz） =b（z﹣x）+c（x﹣z） =（z﹣x）（b﹣c）＞0， ∴ay+bz+cx＞ay+bx+cz； 同理 az+by+cx﹣（ay+bz+cx） =a（z﹣y）+b（y﹣z） =（z﹣y）（a﹣b）＜0， ∴az+by+cx＜ay+bz+cx， ∴最低费用为 az+by+cx 故选：B 点评： 本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题． 7．（5 分）（2015•浙江）如图，斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 60°，B 为斜足，平面 α 上的动点 P 满足∠PAB=30°，则点 P 的轨迹是（ ） 第 7 页（共 20 页） 第 8 页 共 20 页 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 考点： 专题： 分析： 圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有 圆锥曲线的定义、性质与方程． 根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点 P 的轨迹为一以 AB 为轴线的圆锥侧面 与平面 α 的交线，则答案可求． 解答： 解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到 椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线． 此题中平面 α 上的动点 P 满足∠PAB=30°，可理解为 P 在以 AB 为轴的圆锥的 侧面上， 再由斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 60°，可知 P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆 定义． 故可知动点 P 的轨迹是椭圆． 故选：C． 点评： 本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 8．（5 分）（2015•浙江）设实数 a，b，t 满足|a+1|=|sinb|=t．（ ） A． 若 t 确定，则 b 2 B．若 t 确定，则 a2+2a 唯一确定 唯一确定 C．若 t 确定，则 sinD．若 t 确定，则 a2+a 唯一确定 唯一确定 考点： 专题： 分析： 解答： 四种命题．菁优网版权所有 简易逻辑． 根据代数式得出 a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案． 解：∵实数 a，b，t 满足|a+1|=t， ∴（a+1）2=t2， a2+2a=t2﹣1， t 确定，则 t2﹣1 为定值． sin2b=t2， A，C 不正确， ∴若 t 确定，则 a2+2a 唯一确定， 故选：B 本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出 a2+2a=t2﹣1，即可判断 点评： ．二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 第 8 页（共 20 页） 第 9 页 共 20 页 9．（6 分）（2015•浙江）计算：log2 = ，2 = ． 考点： 专题： 对数的运算性质．菁优网版权所有 函数的性质及应用． 分析： 解答： 直接利用对数运算法则化简求值即可． 解：log2 =log2 =﹣ ； 2===3 ．故答案为： ；．点评： 本题考查导数的运算法则的应用，基本知识的考查 ． 10．（6 分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差 d 不为零，若 a2，a3，a7 成等比数列 ，且 2a1+a2=1，则 a1= ，d= ﹣1 ． 考点： 专题： 分析： 等比数列的性质．菁优网版权所有 等差数列与等比数列． 运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得 d=﹣ a1，再由条 件 2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差． 第 9 页（共 20 页） 第 10 页 共 20 页 解答： 解：由 a2，a3，a7 成等比数列， 2则 a3 =a2a7， 即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d）， 即 2d2+3a1d=0， 由公差 d 不为零， 则 d=﹣ a1， 又 2a1+a2=1， 即有 2a1+a1+d=1， 即 3a1﹣ a1=1， 解得 a1= ，d=﹣1． 故答案为： ，﹣1． 点评： 本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等 差数列和等比数列的性质的合理运用． 11．（6 分）（2015•浙江）函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 π ，最小值是 ． 考点： 专题： 分析： 二倍角的余弦；三角函数的最值．菁优网版权所有 三角函数的图像与性质． 由三角函数恒等变换化简解析式可得 f（x）= sin（2x﹣ ）+ ，由正弦函数的 图象和性质即可求得最小正周期，最小值． 解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1 解答： =+ sin2x+1 =sin（2x﹣ ）+ ． ∴最小正周期 T= 故答案为：π， ，最小值为： ．．点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于 基本知识的考查． 12．（6 分）（2015•浙江）已知函数 f（x）= ，f（x）的最小值是 2 ﹣6 ． ，则 f（f（﹣2））= 第 10 页（共 20 页） 第 11 页 共 20 页 考点： 专题： 分析： 函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 函数的性质及应用． 由分段函数的特点易得 f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可 得各段的最小值，比较可得． 解：由题意可得 f（﹣2）=（﹣2）2=4， 解答： ∴f（f（﹣2））=f（4）=4+ ﹣6=﹣ ； ∵当 x≤1 时，f（x）=x2， 由二次函数可知当 x=0 时，函数取最小值 0； 当 x＞1 时，f（x）=x+ ﹣6， 由基本不等式可得 f（x）=x+ ﹣6≥2 ﹣6=2 ﹣6， 当且仅当 x= 即 x= 时取到等号，即此时函数取最小值 2 ﹣6； ∵2 ﹣6＜0，∴f（x）的最小值为 2 ﹣6 故答案为：﹣ ；2 ﹣6 点评： 本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题． 13．（4 分）（2015•浙江）已知 ，2 是平面向量，且 •2= ，若平衡向量 满足 • =111•=1，则| |= ． 考点： 专题： 分析： 平面向量数量积的性质及其运算律．菁优网版权所有 平面向量及应用． 根据数量积得出 ，2 夹角为 60°，＜ ， 1＞=＜ ， 2＞=30°，运用数量积 1的定义判断求解即可． 解答： 解：∵ ，2 是平面单位向量，且 • 2= ， 11∴，2 夹角为 60°， 1∵平衡向量 满足 • 1= • =1 ∴ 与 ，2 夹角相等，且为锐角， 2 夹角的平分线上， 即＜ ， 1＞=＜ ， 2＞=30°， 1∴ 应该在 ，1第 11 页（共 20 页） 第 12 页 共 20 页 | |×1×cos30°=1， ∴| |= 故答案为： 点评： 本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容 易题，关键是判断夹角即可． 14．（4 分）（2015•浙江）已知实数 x，y 满足 x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值 是 15 ． 考点： 专题： 分析： 简单线性规划．菁优网版权所有 不等式的解法及应用． 由题意可得 2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数 z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大 值． 解答： 解：如图， 由 x2+y2≤1， 可得 2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0， 则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10， 令 z=﹣3x﹣4y+10，得 ，如图， 第 12 页（共 20 页） 第 13 页 共 20 页 要使 z=﹣3x﹣4y+10 最大，则直线 在 y 轴上的截距最小， 由 z=﹣3x﹣4y+10，得 3x+4y+z﹣10=0． 则，即 z=15 或 z=5． 由题意可得 z 的最大值为 15． 故答案为：15． 点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转 化思想方法，是中档题． 15．（4 分）（2015•浙江）椭圆 +=1（a＞b＞0）的右焦点 F（c，0）关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 考点： 专题： 分析： 椭圆的简单性质．菁优网版权所有 圆锥曲线的定义、性质与方程． 设出 Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后 求解离心率即可． 解答： 解：不妨令 c=1，设 Q（m，n），由题意可得 ，即： ，第 13 页（共 20 页） 第 14 页 共 20 页 由①②可得：m= ，n= ，代入③可得： ，解得 e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1， 可得，4e6+e2﹣1=0． 即 4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0， 可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0 解得 e= 故答案为： 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力． ．．点评： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14 分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 tan （+A）=2． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 B= ，a=3，求△ABC 的面积． 考点： 专题： 分析： 二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．菁优网版权所有 解三角形． （Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得 tanA，由倍角公式及同角三 角函数关系式即可得解． （Ⅱ）由 tanA= ，A∈（0，π），可得 sinA，cosA．又由正弦定理可得 b， 由 sinC=sin（A+B）=sin（A+ ），可得 sinC，利用三角形面积公式即可得 解． 解答： 解：（Ⅰ）由 tan（ +A）=2．可得 tanA= ， 所以 == ． （Ⅱ）由 tanA= ，A∈（0，π），可得 sinA= 又由 a=3，B= 及正弦定理 ，cosA= ．，可得 b=3 ，第 14 页（共 20 页） 第 15 页 共 20 页 由 sinC=sin（A+B）=sin（A+ ），可得 sinC= 设△ABC 的面积为 S，则 S= absinC=9． ．点评： 本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用， 同时考查了运算求解能力，属于中档题． 17．（15 分）（2015•浙江）已知数列{an}和{bn}满足 a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求 an 与 bn； （Ⅱ）记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn． 考点： 专题： 分析： 数列的求和．菁优网版权所有 等差数列与等比数列． （Ⅰ）直接由 a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项 公式求得数列{an}的通项公式； 再由 b1=1，b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1，取 n=1 求得 b2=2，当 n≥2 时，得 另一递推式，作差得到 ，整理得数列{ }为常数列，由此 可得{bn}的通项公式； （Ⅱ）求出 ，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前 n 项和为 Tn． 解答： 解：（Ⅰ）由 a1=2，an+1=2an，得 ．由题意知，当 n=1 时，b1=b2﹣1，故 b2=2， 当 n≥2 时，b1+ b2+ b3+…+ =bn﹣1，和原递推式作差得， ，整理得： ，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，因此 ，两式作差得： ，第 15 页（共 20 页） 第 16 页 共 20 页 （n∈N*）． 点评： 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时 考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题． 18．（15 分）（2015•浙江）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4 ，A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1 的中点． （Ⅰ）证明：A1D⊥平面 A1BC； （Ⅱ）求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值． 考点： 专题： 分析： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有 空间位置关系与距离；空间角． （I）连接 AO，A1D，根据几何体的性质得出 A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直 线平面的垂直定理判断． （II）利用空间向量的垂直得出平面 BB1C1C 的法向量 =（ ，0，1），|根 据与 数量积求解余弦值，即可得出直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的 正弦值． 解答： 证明：（I）∵AB=AC=2，D 是 B1C1 的中点． ∴A1D⊥B1C1， ∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥BC， ∵A1O⊥面 ABC，A1D∥AO， ∴A1O⊥AO，A1O⊥BC ∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC ∴A1D⊥平面 A1BC 解：（II） 第 16 页（共 20 页） 第 17 页 共 20 页 建立坐标系如图 ∵在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4 ∴O（0，0，0），B（0， ，0），B1（﹣ ，，），A1（0，0 ）即=（0， ，）， =（0， ，0）， =（ ，0， ）， 设平面 BB1C1C 的法向量为 =（x，y，z）， 即得出 得出 =（ ，0，1），| |=4，| |= ∵=，∴cos＜ ， ＞= =，可得出直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 点评： 本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空 间想象能力，计算能力，属于中档题． 19．（15 分）（2015•浙江）如图，已知抛物线 C1：y= x2，圆 C2：x2+（y﹣1）2=1，过点 P（t，0）（t＞0）作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切 点． （Ⅰ）求点 A，B 的坐标； （Ⅱ）求△PAB 的面积． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线 相切，称该公共点为切点． 第 17 页（共 20 页） 第 18 页 共 20 页 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 圆锥曲线中的最值与范围问题． （I）由直线 PA 的斜率存在，设切线 PA 的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与 抛物线方程联立化为 x2﹣4kx+4kt=0，利用△=0，解得 k=t，可得 A 坐标．圆 C2 的圆心 D（0，1），设 B（x0，y0），由题意可知：点 B 与 O 关于直线 PD 得 出，可得 ，解得 B 坐标． （II）由（I）可得：（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，可得点 P 到直线 AB 的距离 d， 又|AB|= ．即可得出 S△PAB= ．解：（I）由直线 PA 的斜率存在，设切线 PA 的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0） 解答： ，联立 ，化为 x2﹣4kx+4kt=0， ∵△=16k2﹣16kt=0，解得 k=t， ∴x=2t，∴A（2t，t2）． 圆 C2 的圆心 D（0，1），设 B（x0，y0），由题意可知：点 B 与 O 关于直线 PD 得出， ∴，解得 ．∴B ．（II）由（I）可得：kAB ==，直线 AB 的方程为：y﹣t2= 第 18 页（共 20 页） 第 19 页 共 20 页 ，化为（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0， ∴点 P 到直线 AB 的距离 d= ==t， 又|AB|= =t2． ∴S△PAB ==．点评： 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平 分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求 解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题． 20．（15 分）（2015•浙江）设函数 f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当 b= +1时，求函数 f（x）在[﹣1，1]上的最小值 g（a）的表达式． （Ⅱ）已知函数 f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求 b 的取值范围． 考点： 专题： 分析： 二次函数的性质；函数零点的判定定理．菁优网版权所有 分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． （Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用 函数的单调性即可得到最小值； （Ⅱ）设 s，t 是方程 f（x）=0 的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件， 得到 s 的不等式，讨论 t 的范围，得到 st 的范围，由分式函数的值域，即可得 到所求 b 的范围． 解答： 解：（Ⅰ）当 b= +1时，f（x）=（x+ ）2+1，对称轴为 x=﹣ ， 当 a≤﹣2 时，函数 f（x）在[﹣1，1]上递减，则 g（a）=f（1）= +a+2； 当﹣2＜a≤2 时，即有﹣1≤﹣ ＜1，则 g（a）=f（﹣ ）=1； 当 a＞2 时，函数 f（x）在[﹣1，1]上递增，则 g（a）=f（﹣1）= ﹣a+2． 综上可得，g（a）= ；（Ⅱ）设 s，t 是方程 f（x）=0 的解，且﹣1≤t≤1， 则，第 19 页（共 20 页） 第 20 页 共 20 页 由于 0≤b﹣2a≤1， 由此 ≤s≤ （﹣1≤t≤1）， 当 0≤t≤1 时， ≤st≤ ，由﹣ ≤ ≤0，得﹣ ≤ ≤9﹣4 ，所以﹣ ≤b≤9﹣4 当﹣1≤t＜0 时， ；≤st≤ ，由于﹣2≤ ＜0 和﹣3≤ ＜0，所以﹣3≤b＜0， 故 b 的取值范围是[﹣3，9﹣4 ]． 点评： 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点 的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法， 属于中档题． 第 20 页（共 20 页）
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