2015年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)下载

第 1 页共 17 页 2015 年浙江省高考数学试卷（理科）　一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科） 1．（5 分）（2015•浙江）已知集合 P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（　　）　A．[0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．[1，2] 　2．（5 分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　） 33　A． 8cm B． 12cm C． D．　3．（5 分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若 a3，a4 ，a8 成等比数列，则（　　）　A． a1d＞0，dS4＞0 B． a1d＜0，dS4＜0 C． a1d＞0，dS4＜0 D． a1d＜0，dS4＞0 　4．（5 分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且 f（n）≤n”的否定形式是（　　） ∀n∈N*，f（n）∉N*且 f（n）＞n ∃n0∈N*，f（n0）∉N*且 f（n0）＞n0 ∀n∈N*，f（n）∉N*或 f（n）＞n ∃n0∈N*，f（n0）∉N*或 f（n0）＞n0 　A． C． B． D．　　5．（5 分）（2015•浙江）如图，设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（　　）第 1 页（共 17 页）第 2 页共 17 页　A． B． C． D．　6．（5 分）（2015•浙江）设 A，B 是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B ），其中 card（A）表示有限集 A 中的元素个数（　　）命题①：对任意有限集 A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集 A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）　　　A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 7．（5 分）（2015•浙江）存在函数 f（x）满足，对任意 x∈R 都有（　　） 222　A．f（sin2x）=sinxB． C． D． f（x +1）=|x+1| f（x +2x） f（sin2x）=x +x =|x+1| 　8．（5 分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将△ACD 折成 △A′CD，所成二面角 A′﹣CD﹣B 的平面角为 α，则（　　） ∠A′DB≤α 　A． ∠A′DB≥α B． ∠A′CB≤α C． ∠A′CB≥α D．　　二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 9．（6 分）（2015•浙江）双曲线 =1 的焦距是　　　　　　，渐近线方程是　　　　　　．　10．（6 分）（2015•浙江）已知函数 f（x）= ，f（x）的最小值是　　　　　　．，则 f（f（﹣3））=　　　　　　第 2 页（共 17 页）第 3 页共 17 页　11．（6 分）（2015•浙江）函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是　　　　　　，单调递减区间是　　　　　　．　12．（4 分）（2015•浙江）若 a=log43，则 2a+2﹣a=　　　　　　．　13．（4 分）（2015•浙江）如图，三棱锥 A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是　　　　　　．　14．（4 分）（2015•浙江）若实数 x，y 满足 x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是　　　　　　．　15．（6 分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意 x，y∈R，，则 x0=　　　　　　，y0=　　　　　　， |=　　　　　　．　　三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14 分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ，b2﹣a2= c2．（1）求 tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为 3，求 b 的值．　17．（15 分）（2015•浙江）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4 ，A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1 的中点．（1）证明：A1D⊥平面 A1BC；（2）求二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值．第 3 页（共 17 页）第 4 页共 17 页　18．（15 分）（2015•浙江）已知函数 f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记 M（a，b）是|f（x） |在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2 时，M（a，b）≥2；（2）当 a，b 满足 M（a，b）≤2 时，求|a|+|b|的最大值．　19．（15 分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点 A，B 关于直线 y=mx+ 对称．（1）求实数 m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．　220．（15 分）（2015•浙江）已知数列{an}满足 a1= 且 an+1=an﹣an （n∈N*）（1）证明：1≤ ≤2（n∈N*）； 2（2）设数列{an }的前 n 项和为 Sn，证明（n∈N*）．　　第 4 页（共 17 页）第 5 页共 17 页 2015 年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科） 1．（5 分）考点：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：求出 P 中不等式的解集确定出 P，求出 P 补集与 Q 的交集即可．解：由 P 中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0 或 x≥2，即 P=（﹣∞，0]∪[2，+∞）， ∴∁RP=（0，2），解答： ∵Q=（1，2]， ∴（∁RP）∩Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（5 分）考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为 2 的正方体，上部是底面为边长 2 的正方形奥为 2 的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+ ×2×2×2= ．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．　3．（5 分）考点：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由 a3，a4，a8 成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断 a1d 和 dS4 的符号．第 5 页（共 17 页）第 6 页共 17 页解答：解：设等差数列{an}的首项为 a1，则 a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由 a3，a4，a8 成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴ ，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题． 4．（5 分）考点：命题的否定．菁优网版权所有专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或 f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．　5．（5 分）考点：直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解：如图所示，抛物线的准线 DE 的方程为 x=﹣1，解答：过 A，B 分别作 AE⊥DE 于 E，交 y 轴于 N，BD⊥DE 于 E，交 y 轴于 M，由抛物线的定义知 BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1， |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A 第 6 页（共 17 页）第 7 页共 17 页点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．　6．（5 分）考点：复合命题的真假．菁优网版权所有专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可， ③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集 A，B，若“A≠B”，则 A∪B≠A∩B，则 card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若 d（A，B）＞0”，则 card（A∪B）＞card（A∩B），则 A∪B≠A∩B，故 A≠B 成立，故命题① 成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card（A∪B ）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）] ≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A 点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．　7．（5 分）考点：函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：利用 x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取 x=0，则 sin2x=0，∴f（0）=0；取 x= ，则 sin2x=0，∴f（0）=1； ∴f（0）=0，和 1，不符合函数的定义； ∴不存在函数 f（x），对任意 x∈R 都有 f（sin2x）=sinx； B．取 x=0，则 f（0）=0；取 x=π，则 f（0）=π2+π； ∴f（0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误； C．取 x=1，则 f（2）=2，取 x=﹣1，则 f（2）=0；这样 f（2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；第 7 页（共 17 页）第 8 页共 17 页 D．令|x+1|=t，t≥0，则 f（t2﹣1）=t；令 t2﹣1=x，则 t= ；∴；即存在函数 f（x）= ∴该选项正确．故选：D．，对任意 x∈R，都有 f（x2+2x）=|x+1|；点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．　8．（5 分）考点：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分 AC=BC，AC≠BC 两种情况讨论即可．解答：解：①当 AC=BC 时，∠A′DB=α； ②当 AC≠BC 时，如图，点 A′投影在 AE 上， α=∠A′OE，连结 AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′， ∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α 综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．　二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 9．（6 分）考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线 =1 中，a= ，b=1，c= ，∴焦距是 2c=2 ，渐近线方程是 y=± x．故答案为：2 ；y=± x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 10．（6 分）第 8 页（共 17 页）第 9 页共 17 页考点：函数的值．菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用．根据已知函数可先求 f（﹣3）=1，然后代入可求 f（f（﹣3））；由于 x≥1 时，f（x）= 分析：，当 x＜1 时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）= ，∴f（﹣3）=lg10=1，则 f（f（﹣3））=f（1）=0，当 x≥1 时，f（x）= ，即最小值，当 x＜1 时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0 最小值 0，故 f（x）的最小值是故答案为：0；点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．．．11．（6 分）考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．菁优网版权所有专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得 f（x）= sin（2x﹣ ）+ ，易得最小正周期，解不等式 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ 可得函数的单调递减区间． 2解答：解：化简可得 f（x）=sin x+sinxcosx+1 = （1﹣cos2x）+ sin2x+1 =sin（2x﹣ ）+ ， ∴原函数的最小正周期为 T= 由 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ∴函数的单调递减区间为[kπ+ =π，可得 kπ+ ，kπ+ ≤x≤kπ+ ，]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． 12．（4 分）考点：对数的运算性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：直接把 a 代入 2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．第 9 页（共 17 页）第 10 页共 17 页 a解答：解：∵a=log43，可知 4 =3，即 2a= ，所以 2a+2﹣a =+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． 13．（4 分）考点：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有专题：空间角．分析：连结 ND，取 ND 的中点为：E，连结 ME 说明异面直线 AN，CM 所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结 ND，取 ND 的中点为：E，连结 ME，则 ME∥AN，异面直线 AN，CM 所成的角就是∠EMC， ∵AN=2 ，∴ME= =EN，MC=2 ，又∵EN⊥NC，∴EC= =，∴cos∠EMC= == ．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 14．（4 分）考点：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用；直线与圆．根据所给 x，y 的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线 2x+y﹣2=0 将圆 x2+y2=1 分成分析：两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．第 10 页（共 17 页）第 11 页共 17 页解：由 x2+y2≤1，可得 6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，解答：如图直线 2x+y﹣2=0 将圆 x2+y2=1 分成两部分，在直线的上方（含直线），即有 2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在 A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有 2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在 A（，）处取得最小值3．综上可得，当 x= ，y= 时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为 3．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题． 15．（6 分）考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜ •＞= ，不妨设 =（，，0）， =（1，0，0）， |2=（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2，由题意）2+ （y﹣2）2+t2 取最小值 1，由模长公式可得 |．由已知可解 =（，，t），可得| ﹣（可得当 x=x0=1，y=y0=2 时，（x+ 第 11 页（共 17 页）第 12 页共 17 页解答：解：∵ ∴＜ •=| || |cos＜ •＞=cos＜ •＞= ， •＞= ，不妨设 =（，，0）， =（1，0，0）， =（m，n，t），则由题意可知 ∵ ﹣（ = m+n=2， =m= ，解得 m= ，n= ，∴ =（，，t），）=（ ﹣ x﹣y， |2=（ ﹣ x﹣y）2+（，t），）2+t2 ∴| ﹣（ =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2，由题意当 x=x0=1，y=y0=2 时，（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2 取最小值 1，此时 t2=1，故 |= 故答案为：1；2；2 =2 点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．　三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14 分）考点：余弦定理．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理可得：，已知 b2﹣a2= c2．可得，a= ．利用余弦定理可得 cosC．可得 sinC= ，即可得出 tanC= ．（2）由 =×=3，可得 c，即可得出 b．解答：解：（1）∵A= ，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2= bc﹣c2，又 b2﹣a2= c2．∴ bc﹣c2= c2．∴ b= c．可得，∴a2=b2﹣ =，即 a= ．∴cosC= ==．∵C∈（0，π）， ∴sinC= =．∴tanC= =2．第 12 页（共 17 页）第 13 页共 17 页（2）∵ =×=3，解得 c=2 ．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（15 分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以 BC 中点 O 为坐标原点，以 OB、OA、OA1 所在直线分别为 x、y、z 轴建系，通过 =0 及线面垂直的判定定理即得结论； •=•（2）所求值即为平面 A1BD 的法向量与平面 B1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以 BC 中点 O 为坐标原点，以 OB、OA、OA1 所在直线分别为 x、 y、z 轴建系．则 BC= AC=2 ，A1O= =，易知 A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣ ，0，0），），B1（，﹣ ）， A（0，，0），D（0，﹣ ，，=（0，﹣ ，0）， =（﹣ ，﹣ ，）， =（﹣ ，0，0）， =（﹣2 ，0，0）， =（0，0，）， ∵•=0，∴A1D⊥OA1， =0，∴A1D⊥BC，又∵ •又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面 A1BC；（2）解：设平面 A1BD 的法向量为 =（x，y，z），由，得，取 z=1，得 =（，0，1），设平面 B1BD 的法向量为 =（x，y，z），由，得，取 z=1，得 =（0，，1），第 13 页（共 17 页）第 14 页共 17 页 ∴cos＜，＞= == ，又∵该二面角为钝角， ∴二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值为﹣ ．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．　18．（15 分）考点：专题：分析：二次函数在闭区间上的最值．菁优网版权所有函数的性质及应用．（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由 a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论 a=b=0 以及分析 M（a，b）≤2 得到 ﹣3≤a+b≤1 且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解：（1）由已知可得 f（1）=1+a+b，f（﹣1）解答： =1﹣a+b，对称轴为 x=﹣ ，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数 f（x）在[﹣1，1]上单调，所以 M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1） |}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以 M（a，b）≥ （|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥ |（ 1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥ |2a|≥2；（2）当 a=b=0 时，|a|+|b|=0 又|a|+|b|≥0，所以 0 为最小值，符合题意；又对任意 x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2 得到 ﹣3≤a+b≤1 且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，第 14 页（共 17 页）第 15 页共 17 页 |a+b|}=3，在 b=﹣1，a=2 时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为 3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解 M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．　19．（15 分）考点：直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．（1）由题意，可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0 分析：，设 A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段 AB 的中点 P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得 P，代入直线 y=mx+ ，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n，可得 S△OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n，代入椭圆方程 y2﹣2mny+n2﹣2=0，，可得（m2+2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段 AB 的中点 P（x0，y0），则由于点 P 在直线 y=mx+ 上，∴ ．x0=﹣m× +n= ，=+ ， ∴，代入△＞0，可得 3m4+4m2﹣4＞0，，∴ 或 m 解得 m2 ．（2）直线 AB 与 x 轴交点纵坐标为 n， ∴S△OAB = |n|• ==，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2） =，∴S△AOB =，当且仅当 n2=m2﹣n2+2，即 2n2=m2+2，又∵ ，解得 m= ，当且仅当 m= 时，S△AOB 取得最大值为．第 15 页（共 17 页）第 16 页共 17 页点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．（15 分）考点：数列的求和；数列与不等式的综合．菁优网版权所有专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得 0＜an≤ （n∈N*），利用 an﹣an+1 =可得 ≥1，利用 ==≤2，即得结论；（2）通过 =an﹣an+1 累加得 Sn= ﹣an+1，利用数学归纳法可证明 ≥an≥ （n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜an≤ （n∈N*），又∵a2=a1﹣ 又∵an﹣an+1 =，∴ = =2， =，∴an＞an+1，∴ ≥1， ∴==≤2， ∴1≤ ≤2（n∈N*）；（2）由已知，累加，得 Sn= =an﹣an+1 ，=an﹣1﹣an，…， =a1﹣an+1= ﹣an+1， =a1﹣a2， ++…+ 易知当 n=1 时，要证式子显然成立；当 n≥2 时， =．下面证明： ≥an≥ （n≥2）．易知当 n=2 时成立，假设当 n=k 时也成立，则 ak+1=﹣ + ，第 16 页（共 17 页）第 17 页共 17 页由二次函数单调性知：an+1≥﹣ + = ≥，an+1≤﹣ + = ≤，∴≤≤，即当 n=k+1 时仍然成立，故对 n≥2，均有 ≥an≥ ，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．　第 17 页（共 17 页）