2015年安徽高考数学（理科）真题（带答案）下载

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至 第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位。 2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3． 答第II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清 晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描 清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草 稿纸上答题无效。 4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式： 第Ⅰ卷（选择题 共50 分） 一、选择题：本大题共 10个小题；每小题 5分，共 50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一 项是符合题目要求的。 2i （1）设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于 1i （A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 （2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 （A） y  cos x （B） y  sin x （C） y  l n x （D） y  x2 1 （3）设 p：1<x<2，q：2x>1，则 p 是 q 成立的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 4、下列双曲线中，焦点在 y轴上且渐近线方程为 y  2x 的是（ ）y2 x2 y2 x2 （A） x2  1 （B）  y2 1 （C）  x2 1 （D） y2  1 44445、已知 m，n是两条不同直线， ，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A）若 （B）若 ，，垂直于同一平面，则 平行于同一平面，则 与与平行 平行 mnmn第 1 页 共 8 页 （C）若 （D）若 ，，不平行，则在 内不存在与 不可能垂直于同一平面 10 的标准差为 ，则数据 2×1 1 平行的直线 mn不平行，则 m与 n 6、若样本数据 x1 ，x2 ， ，x8，2×2 1 ， ，2×10 1的标准差为 （D）32 （）（A） 8（B）15 （C）16 7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A）1 3 （B） 2  3 （C）1 2 2 （D） 2 2  ，8、 AC 是边长为 2的等边三角形，已知向量 a，b满足 A  2a  AC  2a  b ，则下列结论正确的是（ ） （A） b 1 （B） a  b ax  b （C） a b 1 （D） 4a b  C ）9、函数 f x 的图象如图所示，则下列结论成立的是（   2x  c （A） a  0 （C） a  0 ，，b  0 b  0 ，，c  0 c  0 （B） a  0 （D） a  0 ，，b  0 b  0 ，c  0 c  0 ，10、已知函数 f x Asin x    （A，，均为正的常数）的最小正 2 周期为 ，当 x  时，函数 f x取得最小值，则下列结论正确的是（ ）  3（A） f 2  f 2  f 0    （B） f 0  f 2  f 2    （C） f 2  f 0  f 2 （D） f 2  f 0  f 2        第二卷 二．填空题 111. (x3  )7 的展开式中 x5 的系数是 （用数字填写答案） x312.在极坐标系中，圆   8sin 上的点到直线  (  R)距离的最大值是 13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 n 为 14.已知数列{an}是递增的等比数列， a1  a4  9,a2a3  8，则数列{an}的前 n项和等于 15. 设 x3  ax  b  0，其中 a,b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号） 第 2 页 共 8 页 (1)a  3,b  3 三.解答题 ；(2)a  3,b  2 3 ；(3)a  3,b  2 ；(4)a  0,b  2 ;(5)a 1,b  2 .16.在 ABC 中， A  , AB  6, AC  3 2,点 D 在 BC 边上， AD  BD ，求 AD 的长。 417.已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后 不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果. （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 （2）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时 所需要的检测费用（单位：元），求 X 的分布列和均值（数学期望） （18）（本小题 12 分） 设n N* ， x n 是曲线 y  x2n3 1在点 (1，2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标， （1）求数列{xn}的通项公式； 1（2）记Tn  x12 x22 x22n1 ，证明Tn  .4n 19.如图所示，在多面体 A B D DCBA 中，四边形 AA B B ， ADD A , ABCD 均为正方形， E 为 B D 1 11 1 11111的中点，过 A , D, E 的平面交CD1 于 F 1（1）证明： EF / /B C1 1(2)求二面角 E  A D  B1 余弦值. 1（20）（本小题 13 分） x2 y2 设椭圆 E 的方程为 1 a  b  0 ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 a，0 ，点 B 的坐标为 a2 b2 50，b ，点 M 在线段 AB 上，满足 BM  2 MA ，直线 OM 的斜率为 .10 （I）求 E 的离心率 e； 72（II）设点 C 的坐标为 0，b ，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ，求 E 的方程. 21.设函数 f (x)  x2  ax  b .  （1）讨论函数 f (sin x)在( -, )内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； 2 2   （2）记 f0 (x)  x2  a0x  b0,求函数 f (sin x)  f0 (sin x) 在( -, )上的最大值 D； 2 2 第 3 页 共 8 页 a（3）在（2）中，取 a0  b0  0,求z  b  2 满足D  1时的最大值。 4数学（理科）试题参考答案 一、 选择题 (2)A (1)B (3)A (4)C (5)D (6)C (7)B (8)D (9)C (10)A 二、 填空题 (11)35 (12)6(13)4 (14)2n 1 (15)①③④⑤ 三、解答题 （16）设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是 a,b,c ，由余弦定理得 3 a2  b2  c2  2bccosBAC  (3 2)2  62  23 26cos 18 36  (36)  90 ，4所以 a  3 10 .bsin BAC 310 又由正弦定理得sin B  .a10 3 10 第 4 页 共 8 页 413 10 10 由题设知 0  B  ，所以 cos B  1sin2 B  1 .10 ABsin B sin(  2B) 2sinBcos B cos B 6sin B 3在ABD 中，由正弦定理得 AD   10 .（17） （Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A.得 A21 A1 31 3 6 3出P(A)  .（Ⅱ） X的可能取值为 200,300,400 .依此求出各自的概率 ,,，列出 A2 10 10 10 10 5136分布列，求出期望 EX  200 300 400 350 10 10 10 .试题解析：（Ⅰ）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A . A21 A1 33P(A)  .A2 10 5（Ⅱ） X 的可能取值为 200,300,400 . A22 1P(X  200)  .A2 10 5A3  C21C31A22 33P(X  300)  .A3 10 5136P(X  400) 1 P(X  200)  P(X  300) 1 .10 10 10 故X的分布列为 XP200 300 400 13610 10 10 136EX  200 300 400 350 .10 10 10 （18） （I）解： y （x2n2 1）=（2n+2）x2n1 曲线 y  x2n2 1在点（1,2）处的切线斜率为 2n+2，从而 切线方程为 y  2  (2n  2)(x 1) 1n令 y=0，解得切线与 x 轴交点的和坐标 xn 1 n 1 n 1 （II） 证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知 132n 1 2n 2Tn  x12 x32 x22n1  ( )2 ( )2 ( ) . 24第 5 页 共 8 页 14当当n 1时，T  .12n 1 2n (2n 1)2 (2n 1)2 1 2n  2 n 1 2n  2 时，因为 x2n1  ( )2  ，(2n)2 (2n)2 (2n)2 n11 2 n 1 n1所以Tn  ( )2    .22 3 4n 1综上可得对任意的 n N *，均有Tn  .4n （19） （Ⅰ）证明：由正方形的性质可知 A B/ /AB / /DC ，且 A B AB  DC ，所以四边形 A B CD 为11111 1 平行四边形，从而 B C / /A D ，又 A D  面A DE ，B C  面A DE ，于是 B C / / 面A DE ，又 B C  111111111面B CD1 ，而面 A DE 面B CD1  EF ，所以 EF / /B C .1111（Ⅱ）因为四边形 AA B B ，ADD A ，ABCD 均为正方形，所以 AA  AB, AA  AD, AD  AB ，111111   且AA  AB  AD ，以 A为原点，分别以 AB, AD, AA1 为 x轴， y轴， z 轴单位正向量建立，如图 1所示的空间直角坐标系，可得点的坐标 A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A (0,0,1), B (1,0,1), D (0,1,1) .111而E点为 B D1 的中点，所以 E点的坐标为 (0.5,0.5,1) .1   设 面A DE 的 法 向 量n1  (r , s1,t1) . 而 该 面 上 向 量A E  (0.5,0.5,0), A D  (0,1,1) ， 由 1111   0.5r  0.5s  0 11n1  A E,n1  A D 得r , s1,t1 应满足的方程组 ，(1,1,1) 为其一组解，所以可取 111s1 t1  0     1n1  (1,1,1) .设面 A B CD 的法向量 n2  (r , s2 ,t2 ) ，而该面上向量 A B (1,0,0), A D  (0,1,1) ，12111 由 此 同 理 可 得n2  (0,1,1) . 所 以 结 合 图 形 知 二 面 角E  A D  B 的 余 弦 值 为 1  | n1 n2 | 26  .3| n1 || n2 | （20） 3 2 215b5（ I ） 由 题 设 条 件 知 ， 点 M的 坐 标 为( a, b)， 又kOM ， 从 而 ， 进 而 得 3310 2a 10 c2 5 5a  5b,c  a2 b2  2b，故 e  .axy51（II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线 AB 的方程为 1，点 N的坐标为 (b, b) ，b225b 第 6 页 共 8 页 7设 点 N关 于 直 线AB 的 对 称 点 S的 坐 标 为(x1, )， 则 线 段NS 的 中 点 T的 坐 标 为 25×1 17b  5b  b  42441 b5×17(b  1 , b  ) .又点 T在直线 AB 上，且 kNS kAB  1,从而有 解7 1  b 2 2 4244 5 5b x1  2×2 y2 得b  3，所以b  3 5，故椭圆 E的方程为 1 .45 9（21） 22Ⅰ） f (sin x)  sin2 x  asin x  b  sin x(sin x  a)  b ， x  .22[ f (sin x)]’  (2sin x  a)cos x ， x  .22因为  x  ，所以 cos x  0,2  2sin x  2 .①当 a  2,b R 时，函数 f (sin x) 单调递增，无极值. ②当 a  2,b R 时，函数 f (sin x) 单调递减，无极值.   ③当 2  a  2，在 ( , )内存在唯一的 x0 ，使得 2sin x0  a .2 2 22 x  x0 时，函数 f (sin x) 单调递减； x0  x  时，函数 f (sin x) 单调递增. aa2 因此， 2  a  2 ，b R 时，函数 f (sin x) 在x0 处有极小值 f (sin x0 )  f ( ) b  .2422（Ⅱ）  x  时，| f (sin x)  f0 (sin x) || (a0  a)sin x  b b0 || a  a0 |  | b b0 | ，2当当(a0  a)(b0 b)  0时，取 x  ，等号成立， 2(a0  a)(b0 b)  0时，取 x  ，等号成立，   2 2 由此可知，函数 f (sin x)  f0 (sin x) 在[ , ]上的最大值为 D | a  a0 |  | b b0 | .a2 （Ⅲ） D 1，即| a |  | b |1，此时 0  a2 1,1 b 1，从而 z  b  1 .4第 7 页 共 8 页 a2 取a  0,b 1，则| a |  | b |1，并且 z  b  1 .4a2 由此可知， z  b  满足条件 D 1的最大值为 1. 4第 8 页 共 8 页