2015年安徽高考数学（文科）真题（带答案）下载

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科） 一、选择题 1.设 i 是虚数单位，则复数 1i 1 2i   （A）3+3i （B）-1+3i （3）3+i （D）-1+i 2.设全集U  1，2，3，4，5，6 ，A  1，2 ，B  2，3，4 ，则 A C B  U（A） 1，2，5，6 （B） 1  （C） 2  （D） 1，2，3，4 3.设 p：x<3，q：-1<x<3，则 p 是 q 成立的 （A）充分必要条件 （B）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （C）必要不充分条件 4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 （B） y  x2 1 （A）y=lnx （C）y=sinx （D）y=cosx x  y  0 5.已知 x，y 满足约束条件 x  y  4  0 ，则 z=-2x+y 的最大值是 y 1 （A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1 6.下列双曲线中，渐近线方程为 y  2x 的是 y2 x2 （A） x2  （C） x2  1 1 （B）  y2 1 44y2 x2 （D）  y2 1 227.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 n 为 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 第 1 页 共 7 页 8.直线 3x+4y=b 与圆 x2  y2  2x  2y 1 0相切，则 b 的值是 （A）-2 或 12 （B）2 或-12 （C）-2 或-12 9.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 （D）2 或 12 （A）1 3 （B）1 2 2 （C） 2  3 （D） 2 2 10.函数 f x ax3  bx2  cx  d 的图像如图所示，则下列结论成立的是   （A）a>0，b<0，c>0，d>0 （B）a>0，b<0，c<0，d>0 （C）a<0，b<0，c>0，d>0 （D）a>0，b>0，c>0，d<0 二;填空题 MathType 6.0 Equation MathType 6.0 Equation 51（11） lg  2lg2  ( )1  。22（12）在 ABC 中， AB  6 ，A  75 an  an1 ，B  45 ，则 AC  。1（13）已知数列{an}中， a1 1 ，（n  2 ），则数列{an}的前 9 项和等于 。2（14）在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y  2a 与函数 y | x  a | 1的图像只有一个交点，则 值为 a 的 。（15） ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a、b 满足 AB  2a ，AC  2a  b ，则下列结论 中正确的是 。（写出所有正确结论得编号） ①a为单位向量；② b为单位向量；③ a  b ；④b // BC ；⑤(4a  b)  BC 。第 2 页 共 7 页 三.解答题 16.已知函数 f (x)  (sin x  cos x)2  cos2x （1）求 f (x) 的最小正周期； 2（2）求 f (x) 在区间[0, ]上的最大值和最小值. 17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部 门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 [40,50],[50,60],,[80,90],[90,100] （1）求频率分布图中 a 的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率； （3）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在[40,50] 的概率. 18.已知数列 a是递增的等比数列，且 a1  a4  9,a2a3  8.   n（1）求数列 a的通项公式；   nan1 （2）设 Sn 为数列 a的前 n 项和，bn  ，求数列 b 的前 n 项和Tn 。 n    nSnSn1 19.如图，三棱锥 P-ABC 中，PA (1)求三棱锥 P-ABC 的体积； 平面 ABC， PA  1, AB  1, AC  2,BAC  60o .PM (2)证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 AC BM，并求 的值。 MC 第 3 页 共 7 页 x2 y2 20.设椭圆 E 的方程为  1(a  b  0),点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (a,0) ,点 B 的坐标为 a2 b2 5（0，b）,点 M 在线段 AB 上，满足 BM  2 MA , 直线 OM 的斜率为 （1）求 E 的离心率 e; 。10 (2)设点 C 的坐标为（0，-b）,N 为线段 AC 的中点，证明：MN AB。 ax (x  r)2 21.已知函数 f (x)  (a  0,r  0) （1）求 f (x) 的定义域，并讨论 f (x) 的单调性； a（2）若  400 ，求 f (x) 在(0,) 内的极值。 r第 4 页 共 7 页 数学（文科）试题参考答案 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 (1).C (2).B (3).C (4).D (5).A (6).A (7).B (8).D (9).C (10).A 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 25 分。 1(11).-1 (12).2 (13).27 (14). (15). ①④⑤ 2三.解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题 卡上的指定区域内。 （16）（本小题满分 12 分） 4解：（1）因为 f (x) =sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos2x=1+sin2x+cos2x= 2sin(2x+ )+1, 2 2所以函数 f(x)的最小正周期为 T= =。4（2）由（1）的计算结果知， f (x) =2sin(2x+ )+1. 24 5 4 4 ，当 x 0, 时， 2x  , 5 4 4 由正弦函数 y  sin x 在,上的图像知，   8当 2x+ 当 2x+ ==，即 x  时， f (x) 取最大值 2 +1； 425 2，即 x= 时， f (x) 取最小值 0。 442综上， f (x) 在0, 上的最大值为 2 +1，最小值为 0。 （17）（本小题满分 12 分） 解：（1）因为 (0.004  a  0.018 0.0222  0.028)10 1，所以 a  0.006 （2）由所给频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于 80的频率为 。(0.022  0.018)10  0.4 ，所以该企业职工对该部门评分不低于 80的概率的估计值为 0.4。 （3）受访职工中评分在[50，,60)的有：50×0.006×10=3(人)，记为 A1，A2，A3； 受访职工中评分在[40， 50)的有：50×0.004×10=2(人)，记为 B1，B2。从这 5名受访职工中随机抽 取 2人，所有可能的结果共有 10中，它们是{ A1，A2}，{ A1，A3}，{ A1，B1}，{ A1，B2},{ A2，A3}， { A2，B1}，{ A2，B2},{ A3，B1}，{ A3，B2},{ B1，B2},又因为所抽取 2人的评分都在[40， 50)的结果只 1有 1种，即{ B1，B2}，故所求的概率为 p  （18）（本小题满分 12分） 。10 第 5 页 共 7 页 a 1 a  8 11解：（1）由题设知 a1.a4  a2.a3  8 ，又 a1  a4  9，可解得 或（舍去）。 a4  8 a4 1 由a4  a1q3 得公比 q=2，故 an  a1qn1 ＝2n1 a1(1 qn ) 。an1 sn1  sn snsn1 11（2） Sn   2n 1，又bn  ，所以 1 q snsn1 sn sn1 111111111Tn  b  b2 … bn  ( )  ( ) … ( )  ( ) 1 。1S1 S2 S2 S3 Sn Sn1 S1 Sn1 2n1 1 （19）（本小题满分 13分） （1）解：由题设 AB=1，AC=2， BAC =60°，可得 SABC 13= AB  AC sin 60o  。22由PA  平面 ABC，可知 PA是三棱形 P-ABC的高，又 PA=1，所以三棱形 P-ABC的体积 13V  SABC  PA  。36（2）证：在平面 ABC内，过点 B作 BN AC，垂足为 N。在平面 PAC内，过点 N作 MN 平面 PA 交 PC于点 M，连接 BM。由 PA 平面 ABC知 PA AC，所以 MN AC。由于 BN MN=N，故 AC MBN，又 BM 平面 MBN，所以 AC BM。 13PM AN 13在直角 BAN中，AN=AB （20）（本小题满分 13分） （1）解：由题设条件知，点 M的坐标为 ( a, b)，又 kOM cos BAC= ，从而 NC=AC-AN= 。由 MN PA，得 ＝。22MC NC 215b5，从而 。进 3310 2a 10 c2 5 5而a  5b,c  a2 b2  2b,故e  。a  aba 5b ( , 6 6 （2）证：由 N是 AC的中点知，点 N的坐标为（ , ），可得 NM =)。又 AB =22  NM 151（-a,b），从而有 AB = a2  b2  (5b2  a2 ) 。666  由（1）的计算结果可知 a2=5b2，所以 AB NM =0，故 MN AB。 第 6 页 共 7 页 （21）（本小题满分 13分） 解：（1）由题意知 x  r ，所求的定义域为 (,r) (r,) 。ax ax f (x)  ，(x  r)2 x2  2rx  r2 a(x2  2rx  r2 )  ax(2x  2r) a(r  x)(x  r) f / (x)  ，(x2  2rx  r2 )2 (x  r)4 所以当 x<-r或 x>r时， f / (x) <0，当-r<x<r时， f / (x) >0， 因此， f (x) 的单调递减区间为 (,r) 为（-r,r）。 ，(r,) ； f (x) 的单调递增区间 （2）由（1）的解答可知 f / (r) =0， f (x) 在（0，r）上单调递增，在（r,+ 单调递减。因此，x=r是 f (x) 的极大值点，所以 f (x) 在（0，+ ）内的极大 ）上 ar a400 4值为 f (r)  100 。(2r)2 4r 第 7 页 共 7 页