第 1 页 共 20 页 2015 年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1．（5 分）（2015•北京）复数 i（2﹣i）=（ ） 1﹣2i ﹣1+2i ﹣1﹣2i D． A．1+2i B． C． 2．（5 分）（2015•北京）若 x，y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为（ ） D．2 A．0 B．1 C． 3．（5 分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） （﹣2，2） （﹣4，0） （﹣4，﹣4） （0，﹣8） D． A． B． C． 4．（5 分）（2015•北京）设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的 （ ）21 世纪教育网版权所有 A．充分而不必要条件 C．充分不要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5 分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） 第 1 页 共 20 页 第 2 页 共 20 页 A． B． C． 2+2 D．5 2+ 4+ 6．（5 分）（2015•北京）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A． C． B． D． 若 a1+a2＞0，则 a2+a3＞0 若 a1+a3＜0，则若 a1+a2＜0， 若 a ＜0，则（a ﹣a ）（a ﹣a ）＞0 12123若若 0＜a1＜a2，则 a2 7．（5 分）（2015•北京）如图，函数 f（x）的图象为折线 ACB，则不等式 f（x）≥log2（x+1 ）的解集是（ ）21 教育网 {x|﹣1≤x≤1} {x|﹣1＜x≤0} {x|﹣1＜x≤1} {x|﹣1＜x≤2} D． A． B． C． 8．（5 分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ） A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第 2 页 共 20 页 第 3 页 共 20 页 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 59．（5 分）（2015•北京）在（2+x） 的展开式中，x3 的系数为 （用数字作答 ） 10．（5 分）（2015•北京）已知双曲线 ﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为 x+y=0，则 a= ． 21·世纪*教育网 11．（5 分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρ（cosθ+ sinθ）=6 的距 离为 ．www-2-1-cnjy-com 12．（5 分）（2015•北京）在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则 = ． 13．（5 分）（2015•北京）在△ABC 中，点 M，N 满足 =2 ，=，若 =x +y ，则 x= ，y= ．2-1-c-n-j-y 14．（5 分）（2015•北京）设函数 f（x）= ，①若 a=1，则 f（x）的最小值为 ； ②若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ． 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） 15．（13 分）（2015•北京）已知函数 f（x）= sincos ﹣ sin ．（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值． 16．（13 分）（2015•北京）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（ 单位：天）记录如下： 21*cnjy*com A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组；12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙． （Ⅰ）求甲的康复时间不少于 14 天的概率； （Ⅱ）如果 a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （Ⅲ）当 a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 第 3 页 共 20 页 第 4 页 共 20 页 17．（14 分）（2015•北京）如图，在四棱锥 A﹣EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥ 平面 EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O 为 EF 的中点． （Ⅰ）求证：AO⊥BE． （Ⅱ）求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值； （Ⅲ）若 BE⊥平面 AOC，求 a 的值． 18．（13 分）（2015•北京）已知函数 f（x）=ln ，（Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求证，当 x∈（0，1）时，f（x） ；（Ⅲ）设实数 k 使得 f（x） 对 x∈（0，1）恒成立，求 k 的最大值． 19．（14 分）（2015•北京）已知椭圆 C： +=1（a＞b＞0）的离心率为 ，点P（0， 1）和点 A（m，n）（m≠0）都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m，n 表示）； （Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否 存在点 Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由． 20．（13 分）（2015•北京）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且 an+1 =（n=1，2，…），记集合 M={an|n∈N*}． （Ⅰ）若 a1=6，写出集合 M 的所有元素； （Ⅱ）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明：M 的所有元素都是 3 的倍数； （Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值． 第 4 页 共 20 页 第 5 页 共 20 页 2015 年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1．（5 分）（2015•北京）复数 i（2﹣i）=（ ） 1﹣2i ﹣1+2i ﹣1﹣2i D． A．1+2i B． C． 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数的运算法则解答． 解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i； 解答： 故选：A． 本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意 i2=﹣1． 点评： 2．（5 分）（2015•北京）若 x，y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为（ ） C． D．2 A．0 B．1 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 z=x+2y 对应的直线进行平移，即 可求出 z 取得最大值． 解答： 解：作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部阴影部分，由 解得 A（ ， ），目标函数z=x+2y，将直线 z=x+2y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值 ==故选：C． 第 5 页 共 20 页 第 6 页 共 20 页 点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不 等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 3．（5 分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） （﹣2，2） （﹣4，0） （﹣4，﹣4） （0，﹣8） D． A． B． C． 考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x，y，k 的值，当 k=3 时满足条件 k≥3 ，退出循环，输出（﹣4，0）． 解答：解：模拟执行程序框图，可得 x=1，y=1，k=0 s=0，i=2 x=0，y=2，k=1 第 6 页 共 20 页 第 7 页 共 20 页 不满足条件 k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2 不满足条件 k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3 满足条件 k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）， 故选：B． 点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 x，y，k 的值是解题 的关键，属于基础题． 4．（5 分）（2015•北京）设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的 （ ）2·1·c·n·j·y A．充分而不必要条件 C．充分不要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：m∥β 并得不到 α∥β，根据面面平行的判定定理，只有 α 内的两相交直线都平行于 β， 而 α∥β，并且 m⊂α，显然能得到 m∥β，这样即可找出正确选项． 解答：解：m⊂α，m∥β 得不到 α∥β，因为 α，β 可能相交，只要 m 和 α，β 的交线平行即可 得到 m∥β； α∥β，m⊂α，∴m 和 β 没有公共点，∴m∥β，即 α∥β 能得到 m∥β； ∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件． 故选 B． 点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理 ，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念． 5．（5 分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A． B． C． 2+2 D．5 2+ 4+ 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：根据三视图可判断直观图为：A⊥面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点，EA=2，EA=EB=1 ，OA=1，：BC⊥面 AEO，AC= ，OE= 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积． 解答：解：根据三视图可判断直观图为： OA⊥面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点， 第 7 页 共 20 页 第 8 页 共 20 页 EA=2，EC=EB=1，OA=1， ∴可得 AE⊥BC，BC⊥OA， 运用直线平面的垂直得出：BC⊥面 AEO，AC= ，OE= ∴S△ABC 2×2=2，S△OAC=S△OAB ×1= ==．S△BCO =2× =．故该三棱锥的表面积是 2 故选：C． ，点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观 图，得出几何体的性质． 6．（5 分）（2015•北京）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A． C． B． D． 若 a1+a2＞0，则 a2+a3＞0 若 a1+a3＜0，则若 a1+a2＜0， 若 a ＜0，则（a ﹣a ）（a ﹣a ）＞0 12123若若 0＜a1＜a2，则 a2 考点：等差数列的性质． 专题：计算题；等差数列与等比数列． 分析：对选项分别进行判断，即可得出结论． 解答： 解：若 a1+a2＞0，则 2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0 时，结论成立，即 A 不正确 ；若 a1+a2＜0，则 2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0 时，结论成立，即 B 不正确； {an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2 ，∴a2＞ ，即 C 正确； 若 a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即 D 不正确． 故选：C． 点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础． 7．（5 分）（2015•北京）如图，函数 f（x）的图象为折线 ACB，则不等式 f（x）≥log2（x+1 ）的解集是（ ）21cnjy.com 第 8 页 共 20 页 第 9 页 共 20 页 {x|﹣1≤x≤1} {x|﹣1＜x≤0} {x|﹣1＜x≤1} {x|﹣1＜x≤2} D． A． B． C． 考点：指、对数不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析： 在已知坐标系内作出 y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集． 解答： 解：由已知 f（x）的图象，在此坐标系内作出 y=log2（x+1）的图象，如图 满足不等式 f（x）≥log2（x+1）的 x 范围是﹣1＜x≤1；所以不等式 f（x）≥log2（x+1） 的解集是{x|﹣1＜x≤1}； 故选 C． 点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移． 8．（5 分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ） A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 第 9 页 共 20 页 第 10 页 共 20 页 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 考点：函数的图象与图象变化． 专题：创新题型；函数的性质及应用． 分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各 个选项即可． 解答：解：对于选项 A，消耗 1 升汽油，乙车行驶的距离比 5 小的很多，故 A 错误； 对于选项 B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故 B 错误， 对于选项 C，甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，里程为 80 千米，燃油效率为 10 ，故消耗 8 升汽油，故 C 错误， 对于选项 D，因为在速度低于 80 千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故 D 正确． 点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题． 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9．（5 分）（2015•北京）在（2+x）5 的展开式中，x3 的系数为 40 （用数字作答） 考点：二项式定理的应用． 专题：二项式定理． 分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用 x 的指数为 3，求出 r，然后求解所求数值． 解答： 解：（2+x）5 的展开式的通项公式为：Tr+1 =25﹣rxr， 所求 x3 的系数为： 故答案为：40． =40． 点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力． 10．（5 分）（2015•北京）已知双曲线 ﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为 x+y=0，则 a= ．21·cn·jy·com 考点：双曲线的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 运用双曲线的渐近线方程为 y=± ，结合条件可得 = ，即可得到 a 的值． 解答： 解：双曲线 ﹣y2=1 的渐近线方程为 y=± ， 由题意可得 = ，第 10 页 共 20 页 第 11 页 共 20 页 解得 a= ．故答案为： ．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题． 11．（5 分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρ（cosθ+ sinθ）=6 的距 离为 1 ．【来源：21cnj*y.co*m】 考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出． 解答： 解：点 P（2， ）化为P 直线 ρ（cosθ+ sinθ）=6 化为 ∴点 P 到直线的距离 d= ．．=1． 故答案为：1． 点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题． 12．（5 分）（2015•北京）在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则 = 1 ． 考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理． 专题：计算题；解三角形． 分析：利用余弦定理求出 cosC，cosA，即可得出结论． 解答：解：∵△ABC 中，a=4，b=5，c=6， ∴cosC= ∴sinC= = ，cosA= =，sinA= ，∴==1． 故答案为：1． 点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础． 13．（5 分）（2015•北京）在△ABC 中，点 M，N 满足 =2 ，=，若 =x +y ，则 x= ，y= ﹣ ．www.21-cn-jy.com 第 11 页 共 20 页 第 12 页 共 20 页 考点：平面向量的基本定理及其意义． 专题：平面向量及应用． 分析： 首先利用向量的三角形法则，将所求用向量 表示，然后利用平面向量基本定 理得到 x，y 值． 解答： 解：由已知得到 ===；由平面向量基本定理，得到 x= ，y= 故答案为： ；．点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对 （x，y）使，向量等式成立． 14．（5 分）（2015•北京）设函数 f（x）= ，①若 a=1，则 f（x）的最小值为 ﹣1 ； ②若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ≤a＜1 或 a≥2 ． 考点：函数的零点；分段函数的应用． 专题：创新题型；函数的性质及应用． 分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值； ②分别设 h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出 a 的范围． 解答： 解：①当 a=1 时，f（x）= ，当 x＜1 时，f（x）=2x﹣1 为增函数，f（x）＞﹣1， 当 x＞1 时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣ ）2﹣1， 当 1＜x＜ 时，函数单调递减，当x＞ 时，函数单调递增， 故当 x= 时，f（x）min=f（ ）=﹣1， ②设 h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a） 若在 x＜1 时，h（x）=与 x 轴有一个交点， 所以 a＞0，并且当 x=1 时，h（1）=2﹣a＞0，所以 0＜a＜2， 而函数 g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以 2a≥1，且 a＜1， 所以 ≤a＜1， 若函数 h（x）=2x﹣a 在 x＜1 时，与 x 轴没有交点， 第 12 页 共 20 页 第 13 页 共 20 页 则函数 g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点， 当 a≤0 时，h（x）与 x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去）， 当 h（1）=2﹣a≤时，即 a≥2 时，g（x）的两个交点为 x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述 a 的取值范围是 ≤a＜1，或 a≥2． 点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能 力以及分类能力，属于中档题． 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） 15．（13 分）（2015•北京）已知函数 f（x）= sincos ﹣ sin ．（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值． 考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值． 专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简 f（x），再由正弦喊话说的周期， 即可得到所求； （Ⅱ）由 x 的范围，可得 x+ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小 值． 解答： 解：（Ⅰ）f（x）= sincos ﹣ sin =sinx﹣ （1﹣cosx） =sinxcos +cosxsin ﹣=sin（x+ ）﹣ ，则 f（x）的最小正周期为 2π； （Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得 ﹣≤x+ ≤，即有﹣1 ，则当 x=﹣ 时，sin（x+ ）取得最小值﹣1， 则有 f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣ ．点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运 算能力，属于中档题． 16．（13 分）（2015•北京）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（ 单位：天）记录如下：【来源：21·世纪·教育·网】 第 13 页 共 20 页 第 14 页 共 20 页 A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组；12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙． （Ⅰ）求甲的康复时间不少于 14 天的概率； （Ⅱ）如果 a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （Ⅲ）当 a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析： 设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 个人”，事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人”，由题意可知 P （Ai）=P（Bi）= ，i=1，2，••，7 （Ⅰ）事件等价于“甲是 A 组的第 5 或第 6 或第 7 个人”，由概率公式可得； （Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长 ”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得 P（C） =10P（A4B1），易得答案； （Ⅲ）由方差的公式可得． 解答： 解：设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 个人”，事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人”， 由题意可知 P（Ai）=P（Bi）= ，i=1，2，••，7 （Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 或第 6 或第 7 个人” ∴甲的康复时间不少于 14 天的概率 P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）= ； （Ⅱ）设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”， 则 C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6， ∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（ A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6） =10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）= （Ⅲ）当 a 为 11 或 18 时，A，B 两组病人康复时间的方差相等． 点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题． 17．（14 分）（2015•北京）如图，在四棱锥 A﹣EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥ 平面 EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O 为 EF 的中点． （Ⅰ）求证：AO⊥BE． （Ⅱ）求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值； （Ⅲ）若 BE⊥平面 AOC，求 a 的值． 第 14 页 共 20 页 第 15 页 共 20 页 考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明 AO⊥BE． （Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值； （Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求 a 的值 解答：证明：（Ⅰ）∵△AEF 为等边三角形，O 为 EF 的中点， ∴AO⊥EF， ∵平面 AEF⊥平面 EFCB，AO⊂平面 AEF， ∴AO⊥平面 EFCB ∴AO⊥BE． （Ⅱ）取 BC 的中点 G，连接 OG， ∵EFCB 是等腰梯形， ∴OG⊥EF， 由（Ⅰ）知 AO⊥平面 EFCB， ∵OG⊂平面 EFCB，∴OA⊥OG， 建立如图的空间坐标系， 则 OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°= 则 E（a，0，0），A（0，0， a），B（2， =（﹣a，0， a）， =（a﹣2，﹣ ，，0）， ，0）， 设平面 AEB 的法向量为 =（x，y，z）， 则，即 ，令 z=1，则 x= ，y=﹣1， 即 =（ ，﹣1，1）， 平面 AEF 的法向量为 ，第 15 页 共 20 页 第 16 页 共 20 页 则 cos＜ ＞= =即二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值为 ；（Ⅲ）若 BE⊥平面 AOC， 则 BE⊥OC， 即∵=0， =（a﹣2，﹣ ，0）， =（﹣2， ，0）， ∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0， 解得 a= ． 点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法 是解决空间角的常用方法． 18．（13 分）（2015•北京）已知函数 f（x）=ln （Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求证，当 x∈（0，1）时，f（x） ，；第 16 页 共 20 页 第 17 页 共 20 页 （Ⅲ）设实数 k 使得 f（x） 对 x∈（0，1）恒成立，求 k 的最大值． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题：导数的综合应用． 分析：（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程． （2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立． （3）对 k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数 k 的取值范围． 解答：（1）因为 f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以 解答： 又因为 f（0）=0，所以曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y=2x． （2）证明：令 g（x）=f（x）﹣2（x+ ），则 g’（x）=f’（x）﹣2（1+x2）= ，因为 g’（x）＞0（0＜x＜1），所以 g（x）在区间（0，1）上单调递增． 所以 g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1）， 即当 x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+ ）． （3）由（2）知，当 k≤2 时，f（x）＞ 当 k＞2 时，令 h（x）=f（x）﹣ 对 x∈（0，1）恒成立． ，则 ，h’（x）=f’（x）﹣k（1+x2）= 所以当 减． 时，h’（x）＜0，因此 h（x）在区间（0， 时，h（x）＜h（0）=0，即 f（x）＜ ）上单调递 当．所以当 k＞2 时，f（x）＞ 并非对 x∈（0，1）恒成立． 综上所知，k 的最大值为 2． 点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型， 难度适中． 19．（14 分）（2015•北京）已知椭圆 C： +=1（a＞b＞0）的离心率为 ，点P（0， 1）和点 A（m，n）（m≠0）都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M． 第 17 页 共 20 页 第 18 页 共 20 页 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m，n 表示）； （Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否 存在点 Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （I）根据椭圆的几何性质得出 求解即可． （II）求解得出 M（ ，0），N（ ，0），运用图形得出 tan∠OQM=tan∠ONQ ，=，求解即可得出即 yQ2=xM•xN， +n2，根据 m，m 的关系整体求解． 解答： 解：（Ⅰ）由题意得出 解得：a= ，b=1，c=1 ∴+y2=1， ∵P（0，1）和点 A（m，n），﹣1＜n＜1 ∴PA 的方程为：y﹣1= x，y=0 时，xM= ∴M（ ，0） （II）∵点 B 与点 A 关于 x 轴对称，点 A（m，n）（m≠0） ∴点 B（m，﹣n）（m≠0） ∵直线 PB 交 x 轴于点 N， ∴N（ ，0）， 第 18 页 共 20 页 第 19 页 共 20 页 ∵存在点 Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，yQ）， ∴tan∠OQM=tan∠ONQ， ∴=，即 yQ2=xM•xN， +n2=1 2yQ ==2， ∴yQ= ，故 y 轴上存在点 Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0， ）或Q（0，﹣ ）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方 法求解几何问题，难度较大，属于难题． 20．（13 分）（2015•北京）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且 an+1 =（n=1，2，…），记集合 M={an|n∈N*}． （Ⅰ）若 a1=6，写出集合 M 的所有元素； （Ⅱ）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明：M 的所有元素都是 3 的倍数； （Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值． 考点：数列递推式． 专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （Ⅰ）a1=6，利用 an+1 =可求得集合 M 的所有元素为 6，12， 24； （Ⅱ）因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 ak 是 3 的倍数，由 an+1 =（n=1，2，…），可归纳证明对任意 n≥k，an 是 3 的倍数； （Ⅲ）分 a1 是 3 的倍数与 a1 不是 3 的倍数讨论，即可求得集合 M 的元素个数的最大 值． 第 19 页 共 20 页 第 20 页 共 20 页 解答： 解：（Ⅰ）若 a1=6，由于 an+1 =（n=1，2，…），M={an|n∈N*} ．故集合 M 的所有元素为 6，12，24； （Ⅱ）因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 ak 是 3 的倍数，由 an+1 =（n=1，2，…），可归纳证明对任意 n≥k，an 是 3 的倍数． 如果 k=1，M 的所有元素都是 3 的倍数； 如果 k＞1，因为 ak=2ak﹣1，或 ak=2ak﹣1﹣36，所以 2ak﹣1 是 3 的倍数；于是 ak﹣1 是 3 的倍数； 类似可得，ak﹣2，…，a1 都是 3 的倍数； 从而对任意 n≥1，an 是 3 的倍数； 综上，若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，则集合 M 的所有元素都是 3 的倍数 （Ⅲ）对 a1≤36，an= （n=1，2，…），可归纳证明对任意 n≥k ，an＜36（n=2，3，…） 因为 a1 是正整数，a2= ，所以 a2 是 2 的倍数． 从而当 n≥3 时，an 是 2 的倍数． 如果 a1 是 3 的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数 n，an 是 3 的倍数． 因此当 n≥3 时，an∈{12，24，36}，这时 M 的元素个数不超过 5． 如果 a1 不是 3 的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数 n，an 不是 3 的倍数． 因此当 n≥3 时，an∈{4，8，16，20，28，32}，这时 M 的元素个数不超过 8． 当 a1=1 时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有 8 个元素． 综上可知，集合 M 的元素个数的最大值为 8． 点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算 能力，属于难题． 第 20 页 共 20 页
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