2014年北京高考理科数学试题及答案下载

绝密★启封并使用完毕前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1) 已知集合 A {x | x2  2x  0} (A) {0} (B) {0, 1} (2) 下列函数中，在区间 (0, }上为增函数的是 (A) y  x 1 (B) y=(x 1)2 (C) y  2x ，B {0, 1, 2}，若 A  B  (C) {0, 2} (D) {0, 1, 2} (D) y  log0.5 (x 1) x  1 cos (3) 曲线 ，（ 为参数）的对称中心 y  2  sin 开始 输入 m,n 的 (A) 在直线 y  2x 上(B) 在直线 y  2x 上k  m,S 1 (C) 在直线 y  x 1 上(D) 在直线 y  x 1 上k k1 (4) 当 m  7 ,n  3时，执行如图所示的程序框图，输出的 (B) 42(C) 210(D) 840 s值为 S  Sk (A) 7 kmn1 是否(5) 设{an}是公比为 q 的等比数列，则“ q 1”是“{an}”为递 输出 S 增数列的 (A) 充分且不必要条件 (C) 充分且必要条件 (B) 必要且不充分条件 结束 (D) 既非充分也非必要条件 x  y  2  0 (6) 若 x, y 满足 且k的值是 z  y x的最小值为 4，则 kx  y  2  0 y  0 112(A) 2(B) 2 (C) (D) 2(7) 在空间坐标系 中，已知 ，，，，若 S1 ， A(2,0,0) B(2,2,0) C(0,2,0) D(1,1, 2) O  xyz xOy yOz zOx S2 ，S3 分别表示三棱锥 D  ABC 在，，则坐标平面上的正投影图形 的面积，则 (A) S1 (C) S1 =S2 =S3 (B) S1 = S2 且 S3  S1 =S3 且 S3  S2 (D) S2 = S3 且 S1  S3 (8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若 A 同学每科成绩 不低于 B 同学，且至少有一颗成绩比 B 高，则称 “A 同学比 B 同学成绩好，”现在若 干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数 学成绩也一样的。问满足条件的多少学生 (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D ) 5 第二部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 2i 1 i 1 (9) 复数 _____ ． (10) 已知向量 、 满足 ，、且b  (2,1) a  b  0 ，则|  | _____ ． ab| a |1 ay2 2(11) 在设曲线 C 经过点 (2,2)，且 具有相同渐近线，则 C 的方程是 ． x 1 4{a } {a } 的前 n n(12) 若等差数列 满足 ，a7  a8  a9  0 a7  a10  0 ，则当 n  ______时， n项和最大． (13) 把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻 ，且产品A 与产品 C 不相邻， 则不同的摆法有_____ 种．   6 2 (14) 设函数 （A,, 是常数， A  0,  0 ），若 f (x)在区间[ , ] f (x)  Asin(x ) 22 36上具有单调性，且 f ( ) f ( ) – f ( )，则 f (x)的最小正周期为 ．第 2 页 共 14 页 三、解答题共 6小题，共 80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 (15)（本小题 13 分） 317B  AB  8 cosADC  如图，在 ABC 中， ，，点 D 在 BC 边上，且 CD=2， （Ⅰ）求sin BAD ．A（Ⅱ）求 BD ，AC 的长． BCD第 3 页 共 14 页 (16)（本小题 13 分） 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立） 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5 22 15 12 23 24 12 12 8客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 客场 5 18 13 21 18 25 812 7815 12 20 （Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率； （Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，另 一场不超过 0.6 的概率； （Ⅲ）记 x是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X 为李明在这 E(X ) x的大小。 场比赛中的命中次数，比 和第 4 页 共 14 页 (17)（本小题 14 分） 如图，正方形 AMDE 的边长为 2， B，C 分别为 AM 和 MD 的中点，在五棱锥 P  ABCDE 中， F为PC 分别相较于点G PE 的中点，平面 ABC 与棱 PD ， 、H ． （Ⅰ）求证： AB / /FG ；（Ⅱ）若 PA  平面 ABCDE ，且 A 为垂足，求直线 BC 与平面 ABF 所成的角，并求线段 P 的长 PFGEHDACBM第 5 页 共 14 页 (18)（本小题 13 分） 2已知函数 f (x)  xcos x  sin x ，x[0, ] （Ⅰ）求证： f (x)  0 sin x ；2（Ⅱ）若 在 b (0, )上恒成立，求 a 的最大值与 b的最小值． a  x第 6 页 共 14 页 (19)（本小题 14 分） x2  2y2  4 已知椭圆 C：．（Ⅰ）求椭圆 C的离心率； （Ⅱ）设 O 为原点，若点 A 在椭圆 G 上，点 B 在直线 y  2上，且 OA  OB ，求直线 AB 与圆 x2  y2  2 的位置关系，并证明你的结论． 第 7 页 共 14 页 (20)（本小题 13 分） 对 于 数 对 序 列 ，， 记 (an ,bn ) P(a1,b ) (a ,b ) T (P)  a  b ,， … ， 122111(2  k  n) Tk (P)  bk  max{Tk1(P), a1  a2  ak } ，max{Tk1(P), a1  a2  ak }表示 Tk1(P) 和a1  a2  ak 两个数中最大的 其中 数． （Ⅰ）对于数对序列 ，P(2,5) (4,1) 求T2 (P)； ，T (P) 1，（Ⅱ）记 m 为四个数 a 、 b、c、d的最小值，对于两个数对 (a,b) ， (c,d) 组成的数对序列 P(a,b) T2 (P’) ，(c,d) 和P'(c,d) ，(a,b) ，试分别对 m  a 和m  b 时的情况比较 和T2 (P) 的大小； （Ⅲ）在由 5 个数对 (11,8) (5, 2)(16,11) (11,11) (4,6) 组成的有序数对序列中，写 ，，，，T5 (P) 的值（只需写出结论）。 T (P) 出一个数对序列 P 使 最小，并写出 5第 8 页 共 14 页 绝密★考试结束前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共 8小题，每小题 5分，共 40分） （1）C （5）D （2）A （6）D （3）B （7）D （4）C （8）B 二、填空题（共 6小题，每小题 5分，共 30分） （9） 1（10） 5 x2 y2 （11） 1 y  2x （12）8 312 （13）36 （14） 三、解答题（共 6小题，共 80分） （15）（共 13 分） 解： 14 3 7（I）在 ADC 中，因为COSADC  ，所以sin ADC  。7所以sin BAD  sin(ADC  B)  sinADC cos B  cosADC sin B 4 31 133 3 14    7272（Ⅱ）在 ABD 中，由正弦定理得 3 3 14 4 3 8 ABsin BAD sin ADB BD   3 ，7第 9 页 共 14 页 在ABC 中，由余弦定理得 AC2  AB2  BC2  2AB BC cos B 1 82  52  285 49 2所以 AC  7 （16）（共 13 分） 解： （I） 根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6的场次有 5场，分别 是主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6的概率是 0.5. （Ⅱ）设事件 A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”， 事件 B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”， 事件 C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”。 则 C=AB  AB ，A,B独立。 325根据投篮统计数据， P(A)  , P(B)  .5P(C)  P(AB)  P(AB) 3 3 2 2     5 5 5 5 13 25 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场 13 不超过 0.6的概率为 .25 （Ⅲ） EX  x .第 10 页 共 14 页 （17）（共 14 分） 解： （I） 在正方形中，因为B 是 AM 的中点，所以 AB 又因为 AB  平面 PDE， 所以 AB ∥平面 PDE， ∥ 。 DE 因为 AB 所以 AB 平面 ABF，且平面 ABF  平面 PDF  FG FG ，∥。z（Ⅱ）因为 PA 底面 ABCDE,所以 PA  AB ，PA  AE .P如图建立空间直角坐标系 Axyz ,则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,yGFH, ,, C(2,1,0) P(0,0,2) F(0,1,1) ED BC  (1,1,0) .CxABM设平面 ABF的法向量为 n  (x, y, z) ，则  n AB  0,  x  0, 即y  z  0. n AF  0, 令z 1, ，则 y  1。所以 n  (0,1,1) ，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 a,则   n BC 12sin a  cos n, BC  。 n BC 设点 H 的坐标为 (u,v, w). 。  因为点 H 在棱 PC 上，所以可设 PH  PC(0    1), ，即(u,v, w 2)  (2,1,2).。所以u  2,v  , w  2  2 。 是平面 ABF的法向量，所以 n AB  0，即 (0,1,1)(2,,2  2)  0 因为 n。24 2 2 解得   ，所以点 H的坐标为 ( , , ). 3 3 3 。3第 11 页 共 14 页 424所以 PH  ( )2  ( )2  ( )2  2 333（18）（共 13 分） 解： （I）由 f (x)  xcos x sin x 得f ‘(x)  cos x  xsin x  cos x  xsin x 。22因为在区间 (0, ) 上f ‘(x)  xsin x  0 ，所以 f (x) 在区间 0, 上单调递减。 从而 f (x)  f (0)  0 。sin x sin x （ Ⅱ ） 当x  0 时 ，“ sin x  bx  0 ”。  a ”等 价 于 “ sin x  ax  0”“  b”等 价 于 xx“令当g(x)  sin x  cx ，则 g ‘(x)  cos x  c ，2c  0 时， g(x)  0 对任意 x(0, )恒成立。 22当c  1时，因为对任意 x(0, ) ，g ‘(x)  cos x  c  0 ，所以 g(x) 在区间 0, 2上单调递减。从而 g(x)  g(0)  0 对任意 x(0, )恒成立。 2当0  c  1时，存在唯一的 x0 (0, )使得 g ‘(x0 )  cos x0  c  0 。2g(x) 与g ‘(x) 在区间 (0, )上的情况如下： 2-x(0, x0 ) x0 (x0 , ) +0g ‘(x) ↗↘g(x) 因为 g(x) 在区间 0, x 上是增函数，所以 g(x0 )  g(0)  0。进一步，“g(x)  0 0  对2222任意 x(0, )恒成立”当且仅当 g( )1 c  0 ，即0  c  ，第 12 页 共 14 页 22综上所述，当且仅当 c  时， g(x)  0 对任意 x(0, )恒成立；当且仅当 c  1 时， 2g(x)  0 对任意 x(0, )恒成立。 sin x 22所以，若 a   b 对任意 x(0, )恒成立，则 a 最大值为 ，b 的最小值为 1. x（19）（共 14 分） 解： x2 y2 （I） 由题意，椭圆C 的标准方程为 1 。42所以 a2  4,b2  2，从而 c2  a2 b2  2。因此 a  2,c  2 。c2故椭圆 C 的离心率 e  。a2（Ⅱ）直线 AB与圆 x2  y2  2 相切。证明如下： 设点 A,B的坐标分别为 (x0 , y0 ) ，(t,2)，其中 x0  0 。  2y0 因为OA  OB ，所以OAOB  0 ，即tx0  2y0  0 ，解得t   。x0 t2 当x0  t 时， y0  ，代入椭圆 C的方程，得t  2 ，2故直线 AB的方程为 x  2 。圆心 O到直线 AB的距离 d  2 。此时直线 AB与圆 x2  y2  2 相切。 y0  2 x0 t 当即x0  t 时，直线 AB的方程为 y  2  (y0  2)x  (x0 t)y  2×0 ty0  0 (x t) ，，圆心 0到直线 AB的距离 2×0 ty0 d  (y0  2)2  (x0 t)2 第 13 页 共 14 页 2y0 22又x0  2y0  4 ，t   故x0 22y0 4  x0 2×0  x0 x0 d   2 2424y0 x0 8×0 16 22×0  y0   4 22×0 2×0 此时直线 AB与圆 x2  y2  2 相切。 （20）（共 13 分） 解： （I） T (P)  2  5  7 1T (P) 1 max T (P),2  4 1 max 7,6 =8 11（Ⅱ）T2 (P)  max a  b  d,a  c  d T2 (P’)  max c  d  b,c  a  b .当 m=a 时，T2 (P’) =max c  d  b,c  a  b =c  d  b 因为 c  d  b  c  b  d ，且 a  c  d  c  b  d ，所以T2 (P) 当 m=d 时，T2 (P’)  max c  d  b,c  a  b  c  a  b ≤T2 (P’) 因为 a  b  d ≤c  a  b ，且 a  c  d  c  a  b 所以T2 (P) T2 (P’)都成立。 ≤T2 (P’)。 所以无论 m=a 还是 m=d，T2 (P) ≤（Ⅲ）数对序列 P :（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的T5 (P) 值最小， T (P) =10， T2 (P)=26， T3 (P) =42， T4 (P)=50， T5 (P) =52 1第 14 页 共 14 页