2014年北京高考文科数学试题及答案下载

第 1 页 共 17 页 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文）（北京卷） 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合 A  0,1,2,4 ，B  1,2,3 ，则 A B  （）（A） 0,1,2,3,4 （B） 0,4 （C） 1,2 （D） 3  （2）下列函数中，定义域是 R且为增函数的是（ ）（A） y  ex （B） y  x （C） y  ln x （D） y  x   （3）已知向量 a  2,4 ，b  1,1 ，则 2a b  （）（A） 5,7 （B） 5,9 （C） 3,7 （D） 3,9 （4）执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ）（A） （C） 1（B） （D）15 是实数，则“ a  b ”是“a2  b2 ”的（ 3开始 7k=0，S=0 （5）设 a、b）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 否(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件 k<3 6是（6）已知函数 f x log2 x ，在下列区间中，包含 f x零点的区     输出S 结束 xS=S+2k 间是（ ）(A) 0,1 (B) 1,2 (C) 2,4 (D) 4, k=k+1 22（ 7 ） 已 知 圆 C : x 3  y  4 1和 两 点A m,0 ，B m,0 m  0 ，  若圆 C上存在点 P，使得 APB  90 ，则 （B） m的最大值为（ ）（A） 76（C） 5（D） 4p（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条 0.8 0.7 件下，可食用率 pa与加工时间 t （单位：分钟）满足的函数关系 p  at2  bt  c （、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据 0.5 上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A）3.50分钟 （B）3.75分钟 O534t1第 2 页 共 17 页 （C） 4.00 分钟 （D） 4.25 分钟 第二部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 （9）若 x  i i 1 2i x R ，则 x  .（10）设双曲线 C的两个焦点为  2,0 ，2,0 ，一个顶点式 1,0 ，则 C的方程为 .（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .1（12）在 ABC 中， a 1 ，b  2 ，cosC  ，则 c  ；42sin A  .y 1 12侧（左）视图 正（主）视图 （13）若 x、y满足 x  y 1 0 ，则 z  3x  y 的最小值为 .11x  y 1 0 （14）顾客请一位工艺师把 A、B两件玉石原料各制成一件工艺品， 俯视图 工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工， 再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间 （单位：工作日）如下： 工序 时间 粗加工 精加工 原料 原料 原料 AB9615 21 则最短交货期为 工作日. 三、解答题共 6小题，共 80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 （15）（本小题 13 分） 已知 a是等差数列，满足 a1  3 ，a4 12，数列 b满足b  4 ，b4  20 ， 且 b  a 为    n nn1n等比数列. （Ⅰ）求数列 a和b的通项公式；    nn（Ⅱ）求数列 b的前 n项和.   n2第 3 页 共 17 页 （16）（本小题 13 分） y6函数 f x 3sin 2x    的部分图象如图所示. y0（Ⅰ）写出 f x的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值；   212 （Ⅱ）求 f x在区间  , 上的最大值和最小值.   xxO0（17）（本小题 14 分） 3第 4 页 共 17 页 E如 图 ， 在 三 棱 柱ABC  A B C1 中 ， 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， 11A1 C1 B1 AB  BC ，AA  AC  2 ，1EF、 分别为AC1 、 BC 的中点. 1（Ⅰ）求证：平面 ABE  平面 B BCC1 ；1（Ⅱ）求证：C1F// 平面 ABE ；ACF（Ⅲ）求三棱锥 E  ABC 的体积. B（18）（本小题 14 分） 4第 5 页 共 17 页 从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据 分组及频数分布表和频率分布直方图： 组号 分组 频数 6频数 组距 0，2 1234567892，4 4，6 6，8 8b17 22 25 12 6a8，10 10，12 12，14 14，16 2O 2 46 810 1214 16 18 阅读时间 16，18 2合计 100 （Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的 a，b的值； （Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100名学生该周课外阅读 时间的平均数在第几组（只需写出结论） （19）（本小题 14 分） 已知椭圆 C： x2  2y2  4 .5第 6 页 共 17 页 （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； （Ⅱ）设 O 为原点，若点 A 在直线 y  2 ，点 B 在椭圆 C 上，且OA  OB ，求线段 AB 长度的最小值. （20）（本小题 13 分）已知函数 f (x)  2×3 3x .6第 7 页 共 17 页 （Ⅰ）求 f (x) 在区间[2,1]上的最大值； （Ⅱ）若过点 P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y  f (x) 相切，求 t 的取值范围； （Ⅲ）问过点 A(1,2), B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y  f (x) 相切？（只需写出结论） 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 7第 8 页 共 17 页 数 学（文）（北京卷）答案及解析 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合 A  0,1,2,4 ，B  1,2,3 ，则 A B  （）（A） 0,1,2,3,4 （B） 0,4 （C） 1,2 （D） 3  【答案】C 【解析】因为 A  B  {1,2}，所以选 C. 【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键. （2）下列函数中，定义域是 （A） y  ex 【答案】B R且为增函数的是（ ）（B） y  x （C） y  ln x （D） y  x 【解析】对于选项 A，在 R 上是减函数；选项 C 的定义域为 (0,) ；选项 D，在 (,0) 上是减函数， 故选 B. 【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.   （3）已知向量 a  2,4 ，b  1,1 ，则 2a b  （）（A） 5,7 （B） 5,9 （C） 3,7 （D） 3,9 【答案】A 【解析】因为 2a  (4,8) ，所以 2a  b  (4,8)  (1,1)  (5,7) ，故选 A. 【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题 开始 （4）执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ）k=0，S=0 （A） （C） 17（B） 3（D）15 否【答案】C 【解析】当 k=0 时， S  1；当 k=1 时， S  1 2  3 k<3 ；是输出S 结束 当 k=2 时， S  3  4  7 ；当 k=3 时，输出 S  7 ，故选 C. S=S+2k 【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高 考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键. k=k+1 （5）设 a、b是实数，则“ a  b ”是“a2  b2 ”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件 (B) 必要而不必要条件 (D) 既不充分不必要条件 8第 9 页 共 17 页 【答案】D 【解析】若 a  0,b  2 ，则 a2  b2 ，故不充分； a  2,b  0 ，则 a2  b2 ，而 a  b，故不必要，故选 D. 若【考点】本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. 6（6）已知函数 f x log2 x ，在下列区间中，包含 f x零点的区间是（ ）(A)     x0,1 (B) 1,2 (C) 2,4 (D) 4, 【答案】C 3【解析】因为 f (2)  4 1  0, f (4)  2  0，所以由根的存在性定理可知，选 C. 2【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关 键. 22（7）已知圆C : x 3  y  4 1和两点 A m,0 ，B m,0 m  0    ，若圆 C上存在点 P，使得 APB  90 ，则 m的最大值为（ ）（A） 【答案】B 7（B） （C） 65（D） 4【解析】由题意知，点 P 在以原点(0,0)为圆心，以 m 为半径的圆上，又因为点 P 在已知圆上，所以只要 两个圆有交点即可，所以 m 1  5 ，故选 B. 【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 （单位：分钟）满足的函数关系 p  at2  bt  c 验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ p与加工 时间 t（a、b、 是常数），如图记录了三次实 c）（A）3.50分钟 （C） 4.00 分钟 （B）3.75分钟 （D） 4.25 分钟 【答案】B p【 解 析 】 由 图 形 可 知 ， 三 点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5) 都 在 函 数 p  at2  bt  c 的图象上， 0.8 0.7 0.5 9a  3b  c  0.7 所以 16a  4b  c  0.8，解得 a  0.2,b  1.5,c  2 .25a  5b  c  0.5 O534t15 所以 p  0.2t2 1.5t  2  0.2(t  )2  ，当t  16 13 15 4=3.75时，p 取最大值，故选 B. 49第 10 页 共 17 页 【考点】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识， 考查同学们分析问题与解决问题的能力. 第二部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 （9）若 x  i i 1 2i x R ，则 x  .【答案】2 【解析】由题意知： xi 1  1 2i ，所以由复数相等的定义知 x  2 【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟 练复数的基础知识是解答好本类题目的关键. （10）设双曲线 C的两个焦点为  2,0 ，2,0 ，一个顶点式 1,0 ，则 C的方程为 .【答案】 x2  y2  1 【解析】由题意知： c  2,a  1，所以b2  c2  a2  1，又因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以 C 的 方程为 x2  y2  1 【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、 a,b,c 的关系式，考查分析问题与解决问题的能力. .（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 【答案】 2 2 .【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为 2 的等边三角形，棱锥 的高为 2，所以最长的棱长为 22  22  2 2 .【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象 2能力，考查分析问题与解决问题的能力. 1（12）在 ABC 中， a 1 ，b  2 ，cosC  ，则 c  ；124侧（左）视图 正（主）视图 11sin A  .15 8【答案】2， 俯视图 1【解析】由余弦定理得： c2  a2  b2  2abcosC  5  2 2 4，故 c  2 ；因为 44  4 1 2 2 2 7815 8cos A  ，所以sin A  .【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低 档题目. 10 第 11 页 共 17 页 y 1 （13）若 x、y满足 x  y 1 0 ，则 z  3x  y 的最小值为 .x  y 1 0 【答案】1 【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线 z  3x  y 可得，当直线经过 两条直线 y  1 x  y 1  0 的交点(0,1)时，z 取得最小值 1. 与【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类 问题的关键. （14）顾客请一位工艺师把 A B 、 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务， 每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客， 两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 粗加工 精加工 原料 原料 原料 AB9615 21 则最短交货期为 【答案】42 工作日. 【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为 6 15  21  42 天. 【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑思维能力，考查分析问题与解决问题的能力. 三、解答题共 6小题，共 80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 （15）（本小题 13 分） 已知 a是等差数列，满足 a1  3 ，a4 12，数列 b满足b  4 ，b4  20 ， 且 b  a 为    n nn1n等比数列. （Ⅰ）求数列 a和b的通项公式；    nn（Ⅱ）求数列 b的前 n项和.   n（15）（共 13 分） 解：（Ⅰ） 设等差数列 a4  a1 12  3 a  n的公差为 ，由题意得 d  d 3 33所以 a  a  n 1 d  3n n1，2， ．n1设等比数列 b  a 的公比为 n q ， n11 第 12 页 共 17 页 b4  a4 20 12 4  3 由题意得 q3   8 ，解得 q  2 ． b  a1 1所以b  a  b  a qn1  2n1 1  ．nn1从而bn  3n  2n1 n 1，2， （Ⅱ）由⑴知bn  3n  2n1 n 1，2， ．1 2n 1 2 3数列 3n 的前 n项和为 n n1 ，数列 2n1 的前 n项和为1×  2n 1 ．23所以，数列 b的前 n项和为 n n1  2n 1 ．  n2（16）（本小题 13 分） y6函数 f x 3sin 2x  的部分图象如图所示.   y0（Ⅰ）写出 f x的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值；   212 （Ⅱ）求 f x在区间  , 上的最大值和最小值.   xxO0（16）（共 13 分） 解：（Ⅰ） f x的最小正周期为 π  7π x0  ．6y0  3 πππ5π （Ⅱ） 因为x ， ，所以 2x   ，0 ．212 66ππ于是当 2x  0 ，即 x  时， f x取得最大值 0；   612 πππ当2x   ，即 x  时， f x取得最小值 3   ．623（17）（本小题 14 分） E如 图 ， 在 三 棱 柱ABC  A B C1 中 ， 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， 11A1 C1 B1 AB  BC ，AA  AC  2 ，1EF、 分别为AC1 、 BC 的中点. 1（Ⅰ）求证：平面 ABE  平面 B BCC1 ；1（Ⅱ）求证：C1F// 平面 ABE ；ACFB12 第 13 页 共 17 页 （Ⅲ）求三棱锥 E  ABC 的体积. （17）（共 14 分） 解：（Ⅰ）在三棱柱 ABC  A B C1 中， BB  底面 ABC ．111所以 BB  AB ．1又因为 AB  BC ．所以 AB  平面 B BCC1 ．1所以平面 ABE  平面 B BCC1 ．1（Ⅱ）取 AB 中点 因为 G，连结 EG ，FG ．EC1 E，F分别是 AC1 ， BC 的中点， A1 1B1 1所以 FG∥ AC ，且 FG  AC ．，2因为 AC ∥ AC1 ，且 AC  AC1 11所以 FG∥EC1 ，且 FG  EC1 ．ACGF所以四边形 FGEC1 为平行四边形． B所以C1F ∥EG ．又因为 EG  平面 ABE 所以C1F ∥平面 ABE C1F  平面 ABE ， ， ．（Ⅲ）因为 AA  AC  2 BC 1 AB  BC ， ，， 1所以 AB  AC2  BC2  3 所以三棱锥 E  ABC 的体积 ．113123V  S△ABC  AA   3 1 2  ．133（18）（本小题 14 分） 从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据 分组及频数分布表和频率分布直方图： 13 第 14 页 共 17 页 组号 分组 频数 6频数 组距 b0，2 1234567892，4 4，6 6，8 817 22 25 12 6a8，10 10，12 12，14 14，16 2O 2 46 810 1214 16 18 阅读时间 16，18 2合计 100 （Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的 a，b的值； （Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100名学生该周课外阅读 时间的平均数在第几组（只需写出结论） （18）（共 13 分） 解：（Ⅰ）根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6  2  2 10 名，所 以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 10 1  0.9 ．100 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9 （Ⅱ）课外阅读时间落在组[4，6) 的有 17 人，频率为 0.17 ，所以 ．频率 0.17 a   0.085 ．组距 2课外阅读时间落在组[8，10) 的有 25 人，频率为 0.25 ，频率 0.25 所以b   0.125 ．组距 2（Ⅲ）样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组． （19）（本小题 14 分） 已知椭圆 C： x2  2y2  4 （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； .（Ⅱ）设 O 为原点，若点 A 在直线 y  2 ，点 B 在椭圆 C 上，且OA  OB ，求线段 AB 长度的最小值. （19）（共 14 分） 14 第 15 页 共 17 页 x2 y2 解：（Ⅰ）由题意，椭圆 所以 a2  4 C的标准方程为 1 ．42．，b2  2 ，从而 c2  a2  b2  2 c22因此 a  2 （Ⅱ）设点 ，c  2 ．故椭圆 C的离心率 e  ．aA，B的坐标分别为 t ，2 ，x ，y ，其中 x0 ≠0  0  ．0因为OA  OB ，  所以OAOB  0 ，2y0 即tx0  2y0  0 ，解得t   ．x0 又x02  2y02  4 ，所以 22AB 2  x  t  y  2 002 2y 20   x   y  2 00×0 4y02 x02  x02  y02   4 2 4 x2 0  4  x02 2 x02   4 x02 x02 8×02  4 0 x2 ≤ 4 ．02×02 8×02 因为 ≥ 4 0 x2 ≤ 4 ，且当 x02  4 时等号成立，所以 AB 2 ≥8 ．02故线段 AB 长度的最小值为 2 2 ．（20）（本小题 13 分）已知函数 f (x)  2×3 3x （Ⅰ）求 f (x) 在区间[2,1]上的最大值； .（Ⅱ）若过点 P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y  f (x) 相切，求 t 的取值范围； （Ⅲ）问过点 A(1,2), B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y  f (x) 相切？（只需写出结论） （20）（共 13 分） 解：（Ⅰ） 由 f x 2×3  3x 得fx  6×2  3 .    22令fx  0 ，得 x     或x  .2222因为 f 2  10 ，f   2 ，f 2 ，f 1  1   2215 第 16 页 共 17 页 2所以 f x在区间 2，1 上的最大值为 f   2 .  2（Ⅱ） 设过点P 1，t 的直线与曲线 y  f x相切于点 x ，y ，  0  0则y0  2×03  3×0 ，且切线斜率为 k  6×02  3， 所以切线方程为 y  y  6×2  3 x  x ，0  00因此t  y  6×2  3 1 x .0  00整理得 4×03  6×02  t  3  0 .设g x  4×3  6×2  t  3，   则“过点 P 1，t 存在 3条直线与曲线 y  f x相切”等价于“ g x 有 3个不同零点”.     2g x12x 12x 12x x1 .  g x   与g x的情况如下：   (， (0，1) (1， x01g (x) 00↗g(x) t  3 t 1 ↘↗所以， g(0)  t  3 是 g(x) 的极大值， g(1)  t 1是 g(x) 的极小值． 当g(0)  t  3≤ 0 ，即 t ≤ 3时，此时 g(x) 在区间 ，1 和(1， ) 上分别至多有 1个零点， 所以 g(x) 至多有 2个零点． 当g(1)  t 1≥ 0，即 t ≥ 1时，此时 g(x) 在区间 (，0) 和0， 上分别至多有 1个零点， 所以 g(x) 至多有 2个零点． 当g 0  0   且g 1  0 ，即 3  t  1时，因为 g 1  t  7  0，g 2  t 11 0 ，所以 g x 分     别在区间 1，0 ，0，1 和1，2 上恰有 1个零点.由于 g x 在区间 ，0 和 1， 上单调，所以   g x 分别在区间 ，0 和1， 上恰有 1个零点.   综上可知，当过点 P 1，t 存在 3条直线与曲线 y  f x相切时，   t的取值范围是 3，1 .（Ⅲ） 过点A 1，2 存在 32条直线与曲线 y  f x相切；   过点 B 2，10 存在 条直线与曲线 y  f x相切；   过点C 0，2 存在 1条直线与曲线 y  f x相切.：   16 第 17 页 共 17 页 17