第 1 页 共 15 页 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的 空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1． 函数y 1 2cos2 (2x)的最小正周期是 . 12. 若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则 (z ) z =___________. zx2 y2 3. 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 95___________. x, x(,a), x2 , x[a,], 4. 设 f (x) 若f (2) 4 ，则 a 的取值范围为_____________. 5. 若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2 2y2 的最小值为______________. +6. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 值表示）. （结果用反三角函数 7. 已知曲线 C 的极坐标方程为 p(3cos 4sin) 1，则 C 与极轴的交点到极点的距离 是.8. 设无穷等比数列{ an }的公比为 q，若 a1 lim(a3 a4 )，则 q= .n 第 1 页 共 15 页 第 2 页 共 15 页 219. 若 f (x) x3 x2 ，则满足 f (x) 0 的x取值范围是 .10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率 是（结构用最简分数表示）. 11. 已知互异的复数 a,b 满足 ab≠0，集合{a,b}={ a2 ,b2 },则 a b =.12. 设常数 a 使方程 sin x 3 cos x a 在闭区间[0,2 x x2 x3 ]上恰有三个解 x , x2 , x3 ，则 1.113. 某游戏的得分为 1,2,3,4,5，随机变量 分的概率至少为 表示小白玩游戏的得分.若 () =4.2，则小白得 5 .14. 已知曲线 C： x 4 y2 ，直线 l：x=6.若对于点 A（m，0）,存在 C 上的点 P 和 l 上 的点 Q 使得 AP AQ 0，则 m 的取值范围为 .二、选择题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 15. 设 a,b R ,则“ a b 4 ”是“ a 2,且b 2 ”的（ ）（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 16. 如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， Pi (i 1,2,…) 是上 底面上其余的八个点，则 AB AP(i 1,2…) 的不同值的个数为（ ）i（A）1 (B)2 (C)4 (D)8 17. 已知 P (a1,b ) 与P (a2 ,b2 )是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 112第 2 页 共 15 页 第 3 页 共 15 页 a x b y 1 11的方程组 的解的情况是（ ）a2 x b2 y 1 （A）无论 k， P, P2 如何，总是无解 （B)无论 k， P, P2 如何，总有唯一解 11（C）存在 k， P, P2 ，使之恰有两解 （D）存在 k， P, P2 ，使之有无穷多解 112(x a) ,x 0, 18. f (x) 若f (0) 是f (x) 的最小值，则 a的取值范围为（ ）. 1x a, x 0, x(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2] 三．解答题（本大题共 5 题，满分 74 分） 19、（本题满分 12 分） 底面边长为 2 的正三棱锥 P ABC ,其表面学科网展开图是三角形 p1 p2 p3 ，如图，求△ p1 p2 p3 的各边长及此三棱锥的体积 V . zxxk 20.（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 1 分。 2x a 设常数 a 0 ，函数 f (x) 2x a （1）若 a=4，求函数 y f (x) 的反函数 y f 1(x) （2）根据 的不同取值，讨论函数y f (x) 的奇偶性，并说明理由. 21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 为顶端， ；a如图，某公司要在 A、B 两地连线上的定点 AC 长 35 米， CB长 80 米，设 A、B 在同一水平面上，从 和 （1）设计中CD 是铅垂方向，若要求 zxxk 2 ，问CD 的长至多为多少（结果精 C 处建造广告牌 CD ，其中 D A和B看D的仰角分别为 .确到 0.01 米）？ （2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在学科网实测得 38.12， 18.45， CD 的长（结果精确到 0.01 米）？ 求第 3 页 共 15 页 第 4 页 共 15 页 22（本题满分 16 分）本题共 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题 满分 8 分. 在平面直角坐标系 xoy 中，对于直线 l：ax by c 0 和点 P(x1, y1), P (x2 , y2 ), 记i2 （ax1 by1 c)(ax2 by2 c). 若<0，则称点 P, P2 被直线 l分隔。若曲线 C 与直线 1l没有公共点，且曲线 C 上存在点 P，P2 被直线 l分隔，则称直线 l为曲线 C 的一条分隔线. 1⑴ 求证：点 A（1,2），B（1，0）被直线 x y 1 0 分隔； ⑵若直线 y kx 是曲线 x2 4y2 1的分隔线，求实数 的取值范围； ⑶动点 M 到点Q（0,2）的距离与到 轴的距离之积为1，设点 M 的轨迹为 E，求证：通过 ky原点的直线中，有且仅有一条直线是 E 的分割线. 23.（本题满分 18 分）本题共 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 9 分. 1已知数列{an}满足 an an1 3an ,n N*,a1 1 .3（1）若 a2 2,a3 x,a4 9，求 x的取值范围； （2）若 {an} 是公比为q等比数列，Sn a1 a2 an ，zxxk 1Sn Sn1 3Sn ,n N*, 求q的取值范围； 3（3）若 a1,a2 ,,ak 成等差数列，且 a1 a2 ak 1000 ，学科网求正整数 k的最 大值，以及 k取最大值时相应数列 a1,a2 ,,ak 的公差. 第 4 页 共 15 页 第 5 页 共 15 页 上海数学（理）参考答案 一、 213131. 2. 63. x 2 4. (,2] 5. 2 2 6. arccos 7. 8. 5 1 217 39. (0,1) 10. 11.-1 12. 13. 0.2 14. [2,3] 15 二、 15.B 16.A 17.B 18.D 19.解：∵由题得，三棱锥 P ABC 是正三棱锥 ∴侧棱与底边所成角相同且底面 ABC 是边长为 2 的正三角形 3∴由题得， ABC BCA CAB ，PBA P AB P BC PCB P AC PCA 112233又∵ A, B,C 三点恰好在 P, P , P3 构成的 PP P3 的三条边上 121 2 3∴PBA P AB P BC PCB P AC PCA 112233∴∴P A PB P B PC PC P A 2 112233PP PP P P 4 ，三棱锥 P ABC 是边长为 2 的正四面体 12132 3 ∴如右图所示作图，设顶点 P在底面 ABC 内的投影为 O ，连接 BO ，并延长交 AC 于D∴D 为 AC 中点，O 为ABC 的重心， PO 底面 ABC 22 3 32 6 31 1 3 2 62 2 ∴BO BD ，PO ，V 22 33 2 82x 4 2332x 4 2x 4 20.解：（1）由题得， f (x) 1 (,1) (1,) x 1 x 1 ∴f 1(x) 2 log2 ，x(,1) (1,) 2x a （2）∵ f (x) 且a 0 2x a ∴①当 a 0 时， f (x) 1, x R ，∴对任意的 x R 都有 f (x) f (x) ，∴ y f (x) 为偶函数 2x 1 2x 1 2x 1 1 2x ②当 a 1时， f (x) ∴对任意的 x 0 , x 0 ，f (x) ，2x 1 1 2x 且x R 都有 f (x) f (x) ，∴ y f (x) 为奇函数 ③当 a 0 且a 1时，定义域为 x x log a, x R} ，2∴定义域不关于原定对称，∴ y f (x) 为非奇非偶函数 第 5 页 共 15 页 第 6 页 共 15 页 221.解：（1）由题得，∵ 2 ，且 0 2 ，tan tan 2 CD CD 40 即，解得， CD 20 2，∴ CD 28.28 米CD 2 35 1 6400 （2）由题得， ADC 180 38.12 18.45 123.43 ，AD sin123.43 sin18.45 CD 2 352 AD 2 235 AD cos38.12 ，∴ CD 26.93 3580 ∵∵，∴ AD 43.61 米米22.证明：（1）由题得， 2(2) 0 ，∴ A(1,2), B(1,0) 被直线 x y 1 0 分隔。 解：（2）由题得，直线 y kx 与曲线 x2 4y2 1无交点 22x 4y 1 y kx 即 (1 4k2 )x2 1 0无解 1 4k2 0 4(1 4k2 ) 0 11∴1 4k2 0 或，∴ k (, ][ ,) 2 2 证明：（理科）（3）由题得，设 M (x, y) ，∴ x2 (y 2)2 x 1 ，1化简得，点 M的轨迹方程为 E : x2 (y 2)2 , x 0 。x2 ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为 y kx 。1×2 x2 (y 2)2 y kx 1×2 联立方程， (k2 1)x2 4kx 4 。1×2 令F(x) (k2 1)x2 4kx 4 ，G(x) ，显然 y F(x)是开口朝上的二次函数 ∴由二次函数与幂函数的图像可得， F(x) G(x) 必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为 x 0 。1显然 x 0 与曲线 E : x2 (y 2)2 , x 0 没有交点，在曲线 E上找两点 (1,2),(1,2) 。x2 ∴ 11 0，符合题意 综上所述，仅存在一条直线 x 0 是E 的分割线。 证明：（文科）（3）由题得，设 M (x, y) ，∴ x2 (y 2)2 x 1 ，1化简得，点 M的轨迹方程为 E : x2 (y 2)2 , x 0 。x2 1显然 x 0 与曲线 E : x2 (y 2)2 , x 0 没有交点，在曲线 E上找两点 (1,2),(1,2) 。x2 ∴ 11 0，符合题意。∴ x 0 是 E 的分割线。 第 6 页 共 15 页 第 7 页 共 15 页 23x x 6 23.解：（1）由题得， x[3,6] 9 3x 31（理科）（2）由题得，∵ an an1 3an ，且数列{an}是等比数列， a1 1 ，31qn1(q ) 0 131∴qn1 qn 3qn1 ，∴ ，∴ q[ ,3] 。33n1 q (q 3) 0 1n又∵ Sn Sn1 3Sn ，∴当 q 1时， n 1 3n 对n N 恒成立，满足题意。 331 1 qn 1 qn1 1 qn 1 q 当q 1时， 3 3 1 q 1 q n1q (q 3) 2 qn (3q 1) 2 q (q 3) 2 q1(3q 1) 2 11∴①当 q[ ,1)时， ，由单调性可得， ，解得， q[ ,1) 33n1q (q 3) 2 qn (3q 1) 2 q (q 3) 2 q1(3q 1) 2 ②当 q(1,3] 时， ，由单调性可得， ，解得， q(1,2] 1（理科）（3）由题得，∵ an an1 3an ，且数列 a1,a2 ,ak 成等差数列， a1 1 ，3d(2n 1) 2 d(2n 3) 2 132∴[1 (n 1)d] 1 nd 3[1 (n 1)d]，∴ ，∴ d [ ,2] 2k 1 dddd又∵ a1 a2 ak 1000 ，∴ Sk k2 (a1 )k k2 (1 )k 1000 22222000 2k k2 k 2000 2k k2 k 2∴d ，∴ [ ,2] ，解得， k [32,1999] ，k N 2k 1 1∴k的最大值为 1999，此时公差为 d 1999 第 7 页 共 15 页 第 8 页 共 15 页 2014 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理工农医类) 考生注意： 1. 本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写 （非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对 后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1. （2014）函数 y 1 2cos2 (2x)的最小正周期是 .2 42【解析】：原式＝ cos4x ，T 12. （2014）若复数 z 1 2i ，其中 i是虚数单位，则 z z .z【解析】：原式＝ z z 1 z 2 1 51 6 y2 2px x2 y2 1 3. （2014）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准 95线方程为 .【解析】：椭圆右焦点为 (2,0) ，即抛物线焦点，所以准线方程 x 2 x, x( , a), x2 , x[a , ). 4. （2014）设 若，则 a的取值范围为 .f (x) f (2) 4 【解析】：根据题意， 2[a,) ，∴ a 2 x2 2y2 5. （2014）若实数 x , y 满足 ，则 的最小值为 .xy 1 【解析】： x2 2y2 2 x 2y 2 2 6. （ 2014 ） 若 圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 （结果用反三角函数值表示）. 3倍 ， 则 其 母 线 与 底 面 夹 角 的 大 小 为 【解析】：设圆锥母线长为 R，底面圆半径为 r，∵ S侧 3S底 ，∴ r R 3 r2 ，即 11R 3r ，∴ cos ，即母线与底面夹角大小为 arccos 337. （2014）已知曲线 C的极坐标方程为 ，则 C与极轴的交点到极点 (3cos 4sin ) 1 的距离是 .第 8 页 共 15 页 第 9 页 共 15 页 113【解析】：曲线 C的直角坐标方程为3x 4y 1，与 x轴的交点为 ( ,0)，到原点距离为 38. （2014）设无穷等比数列 a n的公比为 q，若 a lim a a a ，则 q n .134n a3 a1q2 1 5 5 1 2【解析】： a1 q2 q 1 0 q ，∵ 0 q 1，∴ q 1 q 1 q 229. （2014）若 f (x) x3 x12 ，则满足 的x的取值范围是 .f (x) 0 2【解析】： f (x) 0 x3 x12 ，结合幂函数图像，如下图，可得 x的取值范围是 (0,1) 10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择 3天进行紧急疏散演 练，则 选择的 38天恰好为连续 3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 1【解析】： P C130 15 11. （2014）已知互异的复数 满足 ab 0 ，集合 a , b a2 , b2 ，则 a b .a , b 【解析】：第一种情况： a a2 ,b b2 ，∵ ab 0 ，∴ a b 1，与已知条件矛盾，不符； 第二种情况： a b2 ,b a2 ，∴ a a4 a3 1，∴ a2 a 1 0 ，即 a b 1 ；x , x , x 12. （2014）设常数 a使方程sin x 3cos x a在闭区间 上恰有三个解 ，[0 , 2 ] 123x x x 则.1233【解析】：化简得 2sin(x ) a ，根据下图，当且仅当 a 3 时，恰有三个交点， 37 3即x1 x2 x3 0 2 13. （2014）某游戏的得分为 ，随机变量 表示小白玩该游戏的得分. 若 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ，则小白得 5分的概率至少为 .E( ) 4.2 第 9 页 共 15 页 第 10 页 共 15 页 【解析】：设得 i分的概率为 pi ，∴ p1 2p2 3p3 4p4 5p5 4.2 ，且p1 p2 p3 p4 p5 1，∴ 4p1 4p2 4p3 4p4 4p5 4 ，与前式相减得： 3p1 2p2 p3 p5 0.2 ，∵ pi 0 ，∴ 3p1 2p2 p3 p5 p5 ，即 p5 0.2 14. （2014）已知曲线 C : x 4 y2 ，直线 l : x 6. 若对于点 ，存在 C上的 A(m , 0) 点P和l上的 使得AP AQ 0，则 m的取值范围为 .QxP xQ xP 6 【解析】：根据题意， A是PQ 中点，即 m ，∵ 2 xP 0，∴ m[2,3] 22二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 15. （2014）设 a , bR ，则“ a b 4 ”是“ a 2 且b 2 ”的 （）(A) 充分条件. (C) 充分必要条件. 【解析】：B (B) 必要条件. (D) 既非充分又非必要条件. 16. （2014 ）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四 PPP528P (i 1, 2 ,, 8) 棱柱， AB 是一条侧棱， 是上底 iPPP471 面上其余的八个点，则 AB AP (i 1, 2, , 8) 的PPi63BA不同值的个数为 （）(A) (C) 1.(B) (D) 28..4. 在i【解析】：根据向量数量积的几何意义， AB APi 等于 AB 乘以 AP AB 方向上的投影， ，∴选 A （ k 为常数）上两个不同的点， 而AP AB 方向上的投影是定值， AB 也是定值，∴ AB APi 为定值1 在i17. （2014）已知 P(a1 , b ) 与P (a2 , b2 )是直线 y kx 1 112a x b y 1, 11则关于 x和y的方程组 的解的情况是 （）a2 x b2 y 1 (A) 无论 k , P , P2 如何，总是无解. (B) 无论 k , P , P2 如何，总有唯一 11第 10 页 共 15 页 第 11 页 共 15 页 解. (C) 存在 k , P , P2 ，使之恰有两解. (D) 存在 k , P , P2 ，使之有无穷多 11解. 【解析】：由已知条件b ka1 1 ，b2 ka2 1 ，1a1 b1D a1b2 a2b1 a1(ka2 1) a2 (ka1 1) a1 a2 0，∴有唯一解，选 B a2 b2 2(x a) ,x 0, 18. （2014）设 若是f (0) f (x) 的最小值，则 a的取值范围为 f (x) 1x a, x 0. x（）(A) .(B) .(C) .[1, 2] [1 , 2] [1 , 0] (D) .[0 , 2] 【解析】：先分析 x 0 的情况，是一个对称轴为 x a 的二次函数，当 a 0 时， f (x)min f (a) f (0) ，不符合题意，排除 AB 选项；当 a 0 时，根据图像 f (x)min f (0) ，即a 0 符合题意，排除 C 选项；∴选 D； 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. （2014）(本题满分 12 分) P3 底面边长为 2的正三棱锥 P-ABC ，其表面展开图是 三角形 ，如图. 求 的各边长及此三棱锥的 PP P △PP P 1 2 3 123CA体积 V.P2 P1 B【解析】：根据题意可得 P, B, P2 共线， 1∵∴ABP BAP CBP ，ABC 60 ，112ABP BAP CBP 60，∴ P 60，同理 P P 60 ，112123∴△ PP P3 是等边三角形， P ABC 是正四面体，所以△ PP P3 边长为 4； 121 2 22 2 3∴V AB3 12 20.（2014） (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 第 11 页 共 15 页 第 12 页 共 15 页 2x a 设常数 a 0 ，函数 f (x) .2x a (1) 若 a 4 ，求函数 y f (x) 的反函数 y f 1(x) (2) 根据 的不同取值，讨论函数y f (x) 的奇偶性，并说明理由. ；a2x 4 2x 4 4y 4 y 1 4y 4 y 1 【解析】：（1）∵ a 4 ，∴ f (x) y ，∴ 2x ，∴ x log2 ，4x 4 x 1 ∴y f 1(x) log2 ，x(,1) (1,) 2x a 2x a （2）若 f (x) 为偶函数，则 f (x) f (x) ，∴ ，，2x a 2x a 整理得 a(2x 2x ) 0 ，∴ a 0 ，此时为偶函数 2x a 2x a 2x a 若f (x) 为奇函数，则 f (x) f (x) ，∴ 2x a 整理得 a2 1 0，∵ a 0 ，∴ a 1，此时为奇函数 当a(0,1) (1,) 时，此时 f (x) 既非奇函数也非偶函数 21.（2014） (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图，某公司要在 A、B 两地连线上的定点 DC处建造广告牌CD ，其中 米， CB 80米. 设点 A、B 在同一水平面上， 的仰角分别为 D 为顶端， AC 长35 长从问A和B看D和.ABC(1) 设计中CD 是铅垂方向. 若要求 2 ，CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01米）？ (2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得 38.12 CD 的长（结果精确到 0.01米）. ， 18.45 ，求xx2【解析】：（1）设CD 的长为 x米，则 tan , tan ，∵ 2 0 ，，35 80 x22tan x160x 6400 x2 80 ∴tan tan 2 ，∴ tan ，∴ x2 1 tan2 35 1 6400 解得 0 x 20 2 28.28，∴CD 的长至多为 28.28 米（2）设 DB a, DA b, DC m ， ADB 180 123.43 ，第 12 页 共 15 页 第 13 页 共 15 页 aAB 115sin38.12 则∴，解得 a 85.06 ，sin sin ADB sin123.43 m 802 a2 160acos18.45 26.93，∴CD 的长为 26.93 米22. （2014）(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分， 第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l : ax by c 0 和点 ，P(x1 , y1) , P (x2 , y2 ) 12记线. 若 0 ，则称点 被直线 P , P 1 2 l分割. 若曲线 C与直 (ax1 by1 c)(ax2 by2 c) l没有公共点，且曲线 C上存在点 被直线 2l分割，则称直线 l为曲线 C的一条分割 P , P 1线. (1) 求证：点 A(1, 2) , B(1, 0) 被直线 x y 1 0 分割； 22(2) 若直线 y kx 是曲线 的分割线，求实数 k的取值范围； x 4y 1 到点Q(0 , 2)的距离与到 通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 (3) 动点 My轴的距离之积为 的分割线. 1，设点 M 的轨迹为曲线 E . 求证： E【解析】：（1）将 A(1,2), B(1,0) 分别代入 x y 1，得 (1 2 1)(11) 4 0 ∴点 A(1,2), B(1,0) 被直线 x y 1 0 分割 22x 4y 1 y kx （2）联立 ，得 (1 4k2 )x2 1，依题意，方程无解， 112∴1 4k2 0，∴ k 或k 2（3）设 M (x, y) ，则 x2 (y 2)2 x 1 的方程为[x2 (y 2)2 ]x2 1 当斜率不存在时，直线 x 0 ，显然与方程①联立无解， ，∴曲线 E①又P(1,2), P (1,2) 为E上两点，且代入 x 0 ，有 1 0 ，12∴x 0 是一条分割线； 当斜率存在时，设直线为 y kx ，代入方程得： (k2 1)x4 4kx3 4×2 1 0 f (x) (k2 1)x4 4kx3 4×2 1，则 f (0) 1 f (1) k2 1 4k 3 (k 2)2 f (1) k2 1 4k 3 (k 2)2 k 2时， f (1) 0，∴ f (0) f (1) 0 ，即 f (x) 0 (0,1) 之间存在实根， y kx 与曲线 ，令，，，当∴当在E有公共点 k 2 时， f (0) f (1) 0 ，即 f (x) 0 在(1,0) 之间存在实根， 第 13 页 共 15 页 第 14 页 共 15 页 ∴y kx 与曲线 ∴直线 y kx 与曲线 综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线 x 0 E 有公共点 E始终有公共点，∴不是分割线， 是E 的分割线 23. （2014）(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7 分， 第 3 小题满分 8 分. 1已知数列 a满足 an an1 3an ，nN* ，.a1 1 n3(1) 若 (2) 设 ，求 x的取值范围； a2 2 , a3 x , a4 9 1a是公比为 q的等比数列， n . 若 Sn Sn1 3Sn ，nN* ，Sn a1 a2 a n3求q的取值范围； (3) 若 成等差数列，且 ，求正整数 的最大值，以及 ka1 , a2 ,, ak 取最大值时相应数列 a1 a2 ak 1000 k 的公差. ka1 , a2 ,, a 121【解析】：（1）依题意， a2 a3 3a2 ，∴ x 6，又 a3 a4 3a3 ，∴3 x 27 ，333综上可得3 x 6 （2）由已知得 an qn1 ，又 a1 a2 3a1 ，∴ q 3 ；113313n当q 1时， Sn n ，Sn Sn1 3Sn ，即 n 1 3n ，成立 3qn 1 q 1 13当1 q 3 时，Sn ，Sn Sn1 3Sn ，即1 qn 1 qn1 1 qn 1 q 1 3 ，3 q 1 q 1 3qn1 qn 2 0 qn1 3qn 2 0 qn1 1 13∴∴ 3，此不等式即 ，∵ q 1 ，qn 1 3qn1 qn 2 qn (3q 1) 2 2qn 2 0 对于不等式 qn1 3qn 2 0 ，令 n 1，得 q2 3q 2 0 ，解得1 q 2 ，，又当1 q 2时， q 3 0 ，∴∴qn1 3qn 2 qn (q 3) 2 q(q 3) 2 (q 1)(q 2) 0成立， 1 q 2 11 qn 1 q 13当 q 1 时，Sn ，Sn Sn1 3Sn ，即31 1 qn 1 qn1 1 qn 1 q 3 ，3 1 q 1 q 3qn1 qn 2 0 qn1 3qn 2 0 即，3q 1 0,q 3 0 第 14 页 共 15 页 第 15 页 共 15 页 ∵3qn1 qn 2 qn (3q 1) 2 2qn 2 0 qn1 3qn 2 qn (q 3) 2 q(q 3) 2 (q 1)(q 2) 0 1∴ q 1时，不等式恒成立 31综上， q的取值范围为 q 2 3（3）设公差为 d，显然，当 k 1000,d 0时，是一组符合题意的解， 1 (k 2)d ∴∴kmax 1000，则由已知得 1 (k 1)d 3[1 (k 2)d] ，3(2k 1)d 2 (2k 5)d 2 222，当 k 1000 时，不等式即 d ,d ，2k 1 2k 5 k(k 1)d ∴∴d ，a1 a2 … ak k 1000 ，2k 1 k 1000 时， d 22000 2k k(k 1) 2 ，2k 1 解得1000 999000 k 1000 999000 ，∴ k 1999 ，2000 2k k(k 1) 1998 1∴k的最大值为1999，此时公差 d 19991998 1999 第 15 页 共 15 页
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