第 1 页 共 13 页 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的 空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1． 函数y 1 2cos2 (2x)的最小正周期是 . 12. 若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则 (z ) z =___________. z3. 设常数 a R ，函数 f (x) x 1 x2 a ，若 f (2) 1，则 f (1) . x2 y2 4. 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 95___________. 5. 某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名、1200 名、800 名，为了解该校高中学生的牙 齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取 20 名学生，则高一、高二共抽 取的学生数为 . 6.若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2 2y2 的最小值为______________. +7. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 值表示）. （结果用反三角函数 8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体 积之和等于 . 第 1 页 共 13 页 第 2 页 共 13 页 x a, x 0, 9. 设 f (x) 若 f (0)是 f (x) 的最小值，则 a 的取值范围是 . 1x , x 0, x10.设无穷等比数列{ an }的公比为 q，若 a1 lim(a3 a4 )，则 q= .n 2111．若 f (x) x3 x2 ，则满足 f (x) 0 的x取值范围是 .12. 方程sin x 3 cos x 1在区间[0,2 ] 上的所有解的和等于 . 13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选 择的 3 天恰好为连续 3 天的概率 是（结构用最简分数表示）. 14. 已知曲线 C： x 4 y2 ，直线 l：x=6.若对于点 A（m，0）,存在 C 上的点 P 和 l 上 的点 Q 使得 AP AQ 0，则 m 的取值范围为 .二、选择题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 15. 设 a,b R ,则“ a b 4 ”是“ a 2,且b 2 ”的（ ）（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 16. 已知互异的复数 a,b 满足 ab 0 ，集合{a,b}={ a2 ,b2 },则 a b = （ ） （A）2 （B）1 （C）0 （D） 1 第 2 页 共 13 页 第 3 页 共 13 页 17. 如图，四个边长为 1 的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边， P(i 1,2,,7) 是小正方形的其余各个顶点，则 AB AP(i 1,2,,7)的不同值的个数为 ii（）（A）7 （B）5 （C）3 （D）1 18. 已知 P (a1,b ) 与 P (a2 ,b2 )是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 211a x b y 1 11的方程组 的解的情况是（ ）a2 x b2 y 1 （A）无论 k， P, P2 如何，总是无解 （B)无论 k， P, P2 如何，总有唯一解 11（C）存在 k， P, P2 ，使之恰有两解 （D）存在 k， P, P2 ，使之有无穷多解 11三．解答题（本大题共 5 题，满分 74 分） 19、（本题满分 12 分） 底面边长为 2 的正三棱锥 P ABC , zxxk 其表面展开图是三角形 p1 p2 p3 ，如图，求△ p1 p2 p3 的各边长及此三棱锥的体积 V.20.（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，学科网第一小题满分 6 分，第二小题满分 1 分。 2x a 设常数 a 0 ，函数 f (x) 2x a （1）若 a=4，求函数 y f (x) 的反函数 y f 1(x) （2）根据 的不同取值，讨论函数y f (x) 的奇偶性，并说明理由. 21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 为顶端， ；a如图，某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD ，其中 D AC 长 35 米， CB长 80 米，设 A、B 在同一水平面上，从 A和B看D的仰角分别为 第 3 页 共 13 页 第 4 页 共 13 页 和 .（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求 2 ，问CD 的长至多为多少学科网（结果 精确到 0.01 米）？ （2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 zxxk 38.12， 18.45， 求CD 的长（结果精确到 0.01 米）？ 22（本题满分 16 分）本题共 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题 满分 8 分. 在平面直角坐标系 xoy 中，对于直线 l：ax by c 0 和点 P(x1, y1), P (x2 , y2 ), 记i2 （ax1 by1 c)(ax2 by2 c). 若<0，则称点 P, P2 被直线 l分隔。若曲线 C 与直线 1l没有公共点，且曲线 C 上存在点 P，P2 被直线 l分隔，则称直线 l为曲线 C 的一条分隔线. 1⑴ 求证：点 A（1,2），B（1，0）被直线 x y 1 0 分隔； ⑵若直线 y kx 是曲线 x2 4y2 1的分隔线，求实数 的取值范围； ⑶动点 M 到点Q（0,2）的距离与到 轴的距离之积为1，设点 M 的轨迹为 E，求 E 的方程， 并证明 轴为曲线E 的分隔线. kyy23.（本题满分 18 分）本题共 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 9 分. 1已知数列{an}满足 an an1 3an ,n N*,a1 1 .3（1）若 a2 2,a3 x,a4 9，求 （2）若{an}是等比数列，且 am x的取值范围；zxxk 1，求正整数 m的最小值，学科网以及 m取最小值 1000 时相应{an}的公比； （3）若 a1,a2 ,,a100 成等差数列，求数列 a1,a2 ,,a100 的公差的取值范围. 第 4 页 共 13 页 第 5 页 共 13 页 上海数学（文）参考答案 一、 2131. 2. 6 3. 3 4. x 2 5 1 5.70 6. 2 2 7. arccos 8.24 7 319. (,2] 10. 11. (0,1) 12. 13. 14. [2,3] 215 二、 15. B16.D 17.C 18.B 19.解：∵由题得，三棱锥 P ABC 是正三棱锥 ∴侧棱与底边所成角相同且底面 ABC 是边长为 2 的正三角形 3∴由题得， ABC BCA CAB ，PBA P AB P BC PCB P AC PCA 112233又∵ A, B,C 三点恰好在 P, P , P3 构成的 PP P3 的三条边上 121 2 3∴PBA P AB P BC PCB P AC PCA 112233∴∴P A PB P B PC PC P A 2 112233PP PP P P 4 ，三棱锥 P ABC 是边长为 2 的正四面体 12132 3 ∴如右图所示作图，设顶点 P在底面 ABC 内的投影为 O ，连接 BO ，并延长交 AC 于D∴D 为 AC 中点，O 为ABC 的重心， PO 底面 ABC 22 3 32 6 31 1 3 2 62 2 ∴BO BD ，PO ，V 22 33 2 82x 4 2332x 4 2x 4 20.解：（1）由题得， f (x) 1 (,1) (1,) x 1 x 1 ∴f 1(x) 2 log2 ，x(,1) (1,) 2x a （2）∵ f (x) 且a 0 2x a ∴①当 a 0 时， f (x) 1, x R ，∴对任意的 x R 都有 f (x) f (x) ，∴ y f (x) 为偶函数 2x 1 2x 1 2x 1 1 2x ②当 a 1时， f (x) ∴对任意的 x 0 , x 0 ，f (x) ，2x 1 1 2x 且x R 都有 f (x) f (x) ，∴ y f (x) 为奇函数 ③当 a 0 且a 1时，定义域为 x x log a, x R} ，2∴定义域不关于原定对称，∴ y f (x) 为非奇非偶函数 221.解：（1）由题得，∵ 2 ，且 0 2 ，tan tan 2 第 5 页 共 13 页 第 6 页 共 13 页 CD CD 40 即，解得， CD 20 2，∴ CD 28.28 米CD 2 35 1 6400 （2）由题得， ADC 180 38.12 18.45 123.43 ，AD sin123.43 sin18.45 CD 2 352 AD 2 235 AD cos38.12 ，∴ CD 26.93 3580 ∵∵，∴ AD 43.61 米米22.证明：（1）由题得， 2(2) 0 ，∴ A(1,2), B(1,0) 被直线 x y 1 0 分隔。 解：（2）由题得，直线 y kx 与曲线 x2 4y2 1无交点 22x 4y 1 y kx 即 (1 4k2 )x2 1 0无解 1 4k2 0 4(1 4k2 ) 0 11∴1 4k2 0 或，∴ k (, ][ ,) 2 2 证明：（理科）（3）由题得，设 M (x, y) ，∴ x2 (y 2)2 x 1 ，1化简得，点 M的轨迹方程为 E : x2 (y 2)2 , x 0 。x2 ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为 y kx 。1×2 x2 (y 2)2 y kx 1×2 联立方程， (k2 1)x2 4kx 4 。1×2 令F(x) (k2 1)x2 4kx 4 ，G(x) ，显然 y F(x)是开口朝上的二次函数 ∴由二次函数与幂函数的图像可得， F(x) G(x) 必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为 x 0 。1显然 x 0 与曲线 E : x2 (y 2)2 , x 0 没有交点，在曲线 E上找两点 (1,2),(1,2) 。x2 ∴ 11 0，符合题意 综上所述，仅存在一条直线 x 0 是E 的分割线。 证明：（文科）（3）由题得，设 M (x, y) ，∴ x2 (y 2)2 x 1 ，1化简得，点 M的轨迹方程为 E : x2 (y 2)2 , x 0 。x2 1显然 x 0 与曲线 E : x2 (y 2)2 , x 0 没有交点，在曲线 E上找两点 (1,2),(1,2) 。x2 ∴ 11 0，符合题意。∴ x 0 是 E 的分割线。 23x x 6 23.解：（1）由题得， x[3,6] 9 3x 3第 6 页 共 13 页 第 7 页 共 13 页 1（文科）（2）∵ an an1 3an ，且数列{an}是等比数列， a1 1 ，31qn1(q ) 0 131∴qn1 qn 3qn1 ，∴ ，∴ q[ ,3] 。33n1 q (q 3) 0 111∴∴am qm1 ，∴ m 1 log 1 log ，又∵ m N ，∴ m 8 1000 q 1000 13 1000 117m的最小值为 8，此时 log 7，即 q 。q 1000 1000 1（3）由题得，∵ an an1 3an ，且数列数列 a1,a2 ,a100 成等差数列， a1 1 ，3d(2n 1) 2 d(2n 3) 2 12∴[1 (n 1)d] 1 nd 3[1 (n 1)d]，∴ ，∴ d [ ,2] 3199 第 7 页 共 13 页 第 8 页 共 13 页 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共50 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，共 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． （1）【2014 年上海，文 1，5 分】函数 y 1 2cos2 (2x) 的最小正周期是 ．π【答案】 22π π【解析】 y 1 2cos2 (2x) (2cos2 (2x) 1) cos4x ，所以T =．42（ 2 ）【 2014 年 上 海 ， 文2 ， 5 分 】 若 复 数z 1 2i ， 其 中i 是 虚 数 单 位 ， 则 _1z z ．_ z 【答案】6 _12【解析】 z z z z1 (1+2i)(1-2i)+1=1-4i +1=6 ．_ z （3）【2014 年上海，文 3，5 分】设常数 aR ，函数 f (x) | x 1| | x2 a | ，若 f (2) 1 ，则f (1) ．【答案】3 【解析】 f (2) 1 | 4 a |1 ，所以 a 4 ，所以 f (x) | x 1| | x2 4 | ，故 f (1) 3 ．x2 y2 （4）【2014 年上海，文 4，5 分】若抛物线 y2 2px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合， 95则该抛物线的准线方程为 ．【答案】 x 2 x2 y2 p【解析】椭圆 1 的右焦点右焦点为（2,0），故 2 ，故该抛物线的准线方程为 952px 2 ．2（5）【2014 年上海，文 5，5 分】某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名、1200 名、800 名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三 抽取 20 名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 【答案】70 【解析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为 4:3:2，高三抽取的学生数为 ．24 3 20，故高一、高二共需抽取的学生数为 20 70 ．4 3 2 4 3 2 （6）【2014 年上海，文 6，5 分】若实数 x, y 满足 xy 1，则 x2 2y2 的最小值为 ．【答案】 2 2 【解析】由基本不等式可得 x2 2y2… 2 2xy 2 2，故 x2 2y2 的最小值为 2 2 （7）【2014 年上海，文 7，5 分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的角 ．大小为 ．（结果用反三角函数值表示） 13【答案】 arcsin 第 8 页 共 13 页 第 9 页 共 13 页 【解析】由题意可得， πrl 3πr2 ，解得 l 3r ，记母线与轴所成的角为 ，则 r11sin ，即 arcsin ．l33（8）【2014 年上海，文 8，5 分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三 视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 【答案】24 ．【解析】由三视图可知，被割去的两个小长方体长为 2，宽为 3，高为 2，故切 割掉的两个小长 方体的体积之和为 2×3×2×2=24． x a, x„ 0 （9）【2014 年上海，文 9，5 分】设 f (x) ，若 f (0) 是 f (x) 的最小值，则 的 a1x , x 0 x取值范围为 【答案】 (,2] ．【解析】 f (0) a ，当 x 0 时， f (x)… 2 ，因为 f (0) 是f (x) 的最小值，故 a 2 ，若 ．（10）【2014 年上海，文 10，5 分】设无穷等比数列{an}的公比为 qq ．a1 lim(a3 a4 an ), n 5 1 2【答案】 【解析】因为无穷等比数列{an}的极限存在，所以| q |1，又因为 a (a a a ), lim 134nn a1q2 (1 qn2 1 q )5 1 2即a ，解得 q ．lim 1n 2（11）【2014 年上海，文 11，5 分】若 f (x) x3 x12 ，则满足 f (x) 0 的 的取值范 x围是 【答案】 (0,1) ．2【解析】函数 f (x) 的定义域为 (0,) ，f (x) 0 即x3 x12 ，在同一坐标系中作出 21×3、x （ x 0 ） 22的图象（如图），由图象可知，当 x(0,1) 时， x3 x12 .故满足 f (x) 0 的x的取值 范围是 (0,1) ．（12）【2014 年上海，文 12，5 分】方程sin x 3cos x 1在区间[0,2π]上的所有解的和等 于．7π 【答案】 3ππ1【解析】因为 sin x 3cos x 1，所以 2sin(x ) 1,sin(x ) ，因为 x[0,2π]，所以 332ππ 7π x [ , 3 3 π1π5π π13π ]， 所 以 由 sin(x ) 可 得x 或x ， 解 得 3323636π11π π 11π 7π x1 , x2 ，所以 x1 x2 +=．26263（13）【2014 年上海，文 13，5 分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机 选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 用最简分数表示）． （结果 1【答案】 15 第 9 页 共 13 页 第 10 页 共 13 页 【解析】记“选择的 3 天恰好为连续 3 天”的概率为 P，从 10 天中选择 3 天共有 C130 种方法， 881从 10 天中选择连续的 3 天有 8 种选择方法，故 P .．C130 120 15 （14）【2014 年上海，文 14，5 分】已知曲线C : x 4 y2 ，直线l : x 6 ．若对于点 A(m,0) ， 存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使得 AP AQ 0，则 m 的取值范围为 ．【答案】[2,3] 2【解析】由题意可设 P( 4 yp , yp ),Q(6, yQ ) （2„ yP„ 2 ），又因为 AP AQ 0，所以点 2P、A、Q 在一条直线上，且 A 点为线段 PQ 的中点．所以， 2m 4 yP 6 ，又2„ yP„ 2 ，所以 m[2,3] ．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有 一个正确选项，选对得 5 分，否则一律得零分． （15）【2014 年上海，文 15，5 分】设 a,bR ，则“ a b 4 ”是“ a 2 （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 非充分也非必要条件 且b 2 ”的（ ）（D）既 【答案】B 【解析】由 a b 4 不能推出 a 2 且 b 2 ，如 a 1,b 6 满足 a b 4 ，但不能满足 a 2 且b 2 ；如果 a 2 且b 2 ，由不等式的性质可得 a b 4 ；故“ a b 4 ”是“ a 2 且b 2 ”的必要非充分条件，故选 B． （16）【2014 年上海，文 16，5 分】已知互异的复数 a,b 满足 ab 0 ，集合{a,b} {a2 ,b2} a b （ A ） 2 ，则（）（ B ） 1 （ C ） 0 （D） 1 【答案】D 【解析】（1）当 a a2 ,b b2 时， a,b 可看作是 x x2 的根，此时 ab 0 去； 与ab 0 矛盾，故舍 （2）当 a b2 ,b a2 时，可得 a b b2 a2 ，（*）因为 a b2 ，所以 a2 b4 ，所以 （ * ） 即 为 b2 b b2 b4 ， 即 b(b3 1) 0 ， 所 以 b 0或b3 1， 此 时 123b 0,或b 1,或b ①当b 0 时， a 0 i；2，ab 0 与 ab 0 矛盾且不满足集合的互异性，故舍去； ②当b 1时， a 1,ab 0，但此时不能满足集合的互异性，故舍去； 123123③当b i时， a ii，，ab 0 且满足集合的互异性，符合题意， ab 0 且满足集合的互异性，符合题意， 22此时 a b 1 ；123123④当b i时， a 22此时 a b 1 ；综上所述， a b 1.，故选 D． （17）【2014 年上海，文 17，5 分】如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形， AB 是 大 正 方 形 的 一 条 边 ，P(i 1,2,3,,7) 是 小 正 方 形 的 其 余 顶 点 ， 则 i AB AP(i 1,2,,7) 的不同值的个数为（ ）i（A）7 【答案】C （B）5 （C）3 （D）1 【解析】如图，以点 A 为原点，建立坐标系，则 A(0,0), B(0,2), P(0,1), P (1,0), P (1,1), P (1,2), P (2,0), 12345第 10 页 共 13 页 第 11 页 共 13 页 P (2,1), P (2,2) ，故67 5AB (0,2), AP (0,1), AP (1,0), AP (1,1), AP (1,2), AP (2,0), 1234 AP (2,2) ，通过计算可得 AB AP(i 1,2,,7) 的值有 0,2,4,共 3 个，故选 C． （18）【2014 年上海，文 18，5 分】已知 P(a1,b ) 7i与P (a2 ,b2 ) 是直线 y kx 1 （k为常数） 112a x b y 1 11上两个不同的点，则关于 x和y的方程组 的解的情况是（ ）a2 x b2 y 1 （A）无论 k、P、P2 如何，总是有解 （B）无论 k、P、P2 如何，总有唯 11一解 多解 （C）存在 k、P、P2 ，使之恰有两解 （D）存在 k、P、P2 ，使之有无穷 11【答案】B 【解析】解法一： ka 1 b a x b y 1 a x (ka 1)y 1 x k y 1 111111由已知得 ，代入 得解得 ，即 ka2 1 b2 a2 x b2 y 1 a2 x (ka2 1)y 1 直线 a1x b y 1 解法二： 与a2 x b2 y 1恒交于点 (k,1) （k为常数），故选 B． 1由已知条件，b ka1 1 b2 ka2 1 ，1a1 b1D a1b2 a2b a1(ka2 1) a2 (ka1 1) a1 a2 0 ，1a2 b2 ∴有唯一解，故选 B． 三、解答题（本题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤． 2（19）【2014 年上海，文 19，12 分】底面边长为 的正三棱锥P ABC ，其表面展开 图是三 P3 角形 PP P3 ，如图．求 PP P3 的各边长及此三棱锥的体积 V．121 2 CA解：根据题意可得 P, B, P2 共线，∵ ABP BAP CBP ， ， ABC 60 1112∴ABP BAP CBP 60 ，∴ P 60 ，同理 P P 60 ，∴ PP P 112123123是等 P2 P1 B212 2 2 3边三角形， P ABC 是正四面体，所以 PP P3 边长为 4；∴V AB3 ．122x a 2x a a 0 f (x) （20）【2014 年上海，文 20，14 分】设常数 ，函数 ．（1）若 a 4 ，求函数 y f (x) 的反函数 y f 1(x) ；（2）根据 a的不同取值，讨论函数 y f (x) 的奇偶性，并说明理由． 2x 4 4y 4 y 1 4y 4 y 1 解：（1）∵ a 4 ，∴ f (x) y ，∴ 2x ，∴ x log2 ，2x 4 4x 4 x 1 ∴y f 1(x) log2 ，x(,1) (1,) ．……6 分 R，故函数 y f (x) 是偶函数；当 a 1时， （2）当 a 0 时， f (x) 1，定义域为 2x 1 f (x) 定义域为 2x 1 (,0) (0,) a 0且a 1 时， 2x 1 2x 1 2x 1 ，f (x) f (x) ，故函数 y f (x) 是奇函数；当 2x 1 第 11 页 共 13 页 第 12 页 共 13 页 （-，log2 a) (log2 a,) 关于原点不对称，故函数 y f (x) 既不是奇函数，也不是 偶函数．……14 分 （21）【2014 年上海，文 21，14 分】如图，某公司要在 A、B 两地连线上 D的定点 C处建造广告牌 CD ，其中 D为顶端， AC 长35 米， CB 的仰角分别 长为80 米． 设点A、B 在同一水平面上，从 A和B看D和 ． AB（1）设计中 CD 是铅垂方向． 若要求 2 ，问 CD 的长至多为 多少（结 C果精确到 0.01米）？ （2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得 38.12 的长（结果精确 ， 18.45，求CD 到0.01米）． xx2解：（1）设CD 的长为 x米，则 tan ,tan ，∵ 2 0 ， ∴ tan tan 2 ， 35 80 2tan 1 tan2 x∴tan ，2x160x 6400 x2 80 ∴， 解 得0 x 20 2 28.28 ， ∴CD 的 长 至 多 为28.28 35 x2 1 6400 米． ……6 分 aAB sin sinADB m 802 a2 160acos18.45 26.93 CD 的 长 为 （2）设 DB a, DA b, DC m 115sin38.12 sin123.43 26.93米．……14 分 （22）【2014 年上海，文 22，16 分】在平面直角坐标系 ，ADB 180 123.43 ，则 ，解 得a 85.06 ∴∴xOy l :ax by c 0 中，对于直线 0 和点 P(x1 , y1) , P (x2 , y2 ) ，记 (ax1 by1 c)(ax2 by2 c) ． 若 ，则称点 P , P 1212被直线 l分隔． 若曲线 C与直线 l没有公共点，且曲线 C上存在点 P , P2 被直线 l分隔， 1则称直线 为曲线的一条分隔线． l C A(1, 2) , B(1, 0) x y 1 0 分隔； （1）求证：点 被直线 22y kx （2）若直线 是曲线 的分隔线，求实数 的取值范围； kx 4y 1 Q(0 , 2) （3）动点 M到点 的距离与到 轴的距离之积为 y1，设点 M的轨迹为曲线 E，求E的方程，并证明 轴为曲线 的分隔线． 解：（1）将 A(1,2), B(1,0) 分别代入 x y 1，得 (1 2 1) (11) 4 0 yE，∴点A(1,2), B(1,0) 被直线……3 分 x y 1 0 分隔． y kx （2）直线 y kx 与曲线 x2 4y2 1 有公共点的充要条件是方程组 有解，即 x2 4y2 1 1| k | ．21因为直线 y kx 是曲线 x2 4y2 1 的分隔线，故它们没有公共点，即| k |… ．21当| k |… 时 ， 对 于 直 线y kx ， 曲 线x2 4y2 1 上 的 点(1,0) 和(1,0) 满 足 2 k2 0 ，即点 (1,0) 和第 12 页 共 13 页 第 13 页 共 13 页 (1,0) 1被y kx 分的隔．故实数k的取值范围是为1(, ][ ,) ．……9 分 (x, y) 22）（3设M坐标为，则曲线E的方程x2 (y 2)2 | x |1,即[x2 (y 2)2 ] x2 1 ．对任意的 y0 ,(0, y0 ) 不是上述方程的解，即 y 轴与曲线 E 没有公共点．又曲线 E 上 的点 (1,2)和(1,2) 对于 轴 满 足 0 ， 即 点(1,2)和(1,2) 被 y 轴 分 隔 ． 所 以y 轴 为 曲 线E 的 分 割 ……16 分 （23）【2014 年上海，文 23，18 分】已知数列 y线． 1a满足 an an1 3an ，nN* ，a1 1 ． n3（1）若 a2 2 , a3 x , a4 9 ，求 x的取值范围； 1（2）若 a是等比数列，且 am ，求正整数 的最小值，以及 取最小值时相 m m n1000 应a的公比； n（3）若 a1,a2 ,a100 成等差数列，求数列 a1,a2 ,a100 的公差的取值范围． 121解：（1）依题意， a2 a3 3a2 ，∴ x 6 ，又 a3 a4 3a3 ，∴3 x 27 ，综上可得 3333 x 6 ．……3 分 1（ 2 ） 设 {an} 的 公 比 为 q． 由an„ 3an ， 且an a1qn1 0 ， 得an 0 ． 因 为 311an„ an1„ 3an ，所以 „ q„ 3 ．3311从 而 a1qm1 qm1… ( )m1,3m1…1000 ， 解 得m … 8 ．m 8 时 ， 1000 3117q [ ,3] ．1000 3所以，m的最小值为8，m 8 时，的 公 比 为 {an} 7 104 10 ．……9 分 12（3）设数列 的公差为 d．则 an„ an d„ 3an , an„ d„ 2an ,n 1,2,,99 ，a1,a2 ,,a100 33①当 d 0 时， a99 a98 a2 a1 ，所以 0 d„ 2a1 ，即 0 d„ 2 ②当 d 0 时， a99 a98 a2 a1, 符合条件． ．2③当d 0 时，a99 a98 a2 a1 ，所以 a99„ d„ 2a99 ，为32 (1 98d)„ d„ 2(1 98d) ，又 d 0 ，32所以 „ d 0 ．199 综．上，的公差的取值范围a1,a2 ,,a100 2[ ,2] ……18 分 199 第 13 页 共 13 页
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