2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学 P(AB) P(A) P(B) 参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A B) P(A)+P(B) 如果事件 A、B 独立，那么 。第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、复数 z满组 (z 3)(2 i) 5 (B) 2 i （z为虚数单位），则 z的共轭复数z 为 (A) 2 i (C) 5 i (D) 5i 2、已知集合 A 0 ,1 ,2，则集合 B x y x A, y A 中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9 13、已知函数 f (x) 为奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 , 则f (1) x(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 94、已知三棱柱 ABC A B C1 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 3的正三角形，若 P 为底面 A B C1 1 1 114的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 5 12 346(A) (B) (C) (D) 85、将函数 y sin(2x ) 的图象沿 x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为 3 444(D) (A) (B) (C) 02x y 2 0， x 2y 1 0, 3x y 8 0 6、在平面直角坐标系 xOy 中， M为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线OM 的斜率的 最小值为 112(A) 2(B) 1(C) (D) 37、给定两个命题 p,q. 若p 是q的必要不充分条件，则 p是q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 8、函数 y xcos x sin x 的图象大致为 yyyyxxxxOOOO第 1 页 共 22 页 (A) 9、过点 (3,1)作圆 (x 1)2 y2 1的两条切线，切点分别为 A, B ，则直线 AB 的方程为 (A) 2x y 3 0 (B) 2x y 3 0 (C) 4x y 3 0 (D) 4x y 3 0 (B) (C) (D) 10、用 0，1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279 1×2 11、抛物线C1 : y x2 ( p 0) 的焦点与双曲线C2 : y2 1的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M. 若2p 3C1 在点 M处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p 332 3 4 3 3(A) (B) (C) (D) 16 83xy 21212、设正实数 x, y, z 满足 x2 3xy 4y2 z 0.则当 取得最大值时， 的最大值为 zxyz开 始 9(A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 4输入( 0) 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 13、执行右图所示的程序框图，若输入 的值为0.25， 则输出的 的值为_______. F 1, F 2,n 1 c01n14、在区间[ – 3, 3] 上随机取一个数 x ， F F F 101使得 x 1 x 2 1成立的概率为______. F F F 与 ， AC 的夹角为1200 01015、已知向量 AB ，且且AB 3, AC 2. 若AP AB AC n n 1 AP BC ，则实数 的值为____________. 0, 0 x 1, 否16、定义“正对数”： ln x 现有四个命题： 1ln x, x 1. F1①若 a 0,b 0 ，则 ln (ab ) bln a ②若 a 0,b 0 ，则 ln (ab) ln a ln b ；是；输出 n 第 2 页 共 22 页 结 束 a③若 a 0,b 0 ，则 ln ( ) ln a ln b ；b④若 a 0,b 0 ，则 ln (a b) ln a ln b ln 2 .其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 17、（本小题满分 12 分） 7设ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 a c 6 , b 2 , cos B . .9（Ⅰ）求 a,c 的值； （Ⅱ）求sin(A B)的值. PFEHGBCADQ18、（本小题满分 12 分） 如图所示，在三棱锥 P ABQ 中， PB 平面ABQ ，BA BP BQ ，D ,C , E , F 分别是 AQ , BQ, AP, BP PD EQ 交于点 ，连接GH 的中点， AQ 2BD ，与G ， PC 与FQ 交于点 H.（Ⅰ）求证： AB //GH ；（Ⅱ）求二面角 D GH E 的余弦值。 19、（本小题满分 12 分） 12甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是 2外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 。假设各局比赛结果相互独立。 3（Ⅰ）分别求甲队以 3：0，3：1，3：2 胜利的概率； （Ⅱ）若比赛结果为 3：0 或 3：1，则胜利方得 3 分、对方得 0 分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得 2 分、 对方得 1 分。求乙队得分 X的分布列和数学期望。 第 3 页 共 22 页 20、（本小题满分 12 分） 设等差数列 的前n 项和为 Sn ，且 S4 4S2 ,a2n 2an 1. a n（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}的前 项和为 项和 Rn an 1 nTn ，且Tn （为常数）。令 cn 2b2n ,(n N*) ，求数列{cn} 的2n 前n。21、（本小题满分 13 分） xe2x 设函数 f (x) c （e 2.71828… 是自然对数的底数， c R ）（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间、最大值； （Ⅱ）讨论关于 的方程 ln x f (x) 根的个数。 x22、（本小题满分 13 分） x2 y2 3椭圆C : 1 (a b 0)的左、右焦点分别是 F , F2 ，离心率为 ，过 F1 且垂直于 x 轴 1a2 b2 2的直线被椭圆 （Ⅰ）求椭圆 CC截得的线段长为 1. 的方程； 第 4 页 共 22 页 （Ⅱ）点 的长轴于点 M (m,0)，求 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 P是椭圆 C上除长轴端点外的任一点，连接 PF , PF2 。设 F PF2 的角平分线 PM 交C 11m的取值范围； P作斜率为 k的直线 l，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点。设直线 PF , PF2 111的斜率分别为 k1 ,k2 ，若 k 0 ，试证明 为定值，并求出这个定值. kk1 kk2 一、选择题 1．（5分）（2013•山东）复数 z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则 z的共轭复数 为（ ） A． 2+i B． 2﹣i C． 5+i D． 5﹣i 考点： 复数的基本概念．3253948 专题： 计算题． 分析： 利用复数的运算法则求得 z，即可求得 z的共轭复数 ． 解答： 解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5， ∴z﹣3= =2+i ∴z=5+i， ∴ =5﹣i． 故选 D． 点评： 本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数 z是关键，属于基础题． 2．（5分）（2013•山东）已知集合 A={0，1，2}，则集合 B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ） A． 1 B． 3 C． 5 D． 9 考点： 集合中元素个数的最值．3253948 专题： 计算题． 分析： 依题意，可求得集合 B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案． 解答： 解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当 x=0，y分别取 0，1，2时，x﹣y 的值分别为 0，﹣1，﹣2； 当 x=1，y分别取 0，1，2时，x﹣y 的值分别为 1，0，﹣1； 当 x=2，y分别取 0，1，2时，x﹣y 的值分别为 2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴集合 B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 5个． 故选 C． 点评： 本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题． 第 5 页 共 22 页 3．（5分）（2013•山东）已知函数 f（x）为奇函数，且当 x＞0时， ，则 f（﹣1）=（ ） D． 2 A． ﹣2 B． 0 C． 1 考点： 函数的值．3253948 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案． 解答： 解：∵函数 f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+ ， ∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， 故选 A． 点评： 本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题． 4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为的正三角形，若 P为 底面 A1B1C1的中心，则 PA与平面 ABC所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 考点： 直线与平面所成的角．3253948 专题： 空间角． 分析： 利用三棱柱 ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为 PA与平面 A1B1C1所成角，即为 ∠APA1为 PA与平面 ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得 AA1，再利用正三角形的性质可得 A1P， 在 Rt△AA1P中，利用 tan∠APA1= 即可得出． 解答： 解：如图所示， ∵AA1⊥底面 A1B1C1，∴∠APA1为 PA与平面 A1B1C1所成角， ∵平面 ABC∥平面 A1B1C1，∴∠APA1为 PA与平面 ABC所成角． ∵==．∴V 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 ==，解得 ．又 P为底面正三角形 A1B1C1的中心，∴ 在 Rt△AA1P中， ==1， ，∴．故选 B． 第 6 页 共 22 页 点评： 熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键． 5．（5分）（2013•山东）函数 y=sin（2x+φ）的图象沿 x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ 的一 个可能的值为（ ） A． B． C． 0 D． 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．3253948 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数 y=sin（2x+φ）的图象沿 x轴向左平移 个单位后的解析 式，利用其为偶函数即可求得答案． 解答： 解：令 y=f（x）=sin（2x+φ）， 则 f（x+ ）=sin[2（x+ ）+φ]=sin（2x+ +φ）， ∵f（x+ ）为偶函数， ∴+φ=kπ+ ∴φ=kπ+ ，k∈Z， ∴当 k=0时，φ= ，．故 φ 的一个可能的值为 ．故选 B． 点评： 本题考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题． 6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系 xOy中，M为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为（ ） 第 7 页 共 22 页 A． 2 B． 1 C． D． 考点： 简单线性规划．3253948 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0， 0）构成的直线的斜率的最小值即可． 解答： 解：不等式组 表示的区域如图， 当 M取得点 A（3，﹣1）时， z直线 OM斜率取得最小，最小值为 k= =﹣ ． 故选 C． 点评： 本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等 式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题． 7．（5分）（2013•山东）给定两个命题 p，q．若￢p是 q的必要而不充分条件，则 p是￢q的（ ） A． 充分而不必要条件 C． 充要条件 B． 必要而不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．3253948 专题： 规律型． 分析： 根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为 q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件 的定义得到答案． 解答： 解：∵¬p是 q的必要而不充分条件， ∴q 是¬p的充分不必要条件，即 q⇒¬p，但¬p不能⇒q， 其逆否命题为 p⇒¬q，但¬q不能⇒p， 则 p是¬q的充分不必要条件． 故选 A． 点评： 本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为 q是¬p的充分不 必要条件，是解答的关键． 第 8 页 共 22 页 8．（5分）（2013•山东）函数 y=xcosx+sinx的图象大致为（ ） A． B． C． D． 考点： 函数的图象．3253948 专题： 函数的性质及应用． 分析： 给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除 B，然后利用区特值排除 A和 C，则答案可 求． 解答： 解：因为函数 y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项 B， 由当 x= 时， ，当 x=π 时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0． 由此可排除选项 A和选项 C． 故正确的选项为 D． 故选 D． 点评： 本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题． 2 2 9．（5分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1） +y =1的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB的方程为（ ） A． 2x+y﹣3=0 B． 2x﹣y﹣3=0 C． 4x﹣y﹣3=0 D． 4x+y﹣3=0 考点： 圆的切线方程；直线的一般式方程．3253948 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 由题意判断出切点（1，1）代入选项排除 B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可． 解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为 A，B， 解答： 所以圆的一条切线方程为 y=1，切点之一为（1，1），显然 B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意； 另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项 C不满足，A满足． 故选 A． 点评： 本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学 习． 10．（5分）（2013•山东）用 0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） A． 243 B． 252 C． 261 D． 279 考点： 排列、组合及简单计数问题．3253948 专题： 计算题． 分析： 求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可． 解答： 解：用 0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900， 其中没有重复数字的三位数百位数从非 0的 9个数字中选取一位，十位数从余下的 9个数字中选一个，个 位数再从余下的 8个中选一个，所以共有：9×9×8=648， 第 9 页 共 22 页 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252． 故选 B． 点评： 本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力． 11．（5分）（2013•山东）抛物线 C1： 的焦点与双曲线 C2： 的右焦点的连线交 C1于第一 象限的点 M．若 C1在点 M处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p=（ ） A． B． C． D． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．3253948 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数 在 x取直线与抛物线交点 M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交 点横坐标与 p的关系，把 M点的坐标代入直线方程即可求得 p的值． 解答： 解：由 ，得 x2=2py（p＞0）， 所以抛物线的焦点坐标为 F（ ）． 由，得 所以双曲线的右焦点为（2，0）． 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ，．，即①． 设该直线交抛物线于 M（ ），则 C1在点 M处的切线的斜率为 ．由题意可知 ，得 ，代入 M点得 M（ ）把 M点代入①得： ．解得 p= ．故选 D． 点评： 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的 切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题． 12．（5分）（2013•山东）设正实数 x，y，z满足 x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当 取得最大值时， 的最大值为（ ） 第 10 页 共 22 页 A． 0 B． 1 C． D． 3 考点： 基本不等式．3253948 专题： 计算题；压轴题；不等式的解法及应用． 分析： 依题意，当 取得最大值时x=2y，代入所求关系式 f（y）= + ﹣ ，利用配方法即可求得其最大值． 解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0， 解答： ∴z=x2﹣3xy+4y2，又 x，y，z均为正实数， ∴ = =≤=1（当且仅当 x=2y时取“=”）， ∴=1，此时，x=2y． ∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2， ∴ + ﹣ = + ﹣ =﹣+1≤1． ∴的最大值为 1． 故选 B． 点评： 本题考查基本不等式，由 取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题． 二、填空题 13．（4分）（2013•山东）执行右面的程序框图，若输入的 ɛ 值为 0.25，则输出的 n值为 3 ． 第 11 页 共 22 页 考点： 程序框图．3253948 专题： 图表型． 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出 n的 值． 解答： 解：循环前，F0=1，F1=2，n=1， 第一次循环，F0=1，F1=3，n=2， 第二次循环，F0=2，F1=4，n=3， 此时 ，满足条件 ，退出循环，输出 n=3， 故答案为：3． 点评： 本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题 型，属于基础题． 14．（4分）（2013•山东）在区间[﹣3，3]上随机取一个数 x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1 的概率为 ． 考点： 几何概型；绝对值不等式的解法．3253948 专题： 不等式的解法及应用；概率与统计． 分析： 本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得． 解答： 解：利用几何概型，其测度为线段的长度． 第 12 页 共 22 页 由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得 ① ，或② ，③．解①可得 x∈∅，解②可得 1≤x＜2，解③可得 x≥2． 故原不等式的解集为{x|x≥1}， ∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数 x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1 的概率为 P= = ． 故答案为： 点评： 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积） 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 15．（4分）（2013•山东）已知向量 与的夹角为 120°，且 ，．若 ，且 ，则实数 λ= ． 考点： 数量积表示两个向量的夹角；向量的模．3253948 专题： 计算题；压轴题；平面向量及应用． 分析： 利用 ，，表示 向量，通过数量积为0，求出 λ 的值即可． 解答： 解：由题意可知： ，因为 ，所以 所以 ，===﹣12λ+7=0 解得 λ= ．故答案为： ．点评： 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力． 16．（4分）（2013•山东）定义“正数对”：ln+x= ，现有四个命题： 第 13 页 共 22 页 ①若 a＞0，b＞0，则 ln+（ab）=bln+a； ②若 a＞0，b＞0，则 ln+（ab）=ln+a+ln+b； ③若 a＞0，b＞0，则 ；④若 a＞0，b＞0，则 ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+2． 其中的真命题有 ①③④ （写出所有真命题的序号） 考点： 命题的真假判断与应用．3253948 专题： 综合题；压轴题；新定义． 分析： 由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不 一样，故需要对 a，b分类讨论，判断出每个命题的真假 解：对于①，由定义，当 a≥1 时，ab≥1，故 ln+（ab）=ln（ab）=blna，又 bln+a=blna，故有 ln+（ab）=bln+a； 解答： 当 a＜1时，ab＜1，故 ln+（ab）=0，又 a＜1时 bln+a=0，所以此时亦有 ln+（ab）=bln+a．由上判断知① 正确； 对于②，此命题不成立，可令 a=2，b= ，则 ab= ，由定义 ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以 ln+（ab） ≠ln+a+ln+b；由此知②错误； 对于③，当 a≥b＞0时， ≥1，此时 ，此时命题成立；当 a＞1＞b时，ln+a﹣ln+b=lna，此时 a≥b＞0时， 成立；当＜1时，同理可验证是正确的，故③正确； ≥0，当 a≥b≥1 时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb= ，故命题成立；同理可验证当 1＞ 对于④，可分 a≤1，b≤1 与两者中仅有一个小于等于 1、两者都大于 1三类讨论，依据定义判断出④是正 确的 故答案为①③④ 点评： 本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想， 逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手 致错 三、解答题 17．（12分）（2013•山东）设△ABC 的内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c，且 a+c=6，b=2， ．（1）求 a，c的值； （2）求 sin（A﹣B）的值． 考点： 余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．3253948 专题： 解三角形． 分析： （1）利用余弦定理列出关于新，将 b与 cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出 acb的值，与 a+c 的值联立即可求出 a与 c的值即可； （2）先由 cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB的值，再由 a，b及 sinB的值，利用正弦 定理求出 sinA的值，进而求出 cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值 代入计算即可求出值． 解答： 解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB= ， 第 14 页 共 22 页 ∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ ac=36﹣ ac=4， 整理得：ac=9②， 联立①②解得：a=c=3； （2）∵cosB= ，B为三角形的内角， ∴sinB= =，∵b=2，a=3，sinB= ，∴由正弦定理得：sinA= ∵a=c，即 A=C，∴A 为锐角， ∴cosA= = ， ==，则 sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB= × ﹣ × =．点评： 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定 理及公式是解本题的关键． 18．（12分）（2013•山东）如图所示，在三棱锥 P﹣ABQ 中，PB⊥平面 ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是 AQ，BQ， AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与 EQ交于点 G，PC与 FQ交于点 H，连接 GH． （1）求证：AB∥GH； （2）求二面角 D﹣GH﹣E 的余弦值． 考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．3253948 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）由给出的 D，C，E，F分别是 AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到 DC平 行于 EF，再利用线面平行的判定和性质得到 DC平行于 GH，从而得到 AB∥GH； （2）由题意可知 BA、BQ、BP两两相互垂直，以 B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出 BA、BQ、BP的长 度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角 第 15 页 共 22 页 D﹣GH﹣E 的余弦值． 解答： （1）证明：如图， ∵C，D为 AQ，BQ的中点，∴CD∥AB， 又 E，F分别 AP，BP的中点，∴EF∥AB， 则 EF∥CD．又 EF⊂平面 EFQ，∴CD∥平面 EFQ． 又 CD⊂平面 PCD，且平面 PCD∩平面 EFQ=GH，∴CD∥GH． 又 AB∥CD，∴AB∥GH； （2）由 AQ=2BD，D为 AQ的中点可得，三角形 ABQ为直角三角形， 以 B为坐标原点，分别以 BA、BQ、BP所在直线为 x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设 AB=BP=BQ=2， 则 D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1）， 因为 H为三角形 PBQ的重心，所以 H（0， ， ）． 则，，．设平面 GCD的一个法向量为 由，得 ，取 z1=1，得 y1=2． 所以 ．设平面 EFG的一个法向量为 由，得 ，取 z2=2，得 y2=1． 所以 ．第 16 页 共 22 页 所以 = ． 则二面角 D﹣GH﹣E 的余弦值等于 ．点评： 本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维 能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出 H点的坐标，是中档题． 19．（12分）（2013•山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜 3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜 的概率是 ，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ．设各局比赛结果相互独立． （1）分别求甲队 3：0，3：1，3：2胜利的概率； （2）若比赛结果 3：0或 3：1，则胜利方得 3分，对方得 0分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得 2分，对方得 1分， 求乙队得分 X的分布列及数学期望． 考点： 离散型随机变量的期望与方差．3253948 专题： 概率与统计． 分析： （1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相 应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率； （2）X的取值可能为 0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列， 最后根据数学期望公式解之即可． 解答： 解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜 ①3：0，概率为 P1=（ ）3= ；②3：1，概率为 P2=C （ ）2×（1﹣ ）× = ③3：2，概率为 P3=C （ ）2×（1﹣ ）2× = ∴甲队 3：0，3：1，3：2胜利的概率： ；．（2）乙队得分 X，则 X的取值可能为 0，1，2，3． 由（1）知 P（X=0）=P1+P2= ；P（X=1）=P3= ；P（X=2）=C （1﹣ ）2×（ ）2× = ；P（X=3）=（1﹣ ）3+C （1﹣ ）2×（ ）× = ； 则 X的分布列为 XP3210E（X）=3× +2×+1× +0× =． 第 17 页 共 22 页 点评： 本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨 论的数学思想，属于中档题． 20．（12分）（2013•山东）设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前 n项和为 Tn且 （λ 为常数）．令 cn=b2n（n∈N※）求数列{cn}的前 n项和 Rn． 考点： 等差数列的通项公式；数列的求和．3253948 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{an} 的通项公式； （2）把{an}的通项公式代入 ，求出当 n≥2 时的通项公式，然后由 cn=b2n得数列{cn}的通项 公式，最后利用错位相减法求其前 n项和． 解答： 解：（1）设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由 a2n=2an+1，取 n=1，得 a2=2a1+1，即 a1﹣d+1=0① 再由 S4=4S2，得 ，即 d=2a1② 联立①、②得 a1=1，d=2． 所以 an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）把 an=2n﹣1 代入 ，得 ，则 ．所以 b1=T1=λ﹣1， 当 n≥2 时， =．所以 ，．Rn=c1+c2+…+cn= ③④③﹣④得： 所以 =；第 18 页 共 22 页 所以数列{cn}的前 n项和 ．点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中 档题． 21．（13分）（2013•山东）设函数 ．（1）求 f（x）的单调区间及最大值； （2）讨论关于 x的方程|lnx|=f（x）根的个数． 考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．3253948 专题： 压轴题；导数的综合应用． 分析： （1）利用导数的运算法则求出 f′（x），分别解出 f′（x）＞0与 f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与 最值； （2）分类讨论：①当 0＜x≤1 时，令 u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，②当 x≥1 时，令 v（x） =lnx﹣ ．利用导数分别求出 c的取值范围，即可得出结论． 解答： 解：（1）∵ =，解 f′（x）＞0，得 ；解 f′（x）＜0，得 ．∴函数 f（x）的单调递增区间为 故 f（x）在 x= 取得最大值，且 ；单调递减区间为 ．．（2）函数 y=|lnx|，当 x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示： ①当 0＜x≤1 时，令 u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c， c= =g（x）， 则=．令 h（x）=e2x+x﹣2×2，则 h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在 x∈（0，1]单调递增， ∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1． ∴g′（x）＜0，∴g（x）在 x∈（0，1]单调递减． ∴c ．②当 x≥1 时，令 v（x）=lnx﹣ ，得到 c=lnx﹣=m（x）， ＞0， 则=故 m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）= ．第 19 页 共 22 页 综上①②可知：当 时，方程|lnx|=f（x）无实数根； 时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根； 时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根． 当当点评： 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基 础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法． 22．（13分）（2013•山东）椭圆 C： 的左右焦点分别是 F1，F2，离心率为 ，过F1且垂直 于 x轴的直线被椭圆 C截得的线段长为 1． （1）求椭圆 C的方程； （2）点 P是椭圆 C上除长轴端点外的任一点，连接 PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线 PM交 C的长轴于点 M（m，0）， 求 m的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点 P作斜率为 k的直线 l，使得 l与椭圆 C有且只有一个公共点，设直线 PF1，PF2的斜率 分别为 k1，k2，若 k≠0，试证明 为定值，并求出这个定值． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．3253948 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）把﹣c 代入椭圆方程得 ，解得 ，由已知过 F1且垂直于 x轴的直线被椭圆 C截得的 线段长为 1，可得 ．再利用 ，及 a2=b2+c2即可得出； （2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得 ，利用椭圆的定义可得 t+n=2a=4， 消去 t得到 ，化为 ，再根据 a﹣c＜n＜a+c，即可得到 m的取值范围； 第 20 页 共 22 页 （3）设 P（x0，y0），不妨设 y0＞0，由椭圆方程 ，取 ，利用导数即可得到切线的斜 率，再利用斜率计算公式即可得到 k1，k2，代入即可证明结论． 解答： 解：（1）把﹣c 代入椭圆方程得 ，解得 ，∵过 F1且垂直于 x轴的直线被椭圆 C截得的线段长为 1，∴ ．又，联立得 解得 ，∴椭圆 C的方程为 ．（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n， 由角平分线的性质可得 ，又 t+n=2a=4，消去 t得到 ∵a﹣c＜n＜a+c，即 ，化为 ，也即 ，，解得 ．∴m 的取值范围； ．（3）证明：设 P（x0，y0）， 不妨设 y0＞0，由椭圆方程 ，取，则 =，∴k= =．∵∴，，，=第 21 页 共 22 页 ∴==﹣8 为定值． 点评： 本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率 计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力． 第 22 页 共 22 页
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