2013年天津高考文科数学试题及答案(Word版)下载

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 文 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分 钟. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页. 第Ⅰ卷 参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A  B)  P(A)  P(B) ·棱柱的体积公式 V = Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件 A, B 相互独立, 那么 P(AB)  P(A)P(B) 4·球的体积公式V   R3. 3其中 R 表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, B = {x∈R| x≤1}, 则 A  B  (A) (,2] (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 3x  y  6  0, (2) 设变量 x, y 满足约束条件x  y  2  0, 则目标函数 z = y－2x 的最小值为 y  3  0, (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 第 1 页 共 11 页 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 n 的值为 (A) 7 (C) 5 (B) 6 (D) 4 (4) 设a,b R , 则 “(a  b)a2  0 ”是“a  b ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5) 已知过点 P(2,2) 的直线与圆(x 1)2  y2  5 相切, 且与直线ax  y 1 0 垂直, 则a  1(A) (B) 1 (D) 212(C) 2 42(6) 函数 f (x)  sin 2x   在区间  上的最小值是 0, 2(A) 1 (B) 22(C) (D) 0 2(7) 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0,) 上单调递增. 若实数 a 满足 f (log2 a)  f (log1 a)  2 f (1) , 则 a 的取值范围是 212(A) [1,2] (B) 0, 12(C) ,2 (D) (0,2] (8) 设函数 f (x)  ex  x  2, g(x)  ln x  x2  3. 若实数 a, b 满足 f (a)  0, g(b)  0 , 则 (A) g(a)  0  f (b) (C) 0  g(a)  f (b) (B) f (b)  0  g(a) (D) f (b)  g(a)  0 第 2 页 共 11 页 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 文 科 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分. 二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 9 , 则正方体的棱长为 .22y2 b2 (11) 已知抛物线 y2  8x 的准线过双曲线 ax2 1(a  0,b  0) 的一个焦点, 且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为 .(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1,BAD  60 , E 为 CD 的中点. 若AC·BE 1, 则 AB 的长为 (13) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB//DC, 过点 A 作圆的切线 与 CB 的延长线交于点 E. 若 AB = AD = 5, BE = 4,则弦 BD 的长 为.1(14) 设 a + b = 2, b>0, 则 2 | a | | a | 的最小值为 .b第 3 页 共 11 页 三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表如 下: A1 (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) A6 A7 A8 A9 A10 (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) A2 A3 A4 A5 产品编号 质量指标(x, y, z) 产品编号 质量指标(x, y, z) (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取 2 件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率. (16) (本小题满分 13 分) 2在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知bsin A  3csin B , a = 3,cos B  (Ⅰ) 求 b 的值; .33(Ⅱ) 求sin 2B   的值. (17) (本小题满分 13 分) 第 4 页 共 11 页 如图, 三棱柱 ABC－A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. (18) (本小题满分 13 分) 2y2 b2 设椭圆 ax2 1(a  b  0) 的左焦点为 F, 离心率为 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截 3得的线段长为 4 3 .3(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若    AC·DB  AD·CB  8 , 求 k 的值. (19) (本小题满分 14 分) 已知首项为 23 的等比数列{an}的前 n 项和为Sn (n N*) , 且2S2 ,S3 ,4S4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; 113 6(Ⅱ) 证明 .Sn  (n N*) Sn (20) (本小题满分 14 分) x3  (a  5)x, a  3 x  0, 设a[2,0], 已知函数 f (x)  x3  x2  ax, x  0. 2(Ⅰ) 证明 f (x) 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; 第 5 页 共 11 页 13(Ⅱ) 设曲线 y  f (x) 在点 P(xi , f (xi ))(i 1,2,3) 处的切线相互平行, 且 x1x2 x3  0, 证明 x1  x2  x3  .i第 6 页 共 11 页 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。每小题 5 分。满分 40 分。 （1）D （5）C （2）A （6）B （3）D （7）C （4）A （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 30 分。 y2 （9）5-5i （10） 3（11） x2  1 31（12） 215 3（14） 4（13） 2三、解答题 （15）本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件 数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查数据处理能力和运用概率知识解决简 单问题的能力。满分 13 分。 （I）解：计算 10 件产品的综合指标 S，如下表: AA2 AA4 AAAAAA10 产品编号 13567894463454535S6其中 S≤4 的有 A，A2 ，A4 ，A，A7，A9 ，共 6 件，故该样本的一等品率为 =0.6， 1510 从而可估计该批产品的一等品率为 0.6. （II） （i）解：在该样本的一等品中，随机抽取 2件产品的所有可能结果为 A A ，A A ，2 4 1, 1, A A ，A A ，A A ，A , A 4 ，A , A 5 ，A , A 7 ，A , A 9 ，A , A 5 ，A , A  7 ，5 7 9 1, 1, 1, 222244A , A 9 ，A , A 7 ，A , A 9 ，A , A ，共 15 种. 9 4557AA2 A51（ii）解：在该样本的一等品中，综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 ， ， ，A7，则事件 B 发生的所有可能结果为 A A ，A A ，A A ，A , A 5 ，A , A 7 ，A , A  7 2 5 7 1, 1, 1, 225共 6 种。 所以 P(B)= 625.15 （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式 、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.满分 13 分。 ab（I）解：在 ABC 中，由 a=3c，又 a=3，故 c=1. =，可得 bsin A  asin B ,又由 bsin A  3csin B ，可得 sin A sin B 2由b2  a2  c2  2accos B ，cos B = ，可得b  6. 32519（ II ） 解 ： 由 cos B = ， 得 sin B =， 进 而 得 cos2B =2cos2 B 1 =，334 5 sin 2B  2sin Bcos B  .93334 5 3 所以 sin 2B  =sin2Bcos cos2Bsin .18 （17）本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分 13 分。 （I）证明：如图，在三棱柱 ABC A B C1 中， 11AC ∥AC1 ，且 AC = AC1 ，连接 ED，在ABC 中， 因为 D,E 分别 111为 AB, BC 的中点所，以 DE= AC 且 DE∥AC又，因为 F 为 AC1 的中点，可得 A F  DE ,且 A F ∥DE ，1112即四边形 A DEF 为平行四边形，所以 EF ∥DA . 又EF 平面 ACD , DA  平面 ACD ，所以， 11111EF ∥平面 ACD 。1（II）证明：由于底面 ABC 是正三角形，D 为 AB 的中点，故 CD⊥AB，又由于侧棱 A A ⊥1底面 ABC ，CD 平面 ABC ，所以 A A ⊥CD，又 A A AB  A ，因此 CD⊥平面 A ABB1 ，而 CD 111平面 ACD ，所以平面 ACD ⊥A ABB 。 1111（III）解：在平面 A ABB1 内，过点 B 作 BG⊥ A D 交直线 A D 于点 G，连接 CG. 由于平面 ACD 1111⊥平面 A ABB1 ，而直线 A D 是平面 ACD 与平面 A ABB1 的交线，故 BG⊥平面 ACD 。由此得 11111BCG 为直线 BC 与平面 ACD 所成的角。 15a 5a 设棱长为 a，可得 A D ，由 A AD ∽BGD ，易得 BG 。在 RtBGC 中，sin 1125BG BC 5BCG  .55所以直线 BC 与平面 ACD 所成角的正弦值为 。15（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知 识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问 题的能力。满分 13 分。 c3（I）解：设 F（c,0），由 ,知a  3c . 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x  c，代入 a3(c)2 y2 6b 2 6b 4 3 ，解得b  2 ，又 a2 c2  b2 ，从 1 y   椭圆方程有 ，解得 ，于是 a2 b2 333×2 y2 1 .而a  3，c=1，所以椭圆的方程为 32（II）解：设点C(x1, y1) ，D(x2 , y2 ) ,由 F（-1，0）得直线 CD 的方程为 y  k(x 1) ，由方程 y  k(x 1) 消去 y . ，整理得(2+3k2 )x2  6k2 x  3k2  6  0 2y2 组x1 326k2 2  3k2 3k2  6 2  3k2    求 解 可 得x1  x2   ，x1x2  . 因 为A( 3,0 ), B( 3,0)， 所 以ACDB  ADCB =（x1  3, y1 ）( 3 x2 ,y2 ) +(x2  3, y2 ) ( 3 x1,y1) =6  2x1x2  2y1 y2 = 5 2x1x2  2k2 (x1 1)(x2 1) 6  (2  2k2 )x1x2  2k2 (x1  x2 )  2k2 2k2 12 =6  .2  3k2 2k2 12 2  3k2 由已知得6  =8，解得k  2. （19）本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式， 数列的基本性质等基础知识. 考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题 的能力. 满分 14 分. （ I ） 解 ： 设 等 比 数 列 a的 公 比 为q ， 因 为 2S2 ,S3 ,4S4 成 等 差 数 列 ， 所 以   na4 13S3 +2S2 =4S4  S3 ，即S4 S3 =S2  S4 ，可得 2a4  a3 ，于是q   . 又a1  ，所以等比数 a3 22n1 3132n a    列的通项公式为an    (1)n1 .n  22  （II）证明： 12  2  ,n为奇数， ,n为偶数。 nn2n (2n 1) 111121Sn =1  , Sn  1  =n2Sn 121  2n (2n 1) 11113 6当 n 为奇数时，Sn  当 n 为偶数时，Sn  随随nn的增大而减小，所以Sn  ≤≤S1  S2  .Sn Sn S1 11125 的增大而减小，所以Sn  .Sn Sn S2 12 113 故对于 n Nn ,有 Sn  ≤.Sn 6（20）本小题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分 类讨论思想、化归思想、函数思想. 考查综合分析问题和解决问题的能力. 满分 14 分。 a  3 2（I）证明：设函数 f1(x)  x3  (a  5)x (x  0) ，f2 (x) x3  x2  ax (x  0), ①②f1′ (x) =3×2  (a  5), 由a 2,0 ，从而当 1 ＜x＜0时， f1′ (x) =3×2  (a  5) ＜3a 5  0 ，所以函数 f1(x) 在区间 1,0 内单调递减. ”f2 (x) =3×2  (a  3)x  a  (3x  a)(x 1)，由于a 2,0 ，所以当 0＜ x＜1 时， f2 (x) ＜0；当 ’x＞1 时， f2 (x) ＞0. 即函数 f2 (x)在区间 0,1 内单调递减，在区间(1,)内单调递增. 综合①，②及 f1(0)  f2 (0) ，可知函数 f (x) 在区间（-1,1）内单调递减，在区间(1,) 内单调递增. a  3 6（II）证明：由（I）知 f ‘ (x)在区间(,0)内单调递减，在区间 0, 内单调递减，在 a  3 6区间 , 内单调递增. 因为曲线 y  f (x) 在点 P(x1, f (x1)) （i=1,2,3）处的切线相互平行， 1从而 x1, x2 , x3 互不相等，且 f ‘ (x1)  f ‘ (x2 )  f ‘ (x3 ). 不防设 x1 ＜0＜ x2 ＜ x3 ，由 23×12  (a  5)  3×2  (a  3)x2  a  3×32  (a  3)x3  a ，a  3 3a  3 62可得3×2 3×32  (a  3)(x2  x3 )  0 ，解得 x2  x3  ，从而 0＜ x2 ＜＜x3 .a  3 6设g(x)  3×2  (a  3)x  a ，则 g＜g(x2 )＜ g(0)  a . 2a  5 2a  5 a  3 由3×12  (a  5)  g(x2 ) 2a  5 ＜a，解得 ＜x1 ＜0，所以 x1 +x2 +x3 ＞，设 3333t2  5 315 3t  ， 则 a  ， 因 为 a 2,0 ， 所 以 t  ,， 故x1 +x2 +x3 ＞3233t2 1 1 11t   (t 1)2   ，623313即x1 +x2 +x3 ＞.