2013年北京高考文科数学试题及答案下载

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷满分 150 分，考试时 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效， 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合 A  1,0,1 ，B  x | 1 x 1 ，则 A B  （）A． 0  B． 1,0 C． 0,1 D． 1,0,1 2．设 a，b，c R ，且 a  b ，则（ ）11A． ac  bc B． C． a2  b2 D． a3  b3 ab3．下列函数中，既是偶函数又在区间 (0,)上单调递减的是（ ）1A． y  B． y  ex C． y  x2 1 D． y  lg x x4．在复平面内，复数i(2 i)对应的点位于（ ）A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 15．在 ABC 中， a  3 ，b  5 ，sin A  ，则sin B  （）31595A． B． C． D．1 536．执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ）2A． C． 1B． 3610 13 21 D． 987 y2 m7．双曲线 x2  1的离心率大于 2 的充分必要条件是 1A． m  B． m 1 D． m  2 2C． m 1 8．如图，在正方体 ABCD  A B C1D1 中， P为对角线 BD1 的三等分点，则 P 到各 11第 1 页 共 12 页 顶点的距离的不同取值有（ A． ）3个B． 4个C． 5个D． 6个第二部分（选择题 共110 分） 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9．若抛物线 y2  2px 的焦点坐标为 (1,0) ，则 p  10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ，准线方程为 。。11．若等比数列 a满足 a2  a4  20 ，a3  a5  40，则公比 q  ；前 n项和 Sn  。  nx  0 12 ．设 D为不等式组 2x  y  0 所表示的平面区域，区域 D上的点与点 (1,0) 之间的距离的最小值 x  y 3  0 为。log x, x 1 1213．函数 f (x)  的值域为 。x2 , x 1    （14．向量 A(1,1) 的点 组成，则 ，B(3,0) ，C(2,1) ，若平面区域 D由所有满足 AP   AB   AC 1   2 ，0   1 ）PD的面积为 。第 2 页 共 12 页 三、解答题（共 6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤） 15．（本小题共 13 分） 1已知函数 f (x)  (2cos2 x 1)sin 2x  cos4x 2（1）求 f (x) 的最小正周期及最大值。 22（2）若 ( , )，且 f ()  ，求 的值。 2第 3 页 共 12 页 16．（本小题共 13 分） 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指 数大于 200 表示空气重度污染。某人随机选择 3 月 1 日至 14 日中的某一天到达该市，并停留 2 天。 （1）求此人到达当日空气重度污染的概率。 （2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。 （3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 第 4 页 共 12 页 17．（本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 P  ABCD 中， AB / /CD ，AB  AD ，CD  2AB ，平面 PAD 底面 ABCD ，PA  AD ， E 和 F 分别是CD 和 PC 的中点，求证： （1） PA  底面 ABCD （2） BE / / 平面 PAD （3）平面 BEF  平面 PCD 第 5 页 共 12 页 18．（本小题共 13 分） 已知函数 f (x)  x2  xsin x  cos x （1）若曲线 y  f (x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y  b相切，求 a与b的值。 （2）若曲线 y  f (x) 与直线 y  b有两个不同的交点，求 b 的取值范围。 第 6 页 共 12 页 19．（本小题共 14 分） x2 直线 y  kx  m （m  0 ）W： y2 1相交于 A ，C 两点，O 是坐标原点 4（1）当点 （2）当点 BB的坐标为 (0,1) ，且四边形OABC 为菱形时，求 AC 的长。 在W上且不是 W的顶点时，证明四边形OABC 不可能为菱形。 20．（本小题共 13 分） 给定数列 a1 ，a2 ， ，an 。对i 1,2,3,,n 1，该数列前 i项的最大值记为 Ai ，后 n i 项 ai1 ， ai2 ， ，an 的最小值记为 B，di  A  B 。iii（1）设数列 a为3，4，7，1，写出 d1 ，d2 ，d3 的值。   n（2）设 a1 ，a2 ， ，an （n  4 ）是公比大于 1的等比数列，且 a1  0 ，证明 d1 ，d2 ，， ， dn1 是等比 数列。 （3）设 d1 ，d2 ， ，dn1 是公差大于 0的等差数列，且 d1  0 ，证明 a1 ，a2 ， an1 是等差数列。 第 7 页 共 12 页 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9． 10． 6．C 7．C 8．B 2，x  1 311． 14． 23，2n1 1 2 5 512． 13． (,2) 三、解答题（共 6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤） 15．（本小题共 13 分） 1解：（1） f (x)  (2cos2 x 1)sin 2x  cos4x 21 cos2xsin 2x  cos4x 211 sin 4x  cos4x 2224sin(4x  ) 22 42所以，最小正周期T  42k 216 当4x  2k  （k Z ），即 x  （k Z ）时 2f (x)max 2242（2）因为 f ()  sin(4  )  22第 8 页 共 12 页 所以sin(4  ) 1 429 4417 4因为     ，所以  4  45 29 16 所以 4  ，即  16．（本小题共 13 分） 解：（1）因为要停留 2 天，所以应该在 3 月 1 日至 13 日中的某天到达，共有 13 种选择，其间重度污染的有两天， 2所以概率为 P  113 （2）此人停留的两天共有 13 种选择，分别是： (1,2) ， (2,3) ， (3,4) ， (4,5) ， (5,6) ， (6,7) ， (7,8) ， (8,9) ，(9,10) ，(10,11) ，(11,12) ，(12,13) (5,6) ，，(13,14) (7,8) 其中只有一天重度污染的为 (4,5) ，，(8,9) ，共 4 种， 4所以概率为 P  213 （3）因为第 5，6，7 三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。 17．（本小题共 14 分） 证明：（1）因为 PA  AD ，平面 PAD 底面 ABCD 且平面 PAD 底面 ABCD  AD 所以 PA  底面 ABCD （2）因为 E和F分别是CD EF  平面 PAD PD  平面 PAD ，所以 BE / / 平面 PAD （3）因为 PA  底面 ABCD CD  平面 ABCD 所以 PA  CD ，即CD  PA 因为 AB  AD CD / /AB ，所以CD / /AD PA  平面 PAD AD  平面 PAD ，且 PA AD  A 所以CD  平面 PAD 因为 AB / /CD ，所以CD  2AB ，所以四边形 ABED 是平行四边形， 所以 BE / /AD ，而 BE  平面 PAD AD  平面 PAD 所以 BE / / 平面 PAD ，同理 EF / / 平面 PAD EF  平面 BEF BE  平面 BEF EF  BE  E 和 PC 的中点，所以 EF / /PD ， 而，，，而，，，而，且所以平面 BEF / / 平面 PAD ， 所以CD  平面 BEF / / 又因为CD  平面 PCD 所以平面 BEF  平面 PCD 第 9 页 共 12 页 18．（本小题共 13 分） 解：（1） f ‘(x)  2x  xcos x  x(2  cos x) 因为曲线 y  f (x) 在点 (a, f (a)) 处的切线为 y  b 2a  acosa  0 a2  asin a  cosa  b f ‘(a)  0 f (a)  b a  0 b 1 所以 ，即 ，解得 （2）因为 2  cos x  0 所以当 x  0 x  0 时时f ‘(x)  0 f ‘(x)  0 ，，f (x) 单调递增 f (x) 单调递减 当所以当 x  0 时， f (x) 取得最小值 f (0) 1 所以 的取值范围是 (1,) ，b19．（本小题共 14 分） 12解：（1）线段OB 的垂直平分线为 y  ，因为四边形OABC 为菱形， 1所以直线 y  与椭圆的交点即为 A ，C 两点 2×2 12对椭圆  y2 1，令 y  得x  3 4所以 AC  2 3 （2）方法一：当点 B 不是W 的顶点时， y  kx  m (1 4k2 )x2 8kmx  4m2  4  0 2联立方程 得x y2 1  4 设则A(x1, y1) ，C(x1, y2 ) 8km ，4m2  4 x1  x2   ，x1x2  ，1 4k2 1 4k2 y1  y2  kx1  m  kx2  m  k(x1  x2 )  2m 第 10 页 共 12 页 8k2m    2m 1 4k2 2m 1 4k2 若四边形OABC 为菱形，则 OA  OC ，即 OA 2  OC 2 22所以 x12  y12  x2  y2 即(x1  x2 )(x1  x2 )  (y2  y1)(y2  y1) 的顶点，所以 x1  x2  0 因为点 B不是 W，x1  x2 y2  y1 所以 y2  y1 x1  x2 8km 1 4k2 即 k ，即 k  4k 2m 1 4k2 所以 k  0 此时，直线 AC 与y轴垂直，所以 B为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾， 所以四边形OABC 不可能为菱形 方法二： 因为四边形OABC 为菱形，所以 OA  OC ，设则OA  OC  r （r 1 ）x2 A，C两点为圆 x2  y2  r2 与椭圆  y2 1的交点 4222x  y  r 4(r2 1) 联立方程 得x2  2x y2 1 3 4 所以 A，BC两点的横坐标相等或互为相反数。 因为点 在W 上 若若AA，，CC两点的横坐标相等，点 B 应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。 两点的横坐标互为相反数，点 B应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。 所以四边形OABC 不可能为菱形。 第 11 页 共 12 页 20．（本小题共 13 分） 解：（1） d1  A  B  31 2 ，d2  A2  B2  4 1 3 ，d3  A  B3  7 1 6 113（2）因为 a1 ，a2 ， ，an （n  4 ）是公比大于1的等比数列，且 a1  0 所以 an  a1qn1 所以当 k 1,2,3,,n 1时， dk  A  Bk  ak  ak1 kdk ak  ak1 ak1q(1 q) 所以当 k  2,3,,n 1时，  q dk1 ak1  ak ak1(1 q) 所以 d1 （3）若 d1 ，d2 ，   ，dn1 是等比数列。 ，d2 ，，dn1 是公差大于 0的等差数列，则 0  d1  d2   dn1 a1 ，a2 ，，an1 应是递增数列，证明如下： 设ak 是第一个使得 ak  ak1 的项，则 Ak1  A ，Bk1  Bk ，所以 dk1  Ak1  Bk1  A  Bk  dk ，与已知矛盾。 kk所以， a1 ，a2 ， ， an1 是递增数列 再证明 an 数列 a中最小项，否则 ak  an （k  2,3,,n 1），则   n显然 k 1，否则 d1  A  B  a1  B  a1  a1  0 ，与 d1  0 矛盾 111因而 k  2 ，此时考虑 dk1  Ak1  Bk1  ak1  ak  0，矛盾 因此 an 是数列 中最小项 a  n综上， dk  A  Bk  ak  an （k  2,3,,n 1  ）k于是 ak  dk  an ，也即 a1 ，a2 ，， an1 是等差数列 第 12 页 共 12 页