第 1 页 共 15 页 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题 n 20 n 3n 13 1．计算： lim ______ 2．设 m R ，m2 m 2 (m2 1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m ________ x2 y2 xx3．若 ，则 x y ______ y y 1 14．已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c，若3a2 2ab 3b2 3c2 0 ，则角 C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 5ax5．设常数 a R ，若 x2 的二项展开式中 x7 项的系数为 10，则 a ______ ．316．方程 3x1 的实数解为________ 3x 1 3 7．在极坐标系中，曲线 cos 1 ．与 cos 1的公共点到极点的距离为__________ 8．盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两 个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 49．设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 CBA ，若 AB=4， BC 2 ，则 的两个焦点之间的距离为________ 10 ． 设 非 零 常 数d 是 等 差 数 列x1, x2 , x3,, x19 的 公 差 ， 随 机 变 量 x1, x2 , x3,, x19 ，则方差 D _______ 等 可 能 地 取 值 1211．若 cos xcos y sin xsin y ,sin 2x sin 2y ，则sin(x y) ________ ．23a2 为实常数， y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) 9x 7 12．设 a，x若f (x) a 1对一切 x 0 成立，则 a 的取值范围为________ 13．在 xOy 平面上，将两个半圆弧 (x 1)2 y2 1(x 1) 和(x 3)2 y2 1(x 3) 、两条直线 y 1 y 1围成的封 闭图形记为 D，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而成的 和几何体为 ，过 (0, y)(| y |1) 作的水平截面，所得截面 第 1 页 共 15 页 第 2 页 共 15 页 面积为 4 1 y2 8 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 值为__________ 的体积 14．对区间 I 上有定义的函数 g(x) ，记 g(I) {y | y g(x), x I}，已知定义域为[0,3] 的函 数y f (x) 有 反 函 数y f 1(x) ， 且f 1([0,1)) [1,2), f 1((2,4]) [0,1)， 若 方 程 f (x) x 0有解 x0 ，则 x0 _____ 二、选择题 15．设常数 a R ，集合 A {x | (x 1)(x a) 0}, B {x | x a 1}，若 A B R ，则 a的取值范围为（ ）(A) (,2) (B) (,2] (C) (2,) (D) [2,) 16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 17 ． 在 数 列 {an}中 ，an 2n 1， 若 一 个7 行 12 列 的 矩 阵 的 第i 行 第j 列 的 元 素 ai, j ai aj ai aj ，（ i 1,2,,7; j 1,2,,12 ）则该矩阵元素能取到的不同数值的 个数为（ (A)18 ）(B)28 (C)48 (D)63 18．在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1,a2 ,a3,a4 ,a5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1,d2 ,d3,d4 ,d5 .若 m, M 分 别 为(ai aj ak )(dr ds dt ) 的 最 小 值 、 最 大 值 ， 其 中 {i, j,k}{1,2,3,4,5} ,{r, s,t}{1,2,3,4,5},则 m, M 满足（ ）. (A) m 0, M 0 (B) m 0, M 0 (C) m 0, M 0 (D) m 0, M 0 三、解答题 19.（本题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线 BC1 平行于平面 DA1C，并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离. DCABC1D1A1B120．（6 分+8 分）甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产 3条件要求1 x 10 ），每小时可获得利润是100(5x 1 ) 元. x(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大 利润. 第 2 页 共 15 页 第 3 页 共 15 页 21．（6 分+8 分）已知函数 f (x) 2sin(x) ，其中常数 0 2 ；（1）若 y f (x) 在[ , 4 3 ]上单调递增，求 的取值范围； 6（2）令 2 ，将函数 y f (x) 的图像向左平移 个单位，再向上平移1 个单位，得到函 数y g(x) 的图像，区间[a,b] （a,b R 且a b ）满足： y g(x) 在[a,b]上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求b a 的最小值． 第 3 页 共 15 页 第 4 页 共 15 页 x2 22 ．（ 3 分 +5 分 +8 分 ） 如 图 ， 已 知 曲 线 C1 : y2 1， 曲 线 2C2 😐 y || x | 1，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与C1,C2 都有公 共点，则称 P 为“C1—C2 型点”． (1)在正确证明C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时，要使用一条过该焦点的 直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； (2)设直线 y kx “C1—C2 型点”； 与 C2 有公共点，求证 | k |1，进而证明原点不是 1(3)求证：圆 x2 y2 内的点都不是“C1—C2 型点”． 223．（3 分+6 分+9 分）给定常数 c 0 ，定义函数 f (x) 2 | x c 4 | | x c |，数列 a1,a2 ,a3,满足 an1 f (an ),n N* .（1）若 a1 c 2 ，求 a2 及 a3 ；（2）求证：对任意 n N*,an1 an c ，； （3）是否存在 在，说明理由. a1 ，使得 a1,a2 ,an ,成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1 ，若不存 第 4 页 共 15 页 第 5 页 共 15 页 2013 年 上海 高考理科数学（参考答案） 一． 填空题 111 5 13 18 1. 2. －2 3. 04. arccos 5. －2 6.log3 4 7. 13. 2 2 16 14. 2 8. 3324 6 2879. 10. 30d² 11. 12. a 33二． 选择题 题号 15 B16 B17 A18 D代号 三． 解答题 19. 【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体，故 AB //C1D , AB C1D ，11故 ABC1D1 为平行四边形，故 BC1 // AD ，显然 B 不在平面 D1AC 上，于是直 1线 BC1 平行于平面 DA1C； 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h1113考虑三棱锥 ABCD1 的体积，以 ABC 为底面，可得V ( 12)1 323而AD C 中， AC D C 5, AD 2 ，故 SAD C 111121 3 1223所以，V h h ，即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 ．3 2 333320．【解答】(1)根据题意， 200(5x 1 ) 3000 5x 14 0 x1 x 10 ，可解得3 x 10 900 x又31 1 61 12 (2)设利润为 y元，则 y 100(5x 1 ) 9104[3( )2 ]xxx 6 故x 6 时， ymax 457500 元． 21．【解答】(1)因为 0 ，根据题意有 42 322 34 0 63(2) f (x) 2sin(2x) ，g(x) 2sin(2(x )) 1 2sin(2x ) 1 3137g(x) 0 sin(2x ) x k 或x k ,k Z 12 ，232 3即g(x) 的零点相离间隔依次为 和，第 5 页 共 15 页 第 6 页 共 15 页 故 若y g(x) 2 在[a,b]上 至 少 含 有30 个 零 点 ， 则 b a 的 最 小 值 为 43 14 15 ．33323. 【 解 答 】：（ 1 ） C1 的 左 焦 点 为F( 3,0) ， 过F 的 直 线x 3 与 C1 交 于 2( 3, ) ，与 C2 交于 ( 3,( 31))，故 C1 的左焦点为“C1-C2 型 2点”，且直线可以为 x 3 ；（2）直线 y kx 与 C2 有交点，则 y kx (| k | 1) | x |1，若方程组有解，则必须| k |1 ；| y || x | 1 直线 y kx 与 C2 有交点，则 y kx x2 2y2 2 12 (1 2k2 )x2 2，若方程组有解，则必须 k2 故直线 y kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点，即原点不是“C1-C2 型 点”。 1（3）显然过圆 x2 y2 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点，则斜率必存在； 2根据对称性，不妨设直线 l斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t,t 1)(t 0) ，则 l : y (t 1) k(x t) kx y (1 t kt) 0 1|1 t kt | k2 1 2直线 l与圆 x2 y2 内部有交点，故 212化简得， (1 t tk)2 (k2 1)。。。。。。。。。。。。① 2若直线l 与曲线 C1 有交点，则 y kx kt t 1 1 (k2 )x2 2k(1 t kt)x (1 t kt)2 1 0 x2 y2 1 221 4k2 (1 t kt)2 4(k2 )[(1 t kt)2 1] 0 (1 t kt)2 2(k2 1) 2化简得， (1 t kt)2 2(k2 1) 。。。。。② 1由①②得， 2(k2 1) (1 t tk)2 (k2 1) k2 1 21但此时，因为t 0,[1 t(1 k)]2 1, (k2 1) 1，即①式不成立； 21当k2 时，①式也不成立 21综上，直线 l若与圆 x2 y2 内有交点，则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点， 21即圆 x2 y2 内的点都不是“C1-C2 型点” ． 223. 【解答】：（1）因为 c 0 ，a1 (c 2) ，故 a2 f (a1) 2 | a1 c 4 | | a1 c | 2 ，第 6 页 共 15 页 第 7 页 共 15 页 a3 f (a1) 2 | a2 c 4 | | a2 c | c 10 （2）要证明原命题，只需证明 f (x) x c 对任意 x R 都成立， f (x) x c 2 | x c 4 | | x c | x c 即只需证明 2 | x c 4 || x c | +x c 若x c 0 ，显然有 2 | x c 4 || x c | +x c=0成立； 若x c 0 ，则 2 | x c 4 || x c | +x c x c 4 x c 显然成立 综上， f (x) x c 恒成立，即对任意的 n N* ，an1 an c （3）由（2）知，若{an}为等差数列，则公差 d c 0 ，故 n 无限增大时， 总有 an 0 此时， an1 f (an ) 2(an c 4) (an c) an c 8 即故d c 8 a2 f (a1) 2 | a1 c 4 | | a1 c | a1 c 8 ，即当2 | a1 c 4 || a1 c | a1 c 8 ，a1 c 0 时，等式成立，且 n 2 时， an 0，此时{an}为等差数列，满 足题意； 若a1 c 0 ，则| a1 c 4 | 4 a1 c 8 ，此时， a2 0,a3 c 8,,an (n 2)(c 8) 也满足题意； 1 的取值范围是[c,) {c 8} 综上，满足题意的 a．第 7 页 共 15 页 第 8 页 共 15 页 2013 年上海市秋季高考理科数学 一、填空题 n 20 n 3n 13 1．计算： lim ______ n 20 n 3n 13 13【解答】根据极限运算法则， lim ．2．设 m R ，m2 m 2 (m2 1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m ________ 2m m 2 0 m2 1 0 x2 y2 【解答】 m 2 ．xx3．若 ，则 x y ______ y y 【解答】 x2 y2 2xy x y 0 1 1．4．已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c，若3a2 2ab 3b2 3c2 0 ，故则角 C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 2【解答】3a2 2ab 3b2 3c2 0 c2 a2 b2 ab ，3113cosC ,C arccos ．35a5．设常数 a R ，若 x2 的二项展开式中 x7 项的系数为 10，则 a ______ xa【解答】Tr1 C5r (x2 )5r ( )r ,2(5 r) r 7 r 1，故C51a 10 a 2 ．x316．方程 3x1 的实数解为________ 3x 1 3 【解答】原方程整理后变为32x 23x 8 0 3x 4 x log3 4 7．在极坐标系中，曲线 cos 1 cos 1的公共点到极点的距离为__________ ．与1 5 1 5 【解答】联立方程组得 ( 1) 1 ，又 0，故所求为 ．228．盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两 个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） C52 13 【解答】9 个数 5 个奇数，4 个偶数，根据题意所求概率为1 ．C92 18 49．设 AB 是椭圆 两个焦点之间的距离为________ 【 解 答 】 不 妨 设 椭 圆的 标 准 方 程 为 的长轴，点 C 在 上，且 CBA ，若 AB=4， BC 2 ，则 的x2 y2 1， 于 是 可 算 得 C(1,1)， 得 4b2 44 6 3b2 ,2c ．310 ． 设 非 零 常 数d 是 等 差 数 列x1, x2 , x3,, x19 的 公 差 ， 随 机 变 量 x1, x2 , x3,, x19 ，则方差 D _______ 等 可 能 地 取 值 第 8 页 共 15 页 第 9 页 共 15 页 d2 【解答】 E x10 ，D (92 82 12 02 12 92 ) 30 | d | ．19 1211．若 cos xcos y sin xsin y ,sin 2x sin 2y ，则sin(x y) ________ 2312223【解答】 cos(x y) ，sin 2x sin 2y 2sin(x y)cos(x y) ，故sin(x y) ．3a2 12．设 a为实常数， y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) 9x 7 ，x若f (x) a 1对一切 x 0 成立，则 a 的取值范围为________ a2 【解答】 f (0) 0，故 0 a 1 a 1；当 x 0 时， f (x) 9x 7 a 1 x8即6 | a | a 8，又 a 1，故 a ．713．在 xOy 平面上，将两个半圆弧 (x 1)2 y2 1(x 1) (x 3)2 y2 1(x 3) 、两条直线 y 1 y 1围成的封 闭图形记为 D，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而成的 几何体为 的水平截面，所得截面 面积为 4 1 y2 8 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱 和一个长方体，得出 的体积值为__________ 【解答】根据提示，一个半径为 1，高为 2 的圆柱平放，一 个高为 2，底面面积8 的长方体，这两个几何体与 放在 一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即 和和，过 (0, y)(| y |1) 作的体 积值为 12 2 28 2 2 16 14．对区间 I 上有定义的函数 g(x) ，记 g(I) {y | y g(x), x I}，已知定义域为[0,3] 函 数y f (x) 有 反 函 数y f 1(x) ， 且f 1([0,1)) [1,2), f 1((2,4]) [0,1)， 若 方 程 f (x) x 0有解 0 ，则 x0 _____ 【解答】根据反函数定义，当 x[0,1) 时， f (x)(2,4] y f (x) 的 定 义 域 为 [0,3]， 故 当x[2,3]时 ，f (x) 的 取 值 应 在 集 合 ．的x；x[1,2) 时， f (x)[0,1) ，而 (,0) [1,2](4,) ，故若 f (x0 ) x0 ，只有 x0 2 二、选择题 ．15．设常数 a R ，集合 A {x | (x 1)(x a) 0}, B {x | x a 1}，若 A B R ，则 a的取值范围为（ ）(A) (,2) (B) (,2] (C) (2,) (D) [2,) a 1 a 1 【解答】集合 A 讨论后利用数轴可知， 或，解答选项为 B． a 11 a 1 a 16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选 B． 17 ． 在 数 列 {an}中 ，an 2n 1， 若 一 个7 行 12 列 的 矩 阵 的 第i 行 第j 列 的 元 素 ai, j ai aj ai aj ，（ i 1,2,,7; j 1,2,,12 ）则该矩阵元素能取到的不同数值的 个数为（ (A)18 ）(B)28 (C)48 (D)63 【解答】 ai, j ai aj ai aj 2i j 1，而i j 2,3,,19，故不同数值个数为 18 个， 第 9 页 共 15 页 第 10 页 共 15 页 选 A． 18．在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1,a2 ,a3,a4 ,a5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1,d2 ,d3,d4 ,d5 .若 m, M 分 别 为(ai aj ak )(dr ds dt ) 的 最 小 值 、 最 大 值 ， 其 中 {i, j,k}{1,2,3,4,5} ,{r, s,t}{1,2,3,4,5},则 m, M 满足（ ）. (A) m 0, M 0 m 0, M 0 (B) m 0, M 0 (C) m 0, M 0 (D) 【解答】作图知，只有 AF DE AB DC 0 ，其余均有 ai dr 0，故选 D． 三、解答题 19.（本题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线 BC1 平行于平面 DA1C，并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离. DC【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体，故 AB //C1D , AB C1D ，11AAB故 ABC1D1 为平行四边形，故 BC1 // AD ，显然 B 不在平面 D1AC 上， 1C于是直线 BC1 平行于平面 DA1C； 1D1直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设 1B1为h1113考虑三棱锥 ABCD1 的体积，以 ABC 为底面，可得V ( 12)1 3232而AD C 中， AC D C 5, AD 2 ，故 SAD C 11111 3 1223所以，V h h ，即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 ．3 2 3320．（6 分+8 分）甲厂以 x 千 克 / 小 时 的 速 度 运 输 生 产 某 种 产 品 （ 生 产 条 件 要 求 31 x 10 ），每小时可获得利润是100(5x 1 ) 元. x(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大 利润. 33【解答】(1)根据题意， 200(5x 1 ) 3000 5x 14 0 xx又1 x 10 ，可解得3 x 10 900 31 1 61 12 (2)设利润为 y元，则 y 100(5x 1 ) 9104[3( )2 ]xxx 6 故x 6 时， ymax 457500 元． 21．（6 分+8 分）已知函数 f (x) 2sin(x) ，其中常数 0 2 ；（1）若 y f (x) 在[ , 4 3 ]上单调递增，求 的取值范围； 6（2）令 2 ，将函数 y f (x) 的图像向左平移 个单位，再向上平移1 个单位，得到函 数y g(x) 的图像，区间[a,b] （a,b R 且a b ）满足： y g(x) 在[a,b]上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求b a 的最小值． 第 10 页 共 15 页 第 11 页 共 15 页 【解答】(1)因为 0 ，根据题意有 42 322 34 0 63(2) f (x) 2sin(2x) ，g(x) 2sin(2(x )) 1 2sin(2x ) 1 3137g(x) 0 sin(2x ) x k 或x k ,k Z 12 ，232 3即g(x) 的零点相离间隔依次为 和，2 3343 3故若 y g(x) 在[a,b]上至少含有 30 个零点，则b a 的最小值为14 15 ．第 11 页 共 15 页 第 12 页 共 15 页 x2 22 ．（ 3 分 +5 分 +8 分 ） 如 图 ， 已 知 曲 线 C1 : y2 1， 曲 线 2C2 😐 y || x | 1，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与C1,C2 都有公 共点，则称 P 为“C1—C2 型点”． (1)在正确证明C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时，要使用一条过该焦点的 直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； (2)设直线 y kx “C1—C2 型点”； 与 C2 有公共点，求证 | k |1，进而证明原点不是 1(3)求证：圆 x2 y2 内的点都不是“C1—C2 型点”． 22【解答】：（1）C1 的左焦点为 F( 3,0) ，过 F 的直线 x 3 与 C1 交于 ( 3, ) ， 2与 C2 交于 ( 3,( 31))，故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点”，且直线可以为 x 3 （2）直线 y kx 与 C2 有交点，则 ；y kx (| k | 1) | x |1，若方程组有解，则必须| k |1 ；| y || x | 1 直线 y kx 与 C2 有交点，则 y kx x2 2y2 2 1 (1 2k2 )x2 2，若方程组有解，则必须 k2 2故直线 y kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点，即原点不是“C1-C2 型点”。 1（3）显然过圆 x2 y2 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点，则斜率必存在； 2根据对称性，不妨设直线 l斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t,t 1)(t 0) ，则 l : y (t 1) k(x t) kx y (1 t kt) 0 1|1 t kt | k2 1 2直线 l与圆 x2 y2 内部有交点，故 212化简得， (1 t tk)2 (k2 1)。。。。。。。。。。。。① 2若直线l 与曲线 C1 有交点，则 y kx kt t 1 1 (k2 )x2 2k(1 t kt)x (1 t kt)2 1 0 x2 y2 1 221 4k2 (1 t kt)2 4(k2 )[(1 t kt)2 1] 0 (1 t kt)2 2(k2 1) 2化简得， (1 t kt)2 2(k2 1) 。。。。。② 1由①②得， 2(k2 1) (1 t tk)2 (k2 1) k2 1 21但此时，因为t 0,[1 t(1 k)]2 1, (k2 1) 1，即①式不成立； 21当k2 时，①式也不成立 2第 12 页 共 15 页 第 13 页 共 15 页 1综上，直线 l若与圆 x2 y2 内有交点，则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点， 21即圆 x2 y2 内的点都不是“C1-C2 型点” ． 223．（3 分+6 分+9 分）给定常数 c 0 ，定义函数 f (x) 2 | x c 4 | | x c |，数列 a1,a2 ,a3,满足 an1 f (an ),n N* .（1）若 a1 c 2 ，求 a2 及 a3 ；（2）求证：对任意 n N*,an1 an c ，； （3）是否存在 在，说明理由. a1 ，使得 a1,a2 ,an ,成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1 ，若不存 【解答】：（1）因为 c 0 ，a1 (c 2) ，故 a2 f (a1) 2 | a1 c 4 | | a1 c | 2 ，a3 f (a1) 2 | a2 c 4 | | a2 c | c 10 （2）要证明原命题，只需证明 f (x) x c 对任意 x R 都成立， f (x) x c 2 | x c 4 | | x c | x c 即只需证明 2 | x c 4 || x c | +x c 若x c 0 ，显然有 2 | x c 4 || x c | +x c=0成立； 若x c 0 ，则 2 | x c 4 || x c | +x c x c 4 x c 显然成立 综上， f (x) x c 恒成立，即对任意的 n N* ，an1 an c （3）由（2）知，若{an}为等差数列，则公差 d c 0 ，故 n 无限增大时，总有 an 0 此时， an1 f (an ) 2(an c 4) (an c) an c 8 即d c 8 故a2 f (a1) 2 | a1 c 4 | | a1 c | a1 c 8 ，即当若2 | a1 c 4 || a1 c | a1 c 8 a1 c 0 时，等式成立，且 n 2 时， an 0，此时{an}为等差数列，满足题意； a1 c 0 ，则| a1 c 4 | 4 a1 c 8 ，，此时， a2 0,a3 c 8,,an (n 2)(c 8) 也满足题意； 1 的取值范围是[c,) {c 8} 综上，满足题意的 a．22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小 题满分 8 分． x2 如图，已知双曲线C1 的直线与C1 （1）在正确证明 1 的左焦点是“C1 ： y2 1，曲线C2 ：| y || x | 1 为“C1 C2 型点”时，要 ． P 是平面内一点，若存 2在过点 P、C2 都有公共点，则称 PC2 型点”． C使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程 （不要求验证）； （2）设直线 y kx 明原点不是“C1 与C2 有公共点，求证| k |1，进而证 C2 型点； 1（3）求证：圆 x2 y2 内的点都不是“C1 C2 型 2点”． 第 13 页 共 15 页 第 14 页 共 15 页 222．解：（1）C1 的左焦点为 F( 3,0) ，过 F 的直线 x 3 与 C1 交于 ( 3, ) ， 2与 C2 交于 ( 3,( 31))，故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点”，且直线可以为x 3 （2）直线 y kx 与 C2 有交点，则 ；y kx (| k | 1) | x |1，若方程组有解，则必须| k |1 ；| y || x | 1 直线 y kx 与 C2 有交点，则 y kx x2 2y2 2 1 (1 2k2 )x2 2，若方程组有解，则必须 k2 2故直线 y kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点，即原点不是“C1-C2 型点”。 1（3）显然过圆 x2 y2 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点，则斜率必存在； 2根据对称性，不妨设直线 l斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t,t 1)(t 0) ，则 l : y (t 1) k(x t) kx y (1 t kt) 0 1|1 t kt | k2 1 2直线 l与圆 x2 y2 内部有交点，故 212化简得， (1 t tk)2 (k2 1)。。。。。。。。。。。。① 2若直线l 与曲线 C1 有交点，则 y kx kt t 1 1 (k2 )x2 2k(1 t kt)x (1 t kt)2 1 0 x2 y2 1 221 4k2 (1 t kt)2 4(k2 )[(1 t kt)2 1] 0 (1 t kt)2 2(k2 1) 2化简得， (1 t kt)2 2(k2 1) 。。。。。② 1由①②得， 2(k2 1) (1 t tk)2 (k2 1) k2 1 21但此时，因为t 0,[1 t(1 k)]2 1, (k2 1) 1，即①式不成立； 21当k2 时，①式也不成立 21综上，直线 l若与圆 x2 y2 内有交点，则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点， 21即圆 x2 y2 内的点都不是“C1-C2 型点”。 223．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 9 分． 给定常数 c 0 ，定义函数 f (x) 2 | x c 4 | | x c |．数列 a1 ， a2 ， a3 ，…满足 an1 f (an ),n N * ．（1）若 a1 c 2 ，求 a2 及 a3 ；（2）求证：对任意 n N * ，an1 an c ；第 14 页 共 15 页 第 15 页 共 15 页 （3）是否存在 1 ；若不存在，说明理由． 23．解：（1）因为 c 0 a1 ，使得 a1 ，a2 ， a3 ，…， an …成等差数列？若存在，求出所有这样的 a，a1 (c 2) ，故 a2 f (a1) 2 | a1 c 4 | | a1 c | 2 ，a3 f (a1) 2 | a2 c 4 | | a2 c | c 10 （2）要证明原命题，只需证明 f (x) x c 对任意 x R 都成立， f (x) x c 2 | x c 4 | | x c | x c 即只需证明 2 | x c 4 || x c | +x c 若x c 0 ，显然有 2 | x c 4 || x c | +x c=0成立； 若x c 0 ，则 2 | x c 4 || x c | +x c x c 4 x c 显然成立 综上， f (x) x c 恒成立，即对任意的 n N* ，an1 an c （3）由（2）知，若{an}为等差数列，则公差 d c 0 ，故 n 无限增大时，总有 an 0 此时， an1 f (an ) 2(an c 4) (an c) an c 8 即d c 8 故a2 f (a1) 2 | a1 c 4 | | a1 c | a1 c 8 ，即当若2 | a1 c 4 || a1 c | a1 c 8 a1 c 0 时，等式成立，且 n 2 时， an 0，此时{an}为等差数列，满足题意； a1 c 0 ，则| a1 c 4 | 4 a1 c 8 ，，此时， a2 0,a3 c 8,,an (n 2)(c 8) 也满足题意； 1 的取值范围是[c,) {c 8} 综上，满足题意的 a。第 15 页 共 15 页
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