2012年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)下载

2012 浙江省高考数学（理科）试卷 word 版(含答案) 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 选择题部分（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一个项是符合题目要求的。 1．设集合 A  x |1 x  4 ，集合 B  x | x2  2x 3  0 ，则 A(CR B)  A． (1，4) B． (3，4) 3 i 1i B． 2 i C． (1，3) D． (1，2) (3，4) 2．已知 i是虚数单位，则 A．1 2i C． 2  i D．1 2i 3．设 a R ，则“ a 1”是“直线 l1 ：ax  2y 1 0与直线 l2 ：x  (a 1)y  4  0 平行”的 A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．把函数 y  cos2x 1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），然后 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是 5．设 a ， b 是两个非零向量 A．若| a  b || a |  | b |，则 a  b B．若 a  b，则| a  b || a |  | b | C．若| a  b || a |  | b |，则存在实数 ，使得 b  a D．若存在实数 ，使得 b  a ，则| a  b || a |  | b | 第 1 页 共 11 页 6．若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法 共有 A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种 的前 n 项和，则下列命题错误的是 n7．设 n 是公差为 Sd（d  0 ）的无穷等差数列 a  A．若 d  0 ，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则 d  0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意 n N *，均有 Sn  0 D．若对任意 n N *，均有 Sn  0 ，则数列{Sn}是递增数列 x2 y2 8．如图， F，F2 分别是双曲线 C：1(a，b  0) 的1a2 b2 左、右两焦点， 线分别交于 B是虚轴的端点，直线 F B 与C 的两条渐近 1P，Q两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x轴交于点 M．若| MF || F F2 | ，则 C的离心率是 112 3 362A． B． C． 2D． 3 9．设 a  0 ，b  0 A．若 2a  2a  2b  3b ，则 a  b C．若 2a  2a  2b 3b ，则 a  b B． 2a  2a  2b  3b 若，则 a  b D．若 2a  2a  2b 3b ，则 a  b 10．已知矩形 ABCD ，AB 1 ，BC  2 ．将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进 行翻折，在翻折过程中， A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线CD 垂直 C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D．对任意位置，三对直线“ AC 与 BD ”，“ AB 与CD ”，“ AD 与 BC ”均不垂直 第 2 页 共 11 页 非选择题部分（共 100 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 11．已知某三棱锥的三视图（单位： cm ）如图所示，则该三棱锥 的体积等于 12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 cm3 ．．13．设公比为 q(q  0) 的等比数列 a的前 n项和为 Sn ．   n若S2  3a2  2 ，S4  3a4  2 ，则 q  ．14．若将函数 f (x)  x5 表示为 f (x)  a0  a1(1 x)  a2 (1 x)2  a3 (1 x)3  a4 (1 x)4  a5 (1 x)5 ，其中 a0 ，a1 ，a2 ，…， a5 为实数，则 a3  ．15．在 ABC 中， M是．BC 的中点， AM  3 ，BC 10 ，  则AB BC  16．定义：曲线 C上的点到直线的距离的最小值称为曲线 C 到直线l 的距离．已知曲线C1 ：y  x2  a 到直线 l：y  x 的距离等于曲线 C2 ：x2  (y  4)2  2 到直线 17．设 a R ，若 x  0 时均有  a 1 x 1 x2  ax 1  0 l：y  x 的距离，则实数 a  ．，则a  ．三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分 14 分）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 2cos A  ，sin B  5 cosC ．3（Ⅰ）求 tanC 的值； （Ⅱ）若 a  2 ，求 ABC 的面积． 19．（本题满分 14 分）已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球得 2 分， 取出一个黑球得 1 分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3 个球，记随机变 量X 为取出此 3 球所得分数之和． （Ⅰ）求 X的分布列； （Ⅱ）求 X的数学期望 E(X ) ．20．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面是 第 3 页 共 11 页 边长为 2 3的菱形， BAD 120 ，且 PA  平面 ABCD ，PA  2 6 （Ⅰ）证明： MN  平面 ABCD （Ⅱ）过点 ，M，N分别为 PB ，；PD 的中点． A作AQ  PC ，垂足为点Q ，求二面角 A MN Q 的平面角的余弦值． x2 y2 21．（本题满分 15 分）如图，椭圆 C：1(a  b  0) 的a2 b2 1离心率为 ，其左焦点到点P(2 ,1) 的距离为 10 ，不过原点 O 的 2直线 （Ⅰ）求椭圆 （Ⅱ）求 ABP 面积取最大值时直线 l与C相交于 A ， B 两点，且线段 AB 被直线OP 平分． C的方程； l的方程． 22．（本题满分 14 分）已知 a  0 （Ⅰ）证明：当 0  x 1时， ，b R ，函数 f (x)  4ax3  2bx  a  b ．（i）函数 f (x) 的最大值为| 2a b | a （ii） f (x) | 2a b | a  0 （Ⅱ）若 1 f (x) 1 x[0，1]恒成立，求 a  b 的取值范围． ；；对数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 1．B 6．D 2．D 7．C 3．A 8．B 4．A 9．A 5．C 10．B 二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 13211．1 12． 13． 14．10 120 9315．-16 16． 17． 42三、解答题：本题共小题，满分 72 分。 18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。 第 4 页 共 11 页 2（Ⅰ）因为 0  A   ，cos A  ，得 35sin A  1 cos2 A  3又5 cosC  sin B  sin(A C)  sin AcosC  cos AsinC 52cosC  sinC 33所以 tanC  5 （Ⅱ）由 tanC  5 ，得 51sinC  ，cosC  ，66于是 56sin B  5 cosC  ．ac由设a  2 及正弦定理 ，得 sin A sinC c  3 ABC 的面积为 ．S，则 15S  acsin B  ．2219．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查 抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分 14 分。 （Ⅰ）由题意得 X 取 3，4，5，6，且 C53 5C41 C52 10 P(X  3)  P(X  5)  ，P(X  4)  P(X  6)  ，C93 42 C93 21 C42 C52 5C44 1，．C93 14 C93 21 所以 X 的分布列为 3456XP510 5142 21 14 21 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 第 5 页 共 11 页 13 3E(X )  3 P(X  3)  4 P(X  4)  5 P(X  5)  6 P(X  6)  ．20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用， 同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分 15 分。 （Ⅰ）因为 M，N分别是 PB MM / /BD 又因为 MN 平面 ABCD ，所以 MM / / 平面 ABCD ，PD 的中点，所以 MN 是PBD 的中位线，所以 ．（Ⅱ）方法一： 连结 AC 交BD 于 O ，以 O 为原点，OC ， OD 所在直线为 x ， y 轴，建立空 间直角坐标系Oxyz ，如图所示 在菱形 ABCD 中， BAD 120 ，得 AC  AB  2 3BD  3AB  6 又因为 PA  平面 ABCD ，所以 ，．PA  AC ．在直角 PAC 中， AC  2 3 ，PA  2 6 ，AQ  PC ，得 QC  2 ，PQ  4 ．由此知各点坐标如下， A( 3 , 0 , 0) C( 3, 0 , 0) ，B(0 , 3 , 0) ，，D(0 , 3 , 0) ，323P( 3 , 0 , 26) ，，M ( ,  , 6) ，23 3 32 6 N( ,, 6) Q( , 0 , )． 2233设由m  (x , y , z) 为平面 AMN 的法向量．   333 3 AM  ( ,  , 6) ，AN  ( ,, 6)知 222233x  y  6z  0 2233x  y  6z  0  2 2第 6 页 共 11 页 取x  1，得 m  (2 2, 0 , 1) 设由n  (x , y , z)为平面QMN 的法向量．   5 3 6365 33 6QM  ( ,  , )，QN  ( ,,) 知 236235 3 636x  y  z  0 z  0 235 3 636x  y  23取z  5，得 n  (2 2, 0 , 5) cos  m , n  于是 m n | m || n |33 33 ．33 所以二面角 A MN Q 的平面角的余弦值为 ．33 方法二： 在菱形 ABCD 中， BAD 120 ，得 AC  AB  BC  DA 有因为 PA  平面 ABCD ，所以 PA  AB PA  AC PA  AD ，BD  3AB ，，，，所以 PB  PC  PD 所以 PBC  PDC ．．而M ， N 分别是 PB ， PD 的中点，所以 11MQ  NQ，且 AM  PB  PD  AN ．22取线段 MN 的中点 E，连结 AE ，EQ ，则 AE  MN ，QE  MN ，所以 AEQ 为二面角 A MN Q 的平面角． 由在AB  2 3 ，PA  2 6，故 1AMN 中， AM  AN  3 ，MN  BD  3 ，得 2第 7 页 共 11 页 3 3 2AE  ．在直角 PAC 中， AQ  PC ，得 AQ  2 2QG  2 PQ  4 ，，，PB2  PC2  BC2 2PB PC 56在PBC 中， cosBPC  ，得 MQ  PM 2  PQ2  2PM  PQcosBPC  5 ．在等腰 MQN 中， MQ  NQ  5 ，MN  3，得 11 QE  MQ2  ME2  ．23 3 11 2在AEQ 中， AE  ，QE  ，AQ  2 2，得 2AE2  QE2  AQ2 2AE QE 33 cosAEQ  ．33 33 所以二面角 A MN Q 的平面角的余弦值为 ．33 21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解 析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分 15 分。 （Ⅰ）设椭圆左焦点为 F(c，0) ，则由题意得 (2  c) 1  10 ，c1a2c 1 得a  2 所以椭圆方程为 x2 y2 1 ．，43（Ⅱ）设 A(x1 ，y1) 当直线 AB B(x2 ，y2 ) ，线段 AB 的中点为 M ． 与x轴垂直时，直线 AB 的方程为 x  0 ，与不过原点的条件不符，舍 第 8 页 共 11 页 去．故可设直线 AB 的方程为 y  kx  m(m  0) ，y  kx  m 3×2  4y2 12 由消去 y ，整理得 (3 4k2 )x2 8kmx  4m2 12  0 ，（1） 则8km x1  x2   3 4k2   64k2m2  4(3 4k2 )(4m2 12)  0 ，4m2 12 x1x2  3 4k2 8km 4m2 12 所以 AB 线段的中点 M ( ,) ， 3 4k2 3 4k2 因为 M 在直线OP 上，所以 3m 2km ，3 4k2 3 4k2 得32m  0（舍去）或 k   ，此时方程（1）为3×2 3mx  m2  0 ，则 x  x  m 12  3(12  m2 )  0 ，m2 3 x1x2  3所以 39 | AB | 1 k2 | x1  x2 |  12  m2 ，6设点 P 到直线 AB 距离为 d ，则 |8 2m | 2| m  4 | d  ，32  22 13 设ABP 的面积为 S，则 13S  | AB |d   (m  4)2 (12  m2 ) ，26其中 m(2 3,0)(0,2 3) u(m)  (12  m2 )(m  4)2 ，令，m[2 3,2 3] 第 9 页 共 11 页 u ‘(m)  4(m  4)(m2  2m  6)  4(m  4)(m 1 7)(m 1 7) ，所以当且仅当 m 1 7 故当且仅当 m 1 7 综上，所求直线 ，u(m) 取到最大值， ，S取到最大值． l方程为3x  2y  2 7 2  0 ．22．本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理 论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分 14 分。 b（Ⅰ）（i） f ‘(x) 12ax2  2b 12a(x2  )6a b  0时，有 f ‘(x)  0，此时 f (x) 所以当 0  x 1时， 当在[0,) 上单调递增 3a b,b  2a a  b,b  2a f (x)max  max{ f (0), f (1)}  max{a  b,3a b}  | 2a b | a （ii）由于 0  x 1，故 当b  2a 时， f (x) | 2a b | a  f (x)  3a b  4ax3  2bx  2a  4ax3  4ax  2a  2a(2×3  2x 1) 当b  2a 时， f (x) | 2a b | a  f (x)  a  b  4ax3  2b(1 x)  2a  4ax3  4a(1 x)  2a  2a(2×3  2x 1) 设g(x)  2×3  2x 1,0  x 1，则 g ‘(x)  6×2  2  6(x  33)(x  )，33于是 333×01(0, )(,1) 333g ‘(x) g(x) -0+1极小 值1减增34 3 9所以， g(x)min  g( )1  0 ，3第 10 页 共 11 页 所以 当0  x 1时， 2×3  2x 1 0 f (x) | 2a b | a  f (x)  a  b  2a(2×3  2x 1)  0 故（Ⅱ）由（i）知，当 0  x 1 ，f (x)max | 2a b | a ，所以 | 2a b | a 1 若| 2a b | a 1，则由（ii）知 f (x)  (| 2a b | a)  1 所以 1 f (x) 1对任意 0  x 1恒成立的充要条件是 | 2a b | a 1 ，a  0 2a b  0 2a b  0 即3a b 1 ，或 b  a 1 （1） a  0 a  0 在直角坐标系 aOb 中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分， 其中不包括线段 BC ，作一组平行直线 a  b  t(t  R) ，得 1 a  b  3 所以的取值范围是 (1,3] ．．第 11 页 共 11 页