2012年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）下载

第 1 页 共 24 页 绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在 答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作 答一律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有 14题，满分 56分） 3  i 1．计算： =（i 为虚数单位）. 1 i 2．若集合 A {x | 2x 1  0} ，B {x | x 1}，则 A  B =.sin x 23．函数 f (x)  .1 cosx 的最小正周期是 4．若 n  (2,1) 是直线 l的一个方向向量，则 l的倾斜角的大小为 （结果 用反三角函数值表示）. 5．一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2，该诉表面积为 .6．方程 4x  2x1  3  0的解是 .127．有一列正方体，棱长组成以 1 为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为 V1,V2,…,Vn,…，则 lim(V1 V2 Vn )  .n 18．在 (x  )6 的二项展开式中，常数项等于 .x9．已知 y  f (x) 是奇函数. 若 g(x)  f (x)  2 且g(1) 1.，则 g(1)  .10．满足约束条件| x | 2 | y | 2 的目标函数 z  y  x 的最小值是 .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在知形 ABCD 中，边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、CD 上 第 1 页 共 24 页 第 2 页 共 24 页 | BM | |CN | 的点，且满足 ，则 AM  AN 的取值范围是 .| BC | |CD | 1213．已知函数 y  f (x) 的图像是折线段 ABC，若中 A(0,0)，B( ,1)，C(1,0). 函数 y  xf (x) (0  x 1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为 .114．已知 f (x)  1 x .各项均为正数的数列{an}满足 a1 1 ，an2  f (an ) .若 a2010  a2012 ，则 a20  a11 的值是 .二、选择题（本大题共有 4题，满分 20分） 15．若1 2 i 是关于 x 的实系数方程 x2  bx  c  0 的一个复数根，则 （A） b  2, c  3 （B） b  2, c  1 （ C ） b  2, c  1. （ D ） b  2, c  3 （）…16．对于常数 m、n，“mn  0 ”是“方程 mx2  ny2 1的曲线是椭圆”的 （（））（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件. 17．在 ABC 中，若 sin2 A  sin2 B  sin2 C ，则 ABC 的形状是 （A）钝角三角形. （B）直角三角形 （C）锐角三角形.（D）不能确定. 18．若 Sn  sin   sin 2  sin n (n N) ，则在 S1,S2,,S100 中，正数 的个数是 777（）（A）16. （B）72. （C）86. （D）100. 三、解答题（本大题共有 5题，满分 74分） 19．如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，D 是 PPC 的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 ，32PA=2.求： DA（1）三棱锥 P-ABC 的体积；（6分） （2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） BC第 2 页 共 24 页 第 3 页 共 24 页 20．已知函数 f (x)  lg(x 1) .（1）若 0  f (1 2x)  f (x) 1，求 x的取值范围；（6分） （2）若 g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0  x 1时，有 g(x)  f (x) ，求 函数 y  g(x) (x[1, 2])的反函数.（8分） 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方 2 ；②定位 12 49 向 12 海里 A 处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y  x后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 t小时后，失事船所在位置的横坐标 为7t .y（1）当 t  0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） P（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） xOA第 3 页 共 24 页 第 4 页 共 24 页 22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C : 2×2  y2 1 .（1）设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点. 若|MF|=2 ，求过 M 点的坐标； 2（5分）（2）过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平 行四边形的面积；（5分） （3）设斜率为 k (| k | 2) 的直线 l 交 C 于 P、Q 两点，若 l 与圆 x2  y2 1 相切，求证：OP⊥OQ；（6分） 23 ． 对 于 项 数 为m 的 有 穷 数 列 数 集 {an}， 记bk  max{a1, a2,, ak } （k=1,2,…,m），即 bk 列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有的{an} （4分） 为a1, a2 , , ak 中的最大值，并称数列{bn} 是{an}的控制数 ；（ 2） 设 {bn} 是{an}的 控 制 数 列 ， 满 足ak  bmk 1  C （ C 为 常 数 ， k=1,2,…,m）. 求证： bk  ak （k=1,2,…,m）；（6分） （3）设 m=100，常数 a (12 ,1) .若 an  an2  (1)n(n1) n ，{bn}是{an}的控 2制数列，求 (b  a1)  (b2  a2 )  (b100  a100 ) .1第 4 页 共 24 页 第 5 页 共 24 页 第 5 页 共 24 页 第 6 页 共 24 页 2012年上海高考数学（文科）试卷解答 一、填空题（本大题共有 14题，满分 56分） 3  i 1 i 1．计算： =1-2i （i 为虚数单位）. 2．若集合 A {x | 2x 1  0} ，B {x | x 1}，则 A  B =(12 ,1) . sin x 23．函数 f (x)   . 1 cosx 的最小正周期是 4．若 n  (2,1) 是直线 l的一个方向向量，则 l的倾斜角的大小为 arctan 12 （结果用 反三角 函数值表示）. 5．一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2，该诉表面积为 6 . 6．方程 4x  2x1  3  0的解是 log2 3 .127．有一列正方体，棱长组成以 1 为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为 87V1,V2,…,Vn,…，则 lim(V1 V2 Vn )  .n 18．在 (x  )6 的二项展开式中，常数项等于 -20 . x9．已知 y  f (x) 是奇函数. 若 g(x)  f (x)  2 且g(1) 1.，则 g(1)  3 . 10．满足约束条件| x | 2 | y | 2 的目标函数 z  y  x 的最小值是 -2 .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 23两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在知形 ABCD 中，边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、CD 上 | BM | |CN | 的点，且满足 ，则 AM  AN 的取值范围是 [1, 4] .| BC | |CD | 1213．已知函数 y  f (x) 的图像是折 5线段 ABC，若中 A(0,0)，B( ,1)，C(1,0). 14函数 y  xf (x) (0  x 1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为 .114．已知 f (x)  1 x .各项均为正数的数列{an}满足 a1 1 ，an2  f (an ) .若 53 26 a2010  a2012 ，则 a20  a11 的值是 13 .二、选择题（本大题共有 4题，满分 20分） 第 6 页 共 24 页 第 7 页 共 24 页 15．若1 2 i 是关于 x 的实系数方程 x2  bx  c  0 的一个复数根，则 （ D ）（A） b  2, c  3 b  2, c  3 .（B） b  2, c  1 .（ C） b  2, c  1.（ D） .16．对于常数 m、n，“mn  0 ”是“方程 mx2  ny2 1的曲线是椭圆”的 （ B ））（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件. 17．在 ABC 中，若 sin2 A  sin2 B  sin2 C ，则 ABC 的形状是 （ A （A）钝角三角形. 能确定. （B）直角三角形. （C）锐角三角形. （D）不 18．若 Sn  sin   sin 2  sin n (n N) ，则在 S1,S2,,S100 中，正数 的777个数是 （ C ）（A）16. （B）72. （C）86. （D）100. 三、解答题（本大题共有 5题，满分 74分） 19．如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，D 是 PPC 的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 ，32PA=2.求： DA（1）三棱锥 P-ABC 的体积；（6分） （2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） BC12[解]（1） SABC  2 2 3 2 3 ，2 分 三棱锥 P-ABC 的体积为 43P1313V  SABC  PA  2 3 2  .36 分 （2）取 PB 的中点 E，连接 DE、AE，则 ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线 EADBC 与 AD 所成的角. 8 分 在三角形 ADE 中，DE=2，AE= ，AD=2， 2BC2 22 2 222 34cosADE  ，所以∠ADE=arccos 34 .2因此，异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小是 arccos 34 .12 分 第 7 页 共 24 页 第 8 页 共 24 页 20．已知函数 f (x)  lg(x 1) .（1）若 0  f (1 2x)  f (x) 1，求 x的取值范围；（6分） （2）若 g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0  x 1时，有 g(x)  f (x) ，求 函数 y  g(x) (x[1, 2])的反函数.（8分） 2  2x  0 x 1  0 [解]（1）由 ，得 1 x 1 .22x x1 由0  lg(2  2x)  lg(x 1)  lg 22x 1 得1 10 .…… x1 3 分 13因为 x 1  0，所以 x 1 2  2x 10x 10 ， 23  x  .1 x 1 13由得 23  x  .……6 13 23  x  分（2）当 x[1,2]时，2-x[0,1]，因此 y  g(x)  g(x  2)  g(2  x)  f (2  x)  lg(3  x) .……10 分 由单调性可得 y [0, lg2] .因为 x  3 10y ，所以所求反函数是 y  3 10x ，x[0, lg2]. …… 14 分 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向 12 海yP里 A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 2 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t 12 49 y  xxOA援船出发 t.（1）当 t  0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） 27212 49 [解]（1） t  0.5时，P 的横坐标 xP= 7t  ，代入抛物线方程 y  x中，得 P 的纵坐标 yP=3. ……2 分 ……4 分 949 由|AP|= ，得救援船速度的大小为 949 海里/时. 272730 7由 tan∠OAP=312 ，得∠OAP=arctan 30 ，故救援船速度的方向 7为北偏东 arctan 30 弧度. ……6 分 第 8 页 共 24 页 第 9 页 共 24 页 （2）设救援船的时速为 v海里，经过 t小时追上失事船，此时位置为 (7t,12t2 ) .22vt  (7t)2  (12t2 12)2 ，整理得 v 144(t  )  337 .…… 1t 2 由10 分 因为 t2  2 ，当且仅当 t=1 时等号成立， 1t 2 所以 v2 144 2  337  252 ，即 v  25 .因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. ……14 分 22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C : 2×2  y2 1 .（1）设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点. 若|MF|=2 ，求过 M 点的坐标； 2（5分）（2）过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平 行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为 k (| k | 2) 的直线 l2 交 C 于 P、Q 两点，若 l 与圆 x2  y2 1 相切， 求证：OP⊥OQ；（6分） 2[解]（1）双曲线 C : x  y2 1，左焦点 F( 6 , 0) .1222M (x, y) ，则| MF |2  (x  6 )2  y2  ( 3x  )2，…… 2设22 分 2222由 M 是右支上一点，知 x  ，所以 | MF | 3x  2 2，得 62x  .62所以 M ( , 2) .……5 分 （2）左顶点 A( 2 , 0) ，渐近线方程： y  2x .222过 A 与 渐 近 线y  2x平 行 的 直 线 方 程 为 ：y  2(x  )， 即 y  2x 1 .24x   1y  2y  2 x 解方程组 ，得 .……8 y  2 x 1 分24所求平行四边形的面积为 S | OA|| y | .……10 分 |b| 2 1 （3）设直线 PQ 的方程是 y  kx  b .因直线与已知圆相切，故 1 ，k即b2  k2 1 (*). 第 9 页 共 24 页 第 10 页 共 24 页 y  kx  b 由，得 (2  k2 )x2  2kbx  b2 1  0 .2×2  y2 1 2kb x  x  2k 2 1b2 2k 2 12设 P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 .x1x2  y1 y2  (kx1  b)(kx2  b) ，所以 OP OQ  x1x2  y1y2  (1 k2 )x1x2  kb(x1  x2 )  b2 (1k 2 )(1b2 2k 2 )2k 2b2 2k 2 1b2 k 2 2k 2 .由(*)知 OP OQ  0，所以 OP⊥OQ. ……16 分 23 ． 对 于 项 数 为m 的 有 穷 数 列 数 集 {an}， 记bk  max{a1, a2 , , ak } （k=1,2,…,m），即 bk 为a1, a2 , , ak 中的最大值，并称数列{bn} 是{an}的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控 制数列是 1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有的{an} （4分） ；（ 2） 设 {bn} 是{an}的 控 制 数 列 ， 满 足ak  bmk 1  C （ C 为 常 数 ， k=1,2,…,m）. 求证： bk  ak （k=1,2,…,m）；（6分） （3）设 m=100，常数 a (12 ,1) .若 an  an2  (1)n(n1) n ，{bn} {an}的控 是2制数列， 求(b  a1)  (b2  a2 )  (b100  a100 ) .1[解]（1）数列{an}为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4 分 （2）因为 bk  max{a1, a2 , , ak } 所以 bk 1  bk 因为 ak  bmk 1  C ，bk 1  max{a1, a2,, ak , ak 1} ，.……6 分 ，ak 1  bmk  C ，第 10 页 共 24 页 第 11 页 共 24 页 所以 ak 1  ak  bmk 1  bmk  0 ，即 ak 1  ak .……8 分因此， bk  ak .……10 分 （ 3 ）对k 1, 2,, 25 ，；a4k 3  a(4k  3)2  (4k  3) ；a4k 2  a(4k  2)2  (4k  2) a4k 1  a(4k 1)2  (4k 1) ；a4k  a(4k)2  (4k) .比较大小，可得 a4k 2  a4k 3 .……12 分 12因 为  a 1， 所 以a4k 1  a4k 2  (a 1)(8k  3)  0 ， 即 a4k 2  a4k 1 ；a4k  a4k 2  2(2a 1)(4k 1)  0 ，即a4k  a4k 2 .又a4k 1  a4k ，从而 b4k 3  a4k 3 ，b4k 2  a4k 2 ，b4k 1  a4k 2 ，b4k  a4k . …… 15 分 因此 (b  a1)  (b2  a2 )  (b100  a100 ) 1=(b3  a3)  (b7  a7 )  (b  a10 )  (b4k 1  a4k 1)  (b99  a99 ) 10 =(a2  a3)  (a6  a7 )  (a9  a10 )  (a4k 2  a4k 1)  (a98  a99 ) 25 25 =(a4k 2  a4k 1 )=(1 a) (8k  3) =2525(1 a) .……18 k 1 k 1 分第 11 页 共 24 页 第 12 页 共 24 页 2012 上海高考数学试题（文科）答案与解析 一、 填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分） 3  i 1 i 1．计算： =（i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i (3i)(1i) 3  i 1 i 【解析】 = (1 i)(1i) =1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净 分母实数化即可。 2．若集合 A {x | 2x 1  0} ，B {x | x 1}，则 A  B =.1【答案】 x |  x 1 21A  B =【 解 析 】 由 集 合A 可 得 ： x> 2 ， 由 集 合B 可 得 ： -1< 经 <1 ， 所 以 ， 1x |  x 1 2【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等 的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。 sin x 23．函数 f (x)  .1 cosx 的最小正周期是 【答案】 1【解析】根据韪得： f (x)  sin xcos x  2  sin 2x  2 2【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确 要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小. 4．若 是直线 的一个方向向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三 角函数值表示）. 【答案】 11【解析】设直线的倾斜角为 ，则 tan  ,  arctan 22 . 第 12 页 共 24 页 第 13 页 共 24 页 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表 示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2 ，该圆柱的表面积为 .【答案】 6 【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为 r  1，所以该圆柱的表面积为： S圆柱表  2rl  2r2  4  2  6 .【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不 是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程 4x  2x1 3  0 的解是 .【答案】 log2 3 【 解 析 】 根 据 方 程4x  2x1  3  0 ， 化 简 得(2x )2  2 2x  3  0， 令 2x  t t 0 ，则原方程可化为 t2  2t  3  0 ，解得 t  3 所以原方程的解为 log2 3 或t  1 舍 ，即 2x  3, x  log2 3 ..【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求 解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错 误.本题属于中低档题目，难度适中. 17.有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 2 为公比的等比数列，体积分别记为 V ,V2 ,…,Vn ,…，则 lim(V V2 …Vn )  .11n 8【答案】 7 1【解析】由正方体的棱长组成以 1为首项， 2 为公比的等比数列，可知它们的体积则组 18 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 因 此 ， 成 了 一 个 以 1 为 首 项 ， 第 13 页 共 24 页 第 14 页 共 24 页 18lim(V1 V2 Vn )  .n 1871 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定 义.考查知识较综合. 618.在  x  的二项式展开式中，常数项等于 .x【答案】  20 【 解 析 】 根 据 所 给 二 项 式 的 构 成 ， 构 成 的 常 数 项 只 有 一 项 ， 就 是 1T4  C36 x3 ( )3  20 .x【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成. 属于中档题. 9.已知 y  f (x) 是奇函数，若 g(x)  f (x)  2 且g(1) 1，则 g(1)  .【答案】 3【 解 析 】 因 为 函 数y  f (x)为 奇 函 数 ， 所 以 有f (x)   f (x)， 即 g(1)  f (1)  2,又g(1)  1,所以，f (1)  1, f (1)   f (1)  1, g(1)  f (1)  2  1 2  3 .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数 y  f (x)为奇 函数，所以有 f (x)   f (x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于 中档题，难度适中. 10.满足约束条件 x  2 y  2 的目标函数 z  y  x 的最小值是 【答案】  2 .x  0, x  0, x  0, 【 解 析 】 根 据 题 意 得 到y  0, 或y  0, 或y  0, 或x  2y  2; x  2y  2; x  2y  2; 第 14 页 共 24 页 第 15 页 共 24 页 x  0, y  0, x  2y  2. ， z 其可行域为平行四边形 ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成 y  x  z 时， z有最小值， 的最小值就是该直线在 y轴上截距的最小值，当该直线过点 A(2,0) 此时 zmin  2 .642B= + y x z 10 5510 CAD246【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直 时， z有最小值，此时 线过点 A(2,0) zmin  2 ，这是解题的关键，本题属于中档 题，难度适中. 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两 位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 2【答案】 3 【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所 2.以根据古典概型得到此种情况下的概率为 3 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数. 第 15 页 共 24 页 第 16 页 共 24 页 本题属于中档题. 12.在矩形 ABCD 中，边 AB 、AD 的长分别为 2、1，若 M、N分别是边 BC 、  BM CN  CD   ，则 AM  AN 的取值范围是 CD 上的点，且满足  BC 【答案】 1,4 【解析】以向量 AB 所在直线为 x轴，以向量 AD 所在直线为 y轴建立平面直角坐标系， 如图所示，因为 AB  2, AD  1，所以 A(0,0), B(2,0),C(2,1)D(0,1). 2  x 设以M (2,b), N(x,1),(0  x  2) ，根据题意，b  ，所22  x 2AN  (x,1), AM  (2, ). 33所以AM AN  x 1 0  x  2 ，所以1  x 1  4 ，即221 AM AN  4 .642NDCM10 5510 AB246【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时， 要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 113.已知函数 y  f (x) 的图像是折线段 ABC ，其中 A(0,0) 函数 y  xf (x) 0  x 1）的图像与 、B( ,1) 、C(1,0) ，2（x轴围成的图形的面积为 .第 16 页 共 24 页 第 17 页 共 24 页 1【答案】 4 122x,0  x  【解析】根据题意，得到 f (x)  ，12x  2,  x 1 212×2 ,0  x  21从 而 得 到y  xf (x)  所 以 围 成 的 面 积 为 2 2x  2x,  x  1 211112 2xdx  1 (2×2  2x)dx  .4，所以围成的图形的面积为 4 S   02【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平 面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决 问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 114.已知 f (x)  a  n满足 a1 1 ，an2  f (an ) ，若 1 x ，各项均为正数的数列 a2010  a2012 ，则 a20  a11 的值是 .3 13 5 【答案】 26 11【 解 析 】 据 题f (x)  an2  f (an )， 得 到an2 ，1 x ， 并 且 1 an 115 1 2a1  1 ，a3  a2010  a2012  a2010 ，解得 a2010  2 ， ，得到 1 a2010 （负值舍去）.依次往前推得到 3 13 5 a20  a11  .26 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件 an2  f (an )是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分） 第 17 页 共 24 页 第 18 页 共 24 页 15.若1 2 i是关于 x的实系数方程 x2  bx  c  0 的一个复数根，则（ ）A． b  2,c  3 B. b  2,c  1 C. b  2,c  1 D. b  2,c  3 【答案】 D 【解析】根据实系数方程的根的特点知1 2i 也是该方程的另一个根，所以 1 2i 1 2i  2  b ，即 b  2 ，(1 2i)(1 2i)  3  c ，故答案 选择 D. 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属 于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16.对于常数 m、n，“mn  0”是“方程 mx2  ny2 1的曲线是椭圆”的（ ）A．充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 m  0, 【解析】方程 mx2  ny2  1的曲线表示椭圆，常数常数 m,n 的取值为 n  0, 所m  n, 以，由 mn  0得不到程 mx2  ny2  1的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根 据该曲线表示椭圆，能推出 mn  0，因而必要.所以答案选择 B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方 程的组成特征，可以知道常数 m,n 的取值情况.属于中档题. 17.在△ ABC 中，若 sin2 A sin2 B  sin2 C ，则△ ABC 的形状是（ ）A．钝角三角形 【答案】 A B、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 abc【 解 析 】 由 正 弦 定 理 ， 得  sin A,  sin B,  sinC, 代 入 得 到 2R 2R 2R a2  b2  c2 ，第 18 页 共 24 页 第 19 页 共 24 页 a2  b2  c2 由余弦定理的推理得 cosC   0，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝 2ab 角三角形.故选择 A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来 选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余 弦定理.本题属于中档题. 72 7n 718.若 Sn  sin  sin … sin （n N ），则在 S1, S2 ,…, S100 中，正 数的个数是（ A．16 ）B.72 C.86 D.100 【答案】C 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规 律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解 决问题的能力. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分） 19．如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，D 是 PA2PC 的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 ，3DPA=2.求： （1）三棱锥 P-ABC 的体积；（6分） （2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） BP12[解]（1） SABC  2 2 3 2 3 ，2 分 三棱锥 P-ABC 的体积为 431313V  SABC  PA  2 3 2  .36 分 （2）取 PB 的中点 E，连接 DE、AE，则 ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线 EDABC 与 AD 所成的角. 8 分 在三角形 ADE 中，DE=2，AE= ，AD=2， 2BC2 22 2 222 34cosADE  ，所以∠ADE=arccos 34 .2第 19 页 共 24 页 第 20 页 共 24 页 因此，异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小是 arccos 34 .12 分 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理 论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积 公式的运用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找 错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．已知函数 f (x)  lg(x 1) （1）若 0  f (1 2x)  f (x) 1，求 （2）若 g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0  x 1时，有 g(x)  f (x) ，求 .x的取值范围；（6分） 函数 y  g(x) (x[1, 2])的反函数.（8分） 2  2x  0 x 1  0 [解]（1）由 ，得 1 x 1 .22x x1 由0  lg(2  2x)  lg(x 1)  lg 22x 1 得1 10 .…… x1 3 分 13因为 x 1  0，所以 x 1 2  2x 10x 10 ， 23  x  .1 x 1 13由得 23  x  .……6 13 23  x  分（2）当 x[1,2]时，2-x[0,1]，因此 y  g(x)  g(x  2)  g(2  x)  f (2  x)  lg(3  x) .……10 分 由单调性可得 y [0, lg2] .因为 x  3 10y ，所以所求反函数是 y  3 10x ，x[0, lg2]. …… 14 分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数 函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题． 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向 12 海yP里 A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 xO第 20 页 共 24 页 A第 21 页 共 24 页 2 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 12 49 y  x援船出发 t小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t .（1）当 t  0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） 27212 49 [解]（1） t  0.5时，P 的横坐标 xP= 7t  ，代入抛物线方程 y  x中，得 P 的纵坐标 yP=3. ……2 分 ……4 分 949 由|AP|= ，得救援船速度的大小为 949 海里/时. 272730 7由 tan∠OAP=312 ，得∠OAP=arctan 30 ，故救援船速度的方向 7为北偏东 arctan 30 弧度. ……6 分 （2）设救援船的时速为 v海里，经过 t小时追上失事船，此时位置为 (7t,12t2 ) .22vt  (7t)2  (12t2 12)2 ，整理得 v 144(t  )  337 .…… 1t 2 由10 分 因为 t2  2 ，当且仅当 t=1 时等号成立， 1t 2 所以 v2 144 2  337  252 ，即 v  25 .因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. ……14 分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解 决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探 究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题． 22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C : 2×2  y2 1 .（1）设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点. 若|MF|=2 ，求过 M 点的坐标； 2（5分）（2）过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平 行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为 k (| k | 2) 的直线 l2 交 C 于 P、Q 两点，若 l 与圆 x2  y2 1 相切， 求证：OP⊥OQ；（6分） 2[解]（1）双曲线 C : x  y2 1，左焦点 F( 6 , 0) .1222M (x, y) ，则| MF |2  (x  6 )2  y2  ( 3x  )2，…… 2设22 分 2222由 M 是右支上一点，知 x  ，所以 | MF | 3x  2 2，得 62x  .第 21 页 共 24 页 第 22 页 共 24 页 62所以 M ( , 2) .……5 分 （2）左顶点 A( 2 , 0) ，渐近线方程： y  2x .222过 A 与 渐 近 线y  2x平 行 的 直 线 方 程 为 ：y  2(x  )， 即 y  2x 1 .24x   1y  2y  2 x 解方程组 ，得 .……8 y  2 x 1 分24所求平行四边形的面积为 S | OA|| y | .……10 分 |b| 2 1 （3）设直线 PQ 的方程是 y  kx  b .因直线与已知圆相切，故 1 ，k即由b2  k2 1 (*). y  kx  b ，得 (2  k2 )x2  2kbx  b2 1  0 .2×2  y2 1 2kb x  x  2k 2 1b2 2k 2 12设 P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 .x1x2  y1 y2  (kx1  b)(kx2  b) ，所以 OP OQ  x1x2  y1y2  (1 k2 )x1x2  kb(x1  x2 )  b2 (1k 2 )(1b2 2k 2 )2k 2b2 2k 2 1b2 k 2 2k 2 .由(*)知 OP OQ  0，所以 OP⊥OQ. ……16 分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关 系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它 的离心率为 2 ，它的渐近线为 y  x ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节 省解题时间，本题属于中档题 ． 23 ． 对 于 项 数 为m 的 有 穷 数 列 数 集 {an}， 记bk  max{a1, a2 , , ak } （k=1,2,…,m），即 bk 为a1, a2 , , ak 中的最大值，并称数列{bn} 是{an}的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控 制数列是 1,3,3,5,5. 第 22 页 共 24 页 第 23 页 共 24 页 （1）若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有的{an} ；（4分） （ 2） 设 {bn} 是{an}的 控 制 数 列 ， 满 足ak  bmk 1  C （ C 为 常 数 ， k=1,2,…,m）. 求证： bk  ak （k=1,2,…,m）；（6分） （3）设 m=100，常数 a (12 ,1) .若 an  an2  (1)n(n1) n ，{bn}是{an}的控 2制数列， 求(b  a1)  (b2  a2 )  (b100  a100 ) .1[解]（1）数列{an}为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4 分 （2）因为 bk  max{a1, a2 , , ak } 所以 bk 1  bk 因为 ak  bmk 1  C ，bk 1  max{a1, a2,, ak , ak 1} ，.……6 分 ，ak 1  bmk  C ，所以 ak 1  ak  bmk 1  bmk  0 ，即 ak 1  ak .……8 分因此， bk  ak .……10 分 （ 3 ）对k 1, 2,, 25 ，；a4k 3  a(4k  3)2  (4k  3) ；a4k 2  a(4k  2)2  (4k  2) a4k 1  a(4k 1)2  (4k 1) ；a4k  a(4k)2  (4k) .比较大小，可得 a4k 2  a4k 3 .……12 分 12因 为  a 1， 所 以a4k 1  a4k 2  (a 1)(8k  3)  0 ， 即 a4k 2  a4k 1 ；a4k  a4k 2  2(2a 1)(4k 1)  0 ，即第 23 页 共 24 页 第 24 页 共 24 页 a4k  a4k 2 .又a4k 1  a4k ，从而 b4k 3  a4k 3 ，b4k 2  a4k 2 ，b4k 1  a4k 2 ，b4k  a4k . …… 15 分 因此 (b  a1)  (b2  a2 )  (b100  a100 ) 1=(b3  a3)  (b7  a7 )  (b  a10 )  (b4k 1  a4k 1)  (b99  a99 ) 10 =(a2  a3)  (a6  a7 )  (a9  a10 )  (a4k 2  a4k 1)  (a98  a99 ) 25 25 =(a4k 2  a4k 1 )=(1 a) (8k  3) =2525(1 a) .……18 k 1 k 1 分【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题 属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考 查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视． 第 24 页 共 24 页