2011年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)下载

2011年浙江省高考数学试卷和答案（理科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1、（2011•浙江）设函数 f（x）= ，若 f（a）=4，则实数 a=（　　） A、﹣4 或﹣2 C、﹣2 或 4 B、﹣4 或 2 D、﹣2 或 2 2、（2011•浙江）把复数 z 的共轭复数记作 ，i 为虚数单位．若 z=1+i，则（1+z）• =（　　） A、3﹣i C、1+3i B、3+i D、3 3、（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　） A、 B、 C、 D、 4、（2011•浙江）下列命题中错误的是（　　） A、如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β 么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β B、如果平面 α 不垂直于平面 β，那 C、如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β=l，那么 l⊥平面 γ 有直线都垂直于平面 β D、如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所 5、（2011•浙江）设实数 x、y 满足不等式组 ，若 x、y 为整数，则 3x+4y 的最小值是（　　） A、14 C、17 B、16 D、19 6、（2011•浙江）若 0＜a＜ ，﹣ ＜β＜0，cos（ +α）= ，cos（ ﹣ ）= ，则 cos（α+ ）=（　　） A、 C、 B、﹣ D、﹣ 7、（2011•浙江）若 a、b 为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜ ”或“b＞ ”的（　　） A、充分而不必要条件 C、充分必要条件 B、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件 8、（2011•浙江）已知椭圆 的离心率 e= ，则 k 的值为（　　） A、4 或 B、4 C、4 或﹣ D、﹣ 9、（2011•浙江）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本．若将其随机地摆放到书架的同一 层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（　　） A、 C、 B、 D、 10、（2011•浙江）设 a，b，c 为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合 S={x|f（x） =0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合 S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（　　） A、{S}=1 且{T}=0 C、{S}=2 且{T}=2 B、{S}=1 且{T}=1 D、{S}=2 且{T}=3 二、填空题（共 7 小题，每小题 4 分，满分 28 分） 11、（2011•浙江）若函数 f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数 a=　_________　． 12、（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是　_________　． 第 2 页 共 22 页 213、（2011•浙江）若二项式（x﹣ ）n（a＞0）的展开式中 x 的系数为 A，常数项为 B，若 B=4A，则 a 的值是　 _________　． 14、（2011•浙江）若平面向量 α，β 满足|α|=1，|β|≤1，且以向量 α，β 为邻边的平行四边形的面积为 ，则α 和 β 的夹角 θ 的范围是　_________　． 15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为 ，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记 X 为该毕业生 得到面试的公司个数．若 P（X=0）= ，则随机变量 X 的数学期望 E（X）=　_________　． 16、（2011•浙江）设 x，y 为实数，若 4×2+y2+xy=1，则 2x+y 的最大值是　_________　． 17、（2011•浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为　_________　． 三、解答题（共 5 小题，满分 72 分） 18、（2011•浙江）在△ABC 中，角 A，B，C，所对的边分别为 a，b，c．已知 sinA+sinC=psinB（p∈R）．且 ac= b2． （Ⅰ）当 p= ，b=1 时，求 a，c 的值； （Ⅱ）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围． 19、（2011•浙江）已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a（a∈R）设数列的前 n 项和为 Sn，且 ，，成等比数列． 第 3 页 共 22 页 3（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及 Sn； （Ⅱ）记 An= +…+，Bn= ++++…+ ，当 a≥2 时，试比较 An 与 Bn 的大小． 20、（2011•浙江）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上， 已知 BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP⊥BC； （Ⅱ）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A﹣MC﹣β 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说 明理由． 21、（2011•浙江）已知抛物线 C1：x2=y，圆 C2：x2+（y﹣4）2=1 的圆心为点 M （Ⅰ）求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离； （Ⅱ）已知点 P 是抛物线 C1 上一点（异于原点），过点 P 作圆 C2 的两条切线，交抛物线 C1 于 A，B 两点，若过 M， P 两点的直线 l 垂足于 AB，求直线 l 的方程． 22、（2011•浙江）设函数 f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R （Ⅰ）若 x=e 为 y=f（x）的极值点，求实数 a； （Ⅱ）求实数 a 的取值范围，使得对任意的 x∈（0，3a]，恒有 f（x）≤4e2 成立． 注：e 为自然对数的底数． 第 4 页 共 22 页 4答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1、（2011•浙江）设函数 f（x）= ，若 f（a）=4，则实数 a=（　　） A、﹣4 或﹣2 C、﹣2 或 4 B、﹣4 或 2 D、﹣2 或 2 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。 专题：计算题。 分析：分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分 a≤0 与 a＞0 两种情况，根据各段上函数的解析式，分别 构造关于 a 的方程，解方程即可求出满足条件 的a 值． 解答：解：当 a≤0 时 若 f（a）=4，则﹣a=4，解得 a=﹣4 当 a＞0 时 若 f（a）=4，则 a2=4，解得 a=2 或 a=﹣2（舍去） 故实数 a=﹣4 或 a=2 故选 B 点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法 是：分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证； 分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者． 2、（2011•浙江）把复数 z 的共轭复数记作 ，i 为虚数单位．若 z=1+i，则（1+z）• =（　　） A、3﹣i C、1+3i B、3+i D、3 考点：复数代数形式的混合运算。 专题：计算题。 分析：求出 ，然后代入（1+z）• ，利用复数的运算法则展开化简为：a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到答案． 解答：解：∵复数 z=1+i，i 为虚数单位， =1﹣i，则（1+z）• =（2+i）（1﹣i）=3﹣i 故选 A． 点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数，考查计算能力，是基础题，常考题型． 第 5 页 共 22 页 53、（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　） A、 B、 C、 D、 考点：由三视图还原实物图。 分析：根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体， 将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案． 解答：解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形 故该几何体上部分是一个三棱柱 下部分是三个矩形 故该几何体下部分是一个四棱柱 故选 D 点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中 有两个三角形和一个多边形，则该几何体为 N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩 形和一个多边形，则该几何体为 N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多 边形，则该几何体为 N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体 为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆 台． 4、（2011•浙江）下列命题中错误的是（　　） A、如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β 么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C、如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β=l，那么 l⊥平面 γ 有直线都垂直于平面 β B、如果平面 α 不垂直于平面 β，那 D、如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所 考点：平面与平面垂直的性质。 专题：常规题型。 分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A 注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B 反证法即可获得解答；C 利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得 第 6 页 共 22 页 6解答；D 结合实物举反例即可． 解答：解：由题意可知： A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立； B、假若平面 α 内存在直线垂直于平面 β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立； C、结合面面垂直的性质可以分别在 α、β 内作异于 l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线 平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与 l 平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另 一条也垂直于平面，故命题成立； D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误． 故选 D． 点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的 定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思． 5、（2011•浙江）设实数 x、y 满足不等式组 ，若 x、y 为整数，则 3x+4y 的最小值是（　　） A、14 C、17 B、16 D、19 考点：简单线性规划。 专题：计算题。 分析：本题考察的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域， 然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入 3x+4y 中，求出 3x+4y 的最小值． 解答：解：依题意作出可行性区域 如图，目标函数 z=3x+4y 在点（4，1）处取到最小值 z=16． 故选 B． 第 7 页 共 22 页 7点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点 的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 6、（2011•浙江）若 0＜a＜ ，﹣ ＜β＜0，cos（ +α）= ，cos（ ﹣ ）= ，则 cos（α+ ）=（　　） A、 C、 B、﹣ D、﹣ 考点：三角函数的恒等变换及化简求值。 专题：计算题。 分析：先利用同角三角函数的基本关系分别求得 sin（ +α）和 sin（ ﹣ ）的值，进而利用 cos（α+ ） =cos[（ +α）﹣（ ﹣ ）]通过余弦的两角和公式求得答案． 解答：解：∵0＜a＜ ，﹣ ＜β＜0， ∴ ＜ +α＜ ，＜ ﹣ ＜ ∴sin（ +α）= =，sin（ ﹣ ）= =∴cos（α+ ）=cos[（ +α）﹣（ ﹣ ）]=cos（ +α）cos（ ﹣ ）+sin（ +α）sin（ ﹣ ）= 第 8 页 共 22 页 8故选 C 点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据 cos（α+ ）=cos[（ +α）﹣（ ﹣ ）]，巧妙 利用两角和公式进行求解． 7、（2011•浙江）若 a、b 为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜ ”或“b＞ ”的（　　） A、充分而不必要条件 C、充分必要条件 B、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式。 专题：计算题。 分析：因为“0＜ab＜1”⇒“a＜ ”或“b＞ ”．“a＜ ”或“b＞ ”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜ ”或“b＞ ” 的充分而不必要条件． 解答：解：∵a、b 为实数，0＜ab＜1， ∴“0＜a＜ ”或“0＞b＞ ” ∴“0＜ab＜1”⇒“a＜ ”或“b＞ ”． “a＜ ”或“b＞ ”不能推出“0＜ab＜1”， 所以“0＜ab＜1”是“a＜ ”或“b＞ ”的充分而不必要条件． 故选 A． 点评：本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意基本不等式的合理运用． 8、（2011•浙江）已知椭圆 的离心率 e= ，则 k 的值为（　　） A、4 或 B、4 C、4 或﹣ D、﹣ 考点：椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合。 专题：计算题。 第 9 页 共 22 页 9分析：分椭圆的焦点在 x 轴时和椭圆的焦点在 y 轴时两种情况进行讨论，分别表示出椭圆的离心率求得 k． 解答：解：当椭圆的焦点在 x 轴时，a2=k+8，b2=9 ∴c2=k﹣1，由 e= 求得 k=4， 当椭圆的焦点在 y 轴时，b2=k+8，a2=9 ∴c2=1﹣k， 故选 C． = ，求得 k=﹣ 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为 1+k 与 9 的大小关系不定，所 以椭圆的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上．故必须进行讨论． 9、（2011•浙江）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本．若将其随机地摆放到书架的同一 层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（　　） A、 C、 B、 D、 考点：等可能事件的概率。 专题：计算题。 分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把 5 本书随机的摆到一个书架上，共有 A55 种结果， 12满足条件的事件是同一科目的书都不相邻，共有 C2 A2 A33 种结果，得到概率． 解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 5试验发生包含的事件是把 5 本书随机的摆到一个书架上，共有 A5 =120 种结果， 下分类研究同类数不相邻的排法种数 假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有 4×2×2×2×1=32 种可能； 假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有 4×1×2×1×1=8 种可能； 假设第一本是物理书，则有 1×4×2×1×1=8 种可能． ∴同一科目的书都不相邻的概率 P= 故选 B． ，点评：本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题是浙江卷理科的一道选择题目，这种题目可以作为选择或 填空出现，也可以作为一道解答题目出现． 10、（2011•浙江）设 a，b，c 为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合 S={x|f（x） 第 10 页 共 22 页 10 =0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合 S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（　　） A、{S}=1 且{T}=0 C、{S}=2 且{T}=2 B、{S}=1 且{T}=1 D、{S}=2 且{T}=3 考点：集合的包含关系判断及应用。 专题：计算题。 分析：通过给 a，b，c 赋特值，得到 A，B，C 三个选项有正确的可能，故本题可以通过排除法得到答案． 解答：解：∵f（x）=（x+a）（x2+bx+c），当 f（x）=0 时至少有一个根 x=﹣a 当 b2﹣4c=0 时，f（x）=0 还有一根 只要 b≠﹣2a，f（x）=0 就有 2 个根；当 b=﹣2a，f（x）=0 是一个根 当 b2﹣4c＜0 时，f（x）=0 只有一个根； 当 b2﹣4c＞0 时，f（x）=0 只有二个根或三个根 当 a=b=c=0 时{S}=1，{T}=0 当 a＞0，b=0，c＞0 时，{S}=1 且{T}=1 当 a=c=1，b=﹣2 时，有{S}=2 且{T}=2 故选 D 点评：本题考查解决选择题时，常通过举特例，利用排除法将一定不正确的选项排除，从而选出正确选项，排除法 是解决直接求解有困难的选择题的一个好方法，合理恰当的运用，可以提高解题的速度． 二、填空题（共 7 小题，每小题 4 分，满分 28 分） 11、（2011•浙江）若函数 f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数 a=　0　． 考点：偶函数。 专题：计算题。 分析：根据 f（x）为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出 a 的值． 解答：解：∵f（x）为偶函数 ∴f（﹣x）=f（x）恒成立 即 x2﹣|x+a|=x2﹣|x﹣a|恒成立 即|x+a|=|x﹣a|恒成立 所以 a=0 故答案为：0 点评：本题考查偶函数的定义：f（x）=f（﹣x）对于定义域内的 x 恒成立． 12、（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是　5　． 第 11 页 共 22 页 11 考点：程序框图。 专题：图表型。 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出 k 值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果． 解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈 第二圈 第三圈 k=3 a=43b=34 k=4 a=44b=44 k=5 a=45b=54 此时 a＞b，退出循环，k 值为 5 故答案为：5． 点评：对于流程图处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又 要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型， 根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 13、（2011•浙江）若二项式（x﹣ ）n（a＞0）的展开式中 x 的系数为 A，常数项为 B，若 B=4A，则 a 的值是　 2　． 考点：二项式系数的性质。 专题：计算题。 分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为 1，0 求出 A，B；列出方程求出 a． 解答：解：展开式的通项为 第 12 页 共 22 页 12 令得 r= 所以 A= 令得所以 B= ∵B=4A ∴解得 a=2 故答案为：2 点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 14、（2011•浙江）若平面向量 α，β 满足|α|=1，|β|≤1，且以向量 α，β 为邻边的平行四边形的面积为 ，则α 和 β 的夹角 θ 的范围是　[30°，150°]　． 考点：数量积表示两个向量的夹角。 专题：计算题。 分析：根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表 示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角． 解答：解：∵ | || |sinθ= ∴sinθ= ，∵| |=1，| |≤1， ∴sinθ ，∵θ∈[0，π] ∴θ∈[30°，150°]， 第 13 页 共 22 页 13 故答案为：[30°，150°]，或[ ]， 点评：本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简单的综 合题目． 15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为 ，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记 X 为该毕业生 得到面试的公司个数．若 P（X=0）= ，则随机变量 X 的数学期望 E（X）=　． 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。 专题：计算题。 分析：根据该毕业生得到面试的机会为 0 时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到 X 的可能取值， 结合变量对应的事件写出概率和做出期望． 解答：解：由题意知 X 为该毕业生得到面试的公司个数，则 X 的可能取值是 0，1，2，3， ∵P（X=0）= ，∴，∴p= ， p（x=1）= P（X=2）= p（x=3）=1﹣ ∴EX= +==，=，= ， 故答案为： 点评：本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础 题目． 第 14 页 共 22 页 14 16、（2011•浙江）设 x，y 为实数，若 4×2+y2+xy=1，则 2x+y 的最大值是　 　． 考点：基本不等式。 专题：计算题；转化思想。 分析：设 t=2x+y，将已知等式用 t 表示，整理成关于 x 的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于 0，求出 t 的范 围，求出 2x+y 的最大值． 解答：解：∵4×2+y2+xy=1 ∴（2x+y）2﹣3xy=1 令 t=2x+y 则 y=t﹣2x ∴t2﹣3（t﹣2x）x=1 即 6×2﹣3tx+t2﹣1=0 ∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0 解得 ∴2x+y 的最大值是 故答案为 点评：本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定． 17、（2011•浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为　． 考点：椭圆的简单性质。 专题：计算题。 分析：根据题意分别表示出椭圆的焦距和准线间的距离的三分之一，建立等式求得 a 和 c 的关系，则椭圆的离心率 可得． 解答：解：∵2c= ×2× ∴3c2=a2， ∴e= = 故答案为： 第 15 页 共 22 页 15 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 a，求 c，再求比．二 是列含 a 和 c 的齐次方程，再化含 e 的方程，解方程即可． 三、解答题（共 5 小题，满分 72 分） 18、（2011•浙江）在△ABC 中，角 A，B，C，所对的边分别为 a，b，c．已知 sinA+sinC=psinB（p∈R）．且 ac= b2． （Ⅰ）当 p= ，b=1 时，求 a，c 的值； （Ⅱ）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围． 考点：解三角形。 专题：计算题。 分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得 a 和 c 的值． （Ⅱ）先利用余弦定理求得 a，b 和 c 的关系，把题设等式代入表示出 p2，进而利用 cosB 的范围确定 p2 的范围，进 而确定 pd 范围． 解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得 故可知 a，c 为方程 x2﹣ x+ =0的两根， 进而求得 a=1，c= 或 a= ，b=1 （Ⅱ）解：由余弦定理得 b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣ b2cosB﹣ ，即 p2= + cosB， 因为 0＜cosB＜1， 所以 p2∈（ ，2），由题设知 p＞0，所以 ＜p＜ 点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用． 19、（2011•浙江）已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a（a∈R）设数列的前 n 项和为 Sn，且 ，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式及 Sn； 第 16 页 共 22 页 16 （Ⅱ）记 An= +++…+ ，Bn= ++…+ ，当 a≥2 时，试比较 An 与 Bn 的大小． 考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质。 专题：计算题；证明题。 分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得 d，则数列的通项公式和前 n 项的和可 得． （Ⅱ）利用（Ⅰ）的 an 和 Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理 An 与 Bn，最后对 a＞0 和 a＜0 两种情况分情况进行比较． 解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，由（ ）2= 得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为 d≠0，所以 d=a1=a •，所以 an=na，Sn= （Ⅱ）解：∵ = （ ﹣ ）∴An= +++…+ =（1﹣ ）∵=2n﹣1a，所以 Bn= ++…+ = • = •（1﹣ ）01n当 n≥2 时，2n=Cn +Cn +…+Cn ＞n+1，即 1﹣ ＜1﹣ 所以，当 a＞0 时，An＜Bn；当 a＜0 时，An＞Bn． 点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查 了基础知识的运用． 20、（2011•浙江）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上， 已知 BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP⊥BC； （Ⅱ）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A﹣MC﹣β 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说 第 17 页 共 22 页 17 明理由． 考点：直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题。 分析：以 O 为原点，以 AD 方向为 Y 轴正方向，以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几 何体中各个顶点的坐标． （I）我们易求出 ，的坐标，要证明 AP⊥BC，即证明 •=0； （II）要求满足条件使得二面角 A﹣MC﹣β 为直二面角的点 M，即求平面 BMC 和平面 APC 的法向量互相垂直，由此 求出 M 点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出 AM 的长． 解答：解：以 O 为原点，以 AD 方向为 Y 轴正方向，以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向，建立空间坐标系， 则 O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4） （I）则 =（0，3，4）， =（﹣8，0，0） 由此可得 •=0 ∴⊥即 AP⊥BC （II）设 =λ ，λ≠1，则 =λ（0，﹣3，﹣4） =+=+λ =（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4） =（﹣8，0，0） =（﹣4，5，0）， 设平面 BMC 的法向量 =（a，b，c） 则第 18 页 共 22 页 18 令 b=1，则 =（0，1， ）平面 APC 的法向量 =（x，y，z） 则即令 x=5 则由=（5，4，﹣3） =0 得 4﹣3 =0 解得 λ= 故 AM=3 综上所述，存在点 M 符合题意，此时 AM=3 点评：本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向 量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等 0 是解答本题的关键． 21、（2011•浙江）已知抛物线 C1：x2=y，圆 C2：x2+（y﹣4）2=1 的圆心为点 M （Ⅰ）求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离； （Ⅱ）已知点 P 是抛物线 C1 上一点（异于原点），过点 P 作圆 C2 的两条切线，交抛物线 C1 于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 l 垂足于 AB，求直线 l 的方程． 第 19 页 共 22 页 19 考点：圆与圆锥曲线的综合。 专题：综合题。 分析：（I）由题意抛物线 C1：x2=y，可以知道其准线方程为 圆心坐标为（0，4），所求易得到所求的点到线的距离； ，有圆 C2：x2+（y﹣4）2=1 的方程可以知道 （II）由于已知点 P 是抛物线 C1 上一点（异于原点），所以可以设出点 P 的坐标，利用过点 P 作圆 C2 的两条切线， 交抛物线 C1 于 A，B 两点，也可以设出点 A，B 的坐标，再设出过 P 的圆 C2 的切线方程，利用交与抛物线 C2 两点， 联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的 MP⊥AB，得到方程进而求解． 解答：解：（I）由题意画出简图为： 由于抛物线 C1：x2=y， 利用抛物线的标准方程易知其准线方程为：y=﹣ ， 利用圆 C2：x2+（y﹣4）2=1 的方程得起圆心 M（0，4）， 利用点到直线的距离公式可以得到距离为 ．222（II）设点 P（x0，x0 ），A（x1，x1 ），B（x2，x2 ）； 由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2， 22设过点 P 的圆 c2 的切线方程为：y﹣x0 =k（x﹣x0）即 y=kx﹣kx0+x0 ① 222则，即（x0 ﹣1）k2+2×0（4﹣x0 ）k+（x0 ﹣4）2﹣1=0， 设 PA，PB 的斜率为 k1，k2（k1≠k2），则 k1，k2 应该为上述方程的两个根， ∴，；2代入①得：x2﹣kx+kx0﹣x0 =0 则 x1，x2 应为此方程的两个根， 故 x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0 第 20 页 共 22 页 20 ∴kAB=x1+x2=k1+k2﹣2×0= 由于 MP⊥AB，∴kAB•KMP=﹣1⇒ 故 P ∴．点评：此题重点考查了抛物线即圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整 体代换，进而解出点的坐标，理应直线与圆相切得到要求的直线方程． 22、（2011•浙江）设函数 f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R （Ⅰ）若 x=e 为 y=f（x）的极值点，求实数 a； （Ⅱ）求实数 a 的取值范围，使得对任意的 x∈（0，3a]，恒有 f（x）≤4e2 成立． 注：e 为自然对数的底数． 考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用。 专题：计算题。 分析：（I）利用极值点处的导数值为 0，求出导函数，将 x=e 代入等于 0，求出 a，再将 a 的值代入检验． （II）对 a 分类讨论，求出 f（x）的最大值，令最大值小于 4e2，解不等式求出 a 的范围． 解答：解：（I）求导得 f′（x）=2（x﹣a）lnx+ =（x﹣a）（2lnx+1﹣ ）， 因为 x=e 是 f（x）的极值点， 所以 f′（e）=0 解得 a=e 或 a=3e． 经检验，符合题意， 所以 a=e，或 a=3e （II）①当 0＜3a≤1 时，对于任意的实数 x∈（0，3a]，恒有 f（x）≤0＜4e2 成立，即 0＜a≤ 符合题意 第 21 页 共 22 页 21 ②当 3a＞1 时即 a＞ 时，由①知，x∈（0，1]时，不等式恒成立，故下研究函数在（1，3a]上的最大值， 首先有 f（3a）=（3a﹣a）2ln3a=4a2ln3a 此值随着 a 的增大而增大，故应有 4a2ln3a≤4e2 即 a2ln3a≤e2， 故参数的取值范围是 0＜a≤ 或 a＞ 且a2ln3a≤e2， 点评：本题考查函数的极值点的导数值为 0、解不等式恒成立的参数范围常转化为求函数的最值． 第 22 页 共 22 页 22