2010年山东高考文科数学真题及答案下载

绝密★启用并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文 科 数 学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县 区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 1锥体的体积公式：V  Sh 。其中 S 是锥体的底面积， h是锥体的高。 3如果事伯 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）； 如果事件 A、B 独立，那么 P(AB)  P(A)  P(B) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知全集U  R ，集合 M  x x2  4  0 ，则ð M  U（A） x 2  x  2 （B） x 2  x  2 （C） x x  2或x  2 （D） x x  2或x  2 a  2i  b  i i（2） 已知 （A）-1 i(a,b R) ，其中 为虚数单位，则a  b  （B）1 （C）2 （D）3 f (x)  log2 (3x 1) （3） 的值域为 （A） (0,) （B） 0, （C） (1,) （D） 1, （4）在空间，下列命题正确的是 第 1 页 共 13 页 （A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面 （C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两个平面平行 （5 ）设 f (x) 为定义在 f (1)  R上的函数。当 x  0 时， f (x)  2x  2x  b(b为常数) ，则（A） -3 （6）在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下： 90 8990 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为 （B） -1 （C） 1 （D） 3 （A） 92，2 （C） 93，2 （B） 92 ，2．8 （D）93，2．8 （7）设 a是首项大于零的等比数列，则“ a1 p a2 ”是“数列 a是递增数列”     nn的（A）充分而不必要条件 （C）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）已知某生产厂家的年利润 y（单位：万元）与年产量 （单位：万件）的函数关系式 x1为y  x2 81x  234 ，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 3（A）13 万件 （B）11 万件 （C）9 万件 （D）7 万件 （9）已知抛物线 y2  2px( p  0) ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A, B 两点，若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的标准方程为 （A） x 1 （C） x  2 （B） x  1 （D） x  2 （10）观察 (x2 )’  2x ，(x4 )’  4×2 ,(cos x)’  sin x ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的 函数 f (x) 满足 f (x)  f (x) ，记 g(x)为f (x) 的导函数，则 g(x) （A） f (x) （B）  f (x) （C） g(x) （D） g(x) （11）函数 y  2x  x2 的图像大致是 （12）定义平面向量之间的一种运算“ e”如下：对任意的 a  (m,n) ，b  ( p,q)，令 第 2 页 共 13 页 a e b  mq  mp ．下面说法错误的是 （A）若 a与b 共线，则 a e b  0 （B） a e b  be a （C）对任意的   R,有（a）e b=( a e b) （D） (a e b)2  (ab)2  a 2 b 2 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 （13）执行右图所示流程框图，若输入 x  4 ，则输出 y的值为____________________． xy（14） 已知(x, y R ) ，且满足 1，则 xy 的最大值为____________________． 34（ 15 ） 在ABC 中 ， 角A、B、C 所 对 的 边 分 别 为a、b、c ． 若 a  2,b  2, sin B  cos B  2 ,，则角 A的大小为____________________． l : y  x 1 被该圆所截得的弦 （16）已知圆 C过点 (1,0) ，且圆心在 x轴的正半轴上，直线 长为 2 2，则圆 C的标准方程为____________ 三、解答题：本题共 6 小题，共 74 分 。 （17）（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x)  sin( x)cosx  cos2 x(＞0)的最小正周期为 ．（Ⅰ）求 的值． 12（Ⅱ）将函数 y  f (x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 16 y  g(x) 的图像，求函数 g(x) 在区间 0, 上的最小值。 （18）（本小题满分 12 分） 已知等差数列 a满足： a3  7,a5  a7  26 ．a的前 n项和为 Sn     。nn（Ⅰ）求 an 及 Sn ； 第 3 页 共 13 页 1（Ⅱ）令bn  (n N )，求数列 a的前 项和Tn ． n  nan2 1 （19）（本小题满分 12 分） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4 ，（Ⅰ）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 （Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取 ，求 n＜m  2 的概率。 4的概率； m一个球，该球的编号为 n（20）（本小题满分 12 分） 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 ， 四 边 形ABCD 是 正 方 形 ， E、G、F 分别为 MB PB、PC 的中点，且 AD  PD  2MA （Ⅰ）求证：平面 EFG  平面PDC MA  平面ABCD ,PD ∥MA ,、．;（Ⅱ）求三棱锥P  MAB与四棱锥P  ABCD的体积之比 ．（21）（本小题满分 12 分） 1 a x已知函数 f (x)  1nx  ax  1(a  R). （Ⅰ）当 a  1时，求曲线y  f (x)在点（2，f (2))处的切线方程； 1（Ⅱ）当 a≤ 时，讨论 f (x) 的单调性． 2第 4 页 共 13 页 （22）（本小题满分 14 分） x2 y2 22如图，已知椭圆 1 (a  b  0) 过点（1， ），离心率为 ，左右焦点 a2 b2 22分别为 F F2 ．点 P为直线 l：x  y  2 上且不在 x轴上的任意一点，直线 PF1 和 PF2 1与椭圆的交点分别为 A、B （Ⅰ） 求椭圆的标准方程； 和C、D,O 为坐标原点． （Ⅱ）设直线 PF 、PF2 斜率分别为 k1 、k2 ． 113(i)证明：  2 k1 k2 （ⅱ）问直线 l上是否存在一点 P ， 使直线OA、OB、OC、OD 的斜率 kOA、kOB、kOC、kOD 满足 kOA  kOB  kOC  kOD  0 ？若存在，求出所有满足条件 的点 的坐标；若不存在，说明理由． P第 5 页 共 13 页 参考答案 评分说明： 1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的 评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。 （1） C （2） B （3） A （4） D （7）C （8）C （9）B （10）D （5） A（6） B （12）B （11）A 二、填空题：本题考 查基础知识和基本运算，每小题4 分，满分 16 分。 546（13） （14）3 （15） （16） (x  3)2  y2  4三、解答题 （17）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和 求解的能力，满分 12 分。 2412f (x)  sin(2x  )  2（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，2412g(x)  f (2x)  sin(4x  )  2所以 。第 6 页 共 13 页 64420  x   4x  当时， 24 sin(4x  ) 1 2所以 1 2 因此 1 g(x)  ，216 故g(x) 在区间 0, 内的最小值为 1． （18）本小题主要考察等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。 解：（Ⅰ）设等差数列｛an｝的首项为 a1，公差为 d， 由于 a3=7，a5+ a7=26， 所以 a1+2d=7，2a1+10d=26， 解得 a1=3，d=2. 1由于 an= a1+（n-1）d，Sn= [n(a1+ an), 2所以 an=2n-1, Sn=n2+n, （Ⅱ）因为 an=2n-1， 2所以 an -1=4n（n+1）， 因此 Tn=b1+ b2+…+ bn 14121121211==(1- +-+…+ -)nn 1 1(1- )4n 1 n=4(n 1) n所以数列 b的前 n项和Tn =。  n4(n 1) （19）本小题主要考察古典概念、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的能 力。满分 12 分。 解：（I）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2，1 和 3， 1 和 4，2 和 3，2 和 4，3 和 4，共 6 个。 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个。 因此所求事件的概率为 1/3。 （II）先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下 编号为 n，其一切可能的结果（m, n）有： （1,1）（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）（3,2）, （3,3） （3,4）,（4,1） （4,2），（4,3）（4,4），共 16 个 有满足条件 n≥ m+2 的事件为（1,3） （1,4） （2,4），共 3 个 第 7 页 共 13 页 所以满足条件 n ≥ m+2 的事件的概率为 P=3/16 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 （20）本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的 计算，考查试图能力和逻辑思维能力。满分 12 分。 （I）证明：由已知 MA  平面ABCD,PD∥MA, 所以 PD平面ABCD 又BC  平面ABCD PD  DC ，所以 因为 四边形ABCD 为正方形， 所以 BC  DC ,又PD  DC=D ，因此 BC  平面PDC 在PBC 中，因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点， 所以 GF∥PC 因此 GF  平面PDC 又GF  平面EFG ，所以 平面EFG  平面PDC ．（Ⅱ）解：因为 PD  平面ABCD,四边形 ABCD 为正方形，不妨设 MA=1 ，则PD=AD=2 1，83所以 VP-ABCD = S正方形ABCD ·PD= 3由于 DA  面MAB的距离，且 PD∥MA 所以 DA 即为点 到平面MAB 的距离， P1 1 VP-MAB   122  3 2 23三棱锥 所以 VP-MAB：VP-ABCD 1: 4 （21）本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查 分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。满分 12 分。 2解：（Ⅰ） 当a  1时，f (x)  ln x  x  1, x (0,), x第 8 页 共 13 页 x2  x  2 所以 f ‘(x) , x (0,) x2 因此， f（2） 1， 即又曲线 y  f (x)在点（2，f (2))处的切线斜率为1，. f (2)  ln 2  2, 所以曲线 y  f (x)在点（2，f (2))处的切线方程为y  (ln 2  2)  x  2, 即x  y  ln 2  0. f (x)  ln x  ax  1 a x（Ⅱ）因为 1 ，1a 1 ax2  x 1 a 所以 令f ‘(x)  a    x (0,) ，x2 x2 xg(x)  ax2  x 1 a, x (0,), （1）当 a  0时 , h ( x )  x  1, x  (0,   ) 所以，当 x (0,1)时,h(x)  0,此时f (x)  0 ，函数 f (x) 单调递减； x (1,) 时， h(x)  0 ，此时 f (x)  0,函数f ( x)单调递 当（2）当 a  0时, 由f (x) =0 1即ax2  x 1 a  0 ，解得 x1  1, x2  1 a1①当 a  时， x1  x2 ,h(x)  0 恒成立， 2此时 f (x)  0，函数 f (x) 在（0，+∞）上单调递减； 11②当 0  a  时, 1  1  0 2ax (0,1) 时， h(x)  0,此时f (x)  0,函数f (x) 单调递减； 1x (1, 1) 时， h(x)  0,此时f (x)  0,函数f (x) 单调递增； a1x ( 1,)时,h(x)  0 ，此时 f (x)  0，函数 f (x) 单调递减； a第 9 页 共 13 页 1③当 a  0时，由于 1  0 ax (0,1) 时， h(x)  0 ，此时 f (x)  0，函数 f (x) 单调递减； x (1,) 时， h(x)  0，此时 f (x)  0，函数 f (x) 单调递增。 综上所述： 当a  0时，函数 f (x) 在（０，１）上单调递减； 函数 f (x) 在（１，＋∞）上单调递增； 1当当a  时，函数 f (x) 在（0，+∞）上单调递减； 210  a  时，函数 f (x) 在（0，1）上单调递减； 21函数 f (x) 在(1, 1)上单调递增； a1函数 f (x)在( 1,) 上单调递减， a（22）本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合 思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。 22（Ⅰ）解：因为椭圆过点（1， ），e= ，2211c2所以 1 ，．a2 2b2 a2又a2  b2  c2 ，所以 a  2，b 1，c 1 x2 故所求椭圆方程为  y2 1 ．2（II）（1）证明： 第 10 页 共 13 页 方法二: y0 y0 设P（x0 , y0）,则k1  ,k2  x0 1 x0 1 y0  0 因为点 P 不在 x 轴上，所以 x0  y0  2 又13×0 1 （3 x0 1） 4  2×0 2y0  2 k1 k2 y0 y0 y0 y0 所以 因此结论成立 （ⅱ）解：设 A(xA , yA ) ， B(xB , yB ) ，C(xC , yC ) ， D(xD , yD ) ． 第 11 页 共 13 页 2k2 k22 1 xc  0, xD  0,k22  0,1,kOC  kOD   k1 k2 故kOA  kOB  kOC  kOD  ( k1k22  k1  k12k2  k2 )k12 1 k22 1  2 (k12 1)(k22 1) 2(k1k2 1)(k1  k2 ) (k12 1)(k22 1)   若kOA  kOB  kOC  kOD  0，须有 k1  k2 =0 或 k1k2 =1． ① 当 k1  k2 =0 时，结合（ⅰ）的结论，可得 2）； k2 =－2，所以解得点 P 的坐标为（0， ② 当 k1k2 =1 时，结合（ⅰ）的结论，可得 k2 =3 或 k2 =－1（此时 k1 =－1，不满足 k1 ≠5434k2 ，舍去 ），此时直线 CD 的方程为 y  3(x 1) ，联立方程 x  y  2 得x  ，y  第 12 页 共 13 页 5 3 因此 P( , )． 4 4 5434综上所述，满足条件的点 P 的坐标分别为 (0,2) ，（ ，）。 第 13 页 共 13 页