第 1 页 共 22 页 2010年高考天津卷文科数学试题及答案 源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 本试卷分第 I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150分，考试用时 120分钟。 第 I卷 1至 3页。第Ⅱ卷 4至 11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 I卷 注意事项： 1．答 I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考 试用条形码。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。 3．本卷共 10小题，每小题 5分，共 50分。 参考公式： 如果事件 A、B互斥，那么 P(A B) P(A) P(B) 棱柱的体积公式 V=Sh. 其中 S 表示棱柱的底面积. h表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3 i 1i (1)i是虚数单位，复数 =(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i x y 3, (2)设变量 x，y满足约束条件 x y 1, 则目标函数 z=4x+2y的最大值为 y 1, （A）12 (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s的值为 (A)-1 (B)0(C)1 (D)3 （B）10 （C）8 （D）2 （4）函数 f（x）=ex x 2的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (5)下列命题中，真命题是 (C) （0,1） (D) （1,2） (A)mR,使函数f（x）=x2 mx（x R）是偶函数 (B)mR,使函数f（x）=x2 mx（x R）是奇函数 (C)mR,使函数f（x）=x2 mx（x R）都是偶函数 (D)mR,使函数f（x）=x2 mx（x R）都是奇函数 25(6)设 a log5 4，b （log53），c log4 ，则 第 1 页 共 22 页 1第 2 页 共 22 页 (A)a<c<b (B) )b<c<a(C) )a<b<c (D) )b<a<c (7)设集合 A x||x-a|<1,x R ,B x |1 x 5, x R .若A B ，则实数 a的取值 范围是 (A) a | 0 a 6 (B) a | a 2,或a 4 (C) a | a 0,或a 6 (D) a | 2 a 4 5 6 6 （8） 右图是函数y Asin（x+）（x R）在区间 – ，上的图象，为了得到 这个函数的图象，只要将 y sin x（x R）的图象上所有的点 1(A)向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3倍，纵坐标不变 2(B) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 3倍，纵坐标不变 12(C) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 6倍，纵坐标不变 (D) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 6 =（9）如图，在ΔABC中， AD AB ，BC 3 BD ，AD 1，则 AC AD A33（A） 2 3 （B） （C） （D） 3 23BCD（10 ）设函数g(x) x2 2(x R) ，g(x) x 4, x g(x) g(x) x, x g(x) f (x) 则 f (x) 的值域是 999（A） ,0 (1,) （B）[0,) （C）[ ,)（D） ,0 (2,) 444第 2 页 共 22 页 2第 3 页 共 22 页 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填在题中的横线上。 （11）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC ABBC 相交于点 P。若 PB=1，PD=3，则 的值为 。PAD CO（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 为。Dx2 y2 （13）已知双曲线 1(a 0,b 0) 的一条渐近线方程是 a2 b2 y 3x，它的一个焦点与抛物线 y2 16x 的焦点相同。则双曲 线的方程为 （14）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直 线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 。。（15）设{an}是等比数列，公比 q 2 ，Sn 为{an}的前 n 项和。记 17Sn S Tn 2n ,n N*. 设 Tn 为 数 列 {Tn } 的 最 大 项 ， 则 0an1 n0 =。1（16）设函数 f(x)=x- ,对任意 x[1,），f ( mx) +mf ( x) <0恒成立，则实数 m 的取值范 x围是________ 第 3 页 共 22 页 3第 4 页 共 22 页 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分） AC cos B 在ABC 中， 。AB cosC （Ⅰ）证明 B=C： 13（Ⅱ）若 cos A=- ，求 sin 4B 的值。 3（18）（本小题满分 12 分） AAA2 ,… 有编号为 ,的 10 个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据： 10 1编号 直径 A1 1.51 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。 （Ⅰ）从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取 2 个. （ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ⅱ）求这 2 个零件直径相等的概率。 （19）（本小题满分 12 分） 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA⊥平面 ABCD，BC∥AD， 2 2 CD=1，AD= ，∠BAD＝∠CDA＝45°. F（Ⅰ）求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明 CD⊥平面 ABF； E（Ⅲ）求二面角 B-EF-A 的正切值。 ABDC（20）（本小题满分 12 分） 3已知函数 f（x）= ax3 x2 1(x R) ，其中 a>0. 2（Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； 第 4 页 共 22 页 4第 5 页 共 22 页 1 1 （Ⅱ）若在区间 , 上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范围. 2 2 （21）（本小题满分 14 分） x2 y2 3已知椭圆 1（a>b>0）的离心率 e= ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 a2 b2 2为 4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. 4 2 （i）若| AB| = ，求直线 l 的倾斜角； 5 （ii）若点 Q（0，y0）在线段 AB 的垂直平分线上，且 QAQB=4.求 y0 的值. （22）（本小题满分 14 分） 1 =0，且对任意 k N* 在数列 a中， a， a2k1,a2k ,a2k+1 成等差数列，其公差为 2k. n（Ⅰ）证明 a4 ,a5 ,a6 成等比数列； （Ⅱ）求数列 a的通项公式； n22 32 n2 3（Ⅲ）记Tn ，证明 2n Tn （2 n 2） .a2 a3 an 2第 5 页 共 22 页 5第 6 页 共 22 页 2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）A （6）D (2)B (7)C (3)B (8)A (4)C (9)D (5)A (10)D 3 i 1i (1)i是虚数单位，复数 =(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 【答案】A 【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。 进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将 i2改为-1. 3 i （3 i）(1+i) 2 4i 1 2i 1-i (1-i)(1+i) 2【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心， 不要失分哦。 x y 3, (2)设变量 x，y满足约束条件 x y 1, 则目标函数 z=4x+2y的最大值为 y 1, （A）12 （B）10 （C）8 （D）2 【答案】B 【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知， 第 6 页 共 22 页 6第 7 页 共 22 页 当目标函数过直线 y=1与 x+y=3的交点（2，1）时 z取得最大值 10. (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s的值为 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 【答案】B 【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。 第一次运行程序时 i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次 运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行 i=i+1 后 i=5，推出循环输出 s=0. 【温馨提示】涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的 方式解决。 （4）函数 f（x）=ex x 2的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） 【答案】C (C) （0,1） (D) （1,2） 【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 因为 f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选 C 【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代 入排除的方法求解。 (5)下列命题中，真命题是 (A)mR,使函数f（x）=x2 mx（x R）是偶函数 (B)mR,使函数f（x）=x2 mx（x R）是奇函数 (C)mR,使函数f（x）=x2 mx（x R）都是偶函数 (D)mR,使函数f（x）=x2 mx（x R）都是奇函数 【答案】A 【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。 当 m=0时，函数 f（x）=x2是偶函数，所以选 A. 【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。 第 7 页 共 22 页 7第 8 页 共 22 页 25(6)设 a log5 4，b （log53），c log4 ，则 (A)a<c<b (B) )b<c<a(C) )a<b<c (D) )b<a<c 【答案】D 【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。 因为 0 log5 4 1,所以b<a<c 【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用 0，1 进行，本题也可以利用对数函数的图像 进行比较。 (7)设集合 A x||x-a|<1,x R ,B x |1 x 5, x R .若A B ，则实数 a的取值 范围是 (A) a | 0 a 6 (B) a | a 2,或a 4 (C) a | a 0,或a 6 (D) a | 2 a 4 【答案】C 【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。 由|x-a|<1得-1<x-a<1,即 a-1<x<a+1.如图 由图可知 a+1≦1或 a-1≧5，所以 a≦0或 a≧6. 【温馨提示】不等式型集合的交、并集通常可以利用数 轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。 5 6 6 （8） 右图是函数y Asin（x+）（x R）在区间 – ，上的图象，为了得到 这个函数的图象，只要将 y sin x（x R）的图象上所有的点 3(A)向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1倍，纵坐标不变 2(B) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 32倍，纵坐标不变 1(C) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 626(D) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。 6由图像可知函数的周期为 ，振幅为 1，所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+ ).代入（- ，第 8 页 共 22 页 8第 9 页 共 22 页 3360）可得 的一个值为 ，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+ )，即 y=sin2(x+ )， 6所以只需将 y=sinx（x∈R）的图像上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点的横 1坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变。 2【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求 。三角函数图像 1进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的 =（9）如图，在ΔABC中， AD AB ，BC 3 BD ，AD 1，则 AC AD 33（A） 2 3 【答案】D （B） （C） （D） 3 A23BCD【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识， 属于难题。 AC AD | AC | | AD | cos∠DAC | AC | cos∠DAC | AC | sin∠BAC | BC | sin B 3 | BD | sin B=3 | AD | 3 【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强 平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。 g(x) x 4, x g(x) g(x) x, x g(x) （10）设函数 g(x) x2 2(x R) ，f (x) 则 f (x) 的值域是 9994（A） ,0 (1,) （B）[0,) （C）[ ,)（D） ,0 (2,) 44【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。 222x 2 (x 4), x x 2 x2 2 x, x x2 2 x x 2, x 1或x 2 x2 2 x,1 x 2 依题意知 f (x) 第 9 页 共 22 页 9第 10 页 共 22 页 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填在题中的横线上。 13×2 y2 11） (12)3 (13) 1 412 2（14）（x+1） y2 2 (15)4 (16)（- ，- 1） （11）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P。若 PB=1， BC PD=3，则 的值为 。AAD B1P【答案】 3CO【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的 D性质，属于容易题。 因为 A,B,C,D 四点共圆，所以 DAB PCB,CDA PBC ,因为 P 为公共角，所以 BC PB 13⊿PBC∽⊿PAB,所以 ==AD PD 【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重 要内容，也是考查的热点。 （12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积为 。【答案】3 【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体 积的计算，属于容易题。 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和 俯视图可知该几何体的高为 1，结合三个试图可知该几 第 10 页 共 22 页 10 第 11 页 共 22 页 1何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为 （1+2）21=3 2【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本 题也可以将几何体看作是底面是长为 3，宽为 2，高为 1 的长方体的一半。 x2 y2 （13）已知双曲线 1(a 0,b 0) 的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点 a2 b2 与抛物线 y2 16x 的焦点相同。则双曲线的方程为 。x2 y2 【答案】 1 412 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。 b由渐近线方程可知 3 ①a因为抛物线的焦点为（4，0），所以 c=4 ②又c2 a2 b2 ③x2 y2 联立①②③，解得 a2 4,b2 12 ，所以双曲线的方程为 1 412 【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中 c 最大。 （14）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 。【答案】 (x 1)2 y2 2 本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。 令 y=0 得 x=-1，所以直线 x-y+1=0,与 x 轴的交点为（-1.0） | 1 0 3| 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 r 的方程为 (x 1)2 y2 2 2 ，所以圆 C 2【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。 17Sn S （15）设{an}是等比数列，公比 q 2 ，Sn 为{an}的前 n 项和。记Tn 2n ,n N*. an1 设Tn 为数列{ Tn }的最大项，则 n0 =。0【答案】4 第 11 页 共 22 页 11 第 12 页 共 22 页 【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等 题。 17a1[1 ( 2)n ] a1[1 ( 2)2n ] 1( 2)2n 17( 2)n 16 1 2 1 2 Tn a1( 2)n 1 2 ( 2)n 116 ( 2)n 16 ( 2)n [( 2)n 17]因为 ( 2)n ≧8，当且仅当 ( 2)n =4，即 n=4 时取 1 2 等号，所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 【温馨提示】本题的实质是求 Tn 取得最大值时的 n 值，求解时为便于运算可以对 ( 2)n 行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解. 进1（16）设函数 f(x)=x- ,对任意 x[1,），f ( mx) +mf ( x) <0恒成立，则实数 m 的取值范 x围是________ 【答案】m<-1 【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。 已知 f（x）为增函数且 m≠0 若 m>0，由复合函数的单调性可知 f（mx）和 mf（x）均为增函数，此时不符合题意。 1m111m2 M<0，时有 mx mx 0 2mx (m ) 0 1 2×2 因为 y 2×2 mx xmx1在x[1,)上的最小值为 2，所以 1+ 2 即m2 >1,解得 m<-1. m2 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解。 ————————————————— 2010 年天津文高考数学解析 题答123456789111号案012ABBCADCADD1． A 解 析 ： 本 题 考 查 了 复 数 的 基 本 运 算 。 3 i (3 i)(1 i) 2 4i 1 2i 1i (1i)(1 i) 2y2．B 解析：本题考查了线性规划的基础知识。作出可行域与图中 1Ax y 3 y 1 x 2 y 1 阴影，则 A 点为最优解，∵ ，∴解得 ，∴ Ox第 12 页 共 22 页 12 第 13 页 共 22 页 zmax 10 3．B 解析：本题考查了算法的流程图的基础知识。列出表格可得 1(31) 1 3(3 2) 1 4(33) 1 1(3 4) 1 S1i12345∴输出 s 0 4．C 解析：本题考查了函数与方程的基础知识，∵ f (1) e1 1 2 0 ，f (0) 1 2 0 ，f (1) e 1 2 0，∴函数的零点所在区间 (0,1) 5．A 解析：本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的基础知识。∵当 m 0 但不是任何 值都能使f (x) 为偶函数∴A 正确，C 不正确；∵不论 f (x) f (x) ，∴B，D 不正确， 时f (x) 为偶函数， mm为何值都没有 6 ． C 解 析 ： 本 题 考 查 了 函 数 的 单 调 性 、 对 数 函 数 的 性 质 等 基 础 知 识 。 ∵ 0 log5 3 1,0 log5 4 1,log4 5 1，∴ c a,c b ，∵ 0 log5 3 1,0 log5 4 1, ∵log5 3 log5 4 ，∴ log5 3 (log5 4)2 ，∴ a b 7 ． C 解 析 ： 本 题 考 查 了 集 合 的 运 算 、 绝 对 值 不 等 式 的 解 法 等 基 础 知 识 。 ∵ A {x | 1 a x 1 a}，若 A B ，∴ a 0 或a 6 8．A 解析：本题考查了三角函数的解析式、图象变换及性质的基础知识。由图象可知周期 A=1， 5 662 12 3∵T ( ) ，T ，∴ 2 ，∵过点 (1, )，代入解析式得 ，解析 33式为 y sin(2x )，∵ y sin x 向左平移 单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐 13标变为原来的 ，可得y sin(2x )，故选 A。 2 =（9）如图，在ΔABC中， AD AB ，BC 3 BD ，AD 1，则 AC AD A33（A） 2 3 （B） （C） （D） 3 231DCB9 ．D 解析：本题考查了向量的基本运算及向量的数量积的运 算。∵AD ⊥AB ， BAAD 0 ，∵ 3BDAD =3 AD BDcosADB 3 ，第 13 页 共 22 页 13 第 14 页 共 22 页 ∴ACAD (BC BA)AD 3BDAD BAAD =3，故选 D 3另法：（特例检验法）不妨取 BD 2,则| BC | 2 3,ADB , 3∴ACAD (BC BA)AD BCAD BAAD ＝2 31cos 0 3 ，故选 D 10．D 解析：本题考查了分段函数的值域、不等式的解法及函数图象等基本知识。 17494(x )2 x 1或x 2 1 x 2 22x x 2 x x 2 x2 x 2 x x2 2 2∵f (x) ，∴ f (x) ，12(x ) 217∴当 x 1 或x 2 ，f (x) (x )2 2 ，2419494当1 x 2时， f (x) (x )2 [ ,0] 2111． 解析：本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形判定及性质的基础知识，∵A， 3B ， C ， D 四 点 共 圆 ， ∴PBC D ，BPC DPA， ∴ PBC ∽ PDA ， ∴ PB BC 1PD AD 312．3 解析本题考查了立体几何的三视图的知识，从三视图可得该几何体为底面为梯形的直 1四棱柱，其中梯形的上下底分别为 1，2 高为 2，棱柱的高为 1，∴体积为 2 (1 2)1 3 2×2 y2 13． 1解析：本题考查了双曲线的标准方程、双曲线的性质、抛物线的性质等基 412 础知识。∵抛物线 y2 16x ，焦点为 (4,0) ，∴ c 4，∵双曲线的渐近线方程 y 3x，∴ x2 y2 x2 y2 双曲线设为 1( 0) ， 3 16, 4 ，∴双曲线方程为 1 3 412 14． (x 1)2 y2 2解析：本题考查了直线、圆的标准方程及直线与圆的位置关系，点到 直线的距离的基础知识，∵直线 x y 1 0 与 x 轴交于 (1,0) ，∵圆心 C (1,0) 到直线 1 3 x y 3 0的距离为 r 2 ，∴圆方程为 (x 1)2 y2 2 。215．4 解析：本题考查了等比数列的通项、前 n项和、基本不等式的基础知识。∵ 17Sn S2n Tn an1 第 14 页 共 22 页 14 第 15 页 共 22 页 16 17qn q2n (1 q)qn 116 qn 116 qn ∴Tn =(17 qn ) (2 qn 17) ， 当 且 仅 当 1 2 1 2 16 qn qn ，∴ q2n 16,2n 16,n 4 16． (,1)解析：本题考查了函数的值域、不等式解法、不等式的恒等变形及不等式恒 1mx成立的基础知识。∵ f (mx) mf (x) 0 恒成立，∴ 2mx 0 ，x[1,) ，mx 12mx2 m ，m111当又当m 0时，∵ 2×2 1恒成立，∴ (2×2 )min 1 ，2 1，∴ m 1 或m 1 ，m2 。1m2 m2 m 0，∴ m 1 m 0时， 2×2 1恒成立，由 x[1,)，所上式不可能恒成立， m2 所以 m 1 解答题 （17）本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的 正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12分. sin BcosB （Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得 =.于是 sinBcosC-cosBsinC=0， sin CcosC 第 15 页 共 22 页 15 第 16 页 共 22 页 即 sin（B-C）=0.因为 B C ，从而 B-C=0. 所以 B=C. 1（Ⅱ）解：由 A+B+C= 和（Ⅰ）得 A= -2B,故 cos2B=-cos（ -2B）=-cosA= . 32 2 又 0<2B< ,于是 sin2B= 1 cos2 2B =.34 2 7从而 sin4B=2sin2Bcos2B= ，cos4B=cos2 2B sin2 2B .993334 2 7 3 所以sin(4B ) sin 4Bcos cos4Bsin 18 （18）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础 知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分 12分 （Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有 6个.设“从 10个零件中，随机抽取一 63个为一等品”为事件 A，则 P（A）= =. 510 （Ⅱ）（i）解：一等品零件的编号为 A , A2 , A , A4 , A , A6 .从这 6个一等品零件中随 135机抽取2个，所有可能的结果有：A , A , A , A , A , A 2 3 4 ,A , A , A , A A , A ,,5 6 3 111112A , A , A , A 4 5 ,A , A , A , A , A , A ,A , A , A , A , A , A 6 5 6 ,A , A 共 6 4 5 6 222333445有 15种. (ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的 2个零件直径相等”（记为事件 B）的所有可 能结果有： A , A , A , A , A , A ，A , A , A , A , A , A ，共有 6种. 3 5 5 4 6 6 114223625所以 P(B)= .15 (19)本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想 象能力，运算能力和推理论证能力.满分 12分. (I)解：因为四边形 ADEF是正方形，所以 FA//ED.故 CED 为异面直线 CE与 AF所成 第 16 页 共 22 页 16 第 17 页 共 22 页 的角. 因为 FA 平面 ABCD，所以 FA CD.故 ED CD. F在 Rt△CDE中，CD=1，ED=2 2，CE= CD2 ED2 =3,故 cos NEED 2 2 CED ==.CE 32 2 3所以异面直线 CE和 AF所成角的余弦值为 .(Ⅱ)证明：过点 B作 BG//CD,交 AD于点 G， A则BGA CDA 45 .由 BAD 45 ,可得 BG AB, 平面 ABF. ，即 G为 AD的中点. GB从而 CD AB,又 CD FA,FA AB=A,所以 CD MDC(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得 AG= 2取 EF的中点 N，连接 GN，则 GN EF,因为 BC//AD,所以 BC//EF.过点 N作 NM EF，交 BC于 M，则 GNM 为二面角 B-EF-A的平面角。 2连接 GM，可得 AD NG//FA,FA GM,得 NG 在 Rt△NGM中，tanGNM 平面 GNM,故 AD GM.从而 BC GM.由已知，可得 GM= .由 2GM. GM 14,NG 1所以二面角 B-EF-A的正切值为 . 4(20)本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式 等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12分. 3（Ⅰ）解：当 a=1时，f（x）=x3 x2 1，f（2）=3； f (x) =3×2 3x , f (2) =6. 2所以曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y-3=6（x-2），即 y=6x-9. 13ax2 3x 3x(ax 1) .令 f (x)=0，解得 x=0或 x= . （Ⅱ）解： f (x) =a以下分两种情况讨论： 110 a 2，则 ，当 x变化时， f (x)，f（x）的变化情况如下表： （1） 若a211 ，0 0， X0022f (x) +-第 17 页 共 22 页 17 第 18 页 共 22 页 f(x) 极大值 5 a 85 a 81 0, 0. f ( ) 0, 1 1 2当x ， 时，f（x）>0等价于 即12 2 f ( ) 0, 2解不等式组得-5<a<5.因此 0 a 2 .11.当 x变化时， f (x),f（x）的变化情况如下表： （2） 若a>2，则 0 a2111 1 1a ，0 0， ，a 2 X02af (x) +0-0+f(x) 极大值 极小值 15 a f(- )>0, >0, 1 1 281当x ， 时，f（x）>0等价于 即12 2 f( )>0, 1- >0. 2a2 a22解不等式组得 a 5 或a .因此 2<a<5. 22综合（1）和（2），可知 a的取值范围为 0<a<5. （21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、 直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14分. c3（Ⅰ）解：由 e= ，得3a2 4c2 .再由 c2 a2 b2 ，解得 a=2b. a21由题意可知 2a2b 4 ，即 ab=2. 2a 2b, ab 2, 解方程组 得 a=2，b=1. x2 所以椭圆的方程为 y2 1 .4第 18 页 共 22 页 18 第 19 页 共 22 页 (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点 A的坐标是（-2,0）.设点 B的坐标为 (x1, y1) ，直线 l 的斜率为 k.则直线 l的方程为 y=k（x+2）. y k(x 2), 2于是 A、B两点的坐标满足方程组 消去 y并整理，得 x y2 1. 4 (1 4k2 )x2 16k2 x (16k2 4) 0 .16k2 4 1 4k2 2 8k2 1 4k2 4k 1 4k2 由2×1 ，得 x1 .从而 y1 .2 2 8k2 1 4k2 4k 1 4k2 4 1 k2 1 4k2 2 所以| AB | 2 .4 2 4 1 k2 4 2 由| AB | ，得 .51 4k2 5整理得32k4 9k2 23 0 ，即 (k2 1)(32k2 23) 0，解得 k=1 .43 4所以直线 l的倾斜角为 或. 8k2 2k 1 4k2 1 4k2 （ii）解：设线段 AB的中点为 M，由（i）得到 M的坐标为 ,.以下分两种情况： （1）当 k=0时，点 B的坐标是（2,0），线段 AB的垂直平分线为 y轴，于是 QA 2,y ,QB 2,y . 由QAQB 4 ，得 y0 2 2 。0 0 8k2 1 4k2 2k 1 4k2 1（2）当 k 0 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 y 6k x 。k令x 0 ，解得 y0 。1 4k2 QB x , y y 由QA 2,y ，，0 0 112 28k2 6k 4k 6k QAQB 2x y y y 0 0 111 4k2 1 4k2 1 4k2 1 4k2 4 16k4 15k2 1 4 ，21 4k2 第 19 页 共 22 页 19 第 20 页 共 22 页 14 72 14 整理得 7k2 2。故 k 。所以 y0 。52 14 综上， y0 2 2 或y0 5（22）本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础 知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法， 满分 14 分。 （ I ） 证 明 ： 由 题 设 可 知 ，a2 a1 2 2 ，a3 a2 2 4 ，a4 a3 4 8 ，a5 a4 4 12 a6 a5 6 18 ，。a6 a5 3从而 ，所以 a4 ， a5 ， a6 成等比数列。 a5 a4 2（II）解：由题设可得 a2k1 a2k1 4k,k N * 所以 a2k1 a a2k1 a2k1 a2k1 a2k3 … a a 1 13 4k 4 k 1 … 41 2k k1 ,k N * .由a1 0 ，得 a2k1 2k k1 ，从而 a2k a2k1 2k 2k2 .2n 1 n,n为奇数 n2 1 1 2n2 所以数列 a的通项公式为 a 或写为 an ，n N * 。 nn24,n为偶数 2 （III）证明：由（II）可知 a2k1 2k k1 ，a2k 2k2 ，以下分两种情况进行讨论： （1） 当n 为偶数时，设 n=2m m N * 第 20 页 共 22 页 20 第 21 页 共 22 页 k2 n若m 1，则 2n m 2，则 2 ， a k2 k若22k2 4k2 m1 4k2 4k 1 nmm1 m2k 2k 1 k1 2k2 k2 ak a2k a2k1 2k k1 k1 k1 k1 2m1 4k 4k 1m1 1 1 1 2m 2m 2 2k k1 2k k1 2 k k1 k1 k1 113 1 2m 2 m 1 1 2n .2m2 n k2 3 1 3k2 nn所以 2n ，从而 2n 2,n 4,6,8,…. a a 2 n 2k2 k2 kk（2） 当n 为奇数时，设 n 2m 1 m N * 。22k2 k2 31n2m 2m 1 2m 1 4m k2 ak k2 ak a2m1 2 2m 2m m1 1131 4m 2n 2 n 1 2 2m 1 k2 313k2 nn所以 2n ，从而 2n 2,n 3,5,7,…. 2n Tn 2. a a 2 n 1 2k2 k2 kk3综合（1）和（2）可知，对任意 n 2,n N*, 有2第 21 页 共 22 页 21 第 22 页 共 22 页 天津 2010 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）试卷点评 总体来看，本套试卷涉及面比较广，面面俱到，注重基础的考察，很多题目和平时训 练的题目模样差不多，总体同学们做起来不难。在稳定当中有创新，当然也有难题。考题创 新主要体现在数列这道题上，就是第 22题。具体来说： 选择题的 10道题中，前 8题出的形式比较常规，能够把考生稍微考住的也就是这个第九 题和第十题。第九题我们在新东方课堂上曾经给大家讲过，这是关于向量要有意识用基底表 示的考题，转成基底这道题就非常好做了。那么第十题，从表象上看这是一个分段函数，感 觉很复杂，但是这道题和今年河西区的理科一模考试的题目非常雷同，大家做起来感觉应该 是不太困难的。所以说，像前十道题，如果你的基础还不错的话，保证考试时不算错，那么 得一个满分应该说是没有问题的。 填空最值得点评的就是第16题了，很多考生做的时候觉得比较困难，但是这道题和2007年天津文史 类考题选择题第十题有很多雷同，所以这也验证了我们在考前给大家提到的一个重点：在复习时要更多的 关注历年考题的思考方法。 解答题。能把大家难住的就是那道导数大题的第二问，这是一个恒成立问题，我们给过大家一个口诀： “一个表达式双变量参主分离”，从这个角度来做，大家应该也没什么困难，在讨论的时候，别忘记讨论当 x=0时的那种情况。有同学没按照参主分离这个来做，按照参考答案这样做，画了一个表格，把增减区间、 极值最值都求出来了，也可以。 再看解析大题。一般同学都认为解析比较难，但是像第一问的椭圆方程很容易做，那么第二问，这个 第二小问考的是垂直平分线，我们在新东方课堂上给大家讲过，在解析几何中有几个重要的翻译，其中就 谈到了垂直平分怎么来翻译，即使你这道题没有完整的做出来，你就按照我们所提出的把几何语言翻译成 代数语言，把向量转成坐标，即使没有求出 的值，只要保证别算错了，这道题14分你也可以拿到12分。 那么第22题这个数列题，应该可以算作是比较难的，尤其是第二、三问，有的同学甚至连第一问都不太会 做，但文史类考题这道题出的还算比较仁慈的，让你证明a4、a5、a6成等比数列，我们大不了把它们全算 出来，因为前面还是有一些条件，令K=1和2，是可以把a4、a5、a6求出来的，比一比就可以知道它们成等 比数列，第一问是很好做的。第二问的想法的确有些创新，我刚才也提到，创新点主要集中在数列这道题 上。 源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 第 22 页 共 22 页 22
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