2009年高考浙江文科数学试题及答案(精校版)下载

绝密★考试结束前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（文科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分 1 至 3 页，非选择题部 分 4 至 5 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共 50 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式 1V  h(S1  S1S2  S2 ) 3其中 S1 ,S2 分别表示台体的上、下面积， h表示台体的高 柱体体积公式V  Sh 其中 S表示柱体的底面积， h表示柱体的高 1锥体的体积公式V  Sh 其中 S表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 3球的表面积公式 S  4 R2 球的体积公式 4V   R3 3其中 R 表示球的半径 如果事件 A, B 互斥 ，那么 P(A B)  P(A)  P(B) 第 1 页 共 19 页 一．选择题： 本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设U  R, A {x | x  0}, B {x | x 1}，则 Að B  UA．{x | 0  x 1} B．{x | 0  x 1} C．{x | x  0} D．{x | x 1} 2．“ x  0 ”是“ x  0 ”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 23．设 x 1 i A．1 i （i是虚数单位），则  z2  zB． 1 i C．1i D． 1i 4．设,  是两个不同的平面， A．若l  ,  , C．若l  , // , l 是一条直线，以下命题正确的是 则l   B．若l //, // , 则l   l   则l   D．若l //,  , 则5．已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)//b,c⊥(a+b),则 c= 7 7 ,9 3 7 7 7 7 ,3 9 7 7 A．( )B．(- ,- )C．( )D．(- ,- )3 9 9 3 x2 y2 6．已知椭圆 +=1（a>b>0）的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF⊥F a2 b2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.若 AP=2 PB,则椭圆的离心率是 321312A． B． C． D． 227．某程序框图如图所示，该程序运行输出的 k 的值是 A．4 B．5 C．6 D．7 a8．若函数 f (x) =x2 +(a R),则下列结论正确的是 xA． B． aR, f (x) 在(0,)上是增函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m R, f (x) 在(0,)上是减函数 C． a R, f (x)是偶函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 第 2 页 共 19 页 D． a R, f (x)是奇函数 9．已知三角形的三边长分别为 3，4，5，则它的边与半径为 1 的圆的公共点的个数最多为 A．3 　　B．4 C．5 　　D．6 10．已知 a 是实数，则函数 f (x) =1+ asin ax 的图像不可能是 非选择题部分（共 100 分） 注意事项： 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。 二．填空题:本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 1S4 a4 11．设等比数列 a的公比 q  ，前 n项和为 Sn ，则 =  n212．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的 体积是 cm3 x  y  2, 13．若实数 x, y 满足不等式组 2x  y  4, 则2x  3y 的最小 x  y  0, 值是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14．某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下，则在 区间 4,5 上的数据的频数为 。第 3 页 共 19 页 15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价 表如下： 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间用电量为 100 千瓦时， 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 16．设等差数列 的前n 项和为 n ，则 S4 元（用数字作答）。　　　　　　　　　 as,S8  S4 ,S12  S8 ,S16  S12 成等差数列.类比   nT16 以上结论有：设等比数列 b的前 n 项积为 Tn ，则T4 　， ，成等比数列。   nT12 17．有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k，k+1，其中 k=0，1，2，…， 19．从这 20 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到 标有 9，10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为 9+1+0=10）不小于 14”为 A，则 P(A)= .三．解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A2 5 518．（本题满分 14 分）在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos ，2  AB AC  3 .（Ⅰ）求ABC 的面积；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 　　　　（Ⅱ）若 c=1，求 a 的值. 第 4 页 共 19 页 19．（本题满分 14 分）如图，DC P,Q 分别为 AE,AB 的中点. 平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2, ACB=120°， （Ⅰ）证明：PQ∥平面 ACD； （Ⅱ）求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. 20．（本题满分 14 分）设 数. Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn  kn2 +n，n N*，其中 k 是常 （I）求 a1 及 an ； （Ⅱ）若对于任意的 m N*,am ,a2m ,a4m 成等比数列，求 k 的值. 第 5 页 共 19 页 21．(本题满分 15 分)已知函数 f(x)=x 3 +(1-a) x 2 -a(a+2)x+b(a,b R). （I）若函数 f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求 a，b 的值； （Ⅱ）若函数 f(x)在区间（-1，1）上不单调，求 a 的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22．（本题满分 15 分）已知抛物线 C：x 2 =2py（p>0）上一点 A（m，4）到焦点的距离为 17 .4（I）求 p 于 m 的值； （Ⅱ）设抛物线 C 上一点 p 的横坐标为 t（t>0）,过 p 的直线交 C 于另一点 Q，交 x 轴于 M 点，过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N.若 MN 是 C 的切线，求 t 的最小值; 第 6 页 共 19 页 数学（文科）试题参考答案 一．选择题： 题号 12345678910 答案 BADCDDACCD二．填空题． 11． 15 12．18 16． 13．4 14．30 T8 T 1412 15．148.4 ,17． T4 T8 三．解答题 A2 5 3518. （14 分）解析：（Ⅰ） cos A  2cos2 1  2 ( )2 1  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2543又A(0, ) ，sin A  1 cos2 A  ，而 AB.AC  AB. AC .cos A  bc  3 ，55114所以bc  5，所以 ABC 的面积为： bcsin A  5 2 225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc  5，而 c  1，所以b  5 所以 a  b2  c2  2bccos A  25 1 23  2 5 19．（14 分）（Ⅰ）证明：连接 DP,CQ ，在ABE 中， P,Q 分别是 AE, AB 的中点， 11所以 PQ // BE ， 又DC // BE ，所以 PQ // DC ，   22又PQ  平面 ACD ，DC （Ⅱ）在 ABC 中， AC  BC  2, AQ  BQ ，所以CQ  AB 平面 ABC， EB // DC ，所以 EB  平面 ABC 　而 EB  平面 ABE， 所以平面ABE 平面 ABC， 所以CQ 平面 ABE  平面 ACD， 所以PQ // 平面 ACD 　而 DC 由（Ⅰ）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以 DP //CQ 所以 DP 平面 ABE， 所以直线AD 在平面 ABE 内的射影是 AP， 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 DAP 在RtAPD 中， AD  AC2  DC2  22 12  5 ，DP  CQ  2sin CAQ  1 第 7 页 共 19 页 DP AD 15所以sin DAP  5520．（14 分）解析：（Ⅰ）当 n  1,a1  S1  k 1 ，n  2,an  Sn  Sn1  kn2  n [k(n 1)2  (n 1)]  2kn  k 1 （） 经验， n  1, （）式成立， an  2kn  k 1 2（Ⅱ）am ,a2m ,a4m 成等比数列，a2m  am .a4m ，即(4km  k 1)2  (2km  k 1)(8km  k 1) ，整理得： mk(k 1)  0 ，对任意的 m  N 成立， k  0或k  1 221. （15 分）解析：（Ⅰ）由题意得 f (x)  3x  2(1 a)x  a(a  2) f (0)  b  0 f (0)  a(a  2)  3 又，解得b  0 ，a  3 或a  1 （Ⅱ）函数 f (x) 在区间 (1,1)不单调，等价于 导函数 f (x) 在在(1,1)既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实数 (1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有 即函数 f (x) f (1) f (1)  0 ，即：[3  2(1 a)  a(a  2)][3  2(1 a)  a(a  2)]  0 　　整理得： (a  5)(a 1)(a 1)2  0 ，解得  5  a  1 p22．（15 分）解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程： y  ，根据抛物线定义 2p17 412点A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 4  ，解得 p  2抛物线方程为： x2  y ，将 A(m,4) 代入抛物线方程，解得 m  2 （Ⅱ）由题意知，过点 P(t,t2 ) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0，设其为 k。 t2  kt  t2  kt 则lPQ : y  t2  k(x  t) ，当 y  0, x  ,则M ( ,0) 。kk2y  t  k(x  t) x2  y 联立方程 ，整理得： x2  kx  t(k  t)  0 即： (x  t)[x  (k  t)]  0，解得 x  t, 或x  k  t 1Q(k  t,(k  t)2 ) ，而QN  QP ，直线 NQ 斜率为  k第 8 页 共 19 页 1y  (k  t)2  [x  (k  t)] 1lNQ : y  (k  t)2  [x  (k  t)]，联立方程 kkx2  y 11整理得： x2  x  (k  t)  (k  t)2  0 ，即： kx2  x  (k  t)[k(k  t) 1]  0 kkk(k  t) 1 [kx  k(k  t) 1][x  (k  t)]  0 ，解得： x   k(k  t) 1 [k(k  t) 1]2 ，或 x  k  t k N( ,)k 2 k[k(k  t) 1]2 (k 2  kt 1)2 k 2  KNM k(k  t) 1  t2  kt k(t2  k 2 1) kk 2k(k  t)  2 k  y 而抛物线在点 N 处切线斜率： 切k(kt)1 x kk(k 2  kt 1)2  2k(k  t)  2 MN 是抛物线的切线， ，k(t2  k 2 1) k整理得 k 2  tk 1 2t2  0 22323  t2  4(1 2t2 )  0，解得t  （舍去），或t  ，tmin  3第 9 页 共 19 页 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．设U  R, A  x | x  0 ,B  x | x 1 , 则Að B  （）UA． x | 0„ x 1 B． x | 0  x „ 1 C． x | x  0 D． x | x 1 【】是 【测量目标】集合的基本运算（交集与补集）. 【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的补集与交集. 【参考答案】B 【试题解析】对于ð B  x | x „ 1 ,因此 Að B  x | 0  x „ 1 ．UU2．“ x  0 ”是“ x  0 ”的 （）A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【测量目标】命题的充分，必要条件. 【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件. 【参考答案】A 【试题解析】对于“ x  0 ”“x  0 ”；反之不一定成立，因此“ x  0 ”是“ x  0 ”的充分 而不必要条件． 23．设 z 1 i A．1 i （i是虚数单位），则  z2  （）zB． 1 i C．1i D． 1i 【测量目标】复数的代数形式的四则运算. 【考查方式】给出复数的除法乘方形式，考查复数的代数四则运算. 【参考答案】D 22【试题解析】对于  z2   (1 i)2 1i  2i 1 i z1 i 4．设,  是两个不同的平面， l是一条直线，以下命题正确的是 B．若l  ,  , （）A．若l  ,  , C．若l  ,  , 则l   l   则l   则D．若l  ,  , 则l   【测量目标】直线与平面位置关系，平面与平面的位置关系. 【考查方式】给出线面，面面的部分关系，推导直线与平面的关系. 【参考答案】C 【试题解析】对于 A, B, D 均可能出现l   ，而对于 C 是正确的． 第 10 页 共 19 页 5．已知向量 a = (1,2),b = (2,3) ．若向量 c满足 (c  a)  b,c  (a  b) ，则 c（）7 7 777 7 77A． ( , ) B． ( , ) C． ( , ) D． ( , ) 9 3 393 9 93【测量目标】平面向量的坐标运算. 【考查方式】给出平面向量满足的关系式，通过平面向量的平行和垂直关系运算求解. 【参考答案】D 【 试 题 解 析 】 不 妨 设c  (m,n) ， 则a  c  1 m,2  n ,a  b  (3,1) ， 对 于 c  a  b ，则有 3(1 m)  (2  n) ；（步骤 1） 77又c  a  b ，则有3m  n  0，则有 m  ,n  （步骤 2） 93×2 y2 6．已知椭圆 1(a  b  0)的左焦点为 F，右顶点为 A ，点 B 在椭圆上，且 BF  x a2 b2   轴，直线 AB 交y轴于点 P．若 AP  2PB ，则椭圆的离心率是 （）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 321312A． B． C． D． 22【测量目标】椭圆的简单几何性质，解析几何与平面向量结合. 【考查方式】考查解析几何与平面向量结合，数形结合求解离心率. 【参考答案】D   1【试题解析】对于椭圆，因为 AP  2PB ，则OA  2OF,a  2c,e  27 ． 某 程 序 框 图 如 图 所 示 ， 该 程 序 运 行 后 输 出 的 k 的 值 是 （）A． C． 46B． D． 57【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及 循环体的构成，特别是注意最后一次循环 k 的值. 【参考答案】A 【 试 题 解 析 】 对 于k  0, s 1,k 1， 而 对 于k 1, s  3,k  2 ， 则 k  2, s  38,k  3，后面是 k  3, s  38 211,k  4，不符合条件时输出的 k  4 ．a8．若函数 f (x)  x2  (aR) ，则下列结论正确的是 （）x第 11 页 共 19 页 A．aR B．aR C． aR D． aR ，，，，f (x) f (x) 在在(0,)上是增函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (0,)上是减函数 f (x) 是偶函数 f (x) 是奇函数 【测量目标】全称量词、存在量词、函数奇偶性与单调性的判断. 【考查方式】给出函数式，通过对量词的考查结合函数的性质进行考查. 【参考答案】C 【试题解析】对于 a  0 时有 f x x2 是一个偶函数   9．已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为 A． B． C． 【测量目标】直线与圆的位置关系. 1的圆的公共点个数最多为（ D． ）3456【考查方式】通过三角形边与圆相切来考虑公共点. 【参考答案】B 【试题解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现 4 个交点的情况，但 4 以上的交点不能实 现． 10．已知 a是实数，则函数 f (x) 1 asin ax的图象不可能是 （）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ABCD【测量目标】三角函数的图象. 【考查方式】函数式中设定函数，考查三角函数的图象. 【参考答案】D 2π 【试题解析】对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为T  , a 1,T  2π （步骤 1） a而 D 不符合要求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了 2π．（步骤 2） 非选择题部分（共 100 分） 第 12 页 共 19 页 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分. 1S4 a4 11．设等比数列{an}的公比 q  ，前 n项和为 Sn ，则 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2【测量目标】等比数列的通项，等比数列的前 n 和. 【考查方式】给出等比数列的公比，考查等比数列前 n 和每项的关系. 【参考答案】15 a1(1 q4 ) 1 q S4 1 q4 【试题解析】对于 S4  ,a4  a1q3, 15 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a4 q3 (1 q) 12 ．若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的体 积是 cm3 ．【测量目标】三视图求几何体的体积. 【考查方式】给出三视图，求几何体的体积. 【参考答案】18 【试题解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为133  9 上面的长方体体积为331 9，因此其几何体的体积为 18 ，x  y … 2, 13 ． 若 实 数x, y 满 足 不 等 式 组2x  y „ 4, 则2x  3y 的 最 小 值 x  y … 0, 是．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值. 【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平 面区域，求出线性目标函数的最小值. 【参考答案】4 2【试题解析】通过画出其线性规划，可知直线 y  x  z 过点 2,0 时， 2x  3y  4 min 314 ．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区 间[4,5) 上的数据的频数为 ．【测量目标】频率分布直方图. 【考查方式】给出频率分布直方图，通过图表解决问题. 【参考答案】30 【试题解析】对于在区间 4,5 的频率/组距的数值为 0.3，而总数为 100，因此频数为 30w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 第 13 页 共 19 页 15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价 表如下： 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 高峰电价 （单位：元/千瓦时） （单位：千瓦时） 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 低谷电价 （单位：元/千瓦时） 0.288 （单位：千瓦时） 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部 分0.568 0.598 50 及以下的部分 0.318 超过 50 至 200 的部分 0.668 0.388 超过 200 的部分 超过 200 的部分 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦 时， 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）． 【测量目标】分段函数模型. 【考查方式】考查识图能力及数据处理能力，求解. 【参考答案】148.4 【试题解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为500.5681500.598 ；对于 低峰部分为500.288 500.318 ，二部分之和为148.4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16 ．设等差数列 {an}的前 n项和为 Sn ，则 S4 ，S8  S4 ，S12  S8 ，S16  S12 成等差数 T16 列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前 n项积为 Tn ，则T4 ，，，成T12 等比数列． 【测量目标】等比数列的性质，等差数列的性质. 【考查方式】通过已知条件进行类比推理求解. T8 T 12 【参考答案】 ，T4 T8 【试题解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 {bn}的前 n 项积为 Tn ，则 T4 ， T8 T T16 12 ,，成等比数列．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m T4 T8 T12 17 ．有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k,k 1，其中 k  0,1,2,,19 从这 20 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到 ．标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9 1 0 10 ）不小于14 P(A)  , A ， 则．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【测量目标】排列组合及其应用. 第 14 页 共 19 页 【考查方式】给出排列组合的方式，求在一定条件下出现 A 事件概率. 1【参考答案】 4【 试 题 解 析 】 对 于 大 于14 的 点 数 的 情 况 通 过 列 举 可 得 有5 种 情 况 ， 即 17,8;8,9;16,17;17,18;18,19 ，而基本事件有 20 种，因此 P(A)  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 ．（ 本 题 满 分14 分 ） 在 △ABC 中 ， 角A, B,C 所 对 的 边 分 别 为a,b,c ， 且 满 足 A2 5 5cos ，2  ABAC  3 ．（I）求△ABC 的面积； （II）若 c 1，求 a 的值． 【测量目标】平面向量的线性运算，正弦定理余弦定理，二倍角，同角三角函数的基本关系. 【考查方式】给出关于向量的等式，根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式，进而求 △ABC 的面积;给出边 c，根据余弦定理求 a 值. A2 5 53【试题解析】（Ⅰ） cos A  2cos2 1  2 ( )2 1  （步骤 1） 254又而A(0, π) ，sin A  1 cos2 A  ，（步骤 2） 5   3ABAC  AB  AC cos A  bc  3，所以bc  5 ，5114所以△ABC 的面积为： bcsin A  5 2 （步骤 3） 225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc  5，而 c  1，所以b  5 所以 a  b2  c2  2bccos A  25 1 23  2 5（步骤 4） 19 ．（ 本 题 满 分14 分 ） 如 图 ，DC  平 面ABC ，，EB  DC ，AC  BC  EB  2DC  2 ，ACB 120 P,Q 分别为 AE, AB 的中点．（I）证明： PQ  平面 ACD ；（II） AD 与平面 ABE 所成角的正弦值． 求【测量目标】线面平行的判定，线面角的求法. 【考查方式】线线平行推出线面平行;由几何体中的位置关系，进行求解. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接 DP,CQ ，在△ABE 中， P,Q 分别是 AE, AB 的中点，所 1以PQ BE ， （步骤1） 2第 15 页 共 19 页 1又DC BE ，所以 PQ DC ，又 PQ  平面 ACD ，DC 平面 ACD ， 所以PQ  2平面 ACD （步骤 2） （Ⅱ）在△ABC 中， AC  BC  2, AQ  BQ ，所以CQ  AB （步骤 3） 而而DC 平面 ABC ，EB // DC ，所以 EB  平面 ABC 平面 ABC ， 所以CQ 平面 ABE （步骤 4） EB  平面 ABE ， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以 DP //CQ 所以 DP 平面 ABE ， 所以直线AD 在平面 ABE 内的射影是 AP ，（步骤 5） 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 DAP （步骤 6） 在Rt△APD 中，AD  AC2  DC2  22 12  5 ，DP  CQ  2sin CAQ  1 DP AD 15所以sin DAP  （步骤 7） 5520．（本题满分 14 分）设 Sn 为数列{an}的前 n项和， Sn  kn2  n ，nN* ，其中 k是常 数． （I） 求 （II）若对于任意的 mN* 【测量目标】等差数列的通项和等比数列的性质，等差数列前 a1 及 an ； ，am ，a2m ，a4m 成等比数列，求 k的值． 项和. 中部分项呈等比，求解未知数 k . n【考查方式】给出 Sn 的表达式，求 a；a   nn【试题解析】（Ⅰ）当 n  1,a1  S1  k 1 ，n … 2,an  Sn  Sn1  kn2  n [k(n 1)2  (n 1)]  2kn  k 1 （）（步骤 1） 1○1（○检验， n  1, ）式成立， an  2kn  k 1（步骤 2） 2（Ⅱ）am ,a2m ,a4m 成等比数列，a2m  am a4m ，即(4km  k 1)2  (2km  k 1)(8km  k 1) ，（步骤 3） 整理得： mk(k 1)  0 ，对任意的 mN* 成立， k  0或k  1（步骤 4） 21．（本题满分 15 分）已知函数 f (x)  x3  (1 a)x2  a(a  2)x  b (a,bR) （I）若函数 f (x) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3，求 a,b 的值； （II）若函数 f (x) 在区间 (1,1) 上不单调，求 的取值范围． ．a【测量目标】利用导数判断或求函数的单调区间，函数零点的应用. 第 16 页 共 19 页 【考查方式】限定函数的图象过定点处的斜率，解出方程中的未知数;给出函数在区间上的 单调性，求未知数的取值范围. 【试题解析】 2（Ⅰ）由题意得 f (x)  3x  2(1 a)x  a(a  2) （步骤 1） f (0)  b  0 f (0)  a(a  2)  3 又，（步骤 2） 解得b  0 ，a  3 或a  1（步骤 3） a  2 （Ⅱ）由 f (x)  0,得 x1  a, x2   （步骤 4） 3a  2 3a  2 31 a 1 1  1 a   又f (x) 在(1,1) 上不单调,即 或（步骤 5） a  2 3a   1 a 1 5  a 1 解得 所以 或11a   a   2211a的取值范围是 (5, )  ( ,1) .（步骤 6） 2222．（本题满分 15 分）已知抛物线 C：x2  2py( p  0) 上一点 A(m,4)到其焦点的距离为 17 ．4（I）求 p与m的值； 上一点 ，过点 （II）设抛物线 CP的横坐标为t (t  0) ，过 P的直线交 C于另一点 Q，交 x 轴 于点 值． MQ作PQ 的垂线交 于另一点 CN．若 MN 是C的切线，求t 的最小 【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆 锥曲线中的定点定值问题. 【考查方式】给出抛物线上一点到焦点的距离，根据准线方程求方 程中未知数;根据直线与抛物线直线与直线的关系，求 t的最小值 p【试题解析】（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程： y  ，（步骤 1） 2p17 根据抛物线定义点 A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 4  ，解得 24第 17 页 共 19 页 1p  （步骤 2） 2抛物线方程为： x2  y ，（步骤 3） A(m,4) 代入抛物线方程，解得 m  2 （步骤 4） 将（Ⅱ）由题意知，过点 P(t,t2 ) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0，设其为 k.（步骤 5）  t2  kt  t2  kt 则lPQ : y  t2  k(x  t) ，当 y  0, x  , 则 M ( ,0) .（步骤 6） kk2y  t  k(x  t) x2  y 联立方程 ，整理得： x2  kx  t(k  t)  0 即： (x  t)[x  (k  t)]  0，解得 x  t, 或x  k  t （步骤 7） 1Q(k  t,(k  t)2 ) ，而QN  QP ， 直线 NQ 斜率为 （步骤 8） k1y  (k  t)2  [x  (k  t)] 1lNQ : y  (k  t)2  [x  (k  t)]，联立方程 kkx2  y 11整理得： x2  x  (k  t)  (k  t)2  0 ，即： kx2  x  (k  t)[k(k  t) 1]  0 kkk(k  t) 1 [kx  k(k  t) 1][x  (k  t)]  0 ，解得： x   k(k  t) 1 [k(k  t) 1]2 或x  k  t （步骤 9） k N(  KNM ,)，k 2 k[k(k  t) 1]2 (k 2  kt 1)2 k 2 （步骤 10） k(k  t) 1  t2  kt k(t2  k 2 1) kk 2k(k  t)  2 而抛物线在点 N 处切线斜率： k切  y （步骤 11） k(kt)1 x kk(k 2  kt 1)2  2k(k  t)  2 MN 是 抛 物 线 的 切 线 ， ，整 理 得 k(t2  k 2 1) kk 2  tk 1 2t2  0 22323  t2  4(1 2t2 ) … 0，解得t „  （舍去），或t … ，tmin （步骤 12） 3第 18 页 共 19 页 第 19 页 共 19 页