2009年海南省高考文科数学试题及答案下载

2009 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 数学（文史类） 一、选择题：（本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符 合题目要求的。 （1） 已知集合A  1,3,5,7,9 ,B  0,3,6,9,12 ,则 A B  (A) (C) 3,5 (B) 3,6 3,7 (D) 3,9 3 2i 2 3i （2） 复数 （A） （3）对变量 x, y 有观测数据（ x1 数据（u1 1 ）（i=1,2,…，10）,得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。 1（B） 1 （C） i(D) i ，y1 ）（i 1,2,…,10 ），得散点图 1；对变量u,v 有观测 ，v（A）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 （C）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 （B）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相 （D）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相 关关（4）有四个关于三角函数的命题： xx 1 p1 p3 ：xxR, sin2 +cos2 =p2 :x, y R ,sin(x  y)  sin x sin y 22 2 1 cos2x 2:0, , sin x p4 :sin x  cos y  x  y  2其中假命题的是 第 – 1 -页 共 10 页 （A） p1 ，p4 (x 1)2 （B） p2 ，p4 （3） p1 ，p3 （4） p2 ， p3 （5）已知圆C1 ：+(y 1)2 =1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x  y 1 0对称，则圆C2 的方程为 （A） (x  2)2 （C） (x  2)2 ++(y  2)2 =1 (y  2)2 =1 （B） (x  2)2 （D） (x  2)2 ++(y  2)2 =1 (y  2)2 =1 2x  y  4, （6）设 x, y 满足 x  y 1, 则z  x  y x  2y  2, （A）有最小值 2，最大值 3 （C）有最大值 3，无最小值 （B）有最小值 2，无最大值 （D）既无最小值，也无最大值 （7）已知 a  3,2 ,b  1,0 ，向量 a  b 与a  2b 垂直，则实数 的值为 171711（A） （B） （C） （D） 66（8）等比数列 （A）38 a的前 n 项和为 Sn ，已知 am1  am1  am2  0 ，S2m1  38 ,则 m    n（B）20 （C）10 （D）9 （9） 如图，正方体ABCD  A B C1D1 的棱线长为 1，线段 111B D1 上有两个动点 E，F，且 EF  ，则下列结论中错 12误的是 （A） AC  BE （B） EF //平面ABCD （C）三棱锥 A BEF 的体积为定值 （D） AEF的面积与BEF的面积相等 （10）如果执行右边的程序框图，输入 x  2,h  0.5 ，那么输出 的各个数的和等于 （A）3 （B） 3.5 （C） 4（D）4.5 （11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： cm2 ）第 – 2 -页 共 10 页 为（A） 4812 2 （C）36 12 2 （B） 48 24 2 （D）36  24 2 （ 12 ） 用min{a,b,c} 表 示a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值 。 设 f (x)  min 2x , x  2,10  x (x 0),则 f x的最大值为   （A） 4 （B） 5 （C） 6 第Ⅱ卷 （D） 7 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13 题）~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须 做答。第（22 题）~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）曲线 y  xex  2x 1在点（0,1）处的切线方程为 。（14）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P 2,2 为AB 的中点，则抛物线 C 的方程为 。（15）等比数列{ an }的公比 q  0 , 已知 a2 =1， an2  an1  6an ，则{ an }的前 4 项和 S = 。47 12 （16）已知函数 f (x)  2sin(x ) 的图像如图所示，则 f。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分） 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已 BC 120m ，于 A 处测得水深 AD  80m，于 B 处测得水深 BE  200m 知AB  50m ，，于 C 处 测 得 水 深 CF 110m ， 求 ∠DEF 的 余 弦 值 。 第 – 3 -页 共 10 页 （18）（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P  ABC 中，⊿ PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º （Ⅰ）证明：AB⊥PC （Ⅱ）若 PC  4，且平面 PAC ⊥平面 PBC ，求三棱锥 P  ABC 体积。 （19）（本小题满分 12 分） 某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该 工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）. （Ⅰ）A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？ （Ⅱ）从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 表 1： 生产能力分 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150 组x人数 4853表 2： 生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150 人数 6y36 18 （1） 先确定x, y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人 中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通 过观察直方图直接回答结论） 第 – 4 -页 共 10 页 (ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均 数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。 （20）(本小题满分 12 分) 已知椭圆 点的距离分别是 7 和 1 （Ⅰ）求椭圆 的方程 C的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x轴上，它的一个项点到两个焦 COP （Ⅱ）若 P为椭圆 C的动点， MM为过 P且垂直于 x轴的直线上的点，  e OM （e 为椭圆 C 的离心率），求点 （21）（本小题满分 12 分） 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 已知函数 f (x)  x3 3ax2 9a2 x  a3 .(1)设 a 1，求函数 f x的极值；   1(2)若 a  ，且当 x 1,4a 时， f ‘ (x) 12a 恒成立，试确定 a 的取值范围. 4请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 （22）（本小题满分 10 分）选修 4—1；几何证明选讲 如图，已知 B=60  ， ABC 中的两条角平分线 AD AC 上，且 AE  AF 和 CE 相交于 H ， F在。（1）证明： B, D, H, E 四点共圆； （2）证明：CE 平分 DEF。 第 – 5 -页 共 10 页 （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程。 x  4  cost, y  3 sint, x  8cos, y  3sin, 已知曲线 C ： （t 为参数）， C ： （ 为参数）。 12（1）化 C1 ，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； 2（2）若 C1 上的点 P 对应的参数为t  ，Q 为 C 2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 x  3 2t, y  2  t C : （t 为参数）距离的最小值。 3（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 如图， 为数轴的原点，A, B, M 为数轴上三点， 原点的距离， 表示距离 4 倍与 距离的6 倍的和. （1）将 表示为 的函数； （2）要使 的值不超过70， OC 为线段OM 上的动点，设 x 表示C 与 yC到AC 到 B yxyx应该在什么范围内取值？ 第 – 6 -页 共 10 页 参考答案 一、选择题 （1）D　　（2）C　　（3）C　　（4）A　　　（5）B　　　(6)B （7）A　　（8）C　　（9）D　　（10）B　　（11）A　　　(12)C 二、填空题 15 (13) y  3x 1　　(14) y2  4x 　　(15) 　　(16)0 2三、解答题 (17) 解：作 DM // AC 交 BE 于 N，交 CF 于 M． DF  MF2  DM 2  302 1702 10 198 DE  DN2  EN2  502 1202 130 EF  (BE  FC)2  BC2  902 1202 150．　．．．．．．6 分 ，，在DEF 中，由余弦定理， DE2  EF2  DF2 1302 1502 102 298 16 cosDEF  （18）解： .．．．．．．12 分 2DE  EF 2130150 65 （ Ⅰ ） 因 为PAB 是 等 边 三 角 形 ， PAC  PBC  90 所以 RtPBC  RtPAC ,可得 AC  BC 如图，取 AB 中点 ，连结PD CD CD  AB 所以 AB 平面 PDC 所以 AB  PC （Ⅱ）作 BE  PC ，垂足为 因为 RtPBC  RtPAC 由已知，平面 PAC 平面 PBC ，故 AEB  90．　　　　　　　　．．．．．．8 分 ,。D,,则PD  AB ,,,。．．．．．．6 分 E，连结 AE ．，所以 AE  PC ，AE  BE ．因为 RtAEB  RtPEB ，所以 AEB,PEB,CEB 都是等腰直角三角形。 由已知 PC  4，得 AE  BE  2 AEB 的面积 S  2 ，．因为 PC 平面 AEB ，所以三角锥 P  ABC 的体积 第 – 7 -页 共 10 页 183V  S  PC  ．．．．．．．12 分 3（19）解： （Ⅰ） （Ⅱ）(ⅰ)由 4 8 x  5 3  25，得 x  5 6  y  36 18  75，得 y 15 A类工人中和 B类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 ．．．．．．4 分 ，。频率分布直方图如下 ．．．．．．8 分 ．．．．．．9 分 从直方图可以判断： B类工人中个体间的差异程度更小。 48553（ii） xA  105 115 125 135 145 123 ，25 25 15 25 36 25 18 25 6xB  115 125 135 145 133.8 ，75 25 75 75 75 75 x  123 133.8 131.1 100 100 A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的 估计值分别为 123，133.8 和 131.1. （20）解： （Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 x2 y2 ac 1 解得 a=4,c=3, 所以椭圆 C 的方程为 1. ac 7 16 7×2  y12 x2  y2 （Ⅱ）设 M（x,y）,P(x, y1 ),其中 x 4,4 .由已知得  e2. 3而e  ，故16(x2  y12 )  9(x2  y2 ). ①4第 – 8 -页 共 10 页 112  7×2 由点 P 在椭圆 C 上得 y12  ,16 4 7 3代入①式并化简得9y2 112, 所以点 M 的轨迹方程为 y   (4  x  4), 轨迹是两条 平行于 x 轴的线段······················································12 分 （21）解： （Ⅰ）当 a=1 时，对函数 f (x) 求导数，得 f ‘ (x)  3×2  6x 9. 令f ‘ (x)  0,解得x1  1, x2  3. 列表讨论 f (x), f ‘ (x) 的变化情况： x(,1) (3,) （-1，3） 301 f ‘ (x) f (x) +0—+极大值 6 极小值-26 所以， f (x) 的极大值是 f (1)  6 ，极小值是 f (3)  26. （Ⅱ） f ‘ (x)  3×2  6ax 9a2 的图像是一条开口向上的抛物线，关于 x=a 对称. 1若 a 1,则f ‘ (x)在[ 1, 4a] 上是增函数，从而 4f ‘ (x)在[ 1, 4a] 上的最小值是 f ‘ (1)  3 6a 9a2 , 最大值是 f ‘ (4a) 15a2. 由| f ‘ (x) |12a,得 12a  3×2  6ax 9a2 12a, 于是有 f ‘ (1)  3 6a 9a2  12a,且f ‘ (4a) 15a2 12a. 14由f ‘ (1)  12a得  a 1,由f ‘ (4a) 12a得0  a  . 351141 4 所以 a( ,1][ ,1][0, ],即a( , ]. 4 5 435若 a>1,则| f ‘ (a) |12a2 12a.故当x[1,4a]时| f ‘ (x) |12a 不恒成立. 1 4 所以使| f ‘ (x) |12a(x[1,4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ]. 4 5 （22）解： （Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B=60°， 第 – 9 -页 共 10 页 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°， 故∠AHC=120° ，于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°，所以 B,D,H,E 四点共圆。 （Ⅱ）连结 BH，则 BH 为 ABC 的平分线，得 HBD  30° 由（Ⅰ）知 B，D，H，E 四点共圆， 所以 CED  HBD 30° 又AHE  EBD  60°，由已知可得 EF  AD ，可得 CEF  30° 所以 CE 平分 DEF x2 y2 （23）解：（Ⅰ）C1 :(x  4)2  (y 3)2 1,C2 : 1 64 9C1 为圆心是 (4,3) ，半径是 1 的圆。 C2 为中心是坐标原点，焦点在 x轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆。 23（Ⅱ）当t  时， P(4,4).Q(8cos,3sin) ，故 M (2  4cos,2  sin) 25C3 为直线 x  2y  7  0 ，M 到 C3 的距离 d  | 4cos 3sin 13| 5438 5 5从而当 cos  ,sin  时， d 取得最小值 55（24）解： （Ⅰ） y  4 | x 10 | 6 | x  20 |,0  x  30 （Ⅱ）依题意， x 满足 4 | x 10 | 6 | x  20 | 70, 0  x  30 解不等式组，其解集为[9,23]，所以 x[9,23] 第 – 10 -页 共 10 页