2009年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）下载

第 1 页 共 16 页 绝密★启用前 2009年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一.填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。 1．函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_____________. 2．已知集体 A={x|x≤1},B={x|≥a},且 A∪B=R， 则实数 a 的取值范围是__________________. 4 5 x 3. 若行列式 1 x 3中，元素 4 的代数余子式大于 0 ，则 x 满足的条件是 7 8 9 ___________ _______. 4. 某 算 法 的 程 序 框 如 右 图 所 示 ， 则 输 出 量y 与 输 入 量x 满 足 的 关 系 式 是 ________________. 5.如图，若正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面边长为 2，高为 4，则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是___________________w.w.w.zxxk.c.o.m (结果用反三角函数值表示). 第 1 页 共 16 页 第 2 页 共 16 页 S1 6. 若 球O1 、 O2 表 示 面 积 之 比  4 ， 则 它 们 的 半 径 之 比 S2 R1 =_____________.w.w.w.zxxk.c.o.m R2 y  2x 7.已知实数 x、y 满足 y  2x 则目标函数 z=x-2y 的最小值是 x  3 ___________.w.w.w.zxxk.c.o.m 8.若等腰直角三角形的直角边长为 2，则以一直角边所在的直线为轴 旋转一周所成的几何体体积是 。w.w.w.zxxk.c.o.m 9．过点 A（1，0）作倾斜角为 的直线，与抛物线y2  2x 交于 M、N 两点，则 4MN =。w.w.w.k. s.5.u.c.o.m 10.函数 f (x)  2cos2 x  sin 2x 的最小值是 。11.若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿 者中男女生均不少于 1 名的概率是 （结果用最简分数表示）。 x2 y2 12.已知 F、F2 是椭圆 C : 1(a  b  0) 的两个焦点， p为椭圆 上的一点，且 C1a2 b2 PF  PF2 。若 PF F2 的面积为 9，则b  .w.w.w.zxxk.c.o.m 11  2 2 13.已知函数 f (x)  sin x  tan x。项数为 27 的等差数列{an}满足 an  , ,且公差 d  0 ,若 f (a1)  f (a2 ) … f (a27 )  0 ，则当 k= 时， f (ak )  0. 。第 2 页 共 16 页 第 3 页 共 16 页 14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为 1，两街道相交的点称为格 点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3， 4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使 5 个零售点沿 街道发行站之间路程的和最短。 二。、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分。 15．已知直线l1 :(k 3)x  (4  k)y 1 0,与l2 : 2(k 3)x  2y  3  0, 平行，则 K 得值是 （）w.w.w.zxxk.c.o.m （A） 1 或 3 （B）1 或 5 （C）3 或 5 （D）1 或 2 16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长 为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）17．点 P（4，－2）与圆 x2  y2  4 上任一点连续的中点轨迹方程是　　　　　[答]（ （A） (x  2)2  (y 1)2 1　　　　　　　（B） (x  2)2  (y 1)2  4 （C） (x  4)2  (y  2)2  4　　　　　　　（D） (x  2)2  (y 1)2 1 ）18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体 感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”.　根据过去 10 天甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是　　　　　　　　　　[答]（ 　　（A）甲地：总体均值为 3，中位数为 4 .（B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 . （C）丙地：中位数为 2，众数为 3 .（D）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 . ）第 3 页 共 16 页 第 4 页 共 16 页 三．解答题（本大题满分 78 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分 14 分） 　　已知复数 z  a  bi （a、b R ）(I 是虚数单位)是方程 x2  4x  5  0 的根 . 复数 w  u  3i （u  R ）满足 w z  2 5，求 u 的取值范围 .w.w.w.zxxk.c.o.m 20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分  已知ΔABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m  (a,b) ， 　　 n  (sin B,sin A) ，p  (b  2,a  2) . （1） （2） 若若m// n，求证：ΔABC为等腰三角形；w.w.w.zxxk.c. o.m   m⊥p，边长 c = 2，角 C = ，求ΔABC 的面积 . 321．（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 10 分 .有时 可用函数 第 4 页 共 16 页 第 5 页 共 16 页 a0.115ln ,x  6, a  x f (x)  w.w.w.zxxk.c.o.m x  4.4 , 6 x  4 描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x表示某学科知识的学习次数（ x N* ）， f (x) 表示 对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关. （1）证明：当 x 7 时，掌握程度的增长量 f（x+1）- f(x)总是下降；w.w.w.zxxk.c.o.m （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识 6次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科. 22.（本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 4分，第 3 小题满分 8分. 已知双曲线 C的中心是原点，右焦点为 F 3，0 ，一条渐近线 m:x+ 2y  0 ,设过点 A v(3 2,0)的直线 l的方向向量 e  (1,k) 。（1） 求双曲线C的方程；w.w.w.zxxk.c.o.m （2） 若过原点的直线a //l ，且 a与 l的距离为 6 ，求 K的值； 2（3） 证明：当k  时，在双曲线 C 的右 支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 2第 5 页 共 16 页 第 6 页 共 16 页 6.23.（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 5分，第 2小题满分 5分，第 3小 题满分 8分. 已知 a是公差为 d的等差数列， 是公比为q的等比数列 b    nn（1）若 an  3n 1，是否存在 m,n N* ，有 am  am1  ak ？请说明理由； （2）若bn  aqn （a、q为常数，且 aq 0）对任意 m存在 k，有bm bm1  bk ，试求 a、q 满足的充要条件； （3）若 an  2n 1,bn  3n 试确定所有的 p,使数列 b中存在某个连续 p项的和式数列中   na的一项，请证明.w.w.w.zxxk.c.o.m   n第 6 页 共 16 页 第 7 页 共 16 页 上海 数学试卷（文史类） 考生注意： 1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上 条形码。 2． 本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一.填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。 1．函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_____________. 1．【答案】 3 x 1 【解析】由 y＝x3+1，得 x＝ 3 y 1 ，将 y 改成 x，x 改成 y 可得答案。 2．已知集体 A={x|x≤1},B={x|≥a},且 A∪B=R， 则实数 a 的取值范围是__________________. 2．【答案】a≤1 [来 【解析】因为 A∪B=R，画数轴可知，实数 a 必须在点 1 上或在 1 的左边，所以，有 a≤1。 4 5 x 3. 若 行 列 式1 x 3中 ， 元 素4 的 代 数 余 子 式 大 于0 ， 则x 满 足 的 条 件 是 7 8 9 ___________ _______. 83．【答案】 x  38【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得： x  [34.某算法的程序框如右图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是 ________________. x2 ,x 1 4．【答案】 y  x  2, x 1 【解析】当 x＞1 时，有 y＝x－2，当 x＜1 时有 y＝ 2x ，所以，有分段函数。 5.如图，若正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面边长为 2，高为 4，则异面直线 BD1 与 AD 所 成角的大小是___________________w.w.w.zxxk.c.o.m (结果用反三角函数值表示). 第 7 页 共 16 页 第 8 页 共 16 页 5．【答案】 arctan 5 【解析】因为 AD∥A1D1，异面直线 BD1 与 AD 所成角就是 BD1 与 A1D1 所在角，即∠A1D1B， 由勾股定理，得 A1B＝2 5，tan∠A1D1B＝ 5，所以，∠A1D1B＝ arctan 5。 S1 R1 6.若球 O1、O2 表示面积之比  4 ，则它们的半径之比 =_____________.w.w.w.zxxk.c.o.m S2 R2 6．【答案】2 4R12 4R22 R1 【解析】由 ＝4，得 ＝2。 R2 y  2x 7.已知实数 x、y 满足 y  2x 则目标函数 z=x-2y 的最小值 x  3 是___________.w.w.w.zxxk.c.o.m 7．【答案】－9 【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为： 1212y  x－z，画直线 y  x 及其平行线，当此直线经过点 A 时，－z 的值最大，z 的值最小，A 点坐标为（3,6），所以，z 的最小值为：3－2×6＝－9。 8.若等腰直角三角形的直角边长为 2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体 体积是 。w.w.w.zxxk.c.o.m 8 38．【答案】 18 3【解析】几何体为圆锥，圆锥的底面半径为 2，高也为 2，体积 V＝   4 2 ＝39．过点 A（1，0）作倾斜角为 的直线，与抛物线y2  2x 交于 M、N 两点，则 4MN =。w.w.w.k. s.5.u.c.o.m 9．【答案】 2 6 【解析】直线方程 为 y＝x－1，代入抛物线 y2  2x ，得：x2－4x＋1＝0， x1 ＋ x2 ＝4， x1 x2 ＝1，则| MN | (x1  x2 )2  (y1  y2 )2 ＝2(x1  x2 )2 ＝2[(x1  x2 )2  4x1x2 ] ＝2 6 第 8 页 共 16 页 第 9 页 共 16 页 10.函数 f (x)  2cos2 x  sin 2x 的最小值是 10．【答案】1 2 。4【解析】 f (x)  cos2x  sin 2x 1 2 sin(2x  ) 1，所以最小值为： 1 2 11.若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿 者中男女生均不少于 1 名的概率是 （结果用最简分数表示）。 511．【答案】 w.w.w.zxxk.c.o.m 7【解析】因为只有 2 名女生，所以选出 3 人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有： C53 C73 272757C53 ，概率为:： ，所以，均不少于 1 名的概率为：1－ 。x2 y2 12.已知 F、F2 是椭圆 C : p1(a  b  0) 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且 C1a2 b2 PF  PF2 。若 PF F2 的面积为 9，则b  .w.w.w.zxxk.c.o.m 1112．【答案】3 | PF |  | PF2 | 2a 1【解析】依题意，有 | PF |  | PF | 18 ，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9，故有 b＝ 12| PF |2  | PF2 |2  4c2 13。   2 2 13.已知函数 f (x)  sin x  tan x。项数为 27 的等差数列{an}满足 an  , ,且公差 d  0 ,若 f (a1)  f (a2 ) … f (a27 )  0 ，则当 k= 时， f (ak )  0. 。13．【答案】14   2 2 f (x)  sin x  tan x 【解析】函数 在( ， ) 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于 原点对称，因为 a1  a27  a2  a26    2a14 ，w.w.w.zxxk.c.o.m 所以 f (a1)  f (a27 )  f (a2 )  f (a26 )   f (a14 )  0 ，所以当 k  14 时， f (ak )  0.　 14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为 1，两街道相交的点称为格 点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3， 4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使 5 个零售点沿 第 9 页 共 16 页 第 10 页 共 16 页 街道发行站之间路程的和最短。 14．【答案】（3，3） 【 解 析 】 设 发 行 站 的 位 置 为x, y ， 零 售 点 到 发 行 站 的 距 离 为 z  2 x  2  y  2  2 x  3  y 1  y  4  y  3  x  4  y  5  x  6  y  6 ，2  3 3 2  4  6 2 1 4  3 5 6 72这六个点的横纵坐标的平均值为  2 ，，记 667A（2， ），画出图形可知，发行站的位置应该在点A 附近，代入附近的点的坐标进行比 2较可知，在（3,3）处 z 取得最小值。 二。、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分。 15．已知直线l1 :(k 3)x  (4  k)y 1 0,与l2 : 2(k 3)x  2y  3  0, 平行，则 K 得值是 （）w.w.w.zxxk.c.o.m （A） 1 或 3 15、【答案】C （B）1 或 5 （C）3 或 5 （D）1 或 2 3  k 4  k 【解析】当 k＝3 时，两直线平行，当 k≠3 时，由两直线平行，斜率相等，得： 3，解得：k＝5，故选 C。 ＝k－ 16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长 为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）16、【答案】B 【解析】从正面看，应看到直角边为 3 的顶点，而高为 4，故正视图应为 B。 17．点 P（4，－2）与圆 x2  y2  4 上任一点连续的中点轨迹方程是　　　　　[答]（ ）（A） (x  2)2  (y 1)2 1　　　　　　　（B） (x  2)2  (y 1)2  4 （C） (x  4)2  (y  2)2  4　　　　　　　（D） (x  2)2  (y 1)2 1 17、【答案】A 第 10 页 共 16 页 第 11 页 共 16 页 4  s 2 2  t 2x  y  【解析】设圆上任一点为 Q（s，t），PQ 的中点为 A（x，y），则 ，解得： s  2x  4 ， 代 入 圆 方 程 ， 得 （ 2x － 4 ） 2 ＋ （ 2y ＋ 2 ） 2 ＝ 4 ， 整 理 ， 得 ： t  2y  2 (x  2)2  (y 1)2 1 18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体 感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”.　根据过去 10 天甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是　　　　　　　　　　[答]（ ）　　（A）甲地：总体均值为 3，中位数为 4 .（B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 . （C）丙地：中位数为 2，众数为 3 . 18、【答案】D （D）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 . 【解析】根据信息可知，连续 10 天内，每天的新增疑似病例不能有超过 7 的数，选项 A 中， 中位数为 4，可能存在大于 7 的数；同理，在选项 C 中也有可能；选项 B 中的总体方差大 于 0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于 7 的数；选项 D 中，根据方差公式， 如果有大于 7 的数存在，那么方差不会为 3，故答案选 D. 三．解答题（本大题满分 78 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分 14 分） 　　已知复数 z  a  bi （a、b R ）(I 是虚数单位)是方程 x2  4x  5  0 的根 . 复数 w  u  3i （u  R ）满足 w z  2 5，求 u 的取值范围 .w.w.w.zxxk.c.o.m 19.解：原方程的根为 x1,2  2  i Qa、b R ,z  2  i w.w.w.zxxk.c.o.m Q w z  (u  3i)  (2  i)  (u  2)2  4  2 5 2  u  6 20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 .  已知ΔABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m  (a,b) ，第 11 页 共 16 页 第 12 页 共 16 页  p  (b  2,a  2) .　　 n  (sin B,sin A) ， （3） （4） 若若m// n，求证：ΔABC为等腰三角形；w.w.w.zxxk.c. o.m   m⊥p，边长 c = 2，角 C = ，求ΔABC 的面积 . 3uv v 20 题。证明：（1） Qm // n,asin A  bsin B, ab即a  b ，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， a  b 2R 2R ABC 为等腰三角形 uv uv 解（2）由题意可知 m // p  0,即a(b  2)  b(a  2)  0 a  b  ab 由余弦定理可知， 4  a2  b2  ab  (a  b)2 3ab w.w.w.zxxk.c.o.m 即(ab)2 3ab  4  0 ab  4(舍去ab  1) 113S  absinC  4sin  3 2221．（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 10 分 .有时 可用函数 a0.115ln ,x  6,  6 a  x f (x)  w.w.w.zxxk.c.o.m x  4.4 ,x  4 描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x表示某学科知识的学习次数（ x N* ）， f (x) 表示 对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关. （1）证明：当 x 7 时，掌握程度的增长量 f（x+1）- f(x)总是下降；w.w.w.zxxk.c.o.m （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识 6次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科. 0.4 21 题。证明（1）当 x  7 时， f (x 1)  f (x)  [来 (x 3)(x  4) 而当 x  7 时，函数 y  (x 3)(x  4) 单调递增，且 (x 3)(x  4)  0 第 12 页 共 16 页 第 13 页 共 16 页 故函数 f (x 1)  f (x) 单调递减 w.w.w.zxxk.c.o.m 当x  7 时，掌握程度的增长量 f (x 1)  f (x) 总是下降 a(2)有题意可知 0.115ln  0.85 a  6 a整理得  e0.05 a  6 e0.05 e0.05 1 解得 a  6  20.506 123.0,123.0(121,127] …….13 分 由此可知，该学科是乙学科……………..14 分 22.（本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 4分，第 3 小题满分 8分. 已知双曲线 C的中心是原点，右焦点为 F 3，0 ，一条渐近线 m:x+ 2y  0 ,设过点 A v(3 2,0)的直线 l的方向向量 e  (1,k) 。（4） 求双曲线C的方程；w.w.w.zxxk.c.o.m （5） 若过原点的直线a //l ，且 a与 l的距离为 6 ，求 K的值； 2（6） 证明：当k  时，在双曲线 C 的右 支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 26.22．【解】（1）设双曲线 C的方程为 x2  2y2  (  0) 2×2   3 ，解额   2 双曲线 C的方程为  y2 1 2（2）直线l : kx  y  3 2k  0，直线 a : kx  y  0 | 32k | 1 k2 2由题意，得  6 ，解得 k   2（3）【证法一】设过原点且平行于 l的直线b : kx  y  0 3 2| k | 1 k2 2则直线 l与b的距离 d  ,当k  时， d  6 2又双曲线 C 的渐近线为 x  2y  0 w. 第 13 页 共 16 页 第 14 页 共 16 页 双曲线 双曲线 CC的右支在直线 右支上的任意点到直线 的右支上不存在点 ，使之到直线 右支上存在点Q(x0 , y0 ) 到直线 b的右下方， l的距离大于 6 。 故在双曲线 CQl的距离为 6【证法二】假设双曲线 Cl的距离为 6 ， | kx0  y0  3 2k 1 k2 x02  2y02  2  6 (1) 则(2) 由（1）得 y0  kx0  3 2k  6  1 k2 设当t  3 2k  6  1 k2 ，2k  时，t  3 2k  6  1 k2  0 ；22k2 1 3k2  1 k2 t  3 2k  6  1 k2  6   0 将y0  kx0  t 代入（2）得 (1 2k2 )x02  4ktx0  2(t2 1)  0 2k  ,t  0 ，w.w.w.zxxk.c.o.m 21 2k2  0,  4kt  0,  2(t2 1)  0 方程 (*)不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线l 的距离为 6 CQ23.（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 5分，第 2小题满分 5分，第 3小 题满分 8分. 已知 a是公差为 d的等差数列， 是公比为q的等比数列 b    nn（1）若 an  3n 1，是否存在 m,n N* ，有 am  am1  ak ？请说明理由； （2）若bn  aqn （a、q为常数，且 aq 0）对任意 m存在 k，有bm bm1  bk ，试求 a、q 满足的充要条件； （3）若 an  2n 1,bn  3n 试确定所有的 p,使数列 b中存在某个连续 p项的和式数列中   n第 14 页 共 16 页 第 15 页 共 16 页 a的一项，请证明.w.w.w.zxxk.c.o.m   n23．【解】（1）由 am  am1  ak , 得6m  6  3k 1 ，4整理后，可得 k  2m  , 3m 、k  N ，k  2m 为整数 不存在 n 、 k  N ，使等式成立。 （2）当 m 1时，则b b2  bk ,a2 q3  aqk 1a  qk3 ,即a  qc ，其中 反之当 a  qc 时，其中 是大于等于2的整数，则bn  qnc 显然bm bm1  qmc qm1c  q2m12c  bk ，其中 k  2m 1 c c 是大于等于 2的整数 c，a、q满足的充要条件是 a  qc ，其中 c 是大于等于 2的整数 （3）设bm1  bm2  bm p  ak 当当pp为偶数时， (*)式左边为偶数，右边为奇数，w.w.w.zxxk.c.o.m 为偶数时， (*)式不成立。 3m1(13p ) 由(*)式得  2k 1，整理得3m1(3p 1)  4k  2 13 当当p 1时，符合题意。 为奇数时， p  3 ， p 3p 1 (1 2)p 1  Cp0  C1p 21  Cp2 22  Cpp 2p 1  C1p 21  Cp2 22  Cpp 2p  2 C1  C2 2  C p 2p1 p2 ppp2p2p2pp 2 2 C  C 2  C 2  p 由3m1(3p 1)  4k  2 ，得 2p2p2ppp2 3m1 2 C  C 2  C 2  p  2k 1 [第 15 页 共 16 页 第 16 页 共 16 页 当当pp为奇数时，此时，一定有 m 和 k 使上式一定成立。 为奇数时，命题都成立。w.w.w.zxxk.c.o.m 第 16 页 共 16 页