2008年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)下载

第 1 页 共 12 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学（理科） 本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共 4 页，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页。 满分 150 分，考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 第Ⅰ卷（共 50 分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在 答题纸上。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+（B） 球的表面积公式 S=4R2 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·（B） 如果事件 A 在一次试验中发生 的概率是 p 那么 n 次独立重复 试验中恰好发生 k 次的概率： 其中 R 表示球的半径 4求的体积公式 V= R3 3其中 R 表示球的半径 P (k)  Cnk pk (1 p)nk n一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 a  i 1 i （1）已知 a是实数， 是春虚数，则 a = （A）1 （2）已知 U=R，A= （B）-1 （C） 2（D）- 2 x | x  0 ,B= x | x  1 ,则（A A  Cu B B  Cu A （A） （C） （B） （D）  |   0  |   1  |   0或  1 （3）已知 a，b 都是实数，那么“ a2  b2 ”是“ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 a >b”的 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 第 1 页 共 12 页 第 2 页 共 12 页 （4）在 (x 1)(x  2)(x  3)(x  4)(x  5) 的展开式中，含 x4 的项的系数是 （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 x3 212（5）在同一平面直角坐标系中，函数 y  cos(  )(x [0，2 ]) 的图象和直线 y  的2交点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 1（6）已知 an 是等比数列， a2  2，a5  ，则 a1a2  a2a3  an an1 =4（A）16（1 4n ）（B）16（1 2n ）32 32 （C） （1 4n ）（D） （1 2n ）33×2 y2 （7）若双曲线 （A）3  1的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是 a2 b2 （B）5 （C） =3（D） 5 （8）若 cosa  2sin a  5, 则 tan a 11（A） （B）2 （C） （D）  2 22（9）已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足 (a  c) (b  c)  0 ,则 c 的最大值是 2（A）1 （B）2 （C） 2（D） 2（10）如图，AB 是平面 a 的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面 a 内运动，使得△ABP 的面 积为定值，则动点 P 的轨迹是 （A）圆 （B）椭圆 （D）两条平行直线 （C）一条直线 第 2 页 共 12 页 第 3 页 共 12 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学（理科） 第Ⅱ卷（共 100 分） 注意事项： 1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2．在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二．填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 （11）已知 a>0，若平面内三点 A（1，- a ），B（2， a2 ），C（3， a3 ）共线，则 a=________。 x2 y2 （12）已知 F、F2 为椭圆  1的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点 125 9若F2 A  F2 B  12 ，则 AB =______________。 （ 13 ） 在 △ ABC 中 ， 角A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a、 b 、 c ， 若 3b  c cos A  acosC ，则 cos A  _________________。 （14）如图，已知球 O 点面上四点 A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC，DA=AB=BC= 3 ，则球 O 点体 积等于___________。 （ 15 ） 已 知t 为 常 数 ， 函 数y  x2  2x  t 在 区 间 [0 ， 3] 上 的 最 大 值 为2 ， 则 t=__________。 （16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性 不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。 x  0, （17）若 a  0,b  0 ，且当 y  0, 时，恒有 ax  by  1，则以 a ,b 为坐标点 P（ a ， x  y  1 b）所形成的平面区域的面积等于____________。 三．解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （18）（本题 14 分）如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互 60 ？相垂直，BE//CF， BCF= CEF=90,AD= 3 ,EF=2。 （Ⅰ）求证：AE//平面 DCF； （Ⅱ）当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 第 3 页 共 12 页 第 4 页 共 12 页 第 4 页 共 12 页 第 5 页 共 12 页 （19）（本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 2791 个球，得到黑球的概率是 ；从袋中任意摸出2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 。5（Ⅰ）若袋中共有 10 个球， （i）求白球的个数； （ii）从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ,求随机变量  的数学期望 E 。7（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 。并指出袋 10 中哪种颜色的球个数最少。 1 3 （20）（本题 15 分）已知曲线 C 是到点 P（  , ）和到 2 8 5直线 y  距离相等的点的轨迹。 是过点 Q（-1， 80）的直线，M 是 C 上（不在 上）的动点；A、B 在上， MA  , MB  x 轴（如图）。 （Ⅰ）求曲线 C 的方程； QB 2 （ Ⅱ ） 求 出 直 线 的 方 程 ， 使 得 为 常 数 。 QA 是实数，函数 (x)  x(x  a) （Ⅰ）求函数 (x)的单调区间； （Ⅱ）设 g(a) (x)在区间 （i）写出 g(a) 的表达式； （ii）求 的取值范围，使得 6  g(a)  2 （22）（本题 14 分）已知数列 （21）（本题 15 分）已知 a。为0,2 上的最小值。 a。，22an ，an  0 ，a1  0 an1  an1 1  an (n  N  ) ．记 111Sn  a1  a2  an ．Tn   1 a1 (1 a1 )(1 a2 ) (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) ．求证：当 n  N  时， （Ⅰ） an  an1 ；（Ⅱ） Sn  n  2 ；第 5 页 共 12 页 第 6 页 共 12 页 （Ⅲ）Tn  3 。2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学（理科）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 50 分 1．A　　2．D　　3．D　　4．A　　5．C　　 6．C　　7．D　　8．B　　9．C　　10．B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 28 分． 39π 11．1 2 　　12． 8　　13． 　　14． 15．1　　16．40　　17．1 32三、解答题 18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和 推理运算能力．满分 14 分． 方法一： （Ⅰ）证明：过点 E作EG  CF 交CF 于G，连结 DG ，D可得四边形 BCGE 为矩形， A又ABCD 为矩形， CG∥所以 AD EG，从而四边形 ADGE 为平行四边形， BFHE故AE∥DG ． 因为 AE  平面 DCF 所以 AE∥平面 DCF ，．DG  平面 DCF ，（Ⅱ）解：过点 由平面 ABCD  平面 BEFC AB 平面 BEFC 从而 AH  EF 所以 AHB 为二面角 A EF C 的平面角． B作BH  EF 交FE 的延长线于 H，连结 AH ． ，AB  BC ，得 ，．在Rt△EFG 中，因为 EG  AD  3 又因为CE  EF ，所以CF  4 从而 BE  CG  3 ，EF  2 ，所以 CFE  60 ，FG 1 ．，z．DA3 3 C于是 BH  BEsin BEH  ．2BxF因为 AB  BHtan AHB ，yE9所以当 AB 为时，二面角 A EF C 的大小为 60 ．2方法二：如图，以点 C 为坐标原点，以CB，CF 和CD 分别作为 x 轴， y 轴和 z 轴，建立空间直 第 6 页 共 12 页 第 7 页 共 12 页 角坐标系C  xyz ．设则AB  a，BE  b，CF  c ，C(0，0，0) ，A( 3，0，a) ，B( 3，0，0) ，E( 3，b，0)， F(0，c，0) ．    （Ⅰ）证明： AE  (0，b， a) ，CB  ( 3，0，0) ，，BE  (0，b，0) ，    所以CBCE  0 ，CBBE  0 ，从而CB  AE CB  BE ，所以CB  平面 ABE 因为CB  平面 DCF ．，所以平面 ABE∥平面 DCF ．故AE∥平面 DCF ．   （Ⅱ）解：因为 EF  ( 3，c b，0) ，CE  ( 3，b，0) ，   所以 EFCE  0 ，| EF | 2，从而 3 b(c b)  0， 3 (c b)2  2， 解得b  3，c  4 所以 E( 3，3，0) ．，F(0，4，0) ． 设则n  (1，y，z)与平面 AEF 垂直，   nAE  0 ，nEF  0 ，3 3 解得 n  (1，3， ) ． a BA  (0，0，a) 又因为 BA  平面 BEFC ，，  | BAn | 3 3a a 4a2  27 1 所以| cos  n，BA | ，2| BA|| n | 9得到 a  ．为292所以当 AB 时，二面角 A EF C 的大小为 60 ．19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概 念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分 14 分． （Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 A，设袋中白球的个数 第 7 页 共 12 页 第 8 页 共 12 页 C120x C120 79为x，则 P(A) 1 ，得到 x  5 ．故白球有 5 个． （ii）随机变量 的取值为0，1，2，3，分布列是 01231551P12 12 12 12 的数学期望 155132E  0  1 2  3  ．12 12 12 12 2（Ⅱ）证明：设袋中有 n个球，其中 y个黑球，由题意得 y  n ，5y1所以 2y  n ，2y ≤ n 1，故 ≤．n 1 2记“从袋中任意摸出两个球，至少有 1 个黑球”为事件 B，则 2 3 P(B)   5 5 n 1 y2 3 1 ≤    5 5 2 10 7．25n所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 n，红球的个数少于 ．5故袋中红球个数最少． 20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思 想方法和综合解题能力．满分 15 分． （Ⅰ）解：设 N(x，y) 为C上的点，则 221238| NP | x   y  ，558N到直线 y  的距离为 y  ．822123858由题设得 x   y   y  ．1化简，得曲线 C的方程为 y  (x2  x) ．2（Ⅱ）解法一： 第 8 页 共 12 页 第 9 页 共 12 页 2MBx  x y设M x， ，直线l : y  kx  k ，则 l2AQB(x，kx  k) ，从而| QB | 1 k2 | x 1| ．xO在Rt△QMA中，因为 x2 | QM |2  (x 1)2 1 ，．42x(x 1)2 k  2| MA|2  1 k2 (x 1)2 所以| QA|2 | QM |2  | MA|2  (kx  2)2 .4(1 k2 ) | x 1|| kx  2 | | QA| ，2 1 k2 | QB |2 2(1 k2 ) 1 k2 x 1 ．2| QA| | k | x  k| QB |2 | QA| 当k  2 时，  5 5 ，从而所求直线 l方程为 2x  y  2  0 ．2x  x 解法二：设 M x， ，直线l : y  kx  k ，则 B(x，kx  k) ，从而 2| QB | 1 k2 | x 1| (1，0)垂直于 ．1过Ql的直线l1 : y  (x 1) ．kMBy| x 1|| kx  2 | 2 1 k2 l因为| QA|| MH |，所以| QA| ，Al1 HxOQ| QB |2 2(1 k2 ) 1 k2 x 1 ．2| QA| | k | x  k第 9 页 共 12 页 第 10 页 共 12 页 | QB |2 | QA| 当k  2 时，  5 5 ，从而所求直线 l方程为 2x  y  2  0 ．21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合 运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分 15 分． （Ⅰ）解：函数的定义域为[0， ) ，x  a 3x  a f (x)  x  （x  0 ）． 2 x 2 x 若a ≤0，则 f (x)  0 ，f (x) 有单调递增区间[0， ) ．a若当当a  0 ，令 f (x)  0，得 x  ，3a0  x  时， f (x)  0 ，3ax  时， f (x)  0 ．3aaf (x) 有单调递减区间 0， ，单调递增区间 ，  ．33（Ⅱ）解：（i）若 a ≤0 ，f (x) 在[0，2]上单调递增， 所以 g(a)  f (0)  0 ．aa若0  a  6 ，f (x) 在0， 上单调递减，在 ，2 上单调递增， 33a2a a   所以 g(a)  f   ．  3  33若a≥6 ， f (x) 在[0，2]上单调递减， 所以 g(a)  f (2)  2(2  a) ．0， a ≤0， ， 0  a  6， 2a a 综上所述， g(a)   332(2  a)，a≥6． 第 10 页 共 12 页 第 11 页 共 12 页 （ii）令 6≤ g(a)≤ 2 ．若若a ≤0，无解． 0  a  6，解得3≤ a  6 ．若故a≥6 ，解得 6≤ a ≤ 2  3 2 ．a的取值范围为3≤ a ≤ 2  3 2 ．22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查 逻辑推理能力．满分 14 分． （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明． ①当 n 1时，因为 a2 是方程 x2  x 1 0 的正根，所以 a1  a2 ．②假设当 n  k(k N*) 时， ak  ak1 因为 ak12  ak2  (ak22  ak2 1)  (ak12  ak1 1) ， (ak2  ak1)(ak2  ak1 1) ，所以 ak1  ak2 ．即当 n  k 1时， an  an1 也成立． 根据①和②，可知 an  an1 对任何 nN* 都成立． 2（Ⅱ）证明：由 ak12  ak1 1 ak ，k 1，2，，n 1 （n≥ 2 ）， 得an2  (a2  a3  an )  (n 1)  a12 ．因为 a1  0 ，所以 Sn  n 1 an2 ．2由an  an1 及 an1 1 an2  2an1 1 得an 1 ，所以 Sn  n  2 ．2（Ⅲ）证明：由 ak12  ak1 1 ak ≥ 2ak ，得 1a≤k1 (k  2，3，，n 1 ，n≥3) 1 ak1 2ak 1an 所以 ≤(a≥3) ， (1 a3 )(1 a4 )(1 an ) 2n2 a2 第 11 页 共 12 页 第 12 页 共 12 页 1an an 1于是 ≤(n≥3) ， (1 a2 )(1 a3 )(1 an ) 2n2 (a22  a2 ) 2n2 2n2 112n2 故当 n≥3时，Tn 11   3 ，2又因为T  T2  T3 ，1所以Tn  3 ．第 12 页 共 12 页