2008年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析下载

第 1 页 共 22 页 2008 年山东省高考数学试卷（理科） 　一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2008•山东）满足 M⊆{a1，a2，a3，a4}，且 M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合 M 的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（5 分）（2008•山东）设 z 的共轭复数是 ，若 ，，则 等于（　　） A．i B．﹣i C．±1 D．±i 3．（5 分）（2008•山东）函数 y=lncosx（ ）的图象是（　　） A． B． C． D． 4．（5 分）（2008•山东）设函数 f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线 x=1 对称，则 a 的值 为（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 5．（5 分）（2008•山东）已知 ，则 的值 是（　　） A． B． C． D． 6．（5 分）（2008•山东）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表 面积是（　　） A．9π B．10π C．11π D．12π 7．（5 分）（2008•山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，…，18 的 18 名火炬手．若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为 （　　） 第 1 页（共 22 页） 第 2 页 共 22 页 A． B． C． D． 8．（5 分）（2008•山东）如图是根据《山东统计年鉴 2007》中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户 家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字． 从图中可以得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（　　） A．304.6B．303.6C．302.6D．301.6 9．（5 分）（2008•山东） 展开式中的常数项为（　　） A．﹣1320 B．1320 C．﹣220 D．220 10．（5 分）（2008•山东）4．设椭圆 C1 的离心率为 ，焦点在x 轴上且长轴长为 26，若 曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为（　　 ）A． ﹣=1 B． ﹣=1 C． ﹣=1 D． ﹣=1 11．（5 分）（2008•山东）已知圆的方程为 x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长 弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 12．（5 分）（2008•山东）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 M， 使函数 y=ax（a＞0，a≠1）的图象过区域 M 的 a 的取值范围是（　　） A．[1，3] 　B．[2， ] C．[2，9] D．[ ，9] 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）（2008•山东）执行如图所示的程序框图，若 p=0.8，则输出的 n=　　　　　　． 第 2 页（共 22 页） 第 3 页 共 22 页 14．（4 分）（2008•山东）设函数 f（x）=ax2+c（a≠0），若 ，则 x0 的值为　　　　　　． f（x）dx=f（x0），0≤x0≤1 15．（4 分）（2008•山东）已知 a，b，c 为△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 =（ ，﹣1）， =（cosA，sinA）．若 ⊥ ，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B=　　　　　　． 16．（4 分）（2008•山东）若不等式|3x﹣b|＜4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则 b 的 取值范围　　　　　　． 　三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 17．（12 分）（2008•山东）已知函数 （0 ＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数 y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ．（Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长 到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）的单调递减区间． 18．（12 分）（2008•山东）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题 ，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3 人答 对的概率分别为 分． ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用 ξ 表示甲队的总得 （Ⅰ）求随机变量 ξ 的分布列和数学期望； （Ⅱ）用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙 队总得分”这一事件，求 P（AB）． 第 3 页（共 22 页） 第 4 页 共 22 页 19．（12 分）（2008•山东）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如 下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数 a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1 ．Sn 为数列{bn}的前 n 项和，且满足 ．（Ⅰ）证明数列 （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为 同一个正数．当 时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和． 成等差数列，并求数列{bn}的通项公式； 20．（12 分）（2008•山东）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD，∠ABC=60°，E，F 分别是 BC，PC 的中点． （Ⅰ）证明：AE⊥PD； （Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ，求二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值． 21．（12 分）（2008•山东）已知函数 ，其中 n∈N*， a 为常数． （Ⅰ）当 n=2 时，求函数 f（x）的极值； （Ⅱ）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n，当 x≥2 时，有 f（x）≤x﹣1． 22．（14 分）（2008•山东）如图，设抛物线方程为 x2=2py（p＞0），M 为直线 y=﹣2p 上 任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B． （Ⅰ）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当 M 点的坐标为（2，﹣2p）时， ．求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x2=2py（p＞0）上，其 中，点 C 满足 （O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由． 第 4 页（共 22 页） 第 5 页 共 22 页 　第 5 页（共 22 页） 第 6 页 共 22 页 2008 年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2008•山东）满足 M⊆{a1，a2，a3，a4}，且 M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合 M 的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先根据 M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}可知 a1，a2 是 M 中的元素，a3 不是 M 中的元 素，由子集的定义即可得出答案． 【解答】解：∵M∩{a1，a2，a3}={a1，a2} ∴a1，a2 是 M 中的元素，a3 不是 M 中的元素 ∵M⊆{a1，a2，a3，a4} ∴M={a1，a2}或 M={a1，a2，a4}， 故选 B 　2．（5 分）（2008•山东）设 z 的共轭复数是 ，若 A．i B．﹣i C．±1 D．±i 【分析】可设 【解答】解：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算．可设 ，，则 等于（　　） ，根据 即得． ，由 得 4+b2=8，b=±2. 选 D 　3．（5 分）（2008•山东）函数 y=lncosx（ ）的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用函数 的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有 界性可排除一些个选项．从而得以解决． 【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx， 第 6 页（共 22 页） 第 7 页 共 22 页 ∴是偶函数， 可排除 B、D， 由 cosx≤1⇒lncosx≤0 排除 C， 故选 A． 　4．（5 分）（2008•山东）设函数 f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线 x=1 对称，则 a 的值 为（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 【分析】函数 f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|的图象为轴对称图形，其对称轴是直线 x= ，可利用 这个性质快速解决问题 【解答】解：|x+1|、|x﹣a|在数轴上表示点 x 到点﹣1、a 的距离， 他们的和 f（x）=|x+1|+|x﹣a|关于 x=1 对称， 因此点﹣1、a 关于 x=1 对称， 所以 a=3 故选 A 　5．（5 分）（2008•山东）已知 ，则 的值 是（　　） A． B． C． D． 【分析】从表现形式上看不出条件和结论之间的关系，在这种情况下只有把式子左边分解再 合并，约分整理，得到和要求结论只差 π 的角的三角函数，通过用诱导公式，得出结论． 【解答】解：∵ ，∴∴，．故选 C 　6．（5 分）（2008•山东）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表 面积是（　　） A．9π B．10π C．11π D．12π 【分析】由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可． 第 7 页（共 22 页） 第 8 页 共 22 页 【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为 S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π 故选 D． 　7．（5 分）（2008•山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，…，18 的 18 名火炬手．若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为 （　　） A． B． C． D． 【分析】由题意知本题是古典概型问题，试验发生的基本事件总数为 C183，选出火炬手编 号为 an=a1+3（n﹣1），分类讨论当 a1=1 时可得 4 种选法；a1=2 时得 4 种选法；a1=3 时得 4 种选法． 【解答】解：由题意知本题是古典概型问题， ∵试验发生的基本事件总数为 C183=17×16×3． 选出火炬手编号为 an=a1+3（n﹣1）， a1=1 时，由 1，4，7，10，13，16 可得 4 种选法； a1=2 时，由 2，5，8，11，14，17 可得 4 种选法； a1=3 时，由 3，6，9，12，15，18 可得 4 种选法． ∴．故选 B． 　8．（5 分）（2008•山东）如图是根据《山东统计年鉴 2007》中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户 家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字． 从图中可以得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（　　） A．304.6B．303.6C．302.6D．301.6 【分析】平均数= ，总数的计算可分成个位数字的和，百位数字与十位数字的和 两部分分别计算． 【解答】解： 故选 B． 　9．（5 分）（2008•山东） 展开式中的常数项为（　　） A．﹣1320 B．1320 C．﹣220 D．220 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 0 求出常数项． 第 8 页（共 22 页） 第 9 页 共 22 页 【解答】解： ，令得 r=9 ∴．故选项为 C 　10．（5 分）（2008•山东）4．设椭圆 C1 的离心率为 ，焦点在x 轴上且长轴长为 26，若 曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为（　　 ）A． C． ﹣﹣=1 =1 B． D． ﹣﹣=1 =1 【分析】在椭圆 C1 中，由题设条件能够得到 0），为焦点，实轴长为 8 的双曲线，由此可求出曲线 C2 的标准方程． 【解答】解：在椭圆 C1 中，由 ，得 ，曲线 C2 是以 F1（﹣5，0），F2（5， 椭圆 C1 的焦点为 F1（﹣5，0），F2（5，0）， 曲线 C2 是以 F1、F2 为焦点，实轴长为 8 的双曲线， 故 C2 的标准方程为： ﹣=1， 故选 A． 　11．（5 分）（2008•山东）已知圆的方程为 x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长 弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径 的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即 可． 【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52， 由题意得最长的弦|AC|=2×5=10， 根据勾股定理得最短的弦|BD|=2 =4 ，且 AC⊥BD， 第 9 页（共 22 页） 第 10 页 共 22 页 四边形 ABCD 的面积 S=| AC|•|BD|= ×10×4 =20 ．故选 B 　12．（5 分）（2008•山东）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 M， 使函数 y=ax（a＞0，a≠1）的图象过区域 M 的 a 的取值范围是（　　） A．[1，3] B．[2， ] C．[2，9] D．[ ，9] 【分析】先依据不等式组 ，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系 画出其表示的平面区域，再利用函数 y=ax（a＞0，a≠1）的图象特征，结合区域的角上的点 即可解决问题． 【解答】解析：平面区域 M 如如图所示． 求得 A（2，10），C（3，8），B（1，9）． 由图可知，欲满足条件必有 a＞1 且图象在过 B、C 两点的图象之间． 当图象过 B 点时，a1=9， ∴a=9． 当图象过 C 点时，a3=8， ∴a=2． 故 a 的取值范围为[2，9=． 故选 C． 　二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）（2008•山东）执行如图所示的程序框图，若 p=0.8，则输出的 n=　4　． 第 10 页（共 22 页） 第 11 页 共 22 页 【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作 用是判断 S= ＞0.8 时，n+1 的值． 【解答】解：根据流程图所示的顺序， 该程序的作用是判断 S= ＞0.8 时，n+1 的值． 当 n=2 时， 当 n=3 时， ，此时 n+1=4． 故答案为：4 　14．（4 分）（2008•山东）设函数 f（x）=ax2+c（a≠0），若 f（x）dx=f（x0），0≤x0≤1 ，则 x0 的值为　． 121【分析】求出定积分∫0 f（x）dx，根据方程 ax0 +c=∫0 f（x）dx 即可求解． 11【解答】解：∵f（x）=ax2+c（a≠0），∴f（x0）=∫0 f（x）dx=[ +cx]0 = +c．又∵f（x0） 2=ax0 +c． 2∴x0 = ，∵x0∈[0，1]∴x0= ．　15．（4 分）（2008•山东）已知 a，b，c 为△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 =（ ，﹣1）， =（cosA，sinA）．若 ⊥ ，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B=　． 第 11 页（共 22 页） 第 12 页 共 22 页 【分析】由向量数量积的意义，有 ，进而可得 A，再根据正弦 定理，可得 sinAcosB+sinBcosA=sinC sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得 sinC=sin2C ，可得 C，由 A、C 的大小，可得答案． 【解答】解：根据题意， ，由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC， 又由 sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC， 化简可得，sinC=sin2C， 则 C= ，则，故答案为 　．16．（4 分）（2008•山东）若不等式|3x﹣b|＜4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则 b 的 取值范围　5＜b＜7　． 【分析】首先分析题目已知不等式|3x﹣b|＜4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，求 b 的取 值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x﹣b|＜4 含有参数 b 的解，使得解中只有 整数 1，2，3，即限定左边大于 0 小于 1，右边大于 3 小于 4．即可得到答案． 【解答】解：因为 ，又由已知解集中的整数有且仅有 1，2，3， 故有 ．故答案为 5＜b＜7． 　三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 17．（12 分）（2008•山东）已知函数 （0 ＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数 y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ．（Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长 到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）的单调递减区间． 【分析】（Ⅰ）先用两角和公式对函数 f（x）的表达式化简得 f（x）=2sin（ωx+φ﹣ ）， 利用偶函数的性质即 f（x）=f（﹣x）求得 ω，进而求出 f（x）的表达式，把 x= 代入即 可． 第 12 页（共 22 页） 第 13 页 共 22 页 （Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数 g（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性求得 函数 g（x）的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ） ==．∵f（x）为偶函数， ∴对 x∈R，f（﹣x）=f（x）恒成立， ∴．即，整理得 ．∵ω＞0，且 x∈R，所以 ．又∵0＜φ＜π，故 ．∴．由题意得 ，所以 ω=2． 故 f（x）=2cos2x． ∴．（Ⅱ）将 f（x）的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横 的图象． 坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 ∴．当即（k∈Z）， （k∈Z）时，g（x）单调递减， （k∈Z）． 因此 g（x）的单调递减区间为 　18．（12 分）（2008•山东）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题 ，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3 人答 第 13 页（共 22 页） 第 14 页 共 22 页 对的概率分别为 分． ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用 ξ 表示甲队的总得 （Ⅰ）求随机变量 ξ 的分布列和数学期望； （Ⅱ）用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙 队总得分”这一事件，求 P（AB）． 【分析】（1）由题意甲队中每人答对的概率均为 ，故可看作独立重复试验，故 ，（2）AB 为“甲、乙两个队总得分之和等于 3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足，有 两种情况：“甲得（2 分）乙得（1 分）”和“甲得（3 分）乙得 0 分”这两个事件互斥，分别求 概率，再取和即可． 【解答】解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ 的可能取值为 0，1，2，3，且 ，，，．所以 ξ 的分布列为 ξ0123Pξ 的数学期望为 ．解法二：根据题设可知， ，因此 ξ 的分布列为 ，k=0，1，2，3 ．因为 ，所以 ．（Ⅱ）解法一：用 C 表示“甲得（2 分）乙得（1 分）”这一事件，用 D 表示“甲得（3 分）乙 得 0 分”这一事件，所以 AB=C∪D，且 C，D 互斥，又 =，，由互斥事件的概率公式得 ．解法二：用 Ak 表示“甲队得 k 分”这一事件，用 Bk 表示“乙队得 k 分”这一事件，k=0，1，2， 3． 由于事件 A3B0，A2B1 为互斥事件，故有 P（AB）=P（A3B0∪A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1 ）． 第 14 页（共 22 页） 第 15 页 共 22 页 由题设可知，事件 A3 与 B0 独立，事件 A2 与 B1 独立，因此 P（AB）=P（A3B0）+P（A2B1 ）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）= ．　19．（12 分）（2008•山东）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如 下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数 a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1 ．Sn 为数列{bn}的前 n 项和，且满足 ．（Ⅰ）证明数列 （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为 同一个正数．当 时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和． 成等差数列，并求数列{bn}的通项公式； 【分析】（Ⅰ）由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前 n 项和求其通项这一公 式来寻求出路，得到 Sn 与 SSn﹣1 之间的递推关系，先求出 Sn 的通项公式即可得证，接下来 求{bn}的通项公式； （Ⅱ）由题意第一列数 a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1，又已知{bn}的通项 公式和 a81 的值，应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置，有从第三行起，第一行 中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数进而求解． 【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知，当 n≥2 时， ，又 Sn=b1+b2+…+bn， 所以 ，又 S1=b1=a1=1．所以数列 由上可知 是首项为 1，公差为 的等差数列． ，．所以当 n≥2 时， ．第 15 页（共 22 页） 第 16 页 共 22 页 因此 （Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为 q，且 q＞0． 因为 ，所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78 项，故 a81 在表中第 13 行第三列， 因此 ．又，所以 q=2． 记表中第 k（k≥3）行所有项的和为 S， 则　．20．（12 分）（2008•山东）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD，∠ABC=60°，E，F 分别是 BC，PC 的中点． （Ⅰ）证明：AE⊥PD； （Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ，求二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值． 【分析】（1）要证明 AE⊥PD，我们可能证明 AE⊥面 PAD，由已知易得 AE⊥PA，我们只要 能证明 AE⊥AD 即可，由于底面 ABCD 为菱形，故我们可以转化为证明 AE⊥BC，由已知易 我们不难得到结论． （2）由 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ，我们分析后可得PA 的值，由（1）的 结论，我们进而可以证明平面 PAC⊥平面 ABCD，则过 E 作 EO⊥AC 于 O，则 EO⊥平面 PAC ，过 O 作 OS⊥AF 于 S，连接 ES，则∠ESO 为二面角 E﹣AF﹣C 的平面角，然后我们解三角 形 ASO，即可求出二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）证明：由四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC 为正三角形 ．因为 E 为 BC 的中点，所以 AE⊥BC． 又 BC∥AD，因此 AE⊥AD． 因为 PA⊥平面 ABCD，AE⊂平面 ABCD，所以 PA⊥AE． 而 PA⊂平面 PAD，AD⊂平面 PAD 且 PA∩AD=A， 所以 AE⊥平面 PAD．又 PD⊂平面 PAD， 所以 AE⊥PD． 第 16 页（共 22 页） 第 17 页 共 22 页 解：（Ⅱ）设 AB=2，H 为 PD 上任意一点，连接 AH，EH． 由（Ⅰ）知 AE⊥平面 PAD， 则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角． 在 Rt△EAH 中， ，所以当 AH 最短时，∠EHA 最大， 即当 AH⊥PD 时，∠EHA 最大． 此时 ，因此 ．又 AD=2，所以∠ADH=45°， 所以 PA=2． 因为 PA⊥平面 ABCD，PA⊂平面 PAC， 所以平面 PAC⊥平面 ABCD． 过 E 作 EO⊥AC 于 O，则 EO⊥平面 PAC， 过 O 作 OS⊥AF 于 S，连接 ES，则∠ESO 为二面角 E﹣AF﹣C 的平面角， 在 Rt△AOE 中， ，，又 F 是 PC 的中点，在 Rt△ASO 中， ，又，在 Rt△ESO 中， ，即所求二面角的余弦值为 ．　21．（12 分）（2008•山东）已知函数 ，其中 n∈N*， a 为常数． （Ⅰ）当 n=2 时，求函数 f（x）的极值； （Ⅱ）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n，当 x≥2 时，有 f（x）≤x﹣1． 【分析】（1）欲求：“当 n=2 时， ”的极值，利用导数 ，求其导函数的零点及单调性进行判断即可； 第 17 页（共 22 页） 第 18 页 共 22 页 （2）欲证：“f（x）≤x﹣1”，令 ，利用导函数 的单调性，只要证明函数 f（x）的最大值是 x﹣1 即可． 【解答】解：（Ⅰ）解：由已知得函数 f（x）的定义域为{x|x＞1}， 当 n=2 时， ，所以 ．（1）当 a＞0 时，由 f’（x）=0 得 ，，此时 ．当 x∈（1，x1）时，f’（x）＜0，f（x）单调递减； 当 x∈（x1，+∞）时，f’（x）＞0，f（x）单调递增． （2）当 a≤0 时，f’（x）＜0 恒成立，所以 f（x）无极值． 综上所述，n=2 时， 当 a＞0 时，f（x）在 处取得极小值，极小值为 ．当 a≤0 时，f（x）无极值． （Ⅱ）证法一：因为 a=1，所以 ．当 n 为偶数时， 令，则（x≥2）． 所以当 x∈[2，+∞）时，g（x）单调递增， 又 g（2）=0， 因此 恒成立， 所以 f（x）≤x﹣1 成立． 当 n 为奇数时，要证 f（x）≤x﹣1，由于 ，所以只需证 ln（x﹣1）≤x﹣1， 令 h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1）， 则（x≥2）， 所以当 x∈[2，+∞）时，h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1）单调递增，又 h（2）=1＞0， 所以当 x≥2 时，恒有 h（x）＞0，即 ln（x﹣1）＜x﹣1 命题成立． 第 18 页（共 22 页） 第 19 页 共 22 页 综上所述，结论成立． 证法二：当 a=1 时， ．当 x≥2 时，对任意的正整数 n，恒有 故只需证明 1+ln（x﹣1）≤x﹣1． ，令 h（x）=x﹣1﹣（1+ln（x﹣1））=x﹣2﹣ln（x﹣1），x∈[2，+∞）， 则，当 x≥2 时，h’（x）≥0，故 h（x）在[2，+∞）上单调递增， 因此当 x≥2 时，h（x）≥h（2）=0，即 1+ln（x﹣1）≤x﹣1 成立． 故当 x≥2 时，有 ．即 f（x）≤x﹣1． 　22．（14 分）（2008•山东）如图，设抛物线方程为 x2=2py（p＞0），M 为直线 y=﹣2p 上 任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B． （Ⅰ）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当 M 点的坐标为（2，﹣2p）时， ．求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x2=2py（p＞0）上，其 中，点 C 满足 （O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）根据题意先设出 A，B 和 M 的坐标，对抛物线方程求导，进而表示出 AM， BM 的斜率，则直线 AM 和 BM 的直线方程可得，联立后整理求得 2×0=x1+x2．推断出 A，M ，B 三点的横坐标成等差数列． （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，x0=2 代入抛物线方程整理推断出 x1，x2 是方程 x2﹣4x﹣4p2=0 的两根，利用韦达定理求得 x1+x2 的值，表示出直线 AB 的方程，利用弦长公式求得|AB|， 进而求得 p，则抛物线的方程可得． （Ⅲ）设出 D 点的坐标，进而表示出 C 的坐标，则 CD 的中点的坐标可得，代入直线 AB 的方程，把 D 点坐标代入抛物线的方程，求得 x3，然后讨论 x0=0 和 x0≠0 时，两种情况， 分析出答案． 第 19 页（共 22 页） 第 20 页 共 22 页 【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意设 ．由 x2=2py 得 ，得 ，所以 ，．因此直线 MA 的方程为 直线 MB 的方程为 ，．所以 ，① ．② 由①、②得 ，因此 ，即 2×0=x1+x2． 所以 A，M，B 三点的横坐标成等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当 x0=2 时， 22将其代入①、②并整理得：x1 ﹣4×1﹣4p2=0，x2 ﹣4×2﹣4p2=0， 所以 x1，x2 是方程 x2﹣4x﹣4p2=0 的两根， 因此 x1+x2=4，x1x2=﹣4p2， 又，所以 ．由弦长公式得 又．，所以 p=1 或 p=2， 因此所求抛物线方程为 x2=2y 或 x2=4y． （Ⅲ）解：设 D（x3，y3），由题意得 C（x1+x2，y1+y2）， 则 CD 的中点坐标为 设直线 AB 的方程为 ，，第 20 页（共 22 页） 第 21 页 共 22 页 由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点 也在直线 AB 上， 代入得 ．2若 D（x3，y3）在抛物线上，则 x3 =2py3=2x0x3， 因此 x3=0 或 x3=2×0． 即 D（0，0）或 ．（1）当 x0=0 时，则 x1+x2=2×0=0，此时，点 M（0，﹣2p）适合题意． （2）当 x0≠0，对于 D（0，0），此时 ，=，又，AB⊥CD， 所以 ，22即 x1 +x2 =﹣4p2，矛盾． 对于 ，因为 ，此时直线 CD 平行于 y 轴， 又，所以直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾， 所以 x0≠0 时，不存在符合题意的 M 点． 综上所述，仅存在一点 M（0，﹣2p）适合题意． 　第 21 页（共 22 页） 第 22 页 共 22 页 参与本试卷答题和审题的老师有：wubh2011；rxl；yhx01248；翔宇老师；涨停；qiss；wdlxh ；wdnah；zlzhan；sllwyn；杨南；danbo7801；小张老师；wsj1012；邢新丽；zhwsd（排名 不分先后） 菁优网 2016 年 4 月 12 日 第 22 页（共 22 页）