2008年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）下载

第 1 页共 19 页绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一. 填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接得分评卷人填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．不等式 x 1 1的解集是 2．若集合 A  x x 2 B  3．若复数满足z  i(2  z) 4．若函数 f (x) 的反函数为 .、x x a 满足 A  B  =_____________. x  0 ），则 f ( 4)  2，则实数 a=_____________. z（i是虚数单位），则 z f1 (x)  x2 （.π5．若向量 a、b满足 a 1 ，b  2 ，且 a与b的夹角为，则a  b =__________. 3π6．函数 f (x)  3 sin x  sin  x 的最大值是 .27．在平面直角坐标系中，从六个点： A(0, 0) F(3, 3) 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 8．设函数 f (x) 是定义在上的奇函数. 若当 x(0,  ) 时， f (x)  lg x ，则满足 f (x)  0 的取值范围是、B( 2, 0) 、C(1,1) 、D(0, 2) 、 E( 2, 2) 、 (结果用分数表示). R的x.9．已知总体的各个体的值由小到大依次为 2，3，3，7， a ，b ，12，13.7，18.3，20，且第 1 页共 19 页第 2 页共 19 页总体的中位数为10.5 . 若要使该总体的方差最小，则 a、b 的取值分别是 .10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为 2a 、短轴长为 2b 的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h、 1h2 ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1、2 ，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .111．方程 x2  2x 1  0 的解可视为函数 y  x  2 的图像与函数 y  的图像交点的 x4横坐标. 若方程 x4  ax  4  0 的各个实根 x1, x2 ,, xk (k  4) 所对应的点 xi , ( ) xi （i=1, 2,, k ）均在直线 y  x 的同侧，则实数 a的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．得分评卷人 12. 组合数Cnr ( n  r 1, n、r Z) 恒等于 [答] ( )r 1 nrr1 n1 r1 n1 r1 (A) C.(B) ( n 1)(r 1)Cnr11 . (C)nrC .(D) C.n1 n 1 13. 给定空间中的直线与平面垂直”的 l及平面 . 条件“直线 l与平面 内无数条直线都垂直”是“直 [答] ( 线l)(A) 充要条件. (B) 充分非必要条件. (D) 既非充分又非必要条件. (C) 必要非充分条件. 314. 若数列 an 是首项为 1，公比为 a  的无穷等比数列，且 an 各项的和为 a ，则 a 2的值是 [答] ( )15(A) 1. (B) 2. (C) .(D) .2415. 如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x轴的正半轴、 y轴的正半轴分别相切于点 C、 D 的定圆所围成的区域（含边界）， A、B、C、D 是该 圆的四等分点. 若点 P( x, y ) 、点 Px , y 满足 x  x 且y  y ，第 2 页共 19 页第 3 页共 19 页 则称 P优于 P. 如果 中的点 Q满足：不存在 中的其它点优于Q，那么所有这样的点 Q组成的集合是劣弧 [答] ( )BC CD DA AB (A) .(B) .(C) .(D) .三. 解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16.（本题满分 12 分）得分评卷人如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， E是BC1 的中点. 求直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解] 第 3 页共 19 页第 4 页共 19 页 17.（本题满分 13 分）得分评卷人如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形 AOB . 小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于BO 的小路 CD . 已知某人从 CD 走到用了10 分钟，从 ACC沿DD沿DA 走到 A用了 6 分钟. 若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 OA 的长（精确到 1 米）. [解] 第 4 页共 19 页第 5 页共 19 页得分评卷人 18.（本题满分 15 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第2 小题满分 9 分． x2 已知双曲线C : （1）求证：点  y2 1 ，P 是C 上的任意点. 4P到双曲线 C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点 A的坐标为 (3, 0) ，求| PA|的最小值. [证明]（1） [解]（2）第 5 页共 19 页第 6 页共 19 页 19.（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，得分评卷人第 2 小题满分 8 分． 1.已知函数 f (x)  2x  （1）若 f (x)  2 ，求 2|x| x的值；（2）若 2t f (2t)  mf (t)  0对于t [1, 2]恒成立，求实数 [解]（1） m 的取值范围. （2）第 6 页共 19 页第 7 页共 19 页 20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，得分评卷人第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分．设P( a, b) (b  0) 是平面直角坐标系 xOy 中的点， l与抛物线 x2  2py (p  0) 的异于原点的交点. l是经过原点与点 (1, b) 的直线.记Q 是直线（1）已知 a 1, b  2, p  2. 求点（2）已知点 P( a, b) (ab  0)在椭圆 4×2  4y2 1上； Q 的坐标； x2 1 y2 1上， p  . 求证：点 Q落在双曲轴对称的 42ab 线1（3）已知动点 P( a, b) 满足 ab  0 ，p  . 若点 Q 始终落在一条关于 x 2ab 抛物线上，试问动点 P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由. 第 7 页共 19 页第 8 页共 19 页 [解]（1） [证明]（2） [解]（3）第 8 页共 19 页第 9 页共 19 页 21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，得分评卷人第2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 8 分．第 9 页共 19 页第 10 页共 19 页 a  c, a  3, nn已知以 a1 为首项的数列 an 满足： an1 an,an  3. d（1）当 a1 1 ，c 1, d  3 时，求数列 an 的通项公式； an 前 100 项的和 S100 ；（2）当 0  a1 1 ，c 1, d  3 时，试用 a1 表示数列 111（3）当 0  a1  （，m是正整数）， c  ，正整数 d  3m 时，求证：数列 a2  ,mmm111a3m2 ，a6m2 a9m2 成等比数列当且仅当 d  3m . mmm[解]（1）（2） [证明]（3）第 10 页共 19 页第 11 页共 19 页 2008 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第 1 题至第 11 题） 1. (0, 2) .2. 234.3. 1 8. ( 1, 0)  (1,  ) 11. (  ,  6)  (6,  ) i.4. 2.5. 7 . 6. 2. 7. ..9. a 10.5, b 10.5 . 10. h1  cot1  h2  cot2  2a ..二、（第 12 题至第 15 题）题代号号12 D13 C14 B15 D三、（第 16 题至第 21 题） 16．[解] 过 E作EF  BC ，交 BC 于F，连接 DF . EF  平面ABCD ， EDF 是直线 DE 与平面 ABCD 所成的角. …… 4 分 1由题意，得 EF  CC1 1 .21 CF  CB 1 , DF  5 tan EDF  .…… 8 分 …… 10 分 …… 12 分 2EF 5EF  DF ，.DF 55故直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小是 arctan .517. [解法一] 设该扇形的半径为 r米. 连接CO .…… 2 分由题意，得 CD =500（米）， DA =300（米）， CDO  60. …… 4 分第 11 页共 19 页第 12 页共 19 页在△CDO 中，CD2  OD2  2 CD OD  cos60  OC2 ，…… 6 分 …… 9 分 1即5002  (r  300)2  2 500 (r  300)  r2 ，24900 解得 r   445 （米）. 11 答：该扇形的半径OA 的长约为 445 米. [解法二] 连接 AC ，作OH  AC ，交 AC …… 13 分 …… 2 分于H . 由题意，得CD =500（米）， AD =300（米）， CDA 120 .…… 4 分在△ ACD 中， AC2  CD2  AD2  2 CD  AD  cos120 1 5002  3002  2 500 300  7002 ，2AC  700 （米）， …… 6 分 AC2  AD2  CD2 11 cosCAD  .…… 9 分 2  AC  AD 14 11 在直角△ HAO 中， AH  350 （米）， cosHAO  ，14 AH 4900 11 OA   445 （米）. cosHAO 答：该扇形的半径OA 的长约为 445 米. 18. [解] （1）设 x1, y1 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是 x  2y  0 …… 13 分 P和x  2y  0 .…… 2 分 …… 4 分 x1  2y1 x1  2y1 点Px1, y1 到两条渐近线的距离分别是和，55×12  4y12 x1  2y1 x1  2y1 4它们的乘积是 .5555点P到双曲线 C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6 分 …… 8 分（2）设 P 的坐标为 ( x, y ) ，则 | PA|2  (x  3)2  y2 x2  (x  3)2  1 4第 12 页共 19 页第 13 页共 19 页 25412 545x  .…… 11 分 …… 13 分  | x |  2 ，12 4当x  时，| PA|2 的最小值为，552 5 即| PA|的最小值为 .…… 15 分 …… 2 分 512x 19. [解] （1）当 x  0时， f (x)  0 ；当 x  0时， f (x)  2x  .12x 由条件可知 2x  解得 2x 1 2  2 ，即 22x  2  2x 1 0 ，.…… 6 分 …… 8 分  2x  0 ， x  log2 1 2 .122t 12t （2）当t [1, 2]时， 2t 22t  m 2t   0 ，…… 10 分 即m22t 1   24t 1 . 22t 1 0 ，m   22t 1 .…… 13 分 …… 16 分  t [1, 2],  1 22t [ 17,  5] ，故m 的取值范围是[  5,  ). 20. [解]（1）当 a 1, b  2, p  2时， 2x  8, x  4y, y  2x, 解方程组得y 16, 即点 Q的坐标为 8,16 .…… 3 分 11x  ,2x  y, ab[证明]（2）由方程组得ab y  bx, y  ,a1 b 即点 Q的坐标为 ,.…… 5 分 a a 第 13 页共 19 页第 14 页共 19 页 a2 是椭圆上的点，即 P b2 1 ，42 2 1ba4a2 4 4 1 b2 1 .a因此点（3）设 QQ落在双曲线 4×2  4y2 1上. 所在抛物线的方程为 y2  2q(x  c) …… 8 分，q  0 .…… 10 分 1 b b2 a2 1将当当Q,代入方程，得  2q  c ，即b2  2qa  2qca2 .…… 12 分 a a aqc  0 时，b2  2qa ，此时点 P 的轨迹落在抛物线上； 1114c2 2 qc  时， a   b2  ，此时点 P 的轨迹落在圆上； 22c 2 1a  12c b2 q当当qc  0 且qc  时， 1，此时点 P 的轨迹落在椭圆上； 124c2 2c 12 a  2c b2 qc  0时， 1，此时点 P的轨迹落在双曲线上. 1q4c2 2c …… 16 分 …… 3 分 1, n  3k  2, 21. [解]（1）由题意得 a  2, n  3k 1, k Z  .n3, n  3k, （2）当 0  a1 1时， a1 a1 a1 a2  a1 1 ，，a3  a1  2 ，a4  a1  3 ，a5  1 ，a6   2 ，a7   3 ，…， …… 6 分 333a1 3k1 a1 a1 a3k1 1 a3k  2 ，a3k1  3 ，… 3k1 3k1  S100  a1  a2  a3  a4 3a1  6 a5  a6  a7   a98  a99  a100 a1 a1  a1  a1  6  6    6 331 3第 14 页共 19 页第 15 页共 19 页 11331  a  a 3 1    6 33 11 3121331 11 a 198 .…… 10 分 11（3）当 d  3m 时， a2  a1  3m 1 ；ma1 11 a3m  a1   a1  3  3  a1  3  a3m1 ， a3m2 ；mm3m ma1 a1 a1 9m2 11 a6m  a9m  3  3   3  a6m1 ， a6m2 ；3m m3m ma1 9m2 a1 a1 27m3 11 3  3   3  a9m1 ， a9m2 .9m2 mma1 a1 9m2 a1 27m3 1111a2  a1 ，a3m2 ，a6m2 ，a9m2 .mm3m mm1111综上所述，当 d  3m 时，数列 a2  ，a3m2 ，a6m2 ，a9m2 是公比为 mmmm1的等比数列. ……13 分 3m a1  3 d1当d  3m 1时， a3m2  0, ，ma1  3 dd 3 a1  3 d11a6m2  3 3, 3 ，a6m3  0, ，mma1  3 dd 3  0 3m 1 1a9m2  3  , 3 .……15 分 ma6m2 1m111由于 a3m2 ， 0 ，a9m2  0 ， mmm111故数列 a2  ，a3m2 ，a6m2 ，a9m2 不是等比数列. mmmm1111所以，数列a2  ，a3m2 ，a6m2 ，a9m2 成等比数列当且仅当 mmmmd  3m .……18 分 |x1|1 1.不等式的解集是　　　　　　　　　　. 第 15 页共 19 页第 16 页共 19 页【答案】 (0,2) 【解析】由 1 x 11 0  x  2 .2.若集合 A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足 A∩B＝{2}，则实数 a＝【答案】　　　　　　　 .2【解析】由 A  B {2} A,B 只有一个公共元素 2  a  2 .3.若复数 z 满足 z＝i(2-z)（i 是虚数单位），则 z＝　　　　　　　 .【答案】1 i 2i 【解析】由 z  i(2  z)  z  1 i .1 i 4.若函数 f(x)的反函数为 f 1(x)＝x2（x＞0），则 f(4)＝－　　　　　　 .【答案】 2【解析】令 f (4)  t  f 1(t)  4  t2  4(t  0)  t  2 .3a b   +5.若向量、满足| |＝1，| |＝2，且与的夹角为，则| |＝.a b 【答案】【解析】 aba b 7             3| ab|2(ab)(ab)  aabb2ab | a|2 |b|2 2| a||b|cos 7| ab|7 .236.函数 f(x)＝ sin x +sin( +x)的最大值是.【答案】 26【解析】由 f (x)  3sin x  cos x  2sin(x  )  f (x)max  2 .7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是　　　（结果用分数表示）. 3【答案】 4【解析】已知 A、C、E、F 共线；B、C、D 共线；六个无共线的点生成三角形总数为： C63 C43 C33 34C63 ；可构成三角形的个数为：C63 C43 C33 15，所以所求概率为： ；C63 8.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若当 x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则满足 f(x)＞0 的 x 的取值范围是.第 16 页共 19 页第 17 页共 19 页【答案】 (1,0)  (1,) 【解析】当 x  0 时，f (x)  0  x 1 ；f (x)  0  0  x 1 ；由 f(x)为奇函数得：　　　　当 x  0 时，f (x)  0  1 x  0 ；f (x)  0  x  1  结论； 9.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为 10.5，若要使该总体的方差最小，则 a、b 的取值分别是【答案】 a 10.5,b 10.5 .【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须 a 10.5,b 10.5时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为 2a，短轴长为 2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是　　　　　　　 .【答案】 h cot1  h2 cot2  2a 1【解析】依题意， | MF |  | MF2 | 2a 1 h cot1  h2 cot2  2a ；1111.方程 x2+ x－1＝0 的解可视为函数 y＝x+ 的图像与函数 y＝的图像交点的横坐标，若 22x4x4+ax－4＝0 的各个实根 x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi , )（i＝1,2,…,k）均在直线 y＝ xi x 的同侧，则实数 a 的取值范围是【答案】 (,6)  (6,) 　　　　　　　　　　　　　 .4【解析】方程的根显然 x  0，原方程等价于 x3 a ，原方程的实根是曲线 y x3 a x4与曲线 y 的交点的横坐标；而曲线 y x3 a 是由曲线 y x3 向上或向下平移|a|个单 x44x位而得到的。若交点(xi , )（i＝1,2,…,k）均在直线 y＝x 的同侧，因直线 y＝x 与 y 交xi 点为： (2,2),(2,2) ；所以结合图象可得：第 17 页共 19 页第 18 页共 19 页 a0 a0 　　 x3 a2 或 x3 a2  a(,6)(6,) ；x2 x2 rn12.组合数 C （n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）r + 1 　　　 A． n + 1 nD． Crn r1111111Crn 　 B．(n+1)(r+1)Crn -C．nr Crn ——-1【答案】 Dn! n(n 1)! nr1 【解析】由Cnr     C .n1 r!(n  r)! r (r 1)![(n 1)  (r 1)]! r13. 给定空间中的直线 l 及平面，条件“直线 l 与平面内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面垂直”的（ A．充要）条件 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要【答案】 C【解析】直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直，即充分性不成立； 314. 若数列{an}是首项为 1，公比为 a－的无穷等比数列，且{an}各项的和为 a，则 a 的值 21254是（）　　　A．1 B．2 C． D．【答案】 B11 a  3a  a1 32S  【解析】由 1 q  | q |1  a  2. | a  |1 215.如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C、 D 的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D 是该圆的四等分点，若点 P(x,y)、P’(x’,y’) 满足 x≤x’ 且 y≥y，’ 则称 P 优于 P，’ 如果 中的点 Q 满足：不存在 中的其它点优于 Q，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧（）︵　　 A． AB ︵B． BC ︵C． CD ︵D． DA 【答案】 DyA·【解析】依题意，在点 Q 组成的集合中任取一点，过 D · · B 第 18 页共 19 页 ·COx第 19 页共 19 页该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域（权且称为“第二象限”）与点 Q 组成的集合无公共元素，这样点 Q 组成的︵集合才为所求. 检验得：D． DA　第 19 页共 19 页