第 1 页 共 14 页 绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码 贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷 上作答一律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分 48 分） 1．已知集合 A＝ {－1，3，2 m－1 }，集合 B＝ {3， m2 }．若 B A，则实数 m ＝．2．已知圆 x2 －4 x－4＋ y2 ＝0 的圆心是点 P，则点 P 到直线 x－y －1＝0 的距离 是．3．若函数 f (x) ＝ax （＝a＞0，且 a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则 a＝．Cn3 4．计算： lim ．n n3 1 5 ． 若 复 数 z同 时 满 足 z－z＝ 2 i，z＝iz （i为 虚 数 单 位 ）， 则 z＝．126 ． 如 果cos ＝， 且 是 第 四 象 限 的 角 ， 那 么cos( ) 5．＝7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 3，0），且长轴长是短轴长的 2 倍， 则该椭圆的标准方程是 ．35 68．在极坐标系中，O 是极点，设点 A（4， ），B（5，－ ），则△OAB 的面 积是 ．9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1 本，共 8 本．将它 们任意地排成一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 （结 果用分数表示）． 第 1 页 共 14 页 第 2 页 共 14 页 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面 对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正 交线面对”的个数是 11．若曲线 y2 ＝| 件是 ．x|＋1 与直线 y＝kx ＋b没有公共点，则 k、b分别应满足的条 ．12．三个同学对问题“关于 立，求实数 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 x的不等式 x2 ＋25＋| x3 －5 x2 |≥ ax 在[1，12]上恒成 axxa的取值范围 是．二．选择题（本大题满分 16 分） 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A） AB （C） AB AB AC CB DC＝DC ；（B） AD AD ＋＝； AB－＝BD ；（D） AD ＋＝0．14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同 一平面上”的 [答] （）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要 条件． 15．若关于 [答]（ （A）2∈M，0∈M； （B）2 0∈M． x的不等式 (1 k 2 )x ）≤k 4 ＋4 的解集是 M，则对任意实常数 M，0 M； （C）2∈M，0 M； （D）2 2 相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 k，总有 M， 16．如图，平面中两条直线 分别是 M 到直线 1 和 2 的距离，则称有序非负实数对（ 离坐标”．已知常数 ≥0， ≥0，给出下列命题： ①若 ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有 1 个； ②若 pq ＝0，且 ）的点有且仅有 2 个； l1 和 lp、qllp，q）是点 M 的“距 l1 pqp＝qM（ p ， q ） l2 p＋q ≠0，则“距离坐标”为 O（p，q③若 pq ≠0，则“距离坐标”为（ 上述命题中，正确命题的个数是 p，q）的点有且仅有 4 个． [答]（ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 三．解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的 步骤． 17．（本题满分 12 分） 第 2 页 共 14 页 第 3 页 共 14 页 44求函数 [解] y＝2 cos(x )cos(x ) ＋3sin 2x 的值域和最小正周期． 18．（本题满分 12 分） 如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔 船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相 距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援 （角度精确到 1 ）？ [解] 北B•A20 10 •C 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ． P（1）求四棱锥 P－ABCD 的体积； （2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）． DEB[解]（1） ACO第 3 页 共 14 页 第 4 页 共 14 页 （2） 20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在平面直角坐标系 xOy中，直线 l与抛物线 y2 ＝2 x 相交于 A、B 两点． （1）求证：“如果直线 （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． l过点 T（3，0），那么OA OB ＝3”是真命题； [解]（1） （2） 21．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 6 分） 已知有穷数列 {an }共有 2 k项（整数 k≥2），首项 a1 ＝2．设该数列的前 n项和为 Sn ，且 an1 ＝(a 1)Sn ＋2（ n＝1，2，┅，2 k－1），其中常数 a＞1． （1）求证：数列 {an }是等比数列； 21（2）若 ），求数列 （3）若（2）中的数列 a＝2 2k1 ，数列 的通项公式； 满足不等式|b1 {bn }满足bn ＝log2 (a1a2 an ) （n＝1，2，┅，2 nk{ bn } 32323{bn }－|＋|b2 －|＋┅＋|b2k1 －|＋| 2第 4 页 共 14 页 第 5 页 共 14 页 32b2k －|≤4，求 k的值． [解]（1） （2） （3） 22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 9 分） a已知函数 y＝x＋有如下性质：如果常数 a ＞0，那么该函数在 ( 0， a ] x上是减函数，在 [a，＋∞ )上是增函数． ＞0）的值域为 （常数 ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； 2b （1）如果函数 （2）研究函数 yy＝＝x＋（x[6，＋∞ )，求 b的值； xcx2 x2 ＋c第 5 页 共 14 页 第 6 页 共 14 页 axa（3）对函数 y＝x＋和y＝x2 ＋（常数 a ＞0）作出推广，使它们都是你 x2 所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）， 111并求函数 F(x) ＝(x2 )n ＋( x)n （n是正整数）在区间[ ，2]上的最 x2 大值和最小值（可利用你的研究结论）． x2[解]（1） （2） （3） 第 6 页 共 14 页 第 7 页 共 14 页 上海数学(理工农医类)参考答案 2006 年 高 考 上海 数学试卷（理） 一．填空题 1． 解：由 m2 2m1m 1，经检验， m 1为所求； 2 ． 解： 由 已 知 得 圆 心 为 ：P(2,0)， 由 点 到 直 线 距 离 公 式 得 ： |201| 11 22d ；123． 解：由互为反函数关系知， f (x) 过点 (1,2)，代入得： a1 2a ；4．解：321 Cn3 n3 3n2 2n (n3 1)3! 16n2 n(n1)(n2) (n3 1)3! nlim n n3 1 lim lim lim ；n (1 )3! n n 1n3 2i 5． 解：已知 Z iZ 2i Z 6． 解：已知cos( )sin ( 1cos2 ) i 1 ；1i 22 6 5；7． b2 4 y2 4a 2b,c 2 3 x2 16 解：已知 a2 16 1为所求； a2 b2 c2 F(2 3,0) 8． 解：如图△OAB 中， 35 5 6OA 4,OB 5,AOB 2 ( ( )) 6125 SAOB 45sin 5 (平方单位)； 69． 解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有 C21P4 种方法； 2) 剩下的一套全排列，有 P4 种方法； C21P4P 1所以，所求概率为： 4 ；P35 810．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成 24 个“正交线面 对”；而正方 体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成 12 个“正交线 面对”，所以共有 36 个“正交线面对”； 11．解：作出函数 y2 | x|1的图象， 如右图所示： 所以， k 0,b(1,1) ；第 7 页 共 14 页 第 8 页 共 14 页 12．解：由 x2 ＋25＋| x3 －5 x2 |≥ ax,1 x 12a x | x2 5x| ，25 x25 25 而x 2 x 10 ，等号当且仅当 x 5[1,12]时成立； | x2 5x|0 ，等号当且仅当 x 5[1,12]时成立； x x 且25 所以，a[x |x2 5x|]min 10，等号当且仅当 x 5[1,12]时成立；故 xa(,10] ；二．选择题（本大题满分 16 分） 13． 解：由向量定义易得， （C）选项错误； AB AD DB 14．解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况： DC；AB1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一 上”； 个平面内”； 必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或 平行直线上”； 故选（A） 15．解：选（A） 方法 1：代入判断法，将 x 2, x 0 分别代入不等式中，判断关于 k的不等式 解集是否为 R；方法 2：求出不等式的解集； 16．解：选（D） ① 正确，此点为点 一个非零，从而可知有且仅有 2 个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的 距离为 （或）； ③正确，四个交点为与直线l1相距为 的两条平行线和与直 l2 相距为 的两条平行线的交点； O ② 正确，注意到 p,q 为常数，由 p,q 中必有一个为零，另 qpp线q三．解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的 步骤． 17．（本题满分 12 分） 44求函数 y 2cos(x )cos(x ) 3sin2x 的值域和最小正周期． 44[解] y 2cos(x )cos(x ) 3sin2x 第 8 页 共 14 页 第 9 页 共 14 页 12122( cos2 x sin2 x) 3sin2x cos2x 3sin2x 2sin(2x ) 644∴ 函数 y 2cos(x )cos(x ) 3sin2x 的值域是[2,2],最小正周期 是；18．（本题满分 12 分） 如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔 船遇险等待 营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海 里 C 处的乙 船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1）？ [解] 连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10 7.sin ACB sin120 37∵,∴sin∠ACB= ,20 10 7 ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角线 AC 与 BD 相交 于点 O，PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ． P（1）求四棱锥 P－ABCD 的体积； （2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小（结果用 DEB反三角函数值表示）． AC[解]（1）在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得 ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 PO⊥BO, O于是,PO=BOtg60°= 3,而底面菱形的面积为 2 3 . 第 9 页 共 14 页 第 10 页 共 14 页 1∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V= ×2 3 × 3 =2. 3（2）解法一：以 O 为坐标原点,射线 OB、OC、 OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系. 在 Rt△AOB 中 OA= D、P 的坐标分别是 A(0,－ B (1,0,0),D (－1,0,0), P(0,0, 3 ,于是,点 A、B、 3,0), 3). 1333E 是 PB 的中点,则 E( ,0, )于是 DE =( ,0, ), AP =(0, 3 , 22223). 3222设DE与 AP 的夹角为 θ,有 cosθ= ,θ=arccos ,449434 3 3 2∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos ；4解法二：取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA， ∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 角(或它的补角)， 在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= 3 =OP， 于是, 在等腰 Rt△POA 中， 6PA= 6，则 EF= .2在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF= 3，12DE 6EF 243cos∠FED= =42∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos .420．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 第 10 页 共 14 页 第 11 页 共 14 页 在平面直角坐标系 xOy中，直线 过点 T（3，0），那么OA OB ＝3”是真命题； l x 相交于 A、B 两点． 与抛物线 y2 ＝2 （1）求证：“如果直线 l（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理 由． [解]（1）设过点 T(3,0)的直线 当直线 的钭率不存在时,直线 l交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 的方程为 x=3,此时,直线 与抛物线相交 lll于点 A(3, 6)、B(3,－ 6). ∴OAOB =3； 当直线 的钭率存在时,设直线 ll的方程为 y k(x3) ，其中 k 0 ，y2 2x 由得ky2 2y6k 0 y1 y2 6 y k(x3) 121222又 ∵ x1 y1 , x2 y2 ， 14∴OAOB x1x2 y1 y2 ( y1 y2 )2 y1 y2 3 ，综上所述，命题“如果直线 l 过点 T(3,0)，那么OAOB =3”是真命题； (2)逆命题是：设直线 l交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OAOB =3,那么该 直线过点 T(3,0).该命题是假命题. 1例如：取抛物线上的点 A(2,2)，B( ,1)，此时OAOB =3, 223直线 AB 的方程为： y (x1) ，而 T(3,0)不在直线 AB 上； 说明：由抛物线 y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 OAOB =3，可得 y1y2=－6， 或 y1y2=2，如果 y1y2=－6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果 y1y2=2， AB 过点(－1,0),而不过点(3,0). 可证得直线 21．（本题满分 16 分，本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题 满分 6 分） 已知有穷数列 {an }共有 2 k项（整数 k≥2），首项 a1 ＝2．设该数列的前 n项和为 n ，且 an1 S＝(a 1)Sn ＋2（ n＝1，2，┅，2 k－1），其中常数 a＞第 11 页 共 14 页 第 12 页 共 14 页 1． （1）求证：数列 {an }是等比数列； 21（2）若 a＝2 2k1 ，数列 {bn }满足bn ＝log2 (a1a2 an ) （n ＝1，2， n┅，2 k）， 求数列 {bn }的通项公式； 3232（3）若（2）中的数列 {bn }满足不等式|b1 －|＋|b2 －|＋┅＋|b2k1 －323|＋|b2k －|2≤4，求 k的值． a2 (1) [证明] 当 n=1 时,a2=2a,则 =a； a1 2≤n≤2k－1 时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2, an1 an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列. an n(n1) 2n(n1) 2k1 n (2) 解：由(1) 得 an=2a n1 , ∴a1a2…an=2 a=2 a=2 ,12(n1) nn1n(n 1) 2k 1 n 1 2k 1 bn= [n ] 1(n=1,2,…,2k). n313（3）设 bn≤ ,解得 n≤k+ ,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn< ；222)+…+(b2k－ k 2 32当 n≥k+1 时, bn> .3333232原式=( －b1)+( －b2)+…+( －bk)+(bk+1 －)222=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk) 112(k 2k 1)k (0 k 1)k 2k 1 2=[ k] [ k] =.2k 1 2k 1 k 2 当≤4,得 k2－8k+4≤0, 4－2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2, 2k 1 ∴当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立. 22．（本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题 第 12 页 共 14 页 第 13 页 共 14 页 满分 9 分） 已知函数 上是减函数，在 axy＝x＋有如下性质：如果常数 上是增函数． a ＞0，那么该函数在 ( 0， a ] [a，＋∞ )2b （1）如果函数 （2）研究函数 y＝x＋＋（x＞0）的值域为 [6，＋∞ )，求 b的值； xcx2 y＝x2 （常数 c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； aax2 （3）对函数 y＝x＋和y＝x2 ＋（常数 a ＞0）作出推广，使它们都是 x你所推广的 函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）， 并求函数 F(x) 11×2 1＝(x2 )n ＋( x)n （n是正整数）在区间[ ，2]上的最大值和 x2最小值（可利 用你的研究结论）． 2b [解]（1）函数 y=x+ (x>0)的最小值是 2 2b ，则 2 2b =6, ∴b=log29. xcx22 cx12 c(2) 设 0<x1<x2,y2－y1= x22 x12 (x22 x12 )(1 ) . x12 x22 cx2 当 4 c<x1<x2 时, y2>y1, 函数 y= x2 在[ 4 c,+∞)上是增函数； cx2 当 0<x1<x2< 4 c时 y2<y1, 函数 y= x2 在(0, 4 c ]上是减函数. cx2 又 y= x2 是偶函数，于是， 该函数在(－∞,－ 4 c]上是减函数, 在[－ 4 c ,0)上是增函数； a(3) 可以把函数推广为 y= xn 当 n 是奇数时,函数 y= xn (常数 a>0),其中 n 是正整数. xn a在(0, 2n a ]上是减函数,在[ 2n a ,+∞) 上是增 xn 函数, 在(－∞,－ 2n a ]上是增函数, 在[－ 2n a ,0) 上是减函数； 第 13 页 共 14 页 第 14 页 共 14 页 axn 当 n 是偶数时,函数 y= xn 在(0, 2n a ]上是减函数,在[ 2n a ,+∞) 上是增 函数, 在(－∞,－ 2n a ]上是减函数, 在[－ 2n a ,0) 上是增函数； 11×2 F(x)= (x2 )n +( x)n x=11x2n3 11xn Cn0 (x2n ) Cn1 (x2n3 ) Cnr (x2n3r ) Cnn (xn )x2n x2n3r 1因此 F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 2199所以，当 x= 或 x=2 时，F(x)取得最大值( )n+( )n； 224当 x=1 时 F(x)取得最小值 2n+1 ；第 14 页 共 14 页
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