2006年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）下载

第 1 页 共 10 页 绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题满分 48分）本大题共有 12题，只要求直接填写结果，每个 空填对得 4分，否则一律得零分。 1、已知 A {1,3,m}，集合 B {3,4}，若 B  A ,则实数 m  ___ 。2、已知两条直线l1 : ax  3y 3  0,l2 : 4x  6y 1 0.若l1 //l2 ，则 a ____. 3、若函数 f (x)  ax (a  0,且a 1) 的反函数的图像过点(2,1) ，则 a  ___ n(n2 1) 。4、计算：  ______ 。 lim 6n3 1 n 5、若复数 z满足 z  (m  2)  (m 1)i （i为虚数单位），其中 m R 则z  ____ 。 6、函数 y  sin xcos x 的最小正周期是_________。 7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 (3,0),且焦距与虚轴长之比为 5: 4 ，则双曲线的标准方程是____________________. 8、方程log3 (x2 10) 1 log3 x 的解是_______. x  y 3  0 x  2y 5  0 x  0 9、已知实数 x, y 满足 ，则 y  2x 的最大值是_________. y  0 10、在一个小组中有 8名女同学和 4名男同学，从中任意地挑选 2名同学担任交 第 1 页 共 10 页 第 2 页 共 10 页 通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表 示）。 11、若曲线 y  2x 1与直线 y  b没有公共点，则 12、如图，平面中两条直线 1 和 2 相交于点 对于平面上任意一点 ,若 p,q 分别是 到直 1 和l2 的距离，则称有序非负实数对 p,q 是点 b 的取值范围是_________. llO ， MM线lM的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标” 是（1，2）的点的个数是____________. 二、选择题（本大题满分 16分）本大题共有 4题，每题都给出代号为 A、B、C、 D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题 后的圆括号内，选对得 4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分。 13、如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 （）     （A） AB  DC （B） AD  AB  AC    （C） AB  AD  BD   （D） AD  CB  0 14、如果 a  0,b  0 ，那么，下列不等式中正确的是（ ） 11（A） （B） a  b （D）| a || b | ab（C） a2  b2 15、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公 共点”的 （ ） （A）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件 16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面 对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正 交线面对”的个数是 （A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36 第 2 页 共 10 页 第 3 页 共 10 页 三、解答题（本大题满分 86分）本大题共有 6题，解答下列各题必须写出必要 的步骤。 17、（本题满分 12分） 4sin   5已知 是第一象限的角，且cos  ，求 的值。 13 cos 2  4 18、（本题满分 12分）如图，当甲船位于 A处时获悉，在其正东方方向相距 20 海里的 处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲 船的南偏西30 ，相距 10海里 BC处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿 直线前往 B 处救援（角度精确到1  ）？ 19、（本题满分 14）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分。 在直三棱柱 ABC  ABC 中，ABC  90 , AB  BC 1 .（1）求异面直线 B C1 与 AC 所成的角的大小； 1（2）若 AC 与平面 ABC S所成角为 45 ，求三棱锥 A  ABC 的体积。 11第 3 页 共 10 页 第 4 页 共 10 页 20、（本题满分 14）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分。 设数列{an}的前 （1）求数列{an}的通项公式 （2）设数列{log2 an}的前 项和为Tn ,对数列 n 项和为 Sn ，且对任意正整数 n ， an  Sn  4096 。 nT，从第几项起Tn  509 ？  n21、本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分。 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 12F( 3,0) ,右顶点为 D(2,0) ,设点 A 1, .（1）求该椭圆的标准方程； （2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的 第 4 页 共 10 页 第 5 页 共 10 页 轨迹方程； （3）过原点 O的直线交椭圆于点 B,C ，求 ABC 面积的最大值。 22（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 8 分，第 3小题满分 6分。 a已知函数 y  x  有如下性质：如果常数 a  0 ，那么该函数在 0, a 上是 x减函数，在 a, 上是增函数。 2b （1）如果函数 y  x  (x  0) 在0,4 上是减函数，在 4, 上是增函数，求b x的值。 c（2）设常数c 1,4 ，求函数 f (x)  x  (1 x  2) 的最大值和最小值； xc（3）当 n是正整数时，研究函数 g(x)  xn  (c  0) 的单调性，并说明理由。 xn 第 5 页 共 10 页 第 6 页 共 10 页 上海数学(文史类)参考答案 一、(第 1 题至笫 12 题) 116×2 y2 1. 4 2. 2 3. 4. 5. 3 6.π 7.  1 2916 14 33 8. 5 9. 0 10. 11.－1<b<1 12.4 二、(第 13 题至笫 16 题) 13. C14. A15. A 16. D 1、已知 A {1,3,m}，集合 B {3,4}，若 B  A , 则实数 m  4 。a22、已知两条直线l1 : ax  3y 3  0,l2 : 4x  6y 1 0. 若l1 //l2 ，  ，则 a 2. 333、若函数 f (x) ＝ax （a＞0，且 a≠1）的反函数的图象过点（2，－1），则原函数的图象 1过点(－1，2)，∴ 2  a1 ，a＝．211 n(n2 1) 16n2 4、计算： 5、若复数 lim 。lim 6n3 1 n 6  1n3 n z满足 z  (m  2)  (m 1)i （i为虚数单位）为纯虚数，其中 m R ，则 m=2， z=3i， z  3 。16、函数 y  sin xcos x =sin2x，它的最小正周期是 π。 27、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 (3,0),则焦点在 x 轴上，且 a=3，焦距与虚 x2 y2 轴长之比为5: 4 ，即 c :b  5: 4，解得 c  5,b  4 ，则双曲线的标准方程是 1 .916 2x 10  0 8、方程 log3 (x2 10) 1 log3 x 的解满足 ，解得 x=5. x2 10  3x x  y 3  0 x  2y 5  0 x  0 9、已知实数 x, y 满足 ，在坐标系中画出可行域，得 y  0 三个交点为 A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则 y  2x 的最大值是 0. 第 6 页 共 10 页 第 7 页 共 10 页 10、在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学，从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传 C82 14 志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是 P  .C122 33 11、曲线 y  2x 1得|y|>1，∴ y>1 或 y<－1，曲线与直线 y  b没有公共点，则 范围是[－1，1]. b 的取值 12、如图，平面中两条直线 上任意一点 ,若 p,q 分别是 称有序非负实数对 p,q 是点 l1 和 l2 相交于点 到直线 1 和 的“距离坐标”，根据上述 O，对于平面 MMMll2 的距离，则 定义，“距离坐标”是（1，2）的点可以在两条直线相交所成的 四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是 4 个. 二、选择题： 13. C 14. A 15. A 16. D 13 ． 如 图 ， 在 平 行 四 边 形ABCD 中 ， 根 据 向 量 的 减 法 法 则 知 DC   AB  AD  DB ，所以下列结论中错误的是 C． AB111114、如果 a  0,b  0 ，那么  0,  0，∴ ，选 A. abab15、若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这 两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异 面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选 A. 16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一 个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况 讨论：① 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对” 有 2×12=24 个；② 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样 的“正交线面对”有 12 个；所以正方体中“正交线面对”共有 36 个．选 D. 三、(第 17 题至笫 22 题) 422sin(  ) (cos  sin) cos2 (cos  sin) 212=217.解： cos2   sin2  cos(2  4 ) 2cos  sin 12 由已知可得 sin  ,13 2113 2 ∴原式=   .512 214 13 13 18.解：连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102－2×20×10COS120°=700. 第 7 页 共 10 页 第 8 页 共 10 页 于是,BC=10 7 . sin ACB sin120 3∵,∴sin∠ACB= ,20 710 7 ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 19.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角) ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45°. (2) ∵AA1⊥平面 ABC, ∠ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角, ∠ACA =45°. ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC= ∴AA1= 2 , 2.136∴三棱锥 A1-ABC 的体积 V= S△ABC×AA1= .220.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048. 当 n≥2 时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an an 121∴=an=2048( )n－1. an1 21(2)∵log2an=log2[2048( )n－1]=12－n, 21∴Tn= (－n2+23n). 223  4601 由 Tn<－509,解待 n> ,而 n是正整数,于是,n≥46. 2∴从第 46 项起 Tn<－509. 21.解(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3,则半短轴 b=1. x2 又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为  y2  1 4(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), x0 1 2x= y= x0=2x－1 由得y0=2y －12y0  122第 8 页 共 10 页 第 9 页 共 10 页 (2x 1)2 1由,点 P 在椭圆上,得  (2y  )2  1 ,4211∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 (x  )2  4(y  )2  1 .24(3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. x2 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入  y2  1 ,422k 22k 4k 2 1 解得 B( ,),C(－ ,－ ), 4k 2 1 4k 2 1 4k 2 1 1k  1 k 2 1 4k 2 2则BC  4 ,又点 A 到直线 BC 的距离 d= ,1 k 2 2k 1 1 4k 2 12∴△ABC 的面积 S△ABC =AB  d  4k 2  4k 1 4k 2 1 4k 4k 2 1 于是 S△ABC = 1 4k 4k 2 1 1由≥－1,得 S△ABC ≤2,其中,当 k=－ 时,等号成立. 2∴S△ABC 的最大值是 2 . 22.解(1) 由已知得 2b =4, ∴b=4. (2) ∵c∈[1,4], ∴ 于是,当 x= c ∈[1,2], cc时, 函数 f(x)=x+ 取得最小值 2 c.xc  2 2f(1)－f(2)= ,c当 1≤c≤2时, 函数 f(x)的最大值是 f(2)=2+ ；2当 2≤c≤4时, 函数 f(x)的最大值是 f(1)=1+c. cx2n cx1n c(3)设 0<x1<x2,g(x2)－g(x1)= x2n   x1n   (x2n  x1n )(1 ). x1n x2n 当2n c <x1<x2 时, g(x2)>g(x1), 函数 g(x)在[ 2n c ,+∞)上是增函数； 当 0<x1<x2< 2n c时, g(x2)>g(x1), 函数 g(x)在(0, 2n c ]上是减函数. 第 9 页 共 10 页 第 10 页 共 10 页 当 n 是奇数时,g(x)是奇函数, 函数 g(x) 在(－∞,－ 2n a ]上是增函数, 在[－ 2n a ,0)上是减函数. 当 n 是偶数时, g(x)是偶函数, 函数 g(x)在(－∞,－ 2n a )上是减函数, 在[－ 2n a ,0]上是增函数. 第 10 页 共 10 页