2002年上海高考数学真题（理科）试卷（word版）下载

第 1 页 共 7 页 绝密★启用前 2002年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题满分为 48 分）本大题共有 12 题，每个空格填对得 4 分，否则一律得零 分。 1．若 z∈C，且 (3+z)i=1 (i 是虚数单位)，则 z = .—b ）· a = 2．已知向量 3．方程 log3(1—2·3x)=2x+1 的解 x= 4．若正四棱锥的底面边长为 2 小是 a和b的夹角为 120°，且| a|=2，| b|=5，则（2 a..3cm，体积为 4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大 .5．在二项式(1+3x)n 和(2x+5)n 的展开式中，各项系数之和分别记为 an、bn，n 是正整数，则 an  2bn n 3an  4bn lim =.6．已知圆 (x+1)2+y2=1 和圆外一点 P (0，2)，过点 P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切 是.7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的 9 名增至 14 名，但只任取其中 7 名裁判的评分作为有效分.若 14 名裁判中有 2 个受贿，则有效分中没有 受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示） 2x  t 1 y  2t 1 8．曲线 （t 为参数）的焦点坐标是 .39．若 A、B 两点的极坐标为 A（4， ）、B（6，0），则 AB 中点的极坐标是 .（极角 用反三角函数表示） 10．设函数 f (x)=sin2x.若 f (x+t)是偶函数，则 t 的一个可能值是 .211．若数列{an }中，a1=3，且 an+1=an （n 是正整数），则数列的通项公式 an= .12．已知函数 y=f (x)（定义域为 D，值域为 A）有反函数 y=f -1(x)，则方程 f (x)=0 有解 x=a，且 f (x)＞x（x∈D）的充要条件是 y=f -1(x)满足 .二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对 得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。 13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）65 665 6（A）{z||z|=1, ≤argz≤ ,z∈C} ； （B）{z||z|≤1, ≤argz≤ ,z∈C} 第 1 页 共 7 页 第 2 页 共 7 页 11（C）{z||z|=1, Imz≥ ,z∈C} ；（D）{z||z|≤1, Imz≥ ,z∈C} 2214．已知直线 ⊥m ；（2）若 β，其中正确命题的个数是（ （A）1 个 （B）2 个 15．函数 y=x+sin|x|，x∈[—π，π]的大致图象是（ l、m，平面α、β，且 l⊥α，m β.给出下列四个命题：（1）若α∥β， 则ll⊥m，则α∥β；（3）若α⊥β，则 l⊥m；（4）若 l∥α，则α⊥ ）（C）3 个 （D）4 个 ）yyyyππππ-π -π -π xxxxππππOOOO-π -π -π -π -π ABCD16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年 12 个 月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在 12 个月中每月的用电量.根据这些信息，以下 关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）（A）气温最高时，用电量最多 （B）气温最低时，用电量最少 （C）当气 温大于某一值时，用电量随气温增高而增加； 随气温降低而增加 （D）当气温小于某一值时，用电量 O’ ‘AD’BPOA三、解答题（本大题满分 86 分）解答下列各题必须写出必要的步骤。 B17．（本题满分 12 分）如右上图，在直三棱柱 ABO—A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，∠ AOB=90°，D 是线段 A/B/的中点，P 是侧棱 BB/上的一点.若 OP⊥BD，求 OP 与底面 AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 18．（本题满分 12 分）已知点 A（— 3 ，0）和 B（ 3 ，0），动点 C 到 A、B 两点的距离 之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y=x—2 交于 D、E 两点.求线段 DE 的长. 第 2 页 共 7 页 第 3 页 共 7 页 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分。 22已知函数 f (x)=x2+2x·tanθ—1，x∈[—1， 3]，其中θ∈（— ，）. 6（1）当θ= — 时，求函数 y=f (x)的最大值与最小值； （2）求θ的取值范围，使 y=f (x)在区间[—1， 3 ]上是单调函数. 20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分。 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%出售；同时，当顾客在该商场 内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围 [200，400） [400，500） [500，700） [700，900） … 30 60 100 130 获得奖券的金额（元） …根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为 400 元的 商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的 购买商品获得的优惠额 优惠率= ，试问： 商品的标价 （1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小 1于的优惠率？ 321．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分。 1已知函数 f (x)=a·bx 的图象过点 A（4， ）和B（5，1）. 4（1）求函数 f (x)的解析式； 第 3 页 共 7 页 第 4 页 共 7 页 （2）记 an =log2f (n)，n 是正整数，Sn 是数列{an }的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn≤0； （3）对于（2）中的 an 与 Sn，整数 104 是否为数列{ anSn }中的项？若是，则求出相应的项 数；若不是，则说明理由. 22．（本小题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分。 x(x 1)(x  m 1) 规定Cxm =，其中 x∈R，m 是正整数，且Cx0 =1，这是组合数 Cnm m! （n、m 是正整数，且 m≤n）的一种推广. （1）求C515 的值； = += . （2）组合数的两个性质：①Cnm Cnnm ；②Cnm Cnm1 Cnm1 是否都能推广到Cxm （x∈R，m 是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给 出证明；若不能，则说明理由； （3）已知组合数Cnm 是正整数，证明：当 x∈Z，m 是正整数时，Cxm ∈Z. 第 4 页 共 7 页 第 5 页 共 7 页 2002 年全国普通高等学校招生统一考试 理科数学参考答案（上海卷） 1243一、1.—3—i; 8.（0，1）； 2.13; 3.—1; 4.30°； 5. ；6. ；7. ；313 n1 343 49.（ 19 ，arctan ）； 10. 或 … 11.32 412.f -1(0)=a,且 f -1 (x)＜x (x∈A)或 y= f -1 (x)的图象在直线 y=x 的下方，且与 y 轴的交点 为(0，a). 二、DBCC 三、17. [解法一] 如图,以 O点为原点建立空间直角坐标系 3由题意，有 B(3,0,0), D( ,2,4) 23设P(3,0, z) ，则 BD { ,2,4},OP {3,0, z} 2998BD OP   4z  0 因为 BD  OP z  2因为 BB’ 平面 AOB 3838 POB 是 OP 与底面 AOB 所成的角 tgPOB  POB  arctg z[解法二]取O’B’ 中点 E，连结 DE、BE，则 DE  平面OBB’O’ O’ A’ D BE 是 BD 在平面OBB’O’内的射影。 又因为OP  BD B’ 由三垂线定理的逆定理，得OP  BE 在矩形OBB’O’中，易得 RtOBP ~ RtBB’E POAyBP OB 9,得B’E BB’ （以下同解法一） BP  B8xO’ A’ 3ED∠POB=arctan .B’ 818. [解] 设点 C（x,y），则| CA |  | CB | 2 根据双曲线的定义，可知点 C 的轨迹是双曲线 x2 y2 POA 1 Ba2 b2 第 5 页 共 7 页 第 6 页 共 7 页 由2a  2,2c | AB | 2 3,得a2  1,b2  2 y2 故点 C 的轨迹方程是 x2   1 2y2 x2   1 由，得 x2  4x  6  0 2y  x  2 因为   0 ，所以直线与双曲线有两个交点。 设D(x1, y1 ) 、E(x2 , y2 ) ，则 x1  x2  4, x1x2  6 故| DE | (x1  x2 )2  (y1  y2 )2  2 (x1  x2 )2  4x1x2  4 5 62 3 33419. [解] （1）当   时f (x)  x2  x 1 (x  )2  , x[1, 3] 3334x  时， f (x) 的值最小为 ；当 x = – 1 时， f (x) 的值最大为 332 3 3（2）函数 f (x)  (x  tan)2 1 tan2  图像的对称轴为 x   tan 。∵∴y  f (x) 在区间[1, 3]上是单调递增函数，  tan  1 或 tan  3 ，即 tan 1   或tan  3 因此，θ的取值范围是 ( , ) [ , ) 234 2 1000 0.2 130 20. [解] （1）  33% 1000 （2）设商品的标价为 x 元 则500  x  800 ，消费额： 400  0.8x  640 0.2x  60 130.2x 100 13由已知得（I） 或（II） xx400  0.8x  500 500  0.8x  640 不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为 625  x  750 1因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于 的优惠率。 311121. [解] （1）由  a b4 ,1  a b5 ，得b  4,a  故f (x)  4x 41024 1024 第 6 页 共 7 页 第 7 页 共 7 页 1（2）由题意 an  log2 (  4n )  2n 10 1024 nSn  (a1  an )  n(n  9) 2an Sn  2n(n  5)(n  9) 由an Sn  0 得(n  5)(n  9)  0 ，即5  n  9 a2 S2  84 a3S3  72 a4 S4  40 5  n  9 时， an Sn  0 n  10时， an Sn  a10 S10  100 故n  5,6,7,8,9 （3） a1S1  64 ，，，当当因此，96 不是数列{an Sn }中的项。 (15)(16)(17) 22. [解] （1）C315  680 3! （2）性质①不能推广。例如取 x= 2；C1 2 有意义，但 C21 无意义；性质②能推 2广，它的推广形式是 Cxm  Cxm1  Cxm1 ，x R ，m 是正整数，事实上，当 m = 1 时，有 Cxm  Cxm1  x 1 C1x1 当m  2 时，x(x 1)(x  2)(x  m 1) x(x 1)(x  2)(x  m  2) Cxm  Cxm1 m! (m 1)! =x(x 1)(x  2)(x  m  2) x  m 1 x(x 1)(x  m  2)(x 1) m! (1)   Cxm1 (m 1)! m（3）当 x  m 时，组合数Cxm ∈Z 。当 0  x  m 时，Cxm = 0∈Z 。 当x  0 时，x  m 1 0, x(x 1)(x  m 1) (x  m 1)(x 1)(x) m! Cxm   (1)m  (1)m Cmxm1 Z m! 第 7 页 共 7 页