2022年高考数学真题（上海自主命题）

2022 年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 2 ― 푦2 = 1 1. 双曲线푥9 的实轴长为． 푓= cos2푥 ― sin2푥 + 1 的周期为． 2. 函数 3. 已知 (푥) 푎12푎401푎 ∈ 푅 푎＝，行列式的值与行列式的值相等，则．||||349휋 4. 已知圆柱的高为，底面积为，则圆柱的侧面积为． 푥﹣푦 ≤ 0 푥 + 푦 1 ≥ 0 푧 ，求＝푥 + 2푦 的最小值． 5. ，﹣(3 + 푥)푛 푥2 5푛的展开式中，项的系数是常数项的倍，则＝6. 二项式 7. 若函数．푎2푥 ― 1 푥 < 0 푥 + 푎 푥> 0 푓=푎，为奇函数，求参数的值为． (푥) 0푥 = 0 134848. 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类项，球类项，田径类项共项项目中随机抽取项进行检测，则每一类都被抽到的概率为． 푆的公差不为零， 푛为其前项和，若 푛푆 = 0 5푆，则 푖(푖 = 0,1,2,…,100) 9. 已知等差数列中不同的数值有个． {푎푛} →→→=== 휆 푎 ⋅ →푏 = 0푎 ⋅ →푐 = 2푏 ⋅ →푐 = 1 휆，则＝→푎→푏→푐10. 若平面向量，且满足，，．| || || | 1푓푓= 푓 (푥) 푥 ∈ [0, + ∞) 对任意都成立，其值域是푓，已知对任何满足上述条件的 퐴푓11. 设函数满足 (푥) 1 + 푥 {푦|푦 = 푓 ,0 ≤ 푥 ≤ 푎} = 퐴 푎푓，则的取值范围为．都有 (푥) (푥) 二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项. 퐴[﹣1,2) 퐵푍퐴 ∩ 퐵 ，则＝1. 若集合，（）＝＝{2, 1,0,1} {1,0,1} {1,0} { 1} D. ﹣ A. ﹣ ﹣ B. ﹣ C. ﹣ 푏 0 ，下列不等式中恒成立的是（）＞＞ 푎푏푎2. 若实数、满足 푎 + 2푏 > 2 C.2 푎 + 2푏 < 2 푎푏 D.2 푎푏 푎푏 푎푏 푎 + 푏 > 2 A. 푎 + 푏 < 2 B. 퐴퐵퐶퐷 ― 퐴퐵 퐶 퐷 푃푄푅푆1中，、、、分别为棱 퐴퐵 퐵퐶퐵퐵 1퐶퐷 、的中点，联结 3. 如图正方体 퐴 푆퐵 퐷 、、111푀．空间任意两点、，若线段 푁푀푁 퐴 푆퐵 퐷푀푁 上，则称两点可视，则下列，上不存在点在线段、1111퐷选项中与点 1可视的为（） 푃퐵푅푄D.点 A.点 B.点 C.点 (푥,푦) (푥 ― 푘)2 + 푦 ― 푘2 2= 4 푘|,푘 ∈ 푍 훺 = 4. 设集合 ||푙훺푙푙①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧； 푙훺푙②存在直线，使得集合中存在无数点在上；（） A.①成立②成立 B.①成立②不成立 C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）. △ 퐴퐵퐶 푂，为边中点，且 퐴퐶 푃푂 ⊥ 퐴퐵퐶 퐴푃 퐴퐶 2．＝1. 如图所示三棱锥，底面为等边底面，＝푉（1）求三棱锥体积；푃―퐴퐵퐶 푀퐵퐶 푃퐴퐶 푃푀 （2）若为中点，求与面所成角大小． 푓= log + log ．3(6 ― 푥) 2. (푥) 3(푎 + 푥) 푓푚푎 푚 ，求实数，的值． (3,0) (5,0) （1）若将函数图像向下移后，图像经过，(푥) (푚 > 0) 푎 > 3푎 ≠ 0 푓≤ 푓 (푥) (6푥) ﹣（2）若 ﹣ 且，求解不等式．퐴퐷 퐵퐶 3. 如图，在同一平面上， 6퐴퐵 20 ∠퐷퐴퐵 ∠ ，为中点，曲线上任一点到距离相等，＝푂퐴퐵 퐶퐷 푂，＝＝＝퐴퐵퐶 120∘ 푂푀 푃푄，，关于 푀푂 ⊥ 퐴퐵 对称，；＝푃퐶∠푃푂퐵 （1）若点与点重合，求的大小； 푃푀푄퐴퐵푃 푆 面积的最大值．（2）在何位置，求五边形 2푦2 푏2 훤:푥 +2= 1 푙:푥 + 푦 ― 4 =0 훤，下端点为，在上，左、右焦点分别 퐴푀 푙 24. 设有椭圆方程，直线 (푎 > 푏 > 0) 푎2 2퐹퐹(2为、．,0) 1( ― ,0) 푎2퐴푀 푥，中点在轴上，求点的坐标； 푀（1）＝3푙푦퐵퐴푀 퐹△ 퐴퐵푀 푏（2）直线与轴交于，直线经过右焦点 2，在中有一内角余弦值为5，求； 훤푃푙푑++ 푑 = 6 푎푑（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值． 푎 = 2푎 ―푎 푎= 1푎 = 3 푛+1 |푃퐹1| |푃퐹2| 푛 ∈ 푁∗ 푛 ≥ 2 푖 ∈ [1,푛 1] ﹣ ，满 5. 数列对任意且，均存在正整数，，2．{푎푛} 푛푖1푎（1）求 4可能值； 푝푎 ,푎 ,⋯,푎 푎 < 30 푝푝，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是 푞푞（2）命题：若假，说明理由； 8成等差数列，则 1292푚 = 3푚 ，∗푎（3）若成立，求数列 (푚 ∈ 푁) 的通项公式． {푎푛} 参考答案与试题解析 2022 年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1. 【答案】 6【考点】双曲线的简单几何性质【解析】 푎32푎 6．＝根据双曲线的性质可得【解答】，实轴长为＝2 ― 푦2 = 1 解：由双曲线푥9 푎3，＝，可知： 2푎 6．所以双曲线的实轴长＝6故答案为：． 2. 【答案】 휋【考点】三角函数的周期性【解析】 푓= cos2푥 + 1 ，从而根据周期公式即可求值．由三角函数的恒等变换化简函数可得【解答】 (푥) 푓= cos2푥 ― sin2푥 + 1 解： (푥) = 2cos2푥 = cos2푥 + 1 = cos2푥 ― sin2푥 + cos2푥 + sin2푥 ,푇 = 2휋 = 휋 .2휋故答案为： . 3. 【答案】 3【考点】二阶行列式的定义【解析】根据行列式所表示的值求解即可．【解答】 푎12푎012푎 3= 푎 ，解：因为 ﹣ ，＝||||342푎 3푎푎3所以 ﹣，解得．＝＝3故答案为：． 4. 【答案】 24휋 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】 9휋 由底面积为解出底面半径 푅3，再代入侧面积公式求解即可．＝【解答】 9휋 解：因为圆柱的底面积为，即 휋푅2 9휋 ，＝푅푆3，所以所以＝2휋푅ℎ 24휋 ．＝＝侧24휋 故答案为： 5. 【答案】．32【考点】简单线性规划【解析】根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可．【解答】解：如图所示： 푥 ― 푦 ≤ 0 푥 + 푦 ― 1 ≥ 0 ，푥푦＝0푥 + 푦 10的右上方的公共部分，＝由,可知可行域为直线 ﹣ 的左上方和 ﹣1푥 = 푥 ― 푦 = 0 푥 + 푦 ― 1 = 0 12122퐴联立，可得 1，即图中点 2，,푦 = →푧푧푥 + 2푦 푎沿着与正方向向量＝(1,2) 当目标函数即目标函数的相反向量平移时，离开区间时取最小值，＝＝31 + 2 × 21 时，取最小值：2 =1212푥 + 2푦 퐴过点．,2故答案为：23． 6. 【答案】 10 【考点】二项式定理及相关概念【解析】 푛由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得的值．【解答】 ∵(3 + 푥)푛 二项式 푥2 的展开式中，项的系数是常数项的倍， 5解： 퐶2 × 3푛―2 = 5퐶0푛 × 3 푛(푛 ― 1) = 5 × 9 即푛，即，푛2∴ 푛 10 ，＝10 故答案为： 7. 【答案】．1【考点】分段函数的应用函数奇偶性的性质【解析】 푓= ― 푓 푓= ― 푓 푎，由此求得的值． (1) （1）由题意，利用奇函数的定义可得【解答】，故有 ( ―푥) (푥) ( ―1) 푎2푥 ― 1 푥 < 0 푥 + 푎 푥> 0 ∵푓=(1) =∴ 푓 푎= ― 푓 解：函数，为奇函数，，(푥) (푥) ( ―푥) 0푥 = 0 ∴ 푓 = ― 푓 ∴― 푎2 ― 1 = ― = 0 푎 = 0푎 = 1 ，求得或．，，即 ( ―1) (푎 + 1) (푎 ― 1) ―1,푥 < 0 0,푥 = 0 푥,푥 > 0 푎 = 0 푓푓푎 ≠ 0 ，不是奇函数，故；当时， (푥) (푥) 푥 ― 1,푥 < 0 0,푥 = 0 푥 + 1,푥 > 0 푎 = 1 =当时， ,是奇函数，故满足条件， 푎 = 1 综上，，1故答案为：． 8. 【答案】 37【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果．【解答】 1348解：从游泳类项，球类项，田径类项共项项目中随机抽取项进行检测，则每一类都被抽到的方法共 4퐶1 ⋅ 퐶1 ⋅ 퐶2 + 퐶1 ⋅ 퐶2 ⋅ 퐶1 有4种， 13413퐶4 而所有的抽取方法共有 8种， 1142 + 퐶11 ⋅ 퐶23 ⋅ 퐶41 퐶48 30 70 37故每一类都被抽到的概率为퐶 ⋅퐶 ⋅퐶 ，13==故答案为：73． 9. 【答案】 98 【考点】等差数列的前 n 项和【解析】 푆 = 푑 ，从而，由此能求出结果． 2(푛 ―5푛) 푛2푛由等差数前项和公式求出 푎2푑 1＝﹣ 【解答】 ∵푆푛的公差不为零， 푛为其前项和， 푆 = 0 5解：等差数列，{푎푛} ∴ 푆5 = 5푎1 + 5 × 4푑 = 0 푎 = ― 2푑 ，1，解得 2∴ 푆푛 = 푛푎1 + 푛(푛 ― 1)푑 = ― 2푛푑 + 푛(푛 ― 1)푑 = 푑 2，2(푛 ―5푛) 22∵ 푑≠ 0 ∴ 푆 ，푆 = 푆 = 0 中,푖(푖 = 0,1,2,…,100) 05푆 = 푆 = ― 3푑 푆= 푆 = ― 2푑 ，，2314其余各项均不相等， ∴ 푆 101 398 ．＝中不同的数值有： ﹣푖(푖 = 0,1,2,…,100) 98 故答案为： 10. 【答案】．45【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．【解答】 →→푎 ⋅ →푏 = 0 푎 ⊥ →푏 ⟨→푎,→푐⟩ = 휃 ，解：由题意，有，则，设 →→→푎 ⋅ →푐 = 2 푎 푐cos휃 = 2,① | || | ②→→→tan휃 = 1 ⇒푏 ⋅ →푐 = 1 푏 푐cos ― 휃= 1,② 则得，，휋2①2| || | 5cos휃 = 2 由同角三角函数的基本关系得：，5→푎 ⋅ →푐 = cos휃 = 휆 ⋅ 휆 ⋅ 2 5= 2 →→则，푎 푐 | || | 5휆2 = 故答案为:4 휆 = 4 55．，则 5.11. 【答案】 5― 1 , + ∞ 2【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】 155― 1时不合题意，进而即得；或等价于1 + 푥 + 푎 ― 1 = 퐴 푎 < ≤ 푎 恒由题可得 푓，再根据 푦∣푦 = 푓(푥),0 ≤ 푥 ≤ 22成立，即1푎 【解答】 ―≤ 푥 恒成立，进而即得． (1 + 푎) 15― 1（负值舍去）， 푥 = 푥 = 解：法一：令 푥 + 1，解得 2155― 1 2― 1 푥 ∈ 푥 = ∈当当时，，,1 0, 12푥1 + 1 2155― 1 2― 1 , + ∞ 0, 푥 ∈ 1푥 = ∈时，，2푥1 + 1 2155― 1 2― 1 , + ∞ 0, 푥 ∈ 1푥 = 2∈푓= 푓 (푥1) (푥2) 且当时，总存在，使得，푥1 + 1 25― 1 = 퐴푓 故若，푦∣푦 = 푓(푥),0 ≤ 푥 ≤ 25― 1 5― 1 2푎 < 푎 ≥ 푓∉ {푦∣푦 = 푓 ,0 ≤ 푥 ≤ 푎} (푥) ，易得，25― 1 所以，25― 1 , + ∞ 푎即实数的取值范围为；21푎 > 0 푓= 푓 (푥 + 푎) 1 + 푥 + 푎 法二：原命题等价于任意，，1≤ 푎⇒푥 ≥ 1 ― 所以1 + 푥 + 푎 恒成立， (1 + 푎) 푎即1푎 恒成立，又，―≤ 0 푎0(1 + 푎) ＞5― 1 푎 ≥ 所以，25― 1 , + ∞ 푎即实数的取值范围为．25― 1 , + ∞ 故答案为：．2二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项. 1. 【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】根据集合的运算性质计算即可．【解答】 ∵ 퐴 [ 1,2) 퐵 = 푍 ﹣，，解：＝∴ 퐴∩ 퐵 {1,0,1} ，﹣＝故选：B． 2. 【答案】 A【考点】基本不等式及其应用【解析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．【解答】 푎푏 푎푏＞＞ 0푎 + 푏 ≥ 2 ，所以 푎푏时取等号，＝解：因为，当且仅当 푎푏 ，故 A 正确，B 错误， 푎푏＞＞ 0푎 + 푏 > 2 ，所以又2푎 + 2푏 ≥ 2 = 2 푎 = 2푏 푎，即 4푏 时取等号，故 CD 错误， 푎 × 2푏 푎푏 ，当且仅当2 ＝2故选: A． 3. 【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】 푀푁 퐴 푆퐵 퐷 푀푁 퐴 푆퐵 퐷 퐷线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、1不相交，因此所求与 1可视的点， 111퐴 푆퐵 퐷 相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断．即求哪条线段不与线段【解答】、11푀푁 퐴 푆퐵 퐷 上，即直线 푀푁 퐴 푆퐵 퐷 解：线段上不存在点在线段、与线段、不相交， 1111퐷因此所求与 1可视的点，即求哪条线段不与线段 퐴 푆퐵 퐷 、相交， 1 1 퐴 푃푃푆 퐷푆 푃푆，因为、分别为 퐴퐵 퐶퐷 、的中点，对 A 选项，如图，连接、、11∴퐴 퐷 //푃푆 퐴퐷1푃푆、、四点共面， ∴ 퐷푃 퐴푆 ∴相交， A 错误；易证，故、与11111퐷 퐵퐷퐵 퐷1퐵 퐵퐷 、、四点共面， 1对 B、C 选项，如图，连接、，易证、1퐷 퐵퐷 푅 퐵 퐷∴ 相交， B、C 错误； 1故、都与 11퐷 푄 对 D 选项，连接 퐴퐷1푃푆퐴 퐷 푃푆 、、四点共面记为平面， 1 1 ，由 A 选项分析知、11∵ 퐷∈ 퐴 퐷 푃푆푄 ∉ 平面 퐴 퐷 푃푆 퐴 푆⊂ 1퐴 퐷 푃푆 平面 퐷 ∉퐴 푆 ，点， 1 1 ，平面，且 1111111∴ 퐷푄 퐴푆 与为异面直线， 11퐷1퐵퐵퐷、、四点共面记为平面 퐷 퐵 퐵퐷 同理由 B，C 选项的分析知、，111∵ 퐷∈ 퐷 퐵 퐵퐷푄 ∉ 平面 퐷 퐵 퐵퐷 퐵 퐷⊂ ，且 퐷 퐵 퐵퐷 퐷 ∉퐵 퐷 ，点， 1 1 ，平面平面 11111111∴ 퐷푄 퐵퐷 为异面直线，与11퐷 푄퐴 푆퐵 퐷 都没有公共点， ∴D 选项正确．故与，111故选：D． 4. 【答案】 B【考点】直线与圆的位置关系【解析】 푘＝0푘＞0푘 0 ，，求出动点的轨迹，即可判定．＜分，【解答】 (푥,푦) (푥 ― 푘)2 + 푦 ― 푘2 2= 4 푘|,푘 ∈ 푍 푘＝0훺 = = { }，(0,0) 解：当时，集合 ||푘0훺 = 当时，集合，＞(푥,푦) (푥 ― 푘)2 + 푦 ― 푘2 2= 4 푘|,푘 ∈ 푍 ||2푘푟 = 2 表示圆心为，半径为的圆， (푘,푘 ) 푦 = 푥2 푟 = 푓 = 2 푘圆的圆心在直线上，半径单调递增， (푘) 24푘2 + 4푘 + 2 (푘 + 1 ― 푘)2 + (푘 + 1)2 ― 푘2 푑 = =푙 = 2 ，相邻两个圆的半径之和为相邻两个圆的圆心距 푘푘 + 1 ，+ 2 푑푙因为有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，＞푘＜0푘 0 푙 훺푙 푙 的情况，故存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧，故①正确，＞当时，同 푙若直线斜率不存在，显然不成立， 푙:푦 = 푚푥 + 푛 (푥 ― 푘)2 + 푦 ― 푘2 2= 4 ，若考虑直线与圆的焦点个数， |푘| 푙设直线 2푑 = |푚푘 + 푛 ― 푘| 푟 = 2 |푘| ，，푚2 + 1 푚푛푘给定，，当足够大时，均有 푑푟，＞푙故直线只与有限个圆相交，②错误．故选: B. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）. 1. 【答案】 푃퐴퐵퐶 中，因为 푃푂 ⊥ 퐴퐵퐶 푃푂⊥ 퐴퐶 ，所以，解：（1）在三棱锥 ﹣ 底面 △ 푃퐴퐶 为等腰三角形， 푂퐴퐶 又为边中点，所以 퐴푃 퐴퐶 ＝2△ 푃퐴퐶2 是边长为的为等边三角形，又．所以＝푃―퐴퐵퐶 = 31푆△퐴퐵퐶 ⋅ 푃푂 = 31 3× 22 × ×33= 1 ∴ 푃푂= 푉，三棱锥体积．4푂푂퐵 푥푂퐶 푦푂푃 푧（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 3)(,21 ,0 33,0,0) 푃(0,0, 퐵퐶，(0,1,0) 푀则，，，2→3，,21 , ― 3푃푀 = 2→3푃퐴퐶 푂퐵 = 平面的法向量，,0,0) (푃푀 设直线与平面 푃퐴퐶 휃所成角为， →→323푃푀 ⋅ 푂퐵 푃푀 则直线与平面 푃퐴퐶 sin휃 = ==4所成角的正弦值为，→→3× 2 ||푃푀 ⋅ 푂퐵 ||||3푃푀 所以与面 푃퐴퐶 arcsin 所成角大小为 .4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面所成的角【解析】（1）直接利用体积公式求解； 푂푂퐵 푥푂퐶 푦푂푃 푧푃퐴퐶 （2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求解．【解答】 푃퐴퐵퐶 中，因为 푃푂 ⊥ 퐴퐵퐶 푃푂⊥ 퐴퐶 ，所以，解：（1）在三棱锥 ﹣ 底面 푂퐴퐶 又为边中点，所以 △ 푃퐴퐶 为等腰三角形， 퐴푃 퐴퐶 ＝2△ 푃퐴퐶 2是边长为的为等边三角形，又．所以＝푃―퐴퐵퐶 = 31푆△퐴퐵퐶 ⋅ 푃푂 = 31 3× 22 × ×33= 1 ∴ 푃푂= 푉，三棱锥体积．4푂푂퐵 푥푂퐶 푦푂푃 푧（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 3)(,21 ,0 33,0,0) 푃(0,0, 퐵퐶，(0,1,0) 푀则，，，2→3，,21 , ― 3푃푀 = 2→3푃퐴퐶 푂퐵 = 平面的法向量，,0,0) (푃푀 设直线与平面 푃퐴퐶 휃所成角为， →→323푃푀 ⋅ 푂퐵 푃푀 则直线与平面 푃퐴퐶 sin휃 = ==4所成角的正弦值为，→→3× 2 ||푃푀 ⋅ 푂퐵 ||||3푃푀 所以与面 푃퐴퐶 arcsin 所成角大小为 .42. 【答案】 푓= log + log 3(푎 + 푥) 3(6 ― 푥) 解：（1）因为函数，(푥) 푓푚푦푓푚log + log ― 푚 的图像， 3(6 ― 푥) 将函数图像向下移后，得 ﹣(푥) 由函数图像经过点 (푚 > 0) ＝ (푥) ＝3(푎 + 푥) 和(3,0) (5,0) ，log3(3 + 푎) + 1 ― 푚 = 0 log3(5 + 푎) + 0 ― 푚 = 0 所以解得，푎2푚1．＝，＝﹣ 푎 > 3푎 ≠ 0 푓≤ 푓 log + log ≤ log + log푥 ，3(푎 + 6 ― 푥) 3（2） ﹣ 且时，不等式可化为 (푥) (6 푥) ﹣3(푎 + 푥) 3(6 ― 푥) 푎 + 푥 > 0 6 ― 푥 > 0 푎 + 6 ― 푥 > 0 푥 > 0 푥 > ―푎 푥 < 6 푥 < 푎 + 6 푥 > 0 푎(푥 ― 3) ≥ 0 等价于解得，(푎 + 푥)(6 ― 푥) ≤ 푥(푎 + 6 ― 푥) 3푎＜＜ 000푎＜﹣ ＜ 33푎 + 6 6푎，解不等式得﹣ ＜푥 ≤ 3 ，当﹣ 时，，＜＜푎0푎푎 + 6 63 ≤ 푥6 ，解不等式得；＜当时，﹣ ，＞＜＞3푎＜＜ 0푓≤ 푓 (푎,3] 综上知，﹣ 时，不等式的解集是 ﹣ ， (푥) ≤ 푓 的解集是 (6﹣푥) (6﹣푥) [3,6) 푎0푓时，不等式．＞(푥) 【考点】对数函数的图象与性质不等式恒成立的问题【解析】 푚푚푎（1）写出函数图像下移个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出和的值． log + log ≤ log +log 푥 ，写出等价不等式组，求出解集即可． 3(푎 + 6 ― 푥) （2）不等式化为【解答】 3(푎 + 푥) 3(6 ― 푥) 3푓= log + log 解：（1）因为函数，(푥) 3(푎 + 푥) 3(6 ― 푥) 푓푚푦푓푚log + log ― 푚 的图像， 3(6 ― 푥) 将函数图像向下移后，得 ﹣(푥) 由函数图像经过点 (푚 > 0) ＝ (푥) ＝3(푎 + 푥) 和(3,0) (5,0) ，log3(3 + 푎) + 1 ― 푚 = 0 log3(5 + 푎) + 0 ― 푚 = 0 所以解得，푎2푚1．＝，＝﹣ 푎 > 3푎 ≠ 0 푓≤ 푓 log + log ≤ log + log푥 ，3(푎 + 6 ― 푥) 3（2） ﹣ 且时，不等式可化为 (푥) (6 푥) ﹣3(푎 + 푥) 3(6 ― 푥) 푎 + 푥 > 0 6 ― 푥 > 0 푎 + 6 ― 푥 > 0 푥 > 0 푥 > ―푎 푥 < 6 푥 < 푎 + 6 푥 > 0 푎(푥 ― 3) ≥ 0 等价于解得，(푎 + 푥)(6 ― 푥) ≤ 푥(푎 + 6 ― 푥) 3푎＜＜ 000푎33푎 + 6 6푎，解不等式得﹣ ＜푥 ≤ 3 ，当﹣ 时， ﹣，＜＜＜＜푎0푎푎 + 6 63 ≤ 푥6 ，解不等式得；＜当时，﹣ ，＞＜＞3푎＜＜ 0푓≤ 푓 (푎,3] 综上知，﹣ 时，不等式的解集是 ﹣ ， (푥) ≤ 푓 的解集是 (6﹣푥) (6﹣푥) [3,6) 푎0푓时，不等式．＞(푥) 3. 【答案】 푂퐵 = 10퐵퐶 = 6∠퐴퐵퐶 = 120∘ 解：（1）点与点重合，由题意可得，，， 푃퐶푂푃2 = 푂퐵2 + 퐵퐶2 ― 2푂퐵 ⋅ 퐵퐶cos∠퐴퐵퐶 = 36 + 100 ― 2 × 6 × 10 × 1) = 196 由余弦定理可得，―2푂푃 퐵푃 푂푃 14 △ 푂퐵푃 =中，由正弦定理得sin120∘ sin∠푃푂퐵 所以所以所以，在，＝14 63=sin∠푃푂퐵 = 3 3sin∠푃푂퐵，解得，14 23∠푃푂퐵 arcsin3 ；14 的大小为 푄퐴 푃퐵 푂푄 푂푃 ，（2）如图，连结 퐶푀퐷 ，，，∵푂上任意一点到距离相等，曲线 ∴ 푂푃 푂푄 푂푀 푂퐶 14 ，＝＝＝＝∵ 푃 푄푂푀 ，关于对称， ∴ 푃퐶푀 点在劣弧中点或劣弧 퐷푀 푆△푄푂푀 = 푆△푃푂푀 = 훼 的中点位置，， ∠퐴푂푄 = ∠퐵푂푃 = 푆 = 휋 ― 훼 则，△퐵푂푃 2푆 = 2 则五边形面积 (푆△퐴푂푄 + 푆△푄푂푀 )196sin훼 + 140cos훼 ＝tan휑 = 5 ＝21 ⋅ 푂푄 ⋅ 푂퐴 ⋅ sin 휋2 ― 훼+ 12 ⋅ 푂푄 ⋅ 푂푀 ⋅ sin훼 ，其中，274 sin = 28 7(훼 + 휑) 74 sin = 1 푆28 当时， 푀푄퐴퐵푃取最大值，(훼 + 휑) 五边形 74 28 面积的最大值为 ∴푀푄퐴퐵푃 푆五边形．【考点】余弦定理正弦定理扇形面积公式【解析】 △ 푂퐵푃 푂푃 的对称性，将所求的面积化为四边形（1）在（2）利用五边形中，直接利用余弦定理求出，再结合正弦定理求解； 퐶퐷푄푀푃 푃푀푁퐶 的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题．【解答】 푃퐶푂퐵 = 10퐵퐶 = 6∠퐴퐵퐶 = 120∘ ，，，解：（1）点与点重合，由题意可得 푂푃2 = 푂퐵2 + 퐵퐶2 ― 2푂퐵 ⋅ 퐵퐶cos∠퐴퐵퐶 = 36 + 100 ― 2 × 6 × 10 × 1) = 196 由余弦定理可得，―2푂푃 퐵푃 푂푃 14 △ 푂퐵푃 =中，由正弦定理得sin120∘ sin∠푃푂퐵 所以所以所以，在，＝14 63=sin∠푃푂퐵 = 3 3sin∠푃푂퐵，解得，14 23∠푃푂퐵 arcsin3 ；14 的大小为 푄퐴 푃퐵 푂푄 푂푃 ，（2）如图，连结，，，∵퐶푀퐷 푂 上任意一点到距离相等，曲线 ∴ 푂푃 푂푄 푂푀 푂퐶 14 ，＝＝＝＝∵ 푃 푄，关于 푂푀 对称， 퐶푀 ∴ 푃 퐷푀 푆△푄푂푀 = 푆△푃푂푀 = 훼 的中点位置，，点在劣弧中点或劣弧 ∠퐴푂푄 = ∠퐵푂푃 = 푆 = 휋 ― 훼 则，△퐵푂푃 2푆 = 2 则五边形面积 (푆△퐴푂푄 + 푆△푄푂푀 )196sin훼 + 140cos훼 ＝tan휑 = 5 ＝21 ⋅ 푂푄 ⋅ 푂퐴 ⋅ sin 휋2 ― 훼+ 12 ⋅ 푂푄 ⋅ 푂푀 ⋅ sin훼 ，其中，274 sin = 28 7(훼 + 휑) 74 sin = 1 푆28 当时， 푀푄퐴퐵푃取最大值，(훼 + 휑) 五边形 74 28 面积的最大值为 ∴푀푄퐴퐵푃 푆五边形．4. 【答案】 2，푎 = 2푏 = 푐 = ，解：（1）由题意可得 2푦2 2훤:푥4 += 1 퐴ꢀ)2，，(0, ― ∵ 퐴푀 푥的中点在轴上， 2∴ 푀 的纵坐标为，222．)푥 + 푦 ― 4 =0 푀(3 代入得,2퐵（2）由直线方程可知 cos∠퐵퐴푀 = 3 ，)(0,4 tan∠퐵퐴푀 = 4 tan∠푂퐴퐹 = 4 ，23①若 5，则 3，即 ∴ 푂퐴= 34푂퐹2 = 43 2，∴ 푏= 34 2．cos∠퐵푀퐴 = 3 sin∠퐵푀퐴 = 4 ，5②若 5，则 ∵ ∠푀퐵퐴= 휋4 ∴cos =2 × 53 ― ×54 = ― 2ꢀ 2，，(∠푀퐵퐴 + ∠퐴푀퐵) 2210 2∴ cos∠퐵퐴푀= 10 ∴ tan∠퐵퐴푀= 7 ，．22tan∠푂퐴퐹 = 7∴ 푂퐴= ∴ 푏= 即，，，277푏 = 3 22综上或 7 ．4푃（3）设，(푎푐표푠휃,푏푠푖푛휃) 2| = 6 ― 2푎 由点到直线距离公式可得|푎cos휃 + 푏sin휃 ― 4 ，22 = 6 ― 2푎 푎cos휃 + 푏sin휃 ― 4 ―很明显椭圆在直线的左下方，则，2푎2 + 푏2 222= 6― 2 푎 ，4―sin 即(휃 + 휑) 2푎2 ― 2 ∵ 푎2 = 푏2 + 2 ∴sin (휃 + 휑) = 2푎 ― 2 22，，|2푎 ― 2| ≤ 1 ，푎2 ― 1 sin (휃 + 휑) = 2푎 ― 2 =据此可得，|sin(휃 + 휑)| 푎2 ― 1 ≤ 0 1 ≤ 푎 ≤ 5 整理可得，即，(푎 1)(3푎 5) ﹣﹣38푑 = 6 ― 2푎 ≥ 6 ― 2 × 5 =从而．338푑即的最小值为3．【考点】直线与圆锥曲线的关系椭圆的定义和性质直线与椭圆结合的最值问题点到直线的距离公式【解析】 2푦2 2（1）由题意可得椭圆方程为푥4 += 1 푀，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标； 푀cos∠퐵퐴푀 = 3 cos∠퐵푀퐴 = 3 5和 푏2퐵（2）由直线方程可知，分类讨论 )5两种情况确定的值即可； (0,4 2，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得|푎cos휃 + 푏sin휃 ― 4 푃| = 6 ― 2푎 ，进一步整（3）设 (푎cos휃,푏sin휃) 21 ≤ 푎 ≤ 5 3即可确定的最小值． 푑理计算，结合三角函数的有界性求得【解答】 2，푎 = 2푏 = 푐 = ，解：（1）由题意可得 2푦2 2훤:푥4 += 1 퐴ꢀ)2，，(0, ― ∵ 퐴푀 푥的中点在轴上， 2∴ 푀 的纵坐标为，222．)푥 + 푦 ― 4 =0 푀(3 代入得,2퐵（2）由直线方程可知 cos∠퐵퐴푀 = 3 ，)(0,4 tan∠퐵퐴푀 = 4 tan∠푂퐴퐹 = 4 ①若 5，则 3，即，23∴ 푂퐴= 34푂퐹2 = 43 2，∴ 푏= 34 2．cos∠퐵푀퐴 = 3 sin∠퐵푀퐴 = 4 ，5②若 5，则 ∵ ∠푀퐵퐴= 휋4 ∴cos =2 × 53 ― ×54 = ― 2ꢀ 2，，(∠푀퐵퐴 + ∠퐴푀퐵) 2210 2∴ cos∠퐵퐴푀= 10 ∴ tan∠퐵퐴푀= 7 ，．22tan∠푂퐴퐹 = 7∴ 푂퐴= ∴ 푏= 即，，，277푏 = 3 22综上或 7 ．4푃（3）设，(푎푐표푠휃,푏푠푖푛휃) 2| = 6 ― 2푎 由点到直线距离公式可得|푎cos휃 + 푏sin휃 ― 4 ，22 = 6 ― 2푎 푎cos휃 + 푏sin휃 ― 4 ―很明显椭圆在直线的左下方，则，2푎2 + 푏2 222= 6― 2 푎 ，4―sin 即(휃 + 휑) 2푎2 ― 2 ∵ 푎2 = 푏2 + 2 ∴sin (휃 + 휑) = 2푎 ― 2 22，，|2푎 ― 2| ≤ 1 ，푎2 ― 1 sin = 2푎 ― 2 =据此可得整理可得，(휃 + 휑) |sin(휃 + 휑)| 푎2 ― 1 ≤ 0 1 ≤ 푎 ≤ 5 ，即，(푎 1)(3푎 5) ﹣﹣38푑 = 6 ― 2푎 ≥ 6 ― 2 × 5 =从而．338푑即的最小值为3． 5. 【答案】 푎 = 2푎 ―푎 = 5푎 = 2푎 ―푎 = 7푎 = 2푎 ―푎 = 9 ．解：（1），或321432431∵ 푎,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 （2） 8为等差数列， ∗1234567∴ 푑= 2푎 = 2푛 ― 1 ，，(푛 ∈ [1,8],푛 ∈ 푁) 푛푎 = 2푎 ―푎 = 30 ― 푎< 30 ．98푖푖푞：푎 < 30 푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ，则 8为等差数列是假命题， 1 2 3 4 5 6 7 逆命题若9푎 = 1푎 = 3푎 = 5푎 = 7푎 = 9푎 = 11푎 = 13 ，举例：，，，，，，1234567푎 = 2푎 ―푎 = 17푎 = 2푎 ―푎 = 21 ，．875987푎2푚 = 3푚 （3）因为，∴ 푎2푚+2 = 3푚+1 푎2푚+1 = 2푎2푚 ― 푎 푎2푚+2 = 2푎2푚+1 ― 푎 ，푖(푖 ≤ 2푚) ，，푗(푗 ≤ 2푚 ― 1) ∴ 푎2푚+2 = 4푎2푚 ― 2푎 ―푎 ，푖푗∴2푎푗 + 푎푖 = 4푎2푚 ― 푎2푚+2 = 4 × 3푚 ― 3푚+1 = 3푚 = 푎2푚 ，푎푛+1 > 푎 푛恒成立：以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明 푛 = 1푎 > 푎 当，1明显成立， 2푛＝푘 푎> 푎푘―1 > 푎푘―2⋯ > 푎 > 푎 > 0 时命题成立，即， 푘 2 1 假设 푎― 푎= 2푎 ―푎 ―푎 = 푎 ―푎 > 0 푎푘+1 > 푎 ，则 푘，命题得证．则푘+1 푘푘푖푘푘푖回到原题，分类讨论求解数列的通项公式： 푗푗2푚 2푚 1푎2푚 = 2푎푗 + 푎푖 = 2푎2푚―1 + 푎푖 > 푎2푚―1 ― 푎 1．若 2．若 ﹣ ，则 푖矛盾， 푎 = 3푚―1 ∴ 푎= 3푚 ― 2푎 = 3푚―1 ∴ 푖 2푚 2﹣ ，＝2﹣ ，则，，＝＝푗푖푗푎2푚+1 = 2푎2푚 ― 푎푗 = 2 × 3푚 ― 3푚―1 = 5 × 3푚―1 此时，1푛 = 1 5 × 3푛―3 푛 = 2푘 + 1,푘 ∈ 푁∗ 푗＜2푚 22푎 < 2 × 3푚―1 ，则， 푗2∴ 푎푛 = 3．若 ﹣푛3푛 = 2푘,푘 ∈ 푁∗ 2∴ 푎푖 = 3푚 ― 2푎푗 > 3푚―1 ∴ 푗 2푚 1，﹣ ，＝∴ 푎2푚+2 = 2푎2푚+1 ― 푎 푚2푚―1（由（2）知对任意成立）， 푎6 = 2푎5 ― 푎3 ，푎 = 2푎 ―푎 事实上： 2矛盾． 651푛 = 1 푎 = 5× 3푛―3 푛 = 2푘 + 1,푘 ∈ 푁∗ 2综上可得．푛푛3푛 = 2푘,푘 ∈ 푁∗ 2【考点】数列递推式命题的真假判断与应用数列的应用数学归纳法【解析】 푎5푎∗（1）利用递推关系式可得，然后计算 4的值即可；＝3푎 = 2푛 ― 1 푎 = 2푎 ―푎 < 30 ，则，从而命题为真命题，给出反例可得 9（2）由题意可得 (푛 ∈ [1,8],푛 ∈ 푁) 푛8푖푞命题为假命题． 푎2푚+2 = 2푎2푚+1 ― 푎 푎2푚+1 = 2푎2푚 ― 푎 ，푗(푗 ≤ 2푚 ― 1) （3）由题意可得，然后利用数学归纳法证 푖(푖 ≤ 2푚) 明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式．【解答】 푎 = 2푎 ―푎 = 5푎 = 2푎 ―푎 = 7푎 = 2푎 ―푎 = 9 解：（1），或．321432431∵ 푎,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 （2） 8为等差数列， ∗1234567∴ 푑= 2푎 = 2푛 ― 1 ，，(푛 ∈ [1,8],푛 ∈ 푁) 푛푎 = 2푎 ―푎 = 30 ― 푎< 30 ．98푖푖푞：푎 < 30 푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ,푎 ，则 8为等差数列是假命题， 1 2 3 4 5 6 7 逆命题若9푎 = 1푎 = 3푎 = 5푎 = 7푎 = 9푎 = 11푎 = 13 ，举例：，，，，，，1234567푎 = 2푎 ―푎 = 17푎 = 2푎 ―푎 = 21 ，．875987푎2푚 = 3푚 （3）因为，∴ 푎2푚+2 = 3푚+1 푎2푚+1 = 2푎2푚 ― 푎 푎2푚+2 = 2푎2푚+1 ― 푎 ，푖(푖 ≤ 2푚) ，，푗(푗 ≤ 2푚 ― 1) ∴ 푎2푚+2 = 4푎2푚 ― 2푎 ―푎 ，푖푗∴2푎푗 + 푎푖 = 4푎2푚 ― 푎2푚+2 = 4 × 3푚 ― 3푚+1 = 3푚 = 푎2푚 ，푎푛+1 > 푎 푛恒成立：以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明 푛 = 1푎 > 푎 当，1明显成立， 2푛＝푘 푎> 푎푘―1 > 푎푘―2⋯ > 푎 > 푎 > 0 时命题成立，即， 푘 2 1 假设 푎― 푎= 2푎 ―푎 ―푎 = 푎 ―푎 > 0 푎푘+1 > 푎 ，则 푘，命题得证．则푘+1 푘푘푖푘푘푖回到原题，分类讨论求解数列的通项公式： 푗푗2푚 2푚 1푎2푚 = 2푎푗 + 푎푖 = 2푎2푚―1 + 푎푖 > 푎2푚―1 ― 푎 1．若 2．若 ﹣ ，则 푖矛盾， 푎 = 3푚―1 ∴ 푎= 3푚 ― 2푎 = 3푚―1 ∴ 푖 2푚 2﹣ ，＝2﹣ ，则，，＝＝푗푖푗푎2푚+1 = 2푎2푚 ― 푎푗 = 2 × 3푚 ― 3푚―1 = 5 × 3푚―1 此时，1푛 = 1 5 × 3푛―3 푛 = 2푘 + 1,푘 ∈ 푁∗ 푗＜2푚 22푎 < 2 × 3푚―1 ，则， 푗2∴ 푎푛 = 3．若 ﹣푛3푛 = 2푘,푘 ∈ 푁∗ 2∴ 푎푖 = 3푚 ― 2푎푗 > 3푚―1 ∴ 푗 2푚 1，﹣ ，＝∴ 푎2푚+2 = 2푎2푚+1 ― 푎 푚2푚―1（由（2）知对任意成立）， 푎6 = 2푎5 ― 푎3 ，푎 = 2푎 ―푎 事实上： 2矛盾． 651푛 = 1 푎 = 5× 3푛―3 푛 = 2푘 + 1,푘 ∈ 푁∗ 2综上可得．푛푛3푛 = 2푘,푘 ∈ 푁∗ 2