2022年高考数学真题（理科）（全国乙卷）（原卷版）

绝密启用前 ★2022 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． U {1,2,3,4,5} ð M  {1,3} 1 设全集，集合 M 满足，则（）UA. B. C. D. D. 3 M 4 M 5M 2M 2. 已知，且，其中 a，b 为实数，则（）z 1 2i z  az  b  0 a 1,b  2 a  1,b  2 a 1,b  2 C. A. B. a  1,b  2     3. 已知向量满足，则（）a,b | a | 1,|b | 3,| a  2b | 3 ab  A2 B. C. 1 D. 2 1 4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的 b人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列  ：n11b3  1 1b2  1 1b  1 1  1，，，…，依此类推，其中 111  1 2  2 3  N(k  1,2,) ．则（）kb  b5 b3  b8 b6  b2 b4  b7 D. A. B. C. 12B(3,0) AF  BF 5. 设 F 为抛物线 AB  的焦点，点 A 在 C 上，点，若，则 C : y  4x （）A. 2 B. C. 3 D. 2 2 n  3 2 6. 执行下边的程序框图，输出的（）A 3 B. 4 C. 5 D. 6 ABCD  A B C D 1 中，E，F 分别为的中点，则（ AB, BC 7. 在正方体）平面平面 111B EF  BDD B EF  A BD A. 平面 C. 平面平面平面 B. 平面 D. 平面 1111B EF / / A AC B EF / / AC D 11111a  a  42 a  na  8. 已知等比数列 A. 14 的前 3 项和为 168， B. 12 ，则（）256C. 6 D. 3 9. 已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）1132A. B. C. D. 233210. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与 p , p , p p  p  p  0 甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 3 ，且．记该棋手连胜两盘的 12321概率为 p，则（）A. p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大 F , F F11. 双曲线 C 的两个焦点为的两支交于 M，N 两点，且 2 ，以 C 的实轴为直径的圆记为 D，过 1 作 D 的切线与 C 13cosF NF ，则 C 的离心率为（）1253213 17 25A. B. C. D. 22f (x), g(x) 12. 已知函数的定义域均为 R，且 f (x)  g(2  x)  5, g(x)  f (x  4)  7 y  g(x) x  2 ．若的图像关于直线对称， 22 g(2)  4 f (k)  ，则（）k1 A. B. C. D. 23 21 22 24 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ____________． (0,0),(4,0),(1,1),(4,2) 14. 过四点 15. 记函数 中的三点的一个圆的方程为____________． 3f x cos x  (  0,0    π)   的最小正周期为 T，若，f (T)  2f (x) 的零点，则的最小值为____________． x  为9x2x  x x  x 1 和 16. 已知分别是函数（且a  0 a 1 ）的极小值点和极 f (x)  2a  e x 2x  x 2 ，则 a 的取值范围是____________．大值点．若 1三、解答题：共 0 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分． A, B,C a,b,c ，已知 17. 记的内角的对边分别为 ABC sinC sin(A B)  sin Bsin(C  A) ．222（1）证明：；2a  b  c 25 31 a  5,cos A  （2）若，求中，的周长． ABC AD  CD, AD  CD,ADB  BDC 18. 如图，四面体，E 为的中 ABCD AC 点．（1）证明：平面平面；ACD BED  AB  BD  2,ACB  60 （2）设，点 F 在上，当△AFC 的面积最小时，求 CF BD 与平面 ABD 所成的角的正弦值． 19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： 2 ）和材积量 m（单位： 3 ），得到如下数据： m总样本号ｉ 12345678910 和根部横截面积 0 05 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 xi y材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 i10 10 10 x2  0.038, y2 1.6158, x y 0.2474 并计算得．iiiii=1 i=1 i=1 （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 2 ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林 186m 区这种树木的总材积量的估计值． n(x  x)(y  y) iii=1 r  , 1.8961.377 ．附：相关系数 nn(x  x)2 (y  y)2 iii=1 i=1 3A 0,2 ,B ,1 20. 已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 两2点．（1）求 E 的方程； P 1,2 的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交（2）设过点   于点 T，点 H 满足．证明：直线 HN 过定点． MT  TH f x ln 1 x  axex 21. 已知函数   y  f x 0, f 0 （1）当 a 1时，求曲线  在点   处的切线方程； f x 1,0 , 0,   （2）若  在区间 各恰有一个零点，求 a 的取值范围．（二）选考题，共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修 4-4：坐标系与参数方程] xOy x  3 cos2t y  2sint 22. 在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为，（t 为参数），以坐标原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 3 sin    m  0 ．（1）写出 l 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围． [选修 4-5：不等式选讲] 33323. 已知 a，b，c 都是正数，且，证明： a2  b2  c2 1 1abc  （1）（2）；9abc1；b  c a c a b 2 abc