2022年高考数学真题（北京自主命题）（原卷版）

绝密本科目考试启用前 ★2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． U {x 3  x  3} A {x  2  x 1} ð A = 1. 已知全集，集合，则（）U[2,1) (2,1] (3,2) [1,3) A. B. C. D. (3,2] (1,3) z  2. 若复数 z 满足i z  3 4i ，则（）A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 22a  2x  y 1  0 3. 若直线是圆的一条对称轴，则（）(x  a)  y 1 11A. B. C. 1 D. 1 221f (x)  4 己知函数，则对任意实数 x，有（）B. D. 1 2x f (- x)+ f (x) = 0 f (x)  f (x) 1 f (x)  f (x)  0 A. C. 1f (x)  f (x)  3225 已知函数，则（）f (x)  cos x sin x 26  4 12 f (x) f (x)  ,  , A. C. 在在上单调递减 B. D. 在在上单调递增  7 3f (x) f (x) 0, ,上单调递减上单调递增 4 12 aaN6. 设是公差不为 0 的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 0 ，当     nnn  N a  0 ”的（ 0 时，）nA. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术， lgP 为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和的关）系，其中 T 表示温度，单位是 K；P 表示压强，单位是 bar ．下列结论中正确的是（ A. 当T  220 B. 当T  270 ，，，，P  1026 时，二氧化碳处于液态 P  128 时，二氧化碳处于气态 C. 当 P  9987 时，二氧化碳处于超临界状态 P  729 时，二氧化碳处于超临界状态 T  300 D. 当T  360 (2x 1)4  a x4  a x3  a x2  a x  a a  a  a  8. 若 0 ，则（）0244321A. 40 B. 41 的六条棱长均为 6，S 是 C. D. 40 41 9. 已知正三棱锥及其内部的点构成的集合．设集 P  ABC ABC T  QS PQ 5 合，则 T 表示的区域的面积为（）3 4A. B. C. D. 3 所在平面内的动点，且 2 AC  3, BC  4,C  90 ．P 为 10. 在中， ABC ABC   PC  1，则的取值范围是（）PA PB [5,3] [3,5] [6,4] [4,6] D. A. B. C. 第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 1f (x)  1 x 11. 函数的定义域是_________． xx2 32m  的12. 已知双曲线 13. 若函数渐近线方程为，则 __________． y   1 y   xm3f________； 的一个零点为，则 f (x)  Asin x  3cos x A  12 3________． ax 1, x  a, f (x) f x 14. 设函数   若存在最小值，则 a 的一个取值为________；a 2x  2 ,x  a. 的最大值为___________． aSa  S  9(n  1,2,) 15. 己知数列个结论： a各项均为正数，其前 n 项和 n 满足．给出下列四   nnna①③ 的第 2 项小于 3； ② 为等比数列； nn1aa 为递减数列； ④ 中存在小于的项． nn100 其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共 6 小愿，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，．ABC sin 2C  3sinC C （1）求（2）若；，且的面积为，求的周长． b  6 ABC ABC 6 3 ABC  A B C BCC B BCC B 1 为正方形，平面平面 17. 如图，在三棱柱 1 中，侧面 11111ABB A A B 1 ，AC 的中点． 1，，M，N 分别为 AB  BC  2 11BCC B ；1（1）求证：平面 MN ∥ 1（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值．条件①：；AB  MN 条件②： BM  MN ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m以上（含9．50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9 85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 E（X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） x2 y2 A(0,1) 19. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．E : 1(a  b  0) 2 3 a2 b2 （1）求椭圆 E 的方程； P(2,1) （2）过点作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与 | MN | 2 x 轴交于点 M，N，当时，求 k 的值． x20. 已知函数（1）求曲线．f (x)  e ln(1 x) y  f (x) (0, f (0)) 在点处的切线方程； g(x) 的单调性； g(x)  f (x) [0,) （2）设，讨论函数 s,t (0,) 在上f (s  t)  f (s)  f (t) （3）证明：对任意的，有．Q : a ,a ,,a n{1,2,,m} 21. 已知 k 为有穷整数数列．给定正整数 m，若对任意的，12a ,a ,a ,,a ( j  0) a  a  ai2  ai j  n 在 Q 中存在，使得，则称 Q 为 ii1 i2 i j ii1 m  连续可表数列． Q : 2,1,4 6 （1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； 5 Q : a ,a ,,a （2）若（3）若 k 为8 连续可表数列，求证：k 的最小值为 4； 12Q : a ,a ,,a a  a  a  20 为连续可表数列，且，求证：．20  k  7 12k12k