2022年高考数学真题（天津自主命题）（原卷版）

2022 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学一、选择题（本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分） U  {2,1,0,1,2} A  {0,1,2}, B  {1,2} A ð B    1．设全集，集合，则（） U{0,1} {0,1,2} {1,1,2} {0,1,1,2} A． B． C． D． 2．“x 为整数”是“ 2x 1为整数”的（）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 x2 1 3．函数 f (x)  的图象为（） xA． B． C． D． 4．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单 [12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17] 位： kPa ）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（） A．8 B．12 C．16 D．18 0.7 11  5．已知 a  20.7,b  A． a  c  b ,c  log ，则（） 2 3   3  B． b  c  a C． a  b  c D． c  a  b 6．化简 A．1 的值为（） 2log 3 log 3log 2 log 2  4839B．2 C．4 D．6 x2 y2 2 1(a  0,b  0) 7．已知抛物线 2 分别是双曲线的左、右焦点，抛 y  4 5x, F , F 1a2 b2 4FF F A  物线的准线过双曲线的左焦点 1 ，与双曲线的渐近线交于点 A，若，则双曲线 12的标准方程为（） x2 y2 y2 x2  y2  1 x2   1 x2   1  y2  1 A． B． C． D． 10 16 448．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120 ，腰为 3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（） A．23 B．24 C．26 D．27 19．已知 f (x)  sin2x ，关于该函数有下列四个说法： 2  4 4 f (x) f (x)  , ①的最小正周期为 2 ；② 在上单调递增；   6 3 33x  , f (x) ,③当时，的取值范围为；44148f (x) g(x)  sin 2x  ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 2以上四个说法中，正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分） 11 3i 10．已知 i 是虚数单位，化简的结果为_______________． 1 2i 53×2 11． x  展开式中的常数项为_______________． x  y  m  0(m  0) (x 1)2  (y 1)2  3 相交所得的弦长为 m，则 m  12．直线与圆 _______________． 13．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为_______________；已知第一次抽到的是 A，则第二次抽取 A 的概率为_______________．      14．在△ABC 中，CA  a,CB  b ，D 是 AC 的中点，CB  2BE ，试用 a,b 表示 DE 为  ________﹔若 AB  DE ，则 ACB 的最大值为___________ 15．设 aR ，对任意实数 x，记 f x min x  2, x2  ax  3a 5 ．若至少有 3 f x     个零点，则实数 a 的取值范围为_________．三、解答题（本题共 5 小题，共 75 分） 16 ．在 △ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ．已知 1a  6,b  2c,cos A   ．4（1）求 c 的值；（2）求sin B 的值； sin(2A B) （3）求的值． ABC  A B C AA  AB  AC  2, AA  AB, AC  AB A B ，D 为 1 1 17．直三棱柱的中点，E 为 1 中， 1111AA 1 的中点，F 为CD 的中点．（1）求证： EF∥平面 ABC ；CC D （2）求直线 BE 与平面所成角的正弦值； 1ACD CC D 1（3）求平面与平面所成二面角的余弦值． 1a  b  a b  a b 1 18．设是等差数列，是等比数列，且 b  n．a  112233n（1）求（2）设与的通项公式； bna   nS的前 n 项和为，求证： ﹔aSn1  an1 b  S bn1  Snbn   nnnn1 2n k（3）求 [a  1 a ]b ．k1 kkk1 x2 y2 19．椭圆的右焦点为 F、右顶点为 A，上顶点为 B，且满足 1 a  b  0 a2 b2 BF AB 3．2（1）求椭圆的离心率 e；（2）直线 l 与椭圆有唯一公共点 M，与 y 轴相交于点 N（N 异于 M）．记 O 为坐标原点，若，且△OMN 的面积为，求椭圆的标准方程． 3OM  ON 20．已知 a，bR ，函数 x．f x e  asin x, g x  b x   0, f 0   处的切线方程；（1）求函数在y  f x     有公共点； （2）若和y  f x y  g x     （i）当 a  0 时，求 b 的取值范围；．（ⅱ）求证： a2  b2  e 2022 年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）数学参考答案一、选择题 1. A2. A3. A4. B5. C6. B7. C8. D9. A 二、填空题 10. ## 15i 5i 1 11. 15 12. 21113. ..②. ①221 17 31614. 15. b  a ②. ①22a 10 三、解答题 16. 1 （） c 1 10 42（） sin B  10 83（） sin(2A B)  17. 1 （）略 42（） 510 3（） 10 a  2n 1,b  2n1 118. 19. （） nn61（）e  3×2 y2 2（） 1 62y  (1 a)x 1 20. 1 （） b 2e, 2i（）（） ii ；（）略 