2022年高考数学真题（文科）（全国甲卷）（原卷版）

绝密★启用前 2022 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 52A {2,1,0,1,2}, B  x∣0  x  A B  1. 设集合，则（）{1,2} D. 0,1,2 {2,1,0} {0,1} A. B. C. 2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 70% 85% C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 | iz  3z | 3. 若．则（）z 1 i A. B. C. D. 4 5 2 5 4 2 2 2 4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 ππf (x)  sin x  (  0) 5. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若 C 关于 y 轴对称， 32则的最小值是（）161411A. B. C. D. 236. 从分别写有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为（）1A. 132523B. C. D. 5π π y  3x 3x cos x  , 7. 函数在区间的图象大致为（）2 2 A. B. C. D. bxf (2)  f (x)  aln x  8. 当时，函数取得最大值，则（）x 1 2 111 A. 9. 在长方体 B. C. D. 1 22ABCD  A B C D B D AA B B 和平面所成的角均为 1 1 1 中，已知与平面 30 ，则 ABCD 111 1 （）AB C D 所成的角为 A. B. AB 与平面 30 AB  2AD 11AC  CB B D BB C C 与平面所成角为 1 1 的C. D. 45 11SS，侧面积分别为甲和乙，体积分别为 10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π SV甲 V乙甲 =2 =（V V 甲和乙．若，则）S乙 5 10 AB. C. D. 510 2 2 4×2 y2 1A , A 11. 已知椭圆的离心率为，2 分别为 C 的左、右顶点，B 为 C 的上顶 C : 1(a  b  0) 1a2 b2 3  点．若，则 C 的方程为（）BA  BA2  1 1×2 y2 x2 y2 x2 y2 x2  y2 1 +=1 A. B. C. D. D. 1 1 9818 16 322mmm12. 已知，则（）9 10,a 10 11,b  8 9 A. B. C. a  0 b b  a  0 b  0  a a  b  0 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. ，则 m  ______________． 13. 已知向量．若 a  (m,3),b  (1,m 1) 2x  y 1 0 a  b (3,0) M M 14. 设点 M 在直线上，点和( 0, 1) 均在上，则 1(a  0,b  0) 的离心率为 e，写出满足条件“直线的方程为______________． x2 y2 y  2x C : 15. 记双曲线与 C 无公共点”的 e 的一 a2 b2 个值______________． 16. 已知中，点 D 边 BC 上， AC AB ADB 120, AD  2,CD  2BD ．当取得最小值时， ABC 在________． BD  三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 甲、乙两城之间的长途客车均由 A 和 B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次，得到下面列联表：准点班次数 240 未准点班次数 AB20 30 210 （1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有 90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ n(ad bc)2 (ab)(cd)(ac)(bd) 附： K2  ，P K2… k 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 k2Sn Sa  n n  2a 1 18. 记为数列的前 n 项和．已知．nnna（1）证明：  是等差数列； na ,a ,a S9 成等比数列，求 n 的最小值．（2）若 4719. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为 8 ABCD cm EAB,FBC,GCD,HDA （单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． ABCD （1）证明：平面；EF / / ABCD （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 32y  f (x) x , f x 1 1 y  g(x) 20. 已知函数，曲线在点 处的切线也是曲线的切 f (x)  x  x, g(x)  x  a 线． x  1 （1）若，求 a； 1（2）求 a 的取值范围． C : y2  2px( p  0) D p,0 ，过 F 的直线交 C 于 M，N 两点．当直线 MD 垂 21. 设抛物线的焦点为 F，点 MF  3 直于 x 轴时，．的（1）求 C 方程； MD, ND MN, AB ,    （2）设直线与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线 AB 的方程．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 2  t 6x  C中，曲线的参数方程为 xOy C（t 为参数），曲线 2 的参数方程为 22. 在直角坐标系 1y  t 2  s 6x   （s 为参数）． y  s C（1）写出 1 的普通方程； C（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，2cos sin  0 3CC C C3 与 1 交点的直角坐标，及 3 与 2 交点的直角坐标．求[选修 4-5：不等式选讲] 22223. 已知 a，b，c 均为正数，且，证明： a  b  4c  3 （1）；a  b  2c  3 1 1  3 （2）若，则．b  2c ac