2023年高考数学真题（北京自主命题）（原卷版）

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（）B. A. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）A. C. B. D. 3. 已知向量，则满足（）A. B. C. 0 D. 1 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（）B. AD. C. 5. 的展开式中的系数为（）． C. 40 D. 80 A. B. 6. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线 C. 5 的距离为 5，则（）D. 4 A. 7 B. 6 B. ），则 7. 在中，（C. A. D. 8. 若，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（）A. C. B. D. 10. 已知数列满足，则（）A. 当 B. 当 C. 当 D. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立恒成立恒成立恒成立时，时，时，为递增数列，且存在常数为递减数列，且存在常数为递增数列，且存在常数，使得，使得，使得 5525 二、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 11. 已知函数，则和．12. 已知双曲线 C 的焦点为，离心率为，则，则 C 的方程为．13. 已知命题若为第一象限角，且．．能说明 p 为假命题的一组的值为，14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列，该数列的前3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．15. 设，函数，给出下列四个结论： ①区间时，上单调递减；最大值； ②当 ③设存，则．若；④设存在最小值，则 a 的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．685 三、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，在三棱锥中，平面，．（1）求证：平面 PAB；（2）求二面角的大小． 17 设函数（1）若．，求的值．（2）已知在区间上单调递增，存在，求值．，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数条件①：；条件②：条件③：；在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化 -++++00——++++00++00—+—++000-++第 1 天到第 20 天 0+第 21 天到第 40 天用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌” 和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的离心率为，A、C 分别是 E 的上、下顶点，B，D 分别是的左、右顶点，．（1）求的方程；（2）设为第一象限内E 上的动点，直线与直线在点交于点，直线处的切线方程为与直线交于点．求证：．20. 设函数，曲线．（1）求的值；（2）设函数（3）求，求的极值点个数．的单调区间； 21. 已知数列的项数均为 m ．对于，且的前 n 项和分别为，其中，，并规定，定义表示数集 M 中最大的数. （1）若（2）若，求的值；使得，且，求；（3）证明：存在，满足．