2023年高考数学真题（上海自主命题）（春季卷）

2023 年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． →푎 = →푏 = →푎 ― 2→푏 = 1. 已知向量，，则 (1,2) ．(3,4) ≤ 2 2. 不等式的解集为：．（结果用集合或区间表示） 푥2 + 2푥 + 푦2 = 0 |푥 ― 1| 퐶퐶，则圆的半径为． 3. 已知圆的一般方程为 퐴퐴푃(퐴) = 0.5 ，则 푃=．퐴4. 已知事件的对立事件为，若 푎푏푎 + 4푏 = 1 푎푏 ，则的最大值为． 5. 已知正实数、满足 100 186ꢀ푐푚 154ꢀ푐푚 ，根据身高数据绘制频率组距 6. 某校抽取分布直方图，组距为，且第一组下限为名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为 5153.5 ，则组数为． 푎 + 푎 = ．(1 ― 2푥)4 = 푎 + 푎 푥+ 푎 푥2 + 푎 푥3 + 푎 푥4 7. 设，则 0123404log2(푥 + 1),푥 ≥ 0 푓( ―푥),푥 < 0 푓= 2―푥 + 1 푔(푥) =푔，则方程 (푥) = 2 的解为． 8. 已知函数，且 (푥) 4610 9. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有名男生，名女生，从人 312中任选人，则恰有名男生名女生的概率为． ¯2푧 ,푧 ∈퐶 푧= 푖푧 푖= 1 （为虚数单位），满足，则 |푧1 ― 1| 10. 已知且的取值范围为． |푧1 ― 푧2| 121→→→→→→→→→푂퐴 푂퐵 푂퐶 푂퐴 ⊥ 푂퐵푂퐴 ⊥ 푂퐶푂퐵 푂퐶 60∘ 夹角为，点为空间任 푃11. 已知、、为空间中三组单位向量，且，，与→→→→→→→→→= 1 ≤≤意一点，且，满足，则最大值为． 푂푃 |푂푃 ⋅ 푂퐶 푂푃 ⋅ 푂퐵 |푂푃 ⋅ 푂퐴 |푂푃 ⋅ 푂퐶 |||||||二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，13−14 题每题 4 分，第 15−16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 1. 下列函数是偶函数的是（） 푦 = sin푥 A. 푦 = cos푥 B. 푦 = 푥3 푦 = 2푥 D. C. 2. 如图为 2017﹣2021 年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（） A.从 2018 年开始，2021 年的进出口总额增长率最大 B.从 2018 年开始，进出口总额逐年增大 C.从 2018 年开始，进口总额逐年增大 D.从 2018 年开始，2020 年的进出口总额增长率最小 퐴퐵퐶퐷 ― 퐴퐵 퐶 퐷 1中，点为边 1푃퐴 퐶 퐵푃 1上的动点，则下列直线中，始终与直线异面 3. 如图所示，在正方体的是（） 111퐷퐷 A. 퐴퐶 B. 퐴퐷 퐵 퐶 D. 1C. 11푆的各项均为实数， 푛为其前项和，若对任意正整数 푛푘 > 2022 >4. 已知无穷数列列各项中可能成立的是（）都有，则下 |푆푘| |푆푘+1| {푎푛} 푎 ,푎 ,푎 ,⋯,푎 ,⋯ ,⋯ 푎 ,푎 ,푎 ,⋯,푎,⋯ 2 4 62푛 A. 为等差数到，为等比数列，为等比数列为等差数列为等比数列为等差数列 1352푛―1 푎 ,푎 ,푎 ,⋯,푎 푎 ,푎 ,푎 ,⋯,푎,⋯ 2 4 62푛 B. 1352푛―1 푎 ,푎 ,푎 ,⋯,푎 푎2022,푎2023,⋯,푎 ,⋯ 푛C. 2022为等差数列， 2022为等比数列， 123푎 ,푎 ,푎 ,⋯,푎 푎2022,푎2023,⋯,푎 ,⋯ D. 123푛三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。 푃 ― 퐴퐵퐶 中， 푃퐴 ⊥ 퐴퐵퐶 퐴퐵⊥ 퐴퐶푃퐴 = 퐴퐵 = 3퐴퐶 = 4 푀，为中点，过点分别作 퐵퐶 푀1. 已知三棱锥平面 퐴퐶 푃퐶퐸 퐹 于点，．，，，푃퐴퐵 平行于平面的直线交、푃푀 （1）求直线与平面 퐴퐵퐶 푃퐴퐵 所成角的大小； 푀퐸 （2）求直线到平面的距离． △ 퐴퐵퐶푏 2 中，角、、所对应的边分别为、、，其中．＝퐴퐵퐶푎푏푐2. 在 퐴 + 퐶 = 120∘ 푎2푐 푐 ，求边长；（1）若，＝퐴 ― 퐶 = 15∘ 푎 = 푐sin퐴 △ 퐴퐵퐶 ，求的面积． 2（2）若，푆 = 퐹 퐹，其中 0为建筑物暴露在空气中的面积（单位： 03. 为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” 푉0 푉平方米）， 0为建筑物的体积（单位：立方米）． 푅퐻（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑 푆푅퐻体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示） 2푓 = 퐿 퐴 퐿푇 퐴 ，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建（2）定义建筑物的“形状因子”为 푛筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为 3푓 ⋅ 푛 ꢀ푇 1푆 = +푓 = 18푇 = 10000 米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 3푛．当，时，试求当该宿舍楼的层 푛푆数为多少时，“体形系数” 最小． 2푦2 3훤:푥 += 1(푚 > 0푚 ≠ 且3)．4. 已知椭圆 푚2 푚2훤，求椭圆的离心率；（1）若＝퐴퐴훤훤퐸2为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为，且 1퐸→퐴 ⋅퐸→퐴 = ― 2 푚，求实数的值；（2）设、112푦2 푥2 53훤푃푙―= 1 푚有且仅有一个公共点，求实数（3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线 l 与双曲线5푚2 的取值范围． 푓= 푎푥3 ― 푥2 + 푥 푔= 푘푥 + 푚 푎 ≥ 0 푘,푚 ∈ 푅 （其中， 푥 ∈ [0,1] 푓 均有 5. 已知函数，），若任意 (푥) 푦 = 푔 在处取得的 (푥) (푥) ，则称函数 (푎 + 1) (푥) ≤ 푔 (푥) 最小值记为 푦 = 푔 푦 = 푓 是函数 푥的“控制函数”，且对所有满足条件的函数 (푥) (푥) 푓．(푥) 푎2푔(푥) = 푥 푦푔푥＝（） 푦 푓 是否为函数＝（） 푥（1）若，，试判断函数的“控制函数”，并说明理由；＝푎0푦 = 푓 푥 = 1 4处的切线为直线 푦 = ℎ 푦 = ℎ 푦 = 푓 为函数 (푥) （2）若，曲线在，证明：函数的“控制＝(푥) (푥) (푥) 1푓)的值；函数”，并求 4푦 = 푓 푥 = 푥 푥∈ 푐 ∈ 푐 = 푥 ，证明：当且仅当 0或 [푥0,1] 푐1＝（3）若曲线在，处的切线过点，且 (푥) (0,1) (1,0) 00푓= 푓 (푐) 时，．(푐) 参考答案与试题解析 2023 年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 【答案】 (1,0) 【考点】平面向量的坐标运算【解析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．【解答】 →→푎 = 푏 = 解：因为向量，，(1,2) (3,4) 푎 ― 2→푏 = =→所以．(3 ― 2 × 1,4 ― 2 × 2)(1,0) 故答案为： 2. 【答案】．(1,0) [ ― 1,3] 【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】 ≤ 푎⇔ ― 푎 ≤ 푥 ≤ 푎 ≤ 2 |푥 ― 1| ― 2 ≤ 푥 ― 1 ≤ 2 运用，不等式即为，解出即可． |푥| 【解答】 ≤ 2 ― 2 ≤ 푥 ― 1 ≤ 2 ，解：不等式即为 |푥 ― 1| ― 1 ≤ 푥 ≤ 3 即为，[ ― 1,3] 则解集为故答案为： 3. ，[ ― 1,3] ．【答案】 1【考点】圆的标准方程与一般方程的转化【解析】 퐶퐶把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径．【解答】 퐶解：根据圆的一般方程为 푥2 + 2푥 + 푦2 = 0 퐶，可得圆的标准方程为 (푥 + 1)2 + 푦2 = 1 ，퐶故圆的圆心为 1，半径为， ( ―1,0) 1故答案为：． 4. 【答案】 0.5 【考点】互斥事件的概率加法公式互斥事件与对立事件【解析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】 퐴퐴解：事件的对立事件为， = 0.5= 1 ― 0.5 = 0.5 ．푃푃퐴若，则 0.5 (퐴) 故答案为： 5. 【答案】．116 【考点】基本不等式【解析】直接利用基本不等式求出结果．【解答】 21푎解：正实数、满足 푏푎 + 4푏 = 1 푎푏 = 14 × 푎 ⋅ 4푏 ≤ 41 ×=푎 = 1 푏 = 1 8时等号成立． 푎 + 4푏 ，则 16，当且仅当，221故答案为: 16 ．6. 【答案】 7【考点】频率分布直方图【解析】计算极差，根据组距求解组数即可．【解答】 186 ― 154 = 32 5153.5 ，组距为，且第一组下限为，解：极差为 32 = 6.4 7，故组数为组， 57故答案为：． 7. 【答案】 17 【考点】二项式定理的应用【解析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解．【解答】解：根据题意及二项式定理可得： 푎 + 푎 = 퐶0 + 퐶4 ⋅ ( ―2)4 = 17 ．044417 故答穼为：．8. 【答案】 푥 = 3 【考点】函数的零点与方程根的关系分段函数的应用【解析】 푥 ≥ 0 푥 < 0 和分别求解即可．分【解答】 푥 ≥ 0 푔= 2⇔log = 2 푥 = 3 ；解：当时，，解得 (푥) 2(푥 + 1) 푥 < 0 푔(푥) = 푓 = 2푥 + 1 = 2 푥＝0当时，，解得（舍）； ( ―푥) 푔= 2 푥 3 ．＝所以的解为：．(푥) 푥 = 3 故答案为： 9. 【答案】 0.5 【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】根据古典概型求解即可．【解答】 10 解：从人中任选人的事件个数为 3퐶3 =10 × 9 × 8 = 120 ，10 3 × 2 × 1 12퐶1퐶2 = 4 × 6 × 5 = 60 恰有名男生名女生的事件个数为， 4 6 2 × 1 60 12= 0.5 则恰有名男生名女生的概率为120 ， 0.5 故答案为： 10. 【答案】．2[0,2 + ]【考点】共轭复数复数的模【解析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．【解答】 푧 ―1 = cos휃 + 푖sin휃 푧 = 1 +cos휃 + 푖sin휃 ，1解：设，则 1¯푧 = 푖 ⋅ 푧 푧 = sin휃 + 푖 (cos휃 + 1) 2因为 2，所以，12휋(cos휃 ― sin휃 + 1)2 + (sin휃 ― cos휃 ― 1)2 휋2=2==所以，||푧1 ― 푧2| sin 휃 ― 4 ― 1 2|2sin 휃 ― 4 ― 1 2휃 ― 휋4 sin =0显然当 2 时，原式取最小值， 휃 ― 휋4 22 + 时，原式取最大值 sin = ― 1 当故，2[0,2 + ]．的取值范围为 |푧1 ― 푧2| 2[0,2 + ]．故答案为： 11. 【答案】 21 7【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】 →→→→푂퐴 푂퐵 푂퐶 푂푃 = 将问题坐标化，表示出【解答】、、的坐标，再设，代入条件，结合不等式的性质求解． (푥,푦,푧) →푂퐴 = →푂퐵 = →3푂퐶 = ，(0,1,0) 解：设，，(0,0,1) ,21 ,0 2→푂푃 = →푂푃 푥,푦,푧 > 0 = 푥2 + 푦2 + 푧2 = 1 ，，不妨设，则 (푥,푦,푧) ||，→→→→→→≤≤因为所以 푂푃 ⋅ 푂퐶 푂푃 ⋅ 푂퐵 푂푃 ⋅ 푂퐴 ||||，可得 ||，푦 ≤3푥 + 1푦 ≤ 푧 푥 ≥3푦 푧≥ 푦 ，2231 = 푥2 + 푦2 + 푧2 ≥ 1푦2 + 푦2 + 푦2 푦2 ≤ 3 ，7所以，解得 3→→21 푂푃 ⋅ 푂퐶 = 푦 ≤ 故．721 故答案为：．7二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，13−14 题每题 4 分，第 15−16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 1. 【答案】 B【考点】函数奇偶性的判断【解析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．【解答】 푦 = sin푥 为奇函数；解：对于 A，由正弦函数的性质可知， 푦 = cos푥 푦 = 푥3 对于 B，由正弦函数的性质可知，为偶函数；为奇函数； 푦 = 2푥 对于 C，由幂函数的性质可知，对于 D，由指数函数的性质可知，为非奇非偶函数．故选：B． 2. 【答案】 C【考点】统计表扇形统计图【解析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断即可．【解答】解：显然 2021 年相对于 2020 年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A 对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故 B 对； 2020 年相对于 2019 的进口总额是减少的，故 C 错；显然进出口总额 2021 年的增长率最大，而 2020 年相对于 2019 年的增量比 2019 年相对于 2018 年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故 2020 年的增长率一定最小，D 正确．故选：C． 3. 【答案】 B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系异面直线的判定【解析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可．【解答】 푃퐴 퐶퐵푃 퐷퐷 1的中点时，与解：对于 A，当是 1是相交直线； 1퐵푃 퐴퐶 与对于 B，根据异面直线的定义知，是异面直线； 푃퐶퐵푃 퐴퐷 对于 C，当点与 1重合时，与 1是平行直线； 퐵푃 퐵퐶 是相交直线． 1푃퐶对于 D，当点与 1重合时，与故选：B． 4. 【答案】 C【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】 푘 > 2022 >푎2022,푎2033,푎2024,⋯,푎 푑0，＝对任意正整数 푎 = 0 ，都有，可以知道 푛不可能为等差数列，若 |푆푘| |푆푘+1 |=푑0푎 < 0 푛→ + ∞ 푆→ ― ∞ 푘，使得 >|푆푘| 푑，矛盾；若，则，矛盾；若，，当，|푆푘| |푆푘+1 |＝|푆푘+1 |푛푛푛0푎 > 0 푛푛→ + ∞ 푆→ + ∞ ，当 푘，必有使得 >푑 0 ，矛盾；若，当＞푛→ + ∞ 푎→ + ∞ 푆，푛，，，＝|푆푘+1 ||푆푘| 푛푛→ + ∞ 푘，必有使得 >|푆푘+1| |푆푘| ，矛盾；若 d＞0，当 n→+∞，a →+∞，S →+∞必有 k 使得|S푘+1|＞|S푘|， 푛푛푑0푛→ + ∞ 푎→ ― ∞푆푛→ ― ∞ 푘，必有使得 >|푆푘+1| |푆푘| 矛盾；若【解答】，当，，，矛盾；即可判断．＜푛푘 > 2022 >푎2022,푎2033,푎2024,⋯,푎 解：由对任意正整数，都有，可以知道 |푛不可能为等差数列， |푆푘| |푆푘+1 푑0푛→ + ∞ 푎→ ― ∞푆푛→ ― ∞푘 ，必有使得 >|푆푘+1| |푆푘| 因为若，当，，，矛盾；＜푛푑0푎 = 0 푛=若，，则，矛盾； |＝|푆푘| |푆푘+1 푑푑푑000푎 < 0 푛→ + ∞ 푆→ ― ∞ 푘，使得 >|푆푘+1| |푆푘| 若若若，，当，，矛盾；＝＝＞푛푛푎 > 0 푛푛→ + ∞ 푆→ + ∞ 푘，必有使得 >|푆푘+1| |푆푘| ，，当，，矛盾； 푛푛→ + ∞ 푎→ + ∞ 푆→ + ∞ 푘，必有使得 >，当，，，矛盾； |푆푘| |푆푘+1 |푛푛푎 ,푎 ,푎 ,⋯,푎,⋯ 所以选项 B 中的为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确； ,⋯ 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确； 2462푛 푎2022,푎2023,⋯,푎 ,⋯ 푛选项 D 中的选项 A 中的 푎 ,푎 ,푎 ,⋯,푎 1 2푛―1 35푛1푎 = 푎 = ⋯ = 푎 = ― 1 푎 = 푛 ≥ 2023 푛 ∈ 푁 ，即可．事实上，只需取，，122022 푛2故选：C．三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。 1. 【答案】 퐴푀 푃푀 ，，解：（1）连接 ∵ 푃퐴⊥ 퐴퐵퐶 ，平面 ∴ ∠푃푀퐴 푃푀 为直线与平面 퐴퐵퐶 所成的角， 32 + 42 = 5 ，△ 푃퐴푀 ∵ 퐴퐵⊥ 퐴퐶∴ 퐵퐶= ，在中， ∵ 푀 퐵퐶 为∴ 퐴푀= 1퐵퐶 = 5 中点，，22∴ tan∠푃푀퐴= 6 푃푀 퐴퐵퐶 所成角为 arctan6 5，即直线与平面；5푀퐸// 푃퐴퐵 푀퐹// ，푃퐴퐵 푀퐸∩ 푀퐹 = 푀 ，，（2）由平面平面 ∴푀퐸퐹// 푃퐴퐵 ∵푀퐸 ⊂ ，푀퐸퐹 ∴푀퐸// ，푃퐴퐵 ，平面平面平面平面 ∵ 푃퐴⊥ 퐴퐵퐶 퐴퐶⊂ ，퐴퐵퐶 ，平面平面 ∴ 푃퐴⊥ 퐴퐶∵ 퐴퐵⊥ 퐴퐶푃퐴 ∩ 퐴퐵 = 퐴 푃퐴,퐴퐵 ⊂ 푃퐴퐵 ，，，平面 푀퐸 푃퐴퐵 为直线到平面的距离，，∴ 퐴퐶⊥ 푃퐴퐵 ∴퐴퐸 ，平面 ∵ 푀퐸// 푃퐴퐵 푀퐸⊂ ，퐴퐵퐶 ，平面 퐴퐵퐶 ∩ 푃퐴퐵 퐴퐵 ，＝平面平面平面 ∴ 퐴퐸= 2 ，∴ 푀퐸//퐴퐵 ∵푀 퐵퐶 ∴ 퐸 퐴퐶 为中点，，为中点， ∴푀퐸 直线到平面 푃퐴퐵 2的距离为．【考点】直线与平面所成的角点、线、面间的距离计算【解析】 퐴푀 푃푀 ∠푃푀퐴 푃푀 为直线与平面 퐴퐵퐶 △푃퐴푀 所成的角，在（1）连接，，中，求解即可； 퐴퐸 퐴퐶 ⊥ 푃퐴퐵 平面 퐴퐸 푀퐸 ，可得为直线到平面的距离．进则求的长即可． 푃퐴퐵 （2）先证明【解答】 퐴푀 푃푀 ，，解：（1）连接 ∵ 푃퐴⊥ 퐴퐵퐶 ，平面 ∴ ∠푃푀퐴 푃푀 为直线与平面 퐴퐵퐶 所成的角， 32 + 42 = 5 ，△ 푃퐴푀 ∵ 퐴퐵⊥ 퐴퐶∴ 퐵퐶= ，在中， ∵ 푀 퐵퐶 为∴ 퐴푀= 1퐵퐶 = 5 中点，，22∴ tan∠푃푀퐴= 6 푃푀 퐴퐵퐶 所成角为 arctan6 5，即直线与平面；5푀퐸// 푃퐴퐵 푀퐹// ，푃퐴퐵 푀퐸∩ 푀퐹 = 푀 ，，（2）由平面平面 ∴푀퐸퐹// 푃퐴퐵 ∵푀퐸 ⊂ ，푀퐸퐹 ∴푀퐸// ，푃퐴퐵 ，平面平面平面平面 ∵ 푃퐴⊥ 퐴퐵퐶 퐴퐶⊂ ，퐴퐵퐶 ，平面平面 ∴ 푃퐴⊥ 퐴퐶∵ 퐴퐵⊥ 퐴퐶푃퐴 ∩ 퐴퐵 = 퐴 푃퐴,퐴퐵 ⊂ 푃퐴퐵 ，，，平面 푀퐸 푃퐴퐵 为直线到平面的距离，，∴ 퐴퐶⊥ 푃퐴퐵 ∴퐴퐸 ，平面 ∵ 푀퐸// 푃퐴퐵 푀퐸⊂ ，퐴퐵퐶 平面，平面 퐴퐵퐶 ∩ 푃퐴퐵 퐴퐵 平面，＝平面 ∴ 푀퐸//퐴퐵 ∵푀 퐵퐶 ∴ 퐸 퐴퐶 为∴ 퐴퐸= 2 ，，为中点，中点， ∴푀퐸 直线到平面 푃퐴퐵 2的距离为． 2. 【答案】 ∵ 퐴+ 퐶 = 120∘ 푎 = 2푐 ，解：（1），且 ∘3∴sin퐴 = 2sin퐶 = 2sin =cos퐴 +sin퐴 ，(120 ― 퐴) ∴cos퐴 = 0 ，∴ 퐴= 90∘ 퐶 = 30∘ 퐵 = 60∘ ，，，∵ 푏= 2 ∴ 푐= 2 ，3；322sin퐴 = sin퐶sin퐴 ，푎 = 푐푠푖푛퐴 （2） sin퐴 ，则 2∴sin퐶 = >0，，2∵ 퐴― 퐶 = 15∘ ，∴ 퐶 为锐角， ∴ 퐶= 45∘ 퐴 = 60∘ 퐵 = 75∘ ，，，8푎2∴==，6sin60∘ 2sin75∘ +34226∴ 푎= 6 = 3 ―，+3∴ 푆△퐴퐵퐶 = 12푎푏sin퐶 = 21 ×6 × 2 ×2 = 3 ― 423．+2【考点】解三角形正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理三角形的面积公式【解析】 퐴퐵퐶（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求、、，然后结合锐角三角函数即可求解； sin퐶 퐶푎，进而可求，再由正弦定理求出，结合三角形面积公式可求．（2）由已知结合正弦定理先求出【解答】 ∵ 퐴+ 퐶 = 120∘ 푎 = 2푐 ，解：（1），且 ∘3cos퐴 +sin퐴 ，∴sin퐴 = 2sin퐶 = 2sin =(120 ― 퐴) ∴cos퐴 = 0 ，∴ 퐴= 90∘ 퐶 = 30∘ 퐵 = 60∘ ，，，∵ 푏= 2 ∴ 푐= 2 ，3；322sin퐴 = sin퐶sin퐴 ，푎 = 푐푠푖푛퐴 （2） sin퐴 ，则 2∴sin퐶 = >0，，2∵ 퐴― 퐶 = 15∘ ，∴ 퐶 为锐角， ∴ 퐶= 45∘ 퐴 = 60∘ 퐵 = 75∘ ，，，8푎2∴==，6sin60∘ 2sin75∘ +34226∴ 푎= 6 = 3 ―，+3∴ 푆△퐴퐵퐶 = 12푎푏sin퐶 = 21 3. 【答案】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得： ×6 × 2 ×2 = 3 ― 423．+2퐹0 = 2휋푅퐻 + 휋푅2 푉 = 휋푅2퐻 ，0푆 = 퐹 ==휋푅(2퐻 + 푅) 2퐻 + 푅 0所以．휋푅2퐻 퐻푅 푉0 1118푛 2푛 33푆 = ++==++푛 ∈ 푁∗ 푛 ∈ 푁∗ （2）由题意可得（2）由题意可得，，，3푛 3푛 10000 100 1118푛 2푛 푆 = ，3푛 3푛 10000 100 32313푛2 229푛 ―200 600푛2 ′푆 = ―=所以，푛200 푛 = 3 20000 ≈ 6.27 ，′푆 = 0 令，解得 81 푆所以在 [1,6.27] [6.27,+ ∞) 单调递减，在单调递增， 푆所以的最小值在 푛＝67或取得， 12 × 6 100 푛67푆 = 3 푆 = 3 ++≈ 0.1595 当当时，时，，＝＝3 × 6 12 × 7 100 푛≈ 0.1598 ，3 × 7 푛＝6푆时，该建筑体最小．所以在【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积根据实际问题选择函数类型利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】 푆（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中的定义求解即可； 푆푆푛（2）利用导函数求的单调性，即可求出最小时的值．【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得： 퐹0 = 2휋푅퐻 + 휋푅2 푉 = 휋푅2퐻 ，0푆 = 퐹 ==휋푅(2퐻 + 푅) 2퐻 + 푅 0所以．휋푅2퐻 퐻푅 푉0 1118푛 2푛 3푆 = +=+100 푛 ∈ 푁∗ ，，（2）由题意可得 3푛 3푛 10000 32313푛2 229푛 ―200 600푛2 ′푆 = ―=所以，푛200 푛 = 3 20000 ≈ 6.27 ，′푆 = 0 令，解得 81 푆所以在 [1,6.27] [6.27,+ ∞) 单调递减，在单调递增， 푆所以的最小值在 푛＝67或取得， 12 × 6 100 푛67푆 = 3 푆 = 3 ++≈ 0.1595 当当时，时，，＝＝3 × 6 12 × 7 100 푛≈ 0.1598 ，3 × 7 푛＝6푆时，该建筑体最小．所以在 4. 【答案】 = 1∴ 푒= 푐 =12푎2 ― 푏2 푚2푎2 = 4푏2 = 3∴ 푎= 2푐 = 解：（1）若，则，，，，；＝푎퐴퐴퐸，设 (푝,1) （2）由已知得，1( ―푚,0) ，2(푚,0) 푝2 푚2 ∴+1 = 1 푝2 = 2푚2 ，即，33∴ 퐸→퐴 = 퐸→퐴 = ∴ 퐸→퐴 ⋅퐸→퐴 = ⋅= 푝2 ― 푚2 + ，，( ―푚 ― 푝, ― 1) (푚 ― 푝, ― 1) ( ―푚 ― 푝, ― 1) (푚 ― 푝, ― 1) 12121 = ― 2 ，∵ 푝2 = 23푚2 푚3，代入求得；＝푥2 2 = 1 3(푥 + 푡) 33푦 = 푥 + 푡 +（3）设直线，联立椭圆可得푚2 ，2푥2 + 2푡푚 푥+ 푚2 = 0 223整理得，(3 + 3푚 ) ，(푡 ―3) △≥ 0 ∴ 푡2 ≤ 3푚2 + 3 由，푥2 5235푚2 푥 + 푡) 联立双曲线可得( ，整理得 푥2 + 2푡푥 + = 0 ，(푡 ―5푚 ) 2223―= 1 (3 ― 푚) 훥 = 0푡2 = 5푚2 ― 15 由，，∴5푚2 ― 15 ≤ 3푚2 + 3 ，∴― 3 ≤ 푚 ≤ 3 ，5푚2 ― 15 ≥ 0 ∴ 푚≥ ∵ 푚≠ 33又，，，3푚 ∈ ( ,3] 综上所述：【考点】．椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题直线与椭圆的位置关系【解析】 푎푏 푐 （1）由题意可得，，，可求离心率； 퐴퐴퐸，设，由已知可得 (푝,1) 푝2 = 2푚2 푝2 ― 푚2 + 1 = ― 2 （2）由已知得，1( ―푚,0) ，，求解即可； 2(푚,0) 3푡2 ≤ 3푚2 + 3 푡2 = 5푚2 ― 15 ，与双曲线方程联立可得，可求 3푦 = 푥 + 푡 （3）设直线，与椭圆方程联立可得 푚的取值范围．【解答】 = 1∴ 푒= 푐 =1푎2 ― 푏2 푚2푎2 = 4푏2 = 3∴ 푎= 2푐 = 解：（1）若，则，，，，；＝푎2퐴퐴퐸，设 (푝,1) （2）由已知得，1( ―푚,0) ，2(푚,0) 푝2 푚2 ∴+1 = 1 푝2 = 2푚2 ，即，33∴ 퐸→퐴 = 퐸→퐴 = ∴ 퐸→퐴 ⋅퐸→퐴 = ，⋅= 푝2 ― 푚2 + ( ―푚 ― 푝, ― 1) (푚 ― 푝, ― 1) ，( ―푚 ― 푝, ― 1) (푚 ― 푝, ― 1) 12121 = ― 2 ，∵ 푝2 = 23푚2 푚3，代入求得；＝푥2 2 = 1 ，3(푥 + 푡) 33푦 = 푥 + 푡 +（3）设直线整理得，联立椭圆可得푚2 푥2 + 2푡푚 푥+ △≥ 0 ∴ 푡2 ≤ 3푚2 + 3 푚2 = 0 2223，(3 + 3푚 ) (푡 ―3) 由，，푥2 5235푚2 푥 + 푡) 联立双曲线可得( ，整理得，푥2 + 2푡푥 + = 0 (푡 ―5푚 ) 2223―= 1 (3 ― 푚) 훥 = 0푡2 = 5푚2 ― 15 由，，∴5푚2 ― 15 ≤ 3푚2 + 3 ，∴― 3 ≤ 푚 ≤ 3 ，5푚2 ― 15 ≥ 0 ∴ 푚≥ ∵ 푚≠ 33又，，，3푚 ∈ ( ,3] 综上所述： 5. 【答案】．푓= 2푥3 ― 3푥2 + 푥 ，设 ℎ= 푓 ― 푔 = 2푥3 ― 3푥2 = 6푥 解：（1），(푥) (푥) (푥) (푥) = 6푥2 ― 6푥 = 6푥 푥 ∈ [0,1] ≤ 0 ℎ′ℎ′ℎ，当时，易知，即单调减， (푥) (푥) (푥 ― 1) (푥) (푥 ― 1) ∴ ℎ(푥)max = ℎ (0) = 0 푓― 푔 ≤ 0⇒푓 ≤ 푔 (푥) ，即，(푥) (푥) (푥) ∴ 푔 푓(푥) 是的“控制函数“； (푥) 3111= ― 푥2 + 푥 푓=푓= ― 2푥 + 1 (푥) 푓，=4′′푓（2），，，(푥) 16 2421311∴ ℎ =+16 = 12푥 + 16 푓― ℎ (푥) (푥) = ― 푥2 + 1푥 ― 16 = ― 푥― 1 ≤ 0 ，，(푥) 푥 ― 14 224∴ 푓 ≤ ℎ (푥) 푦 = ℎ 푦 = 푓 ，即为函数的“控制函数“， (푥) (푥) (푥) 3331111414푓= ℎ =푔≥ 푓 =∴ 푓 =又16，且，；16 16 444′푓= 푎푥3 ― 0(푥0 ∈ (0,1)) + 푓 푥2 + 푥 푓= 3푎푥2 ― 2 푥 + 1 ，证明：（3），(푥) (푎 + 1) (푥) (푎 + 1) 푦 = 푓 푥 = 푥 푡处的切线为 (푥) 在，(푥) ′푡= 푓 푡= 푓 푡，= 0⇒푓 = 0 ，，(푥) (푥0)(푥 ― 푥0) (푥0) (푥0) (푥0) (1) (1) = 푓 ′푓(푥0) = 3푎푥02 ― 2 푥 + 1⇒푓 ― 푓 =′(푎 + 1) (푥0)(1 ― 푥0) (1) (푥0) (1― 푥0) 0，푎(1 + 푥0 + 푥02) ― (푎 + 1)(1 + 푥0) + 1 ⇒3푎푥02 ― 2 푥 + 1 = 푎푥 2 ― 푥⇒ = 0 (푎 + 1) (2푎푥0 ― 1)(푥0 ― 1) 0001121 , + ∞ 푥0 ≠ 1⇒푎 = ∈⇒푥0 = 2푎 ，2푥0 2111′푓= 3푎푥 2 ― 2 푥 + 1 = 3푎 0― 2 + 1 = ― 4푎 ，(푥0) (푎 + 1) (푎 + 1) 2푎 02푎 31212푎 ― 1 8푎2 1푓푡= 푎 ―+=，(푥0) (푎 + 1) + 푓 2푎 2푎 2푎 +2푎 ― 1⇒푡 푥 ― 2푎 8푎2 = ― ，4푎(푥 ― 1) 111′= 푓 = ― (푥) (푥0)(푥 ― 푥0) (푥0) (푥) 4푎 211푓= 푥 ≤ 푡⇒푎푥2 ― 푥 + ≥ 0 푥 ― 2푎 ≥ 0 ，恒成立， (푥) (푥 ― 1)(푎푥 ― 1) (푥) 4푎 푡푦 = 푓 (푥) 函数必是函数的“控制函数“， (푥) ∀푔 = 푘푥 + 푚 ≥ 푓⇒∀푓 (푥) ≥ 푓 푓= 푓 푥 ∈ ，푦 = 푓 是函数 (푥) ，的“控制函数“， (푥) (푥) (푥) (푥) (푥) (0,1) 1 处相切，且过点，(1,0) 푔(푥) 푦 = 푓 푥相切于点， 푡푦 = 푓 푥 = 此时“控制函数“ 必与与在(푥) (푥) (푥) 2푎 111푦 = 푓 之间的点不可能使得 푓= 푓 ⇒푐= =푥 (푐) 푐1，＝在在(푥) 2푎 ,1 切线下方，所以 0或 2푎 ,1 (푐) 2푎 푦 = 푓 푥 = 푥 푐 ∈ ，且 [푥0,1] 所以曲线当且仅当【考点】在处的切线过点，(푥) 0(푥0 ∈ (0,1)) = 푓 ．(푐) (1,0) 푐 = 푥 푐1푓时， (푐) 0或＝利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】 = 2푥3 ― 3푥2 ℎ= 6푥2 ― 6푥 = 6푥 푥 ∈ [0,1] ，当时，易知 (푥 ― 1) = 6푥 (푥) ′′ℎℎ= 푓 ― 푔 (푥) （1）设，(푥) (푥) (푥) 单调减，求得最值即可判断； ≤ 0 ℎ，即 (푥 ― 1) (푥) 푓≤ ℎ (푥) 푥2 + 푥 푦 = ℎ 푦 = 푓 （2）根据题意得到，即为函数的“控制函数“，代入即可求解； (푥) (푥) (푥) ′푓= 푎푥3 ― 푓= 3푎푥2 ― 2 푥 + 1푦 = 푓 ，푥 = 푥 在0(푥0 ∈ (0,1)) （3），处的切线为 (푥) (푎 + 1) ，求导整理得到函数 (푥) 푦 = 푓 (푎 + 1) (푥) 푡푡푔(푥) 푦 = 푓 (푥) 푥相切于必是函数的“控制函数“，又此时“控制函数“ 必与 (푥) (푥) (푥) 11푡푦 = 푓 푦 = 푓 点，所以与1 处相切，且过点 푥 = 在2푎 ，在之间的点不可能使得在(푥) 2푎 ,1 切线下方， (푥) (푥) (1,0) 1，即可得证．＝2푎 ,1 1푓= 푓 ⇒푐= =푥 0或 푐(푐) (푐) 2푎 【解答】 푓= 2푥3 ― 3푥2 + 푥 ，设 ℎ= 푓 ― 푔 = 2푥3 ― 3푥2 = 6푥 解：（1），(푥) (푥) (푥) (푥) = 6푥2 ― 6푥 = 6푥 푥 ∈ [0,1] ≤ 0 ℎ，即 (푥) ′ℎ′ℎ，当时，易知单调减， (푥) (푥 ― 1) (푥) (푥 ― 1) ∴ ℎ(푥)max = ℎ (0) = 0 푓― 푔 ≤ 0⇒푓 ≤ 푔 (푥) ，即，(푥) (푥) (푥) ∴ 푔 푓(푥) 是的“控制函数“； (푥) 3111= ― 푥2 + 푥 푓=푓= ― 2푥 + 1 (푥) 푓，=4′′푓（2），，，(푥) 16 2421311∴ ℎ =+16 = 12푥 + 16 푓― ℎ (푥) (푥) = ― 푥2 + 1푥 ― 16 = ― 푥― 1 ≤ 0 ，，(푥) 푥 ― 14 224∴ 푓 ≤ ℎ (푥) 푦 = ℎ 푦 = 푓 ，即为函数的“控制函数“， (푥) (푥) (푥) 3331111414푓= ℎ =푔≥ 푓 =∴ 푓 =又16，且，；16 16 444′푓= 푎푥3 ― 0(푥0 ∈ (0,1)) + 푓 푥2 + 푥 푓= 3푎푥2 ― 2 푥 + 1 ，证明：（3），(푥) (푎 + 1) (푥) (푎 + 1) 푦 = 푓 푥 = 푥 푡处的切线为 (푥) 在，(푥) ′푡= 푓 푡= 푓 푡，= 0⇒푓 = 0 ，，(푥) (푥0)(푥 ― 푥0) (푥0) (푥0) (푥0) (1) (1) = 푓 ′푓(푥0) = 3푎푥02 ― 2 푥 + 1⇒푓 ― 푓 =′(푎 + 1) (푥0)(1 ― 푥0) (1) (푥0) (1― 푥0) 0，푎(1 + 푥0 + 푥02) ― (푎 + 1)(1 + 푥0) + 1 ⇒3푎푥02 ― 2 푥 + 1 = 푎푥 2 ― 푥⇒ = 0 (푎 + 1) (2푎푥0 ― 1)(푥0 ― 1) 0001121 , + ∞ 푥0 ≠ 1⇒푎 = ∈⇒푥0 = 2푎 ，2푥0 2111′푓= 3푎푥 2 ― 2 푥 + 1 = 3푎 0― 2 + 1 = ― 4푎 ，(푥0) (푎 + 1) (푎 + 1) 2푎 02푎 31212푎 ― 1 8푎2 1푓푡= 푎 ―+=，(푥0) (푎 + 1) + 푓 2푎 2푎 2푎 = 푓 = ― +2푎 ― 1⇒푡 = ― (푥) 4푎(푥 ― 1) 111′，(푥) (푥0)(푥 ― 푥0) (푥0) 푥 ― 2푎 4푎 8푎2 211푓= 푥 ≤ 푡⇒푎푥2 ― 푥 + ≥ 0 푥 ― 2푎 ≥ 0 (푥 ― 1)(푎푥 ― 1) (푥) 4푎 ，恒成立， (푥) 푡푦 = 푓 (푥) 函数必是函数的“控制函数“， (푥) ∀푔 = 푘푥 + 푚 ≥ 푓⇒∀푓 (푥) ≥ 푓 푓= 푓 푥 ∈ ，푦 = 푓 是函数 (푥) ，的“控制函数“， (푥) (푥) (푥) (푥) (푥) (0,1) 1 处相切，且过点，(1,0) 푔(푥) 푦 = 푓 푥相切于点， 푡푦 = 푓 푥 = 此时“控制函数“ 必与与在(푥) (푥) (푥) 2푎 111푦 = 푓 之间的点不可能使得 푓= 푓 ⇒푐= =푥 0或 푐1，＝在在(푥) 2푎 ,1 切线下方，所以 2푎 ,1 (푐) (푐) 2푎 푦 = 푓 푥 = 푥 处的切线过点 0(푥0 ∈ (0,1)) 푐 ∈ 所以曲线当且仅当在，且，(푥) (1,0) [푥0,1] 푐 = 푥 푐1푓= 푓 (푐) (푐) 0或时，．＝