2022年高考数学真题（理科）（全国甲卷）（原卷版）

绝密★启用前 2022 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. z1 若，则（）z  1 3i zz 1 13A. B. C. D. 1 3i 1 3i   i3313  i332. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70% B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85% C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 U {2,1,0,1,2,3} A {1,2}, B  x∣x2  4x  3  0 3. 设全集，集合，则 ð (A B)  （）U{1,3} {0,3} {2,1} A. B. C. D. {2,0} 4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 π π y  3x 3x cos x  , 5. 函数在区间的图象大致为（）2 2 A. B. C. D. bxf (2)  f (x)  aln x  6. 当时，函数取得最大值 2，则（）x 1 11A. B. C. D. 1 1 22ABCD  A B C D 1 中，已知 B D AA B B 所成的角均为 1 1 7. 在长方体与平面和平面 ABCD 111130° A. ，则（）AB C D B. AB 与平面所成的角为 AB  2AD 1130° C. AC  CB B D BB C C 与平面所成的角为 1 1 D. 1145 8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆 术”，如图，是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的 AB 中点，D 在上， AB AB CD2 ．“会圆术”给出的弧长的近似值 s 的计算公式：．当 CD  AB s  AB  AB OA s  OA  2,AOB  60 时，（）113 3 11 4 3 9  3 3 A. B. C. D. 2229  4 3 2S，侧面积分别为甲和 9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π SV甲 V乙甲 =2 =（SVV乙，体积分别为甲和乙．若，则）S乙 5 10 4A. B. C. D. 510 2 2 x2 y2 10. 椭圆的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y 轴对 C : 1(a  b  0) a2 b2 1AP, AQ 称．若直线的斜率之积为，则C 的离心率为（）413132AB. C. D. 222π恰有三个极值点、两个零点，则的取值范 f (x)  sin x  (0, π) 11. 设函数在区间 3围是（）5 13 5 19 ,13 8 ,,A. B. C. D. 3 6 3 6 6 3 13 19 ,6 6 31 114a  ,b  cos ,c  4sin 12. 已知，则（）32 4a  b  c A. B. C. D. c  b  a b  a  c a  c  b 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. r   1a 1 b  3 ，2a  b b  13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，则 _________． ab3x2 m2 222m  14. 若双曲线 _________．的渐近线与圆相切，则 x  y  4y  3  0 y  1(m  0) 15. 从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为________． AC ADB 120, AD  2,CD  2BD 16. 已知中，点 D 在边 BC 上， ________．．当取得 ABC AB 最小值时， BD  三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分． 2Sn Sa  n n  2a 1 17. 记为数列的前 n 项和．已知．nnna（1）证明：  是等差数列； na ,a ,a S9 成等比数列，求 n 的最小值．（2）若 4718. 在四棱锥中，底面 P  ABCD PD  ．ABCD,CD∥ AB, AD  DC  CB 1, AB  2, DP  3 （1）证明：；BD  PA （2）求 PD 与平面所成的角的正弦值． PAB 19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望． 2D p,0 ，过 F 的直线交 C 于 M，N 两 20. 设抛物线的焦点为 F，点 C : y  2px( p  0) MF  3 点．当直线 MD 垂直于 x 轴时，（1）求 C 的方程；．MD, ND MN, AB 的倾斜角分别为（2）设直线与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线 ,     取得最大值时，求直线 AB 的方程．．当 ex 21. 已知函数．f x ln x  x  a   xf x 0   的，求 a 取值范围；（1）若 f x x , x 2 ，则环 x x1 （2）证明：若  有两个零点．112（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 2  t 6x  C中，曲线的参数方程为 xOy C（t 为参数），曲线 2 的参数方 22. 在直角坐标系 1y  t 2  s 6x   程为（s 为参数）． y  s C（1）写出 1 的普通方程； C的（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为 3C，求 3 与 1 交点的直角坐标，及 3 与 2 交点的直角坐标． CCC2cos sin  0 [选修 4-5：不等式选讲] 22223. 已知 a，b，c 均为正数，且，证明： a  b  4c  3 （1）；a  b  2c  3 1 1  3 （2）若，则．b  2c ac