二零二一年齐齐哈尔市初中学业考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间 120 分钟 2．全卷共三道大题，总分 120 分 3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分） 1. 实数 2021 的相反数是（ ）11A. B. C. D. 2021 2021 2021 2021 B【答案】 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：2021 的相反数是： 故选：B． ．2021 【点睛】本题主要考查相反数的定义，正确掌握其概念是解题关键． 2. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形， B．是轴对称图形但不是中心对称图形， C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形， D．既是轴对称图形也是中心对称图形． 故选 D． 【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，是解题的关 键． 3. 下列计算正确的是（ ）2A. B. 3m2n3 6m4n6 16 4 3a2 a4 3a8 3xy 3x y D. C. A【答案】 【解析】 【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选 项进行分析，即可得出答案． 【详解】A、 ，正确，故该选项符合题意； 16 4 23m2n3 9m4n6 B、 C、 D、 ,错误，故该选项不合题意； 246 ，错误，故该选项不合题意； 3a a 3a 3xy 与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意； 3x 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根 的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键． 4. 喜迎建党 100 周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组 数平均数是 6，则这组数据的中位数（ ）A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7 C【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的定义，先求出 x，再将数据从小到大排序，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】根据题意得： 5+ 5+ 6+ x+ 7+ 7+ 8 = 7´ 6 ，x 4 解得： ，4,5,5,6,7,7,8 排序得： ，故中位数为：6， 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数和中位数，掌握平均数和中位数的概念是解题关键． 5. 把直尺与一块三角板如图放置，若 ，则 2 的度数为（ ）1 47 A. 43 B. C. 133 D. 47 137 D【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角 相等解答即可． 【详解】解：∵∠1＝47°， ∴∠3＝90°−∠1＝90°−47°＝43°， ∴∠4＝180°−43°＝137°， ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2＝∠4＝137°． 故选：D． 的【点睛】本题考查了平行线 性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图 是解题的关键． 6. 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有 40 升油，到乙地后发现油箱 中还剩 4 升油．则油箱中所剩油 y（升）与时间 t（小时）之间函数图象大致是（ ）A. B. C. D. C【答案】 【解析】 3【分析】由题意可将行程分为 段：停车休息前、停车休息中、停车休息后．根据停车前和停车后，油箱 中油量随时间的增加而减少；停车休息中，时间增加但油箱中的油量不变．表示在函数图象上即可． ∵【详解】解： 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间， ∴∵∴休息前油箱中的油量随时间增加而减少，休息时油量不发生变化． 4再次出发油量继续减小，到乙地后发现油箱中还剩 升油， 只有 符合要求． C故选： ．C【点睛】本题考查了用图象法表示函数关系，明确三段行程油量随时间的增加发生的变化情况是解题的关 键． 7. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个 数最多为（ ）A. B. C. D. 10 个 7 个 8 个 9 个 A【答案】 【解析】 【分析】根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最多的个数． 【详解】解：根据题意得： 则搭成该几何体的小正方体最多是 1＋1＋1＋2＋2＝7（个）． 故选：A． 【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键． 18. 五张不透明的卡片，正面分别写有实数 ，，，，5.06006000600006……（相邻两个 6 之间 91 215 0 的个数依次加 1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片， 取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）15253545A. B. C. D. B【答案】 【解析】 的【分析】通过有理数和无理数 概念判断，然后利用概率计算公式计算即可． 1【详解】有理数有： ，，；1 915 无理数有： ，5.06006000600006……； 225则取到的卡片正面的数是无理数的概率是 ，故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数、无理数的概念和简单概率计算，先判断后计算概率即可． 9. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和消精湿巾，已知口罩每包 3 元，酒精湿巾每包 2 元，共用了 30 元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种 B【答案】 【解析】 y【分析】设购买口罩 包，酒精湿巾 包，根据总价 单价 数量，即可列出关于 x, y x的二元一次方程，结 x, y 合均为正整数，即可得出购买方案的个数． y【详解】解：设购买口罩 包，酒精湿巾 包， x3x 2y 30 依据题意得： 2x 10 y 3x, y 均为正整数， x 8 y 3 x 6 y 6 x 4 y 9 x 2 或或或y 12 小明共有 4 种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 如图，二次函数 y ax2 bx c(a 0)图象的一部分与 x 轴的一个交点坐标为 1,0 ，对称轴为 10. ，结合图象给出下列结论： x 1 ①；a b c 0 ②；a 2b c 0 ③关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的两根分别为-3 和 1； 4, y 1 2, y 3, y y y y ④若点 ，2 ，3 均在二次函数图象上，则 ；123a b m(am b) ⑤（m 为任意实数）． 其中正确的结论有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断． 【详解】解：∵二次函数 y ax2 bx c(a 0)图象的一部分与 x 轴的一个交点坐标为 1,0 ，∴当 x=1 时， ，a b c 0 故结论①正确； 根据函数图像可知， x 1，y 0 当，即 a b c 0 ，b 1 对称轴为 ，即 ，，x 1 2a 根据抛物线开口向上，得 a＞0 ∴∴即，b 2a＞0 ，a b c b 0 ，a 2b c 0 故结论②正确； 根据抛物线与 x 轴的一个交点为 对称轴为 可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)， 1,0 ，x 1 ∴关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的两根分别为-3 和 1， 故结论③正确； y y y 根据函数图像可知： 故结论④错误； x m ，213当时， y am2 bm c m(am b) c ，a b c m(am b) c m 1 ∴当 时， ，a b m(am b) 即，故结论⑤错误， 综上：①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二 次函数与方程的关系． 二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分） 11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占 0.000 0007(毫米 2)，这个数用科学记数法表示为__________． 7－7×10 【答案】 【解析】 —【详解】考点：科学记数法 表示较小的数． a×10 n1≤|a| 10 n， 表示整数．即从左 分析：科学记数法就是将一个数字表示成（ 的次幂的形式），其中 10 ＜n0.000 000 7 1＜ 时， 为负数． n边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以 的次幂．本题 0.000 000 7=7×10-7 解： ．7×10-7 故答案为 ．AC AD 12. △ABC≌△AED _________ ，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即 如图， ，，要使 1 2 可） 【答案】 【解析】 或或（只需写出一个条件即可，正确即得分） C D B E AB AE 【分析】根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三 角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可． 【详解】解：如图所所示， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD． ∴∠BAC=∠EAD． （1）当∠B=∠E 时， B E BAC EAD AC AD ∴△ABC △AED AAS ． （2）当∠C=∠D 时， C D AC AD BAC EAD ∴△ABC △AED ASA． （3）当 AB=AE 时， AB AE BAC EAD AC AD ∴△ABC △AED SAS ． 故答案为：∠B=∠E 或∠C=∠D 或 AB=AE 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关 键． 13. 一个圆锥的底面圆半径为 6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 240°，则圆锥的母线长为_____cm． 9【答案】 ． 【解析】 的【详解】试题分析：求得圆锥 底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长： ∵∴2π×6=12π ，圆锥的底面周长为： 12π. 圆锥侧面展开图的弧长为 R设圆锥的母线长为 ， 240 R ∴12 R=9cm ，解得 ． 180 考点：圆锥的计算． 14. 3x m 2 _________ 的解为正数，则 m 的取值范围是 ． 若关于 x 的分式方程 x 1 1 x m 3 【答案】 m 2 且【解析】 【分析】先利用 m 表示出 x 的值，再由 x 为正数求出 m 的取值范围即可． (x 1) 【详解】解：方程两边同时乘以 得： 3x m 2(x 1) ，解得： x m 2 ∵x 为正数， ，∴∵∴，解得 m 2 ，m 2＞0 ，x 1 ，即 ，且m 2 1 m 3 ∴m 的取值范围是 m 2 ，m 3 故答案为： m 2 且．m 3 【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用 m 表示出 x 的值是解题的关键． 15. 若直角三角形其中两条边的长分别为 3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________． 3 7 【答案】2.4 或 4【解析】 【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为 3、4 或直角三角形一条直角边为 3，斜边为 4，首先根据 勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题． 22【详解】若直角三角形的两直角边为 3、4，则斜边长为 ，3 4 5 设直角三角形斜边上的高为 h， 11 34 5h ，22∴h 2.4 ．42 32 7 若直角三角形一条直角边为 3，斜边为 4，则另一条直角边为 设直角三角形斜边上的高为 h， 11 3 7 4h ，223 7 4∴．h 3 7 4故答案为：2.4 或 ．【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． kk16. y 1 (x 0) y 2 (x 0) 如图，点 A 是反比例函数 图象上一点， AC x 轴于点 C 且与反比例函数 k k xx的图象交于点 B， AB 3BC ，连接 OA，OB，若OAB 的面积为 6，则 _________． 12【答案】 20 【解析】 12121212k1 |=- k2 |=- kk2 ，利用 【分析】利用反比例函数比例系数 k 的几何意义得到 S△AOC =|1 ，S△BOC =|112kkkk+2 的 kkAB=3BC 得到 S△ABO=3S△OBC=6，所以- 2 =2，解得 2 =-4，再利用- 1 =6+2 得 1 =-16，然后计算 12值． k2 x【详解】解：∵AC⊥x 轴于点 C，与反比例函数 y= （x＜0）图象交于点 B， kk而1 ＜0， 2 ＜0， 1121212k1 |=- k2 |=- kk2 ，∴S△AOC =|1 ，S△BOC =|2∵AB=3BC， ∴S△ABO=3S△OBC=6， 1kk即- ∵- 2 =2，解得 2 =-4， 21kk1 =6+2，解得 1 =-16， 2kk∴+2 =-16-4=-20． 1故答案为：-20． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线， 1这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变． 2如图，抛物线的解析式为 y = x2 ，点 1 的坐标为 ，连接 1 ：过 A1 作 1 ，分别交 y 轴、 A1,1 OA A B OA 17. 11B B 1 ：过 1 作 B A A B A A 2 ；过 2 作 A B B A 抛物线于点 P 、 y轴、抛物线于点 P 、 1 ，分别交 2 ，分 12122112PB P 、2 …：按照如此规律进行下去，则点 n （n 为正整数）的坐标是_________． 别交 y 轴、抛物线于点 30,n2 n 【答案】 【解析】 OA A PB PA P 3 ……的解析式，即可求得 21P 、P2、P3…… 【分析】根据待定系数法分别求出直线 、、、11121的坐标，得出规律，从而求得点 Pn 的坐标． A【详解】解：∵点 1 的坐标为 1,1 ，y x OA ∴直线 1 的解析式为 ，A B OA ∵∴∴设，111OP 2 ，，1P(0,2) 1A P y kx b 1 的解析式为 ，11k b 1 k 1 1∴，解得 ，b 2 b 2 11A P y x 2 所以直线 1 的解析式为 ，1y x 2 y x2 B (2，4) 解，求得 ，1B P∥OA ，1∵设∴∴∴12B P y x b 2 的解析式为 ，122 b 4 ，2b 6 ，2P (0，6) ，2y x 6 y x2 A (3,9) ，解求得 2A P y x b 设∴∴3 的解析式为 ，233 b 9 ，3b 12 ，3P (0,12) ∴，3．．． P (0，n2 n) ∴，n0,n2 n 故答案为： ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根 据一次函数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键． 三、解答题（本题共 7 道大题，共 69 分） 2 1018. （1）计算： ． 3.14 4cos45 1 2 2（2）因式分解： 3xy3 12xy ．3xy(y 2)(y 2) ；（2） 【答案】（1） 6 2 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 2【详解】（1）解：原式 4 1 4 ( 21) 2 4 1 2 2 2 1 6 2 （2）解：原式 3xy(y2 4) 3xy(y 2)(y 2) 【点睛】本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取 公因式等是解题的关键． x(x 7) 8(7 x) 19. 解方程： ．x 7 x 8 ，【答案】 【解析】 12【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可． x(x 7) 8(7 x) 【详解】解：∵ ，x(x 7) 8(x 7) 0 ∴∴∴，(x 7)(x 8) 0 ，x 7 x 8 ，．12【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式． 20. 某中学数学兴趣小组为了解本校学生对 A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节 目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘 制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是__________； （2）请补全条形图； m （3）扇形图中， _________，节目类型 E 对应的扇形圆心角的度数是__________； （4）若该中学有 1800 名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？ 【答案】（1）300；（2）见解析；（3）35，18°；（4）180 人 【解析】 【分析】（1）从条形统计图中可得喜欢 B 类节目的人数为 60 人，从扇形统计图中可得此部分人数占调查人 数的 20%，可求出调查人数； （2）总人数减去喜爱 A,B ,D,E 类电视节目的人数，可得喜爱 C 类节目的人数，从而补全条形统计图； （3）根据百分比=所占人数÷总人数，可得 m 的值，节目类型 E 对应的扇形圆心角的度数等于 360°乘以 节目类型 E 的百分比； （4）利用样本估计总体的思想，用 1800 乘以样本中喜欢新闻类节目的学生的百分比即可求得该校 1800 名 学生中喜欢新闻类节目的学生人数． 【详解】（1）由条形统计图可知，喜爱 B 类节目的学生有 60 人，从扇形统计图可得此部分人数占调查总人 数的 20%， 故本次抽样调查的样本容量是： 60 20% 300 （人）； 故答案为：300； （2）喜爱 C 类节目的人数为： 300- 30- 60- 105- 15 = 90 （人）， 补全统计图如下： 105 m% = ´ 100% = 35% ，（3） 300 故 m=35， 节目类型 E 对应的扇形圆心角的度数为： 15 360°´ = 18° ，300 故答案为：35,18； （4）该校 1800 名学生中喜欢新闻类节目的学生有： 30 1800 180 （人）． 300 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键． 21. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，AE 和过点 C 的切线 CD 互相垂直，垂足为 E，AE 与⊙O 相交于点 F，连接 AC． （1）求证：AC 平分 ；EAB 3（2）若 AE 12 ，．求 OB 的长． tan CAB 3【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】 【分析】（1）连接 OC，由 CD 是⊙O 的切线， ，可证 ，可证 ；AE CD OC / /AE CAO EAC 333（2）连接 BC，由 AB 是⊙O 的直径，可得 ，由 ， 可得 ，ACB 90 tan CAB tan EAC 3可求 ，由勾股定理求 ，AB 16即可． CE 4 3 AC 8 3 【详解】（1）证明：连接 OC， ∵CD 是⊙O 的切线， ，AE CD ∴，OCD AEC 90 ∴∴∵∴∴，OC / /AE OCA EAC ，，OA OC ，，ACO CAO CAO EAC ∴AC 平分 ；EAB （2）解：连接 BC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴，ACB 90 tan CAB 3∵，，AE 12 ，CAB EAC 33CE AE 3∴∴，即 ，tan EAC 33，CE 4 3 在 Rt△ACE 中， 22∴，AC AE EC 8 3 33BC 3又∵ ，，即 ，ACB 90 tan CAB =AC 3BC 8 ∴∴，22，AB AC BC 16 1OB AB 8 ∴．2【点睛】本题考查圆的切线性质，等腰三角形性质，直径所对圆周角是直角，锐角三角函数，勾股定理等 知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 22. 在一条笔直的公 路上依次有 A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从 A地骑自行车去 B地，途经 C 地休息 1分钟，继续按原速骑行至 B地，甲到达 B地后，立即按原路原速返回 A地；乙步行从 B地前往 A 地．甲、乙两人距 A地的路程 y（米）与时间 x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请写出甲的骑行速度为 米/分，点 M的坐标为 ； （2）求甲返回时距 A地的路程 y与时间 x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两人出发后，在甲返回 A地之前，经过多长时间两人距 C地的路程相等． ﹣1200 2y= 240x+ ）；（ ）2640；（3）经过 4分钟或 6分钟或 8分钟时两人距 C地的路 1 2406 【答案】（ ），（ ， 程相等． 【解析】 【分析】(1)根据函数图象得出 AB 两地的距离,由行程问题的数量关系由路程 时间=速度就可以求出结论; (2)先由行程问题的数量关系求出 M、N 的坐标,设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b,由待定系数法就可以 求出结论; ÷①(3) 设甲返回 A地之前，经过 x分两人距 C地的路程相等，可得乙的速度：1200 20=60（米/分），分别分 x≤ 当 0＜ 3时 当3＜ ＜ ②x③当x≤ ＜ 6时 当x=6时 当x＞6时 5种情况讨论可得经过多长 ④⑤﹣1 时 时间两人距 C地的路程相等. 【详解】（1）由题意得：甲的骑行速度为： =240（米/分）， ﹣240× 11 （1÷） 2=1200（米）， 则点 M的坐标为（6，1200）， 故答案为 240，（6，1200）； （2）设 MN的解析式为：y=kx +b k≠0 （ ）， ∵y=kx+b k≠ （ 0）的图象过点 M（6，1200）、N（11，0）， ∴，解得 ，∴+2640 ；直线 MN的解析式为：y=﹣240x +2640 即甲返回时距 A地的路程 y与时间 x之间的函数关系式：y=﹣240x （3）设甲返回 A地之前，经过 x分两人距 C地的路程相等， ；÷乙的速度：1200 20=60（米/分）， ∵AB=1200 AC=1020 ， ， 如图 1所示： ﹣∴BC=1200 1020=180 分 5种情况： ，① x≤ 当 0＜ 3时，1020﹣240x=180﹣60x， x= 3＞ ， 此种情况不符合题 意； ② x 当 3＜ ＜ x﹣1 时，即 3＜ ＜ ，甲、乙都在 A、C之间， ﹣﹣∴1020 240x=60x 180 ，x=4 ，③x≤ ＜ 6时，甲在 B、C之间，乙在 A、C之间， 当﹣﹣∴240x 1020=60x 180 ，x= ＜，此种情况不符合题意； ④当 x=6时，甲到 B地，距离 C地 180米， ×乙距 C地的距离：6 60﹣180=180（米）， 即 x=6时两人距 C地的路程相等， ⑤当 x＞6时，甲在返回途中， ﹣﹣﹣1200]=60x 180 x=6 ， ， [240 x1当甲在 B、C之间时，180﹣ 此种情况不符合题意， （）当甲在 A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180=60x﹣180， x=8 ，综上所述，在甲返回 A地之前，经过 4分钟或 6分钟或 8分钟时两人距 C地的路程相等． 【点睛】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用,一次函数与二元一次方程组的关系的运用,行 程问题的数量关系的运用,注意由图像得出有用的信息及分类讨论思想在解题时的应用.. 综合与实践 23. 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓 展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片 ABCD 折叠，使边 AB、AD 都落在对角线 AC 上，展开得折痕 AE、AF，连接 EF， 如图 1． （1） _________ ，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； EAF 转一转：将图 1 中的 绕点 A 旋转，使它的两边分别交边 BC、CD 于点 P、Q，连接 PQ，如图 2． EAF （2）线段 BP、PQ、DQ 之间的数量关系为_________； PAQ （3）连接正方形对角线 BD，若图 2 中的 的边 AP、AQ 分别交对角线 BD 于点 M、点 N．如图 3， CQ 则________； BM 剪一剪：将图 3 中的正方形纸片沿对角线 BD 剪开，如图 4． 222（4）求证： ．BM DN MN BP DQ PQ 【答案】（1）45，ABC ，ADC ；（2） ；（3） ；（4）见解析 2【解析】 DAF FAC,BAE EAC 【分析】（1）由翻折的性质可知： ，，根据 EAF FAC EAC 正 方 形 的 性 质 ：AB BC CD AD ,，则BAD 90 DAF FAC BAE EAC 1ABC,ADC EAF BAD 45 ，为等腰三角形； 2△ADQ △APQ≌△APQ （2）如图：将 顺时针旋转 ，证明 全等，即可得出结论； 90 △ACQ∽△ABM （3）证明 即可得出结论； （4）根据半角模型，将△ADN 顺时针旋转 ，连接 ，可得 DN BN ，通过 90 MN △AMN≌△AMN 得出 ，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论． MN MN △BMN DAF FAC,BAE EAC 【详解】（1）由翻折的性质可知： 为正方形 ABCD BAD 90 ，AB BC CD AD ABC,ADC 为等腰三角形 BAD DAF FAC BAE EAC BAD 2 FAC EAC EAF FAC EAC 11EAF BAD 90 45 22△ADQ （2）如图：将 顺时针旋转 ，90 AQ AQ DQ BQ DAQ BAQ ，由旋转的性质可得： PAQ 45 BAD 90 由（1）中结论可得 ABCD 为正方形， BAP DAQ 45 BAQ BAP 45 PAQ PAQ 中APQ △APQ 和在AP AP PAQ PAQ AQ AQ △APQ≌△APQ PQ PQ PQ BQ BP PQ DQ BP BD, AC （3） 为正方形 对角线 ABCD AC 2AB ABM ACQ 45 ，BAC 45 PAQ 45 CAQ 45 PAC ，BAM 45 PAC BAM CAQ △ABM ∽△ACQ CQ AC 2 BM AB MN （4）如图：将△ADN 顺时针旋转 ，连接 ，90 由（2）中的结论可证 △AMN≌△AMN MN MN D 45,ABD 45 DN BN 根据旋转的性质可得： ，D ABN 45 MBN ABD ABN 90 22 2 在中有 Rt△MBN BM BN MN 222BM DN MN 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判 定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 2x c(a 0)与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，连接 BC， ，对称轴为 ，点D 为此抛物线的顶点． OA 1 x 2 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上 C，D 两点之间的距离是__________； （3）点 E 是第一象限内抛物线上的动点，连接 BE 和 CE．求 面积的最大值； BCE （4）点 P 在抛物线对称轴上，平面内存在点 Q，使以点 B、C、P、Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出 点 Q 的坐标． 15273125 16 y x2 2x (3, ) (3,- ) 或(7,4) (3,4) ．【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） 或或2 2 222【解析】 a【分析】（1）先根据对称轴可得 的值，再根据 可得点 A的坐标，代入抛物线的解析式即可得； 的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得； x作 轴的垂线，交BC 于点 ，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，再设点 的坐标为 OA 1 C, D （2）利用抛物线的解析式分别求出点 （3）过点 EFE15E(t, t2 2t ) 的坐标，然后根据 S△BCE S△CEF S△BEF S t 可得 BCE 关于 的 ，从而可得 和0 t 5 F22函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得； P(2,m) BCPQ BCQP 的边时，③当 BC （4）设点 P的坐标为 ，分①当 BC 为矩形 的边时，②当 BC 为矩形 BPCQ 为矩形 的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移 变换规律求解即可得． 22x 2 【详解】解：（1） 抛物线y ax 2x c(a 0)的对称轴为 ，2a 1a ，21 y x2 2x c ，2xOA 1，且点 A在轴负半轴上， A(1,0) ，115y x2 2x c 2 c 0 c A(1,0) 将点 代入 得： ，解得 ，22215y x2 2x 则抛物线的解析式为 ；22152192y x2 2x y (x 2)2 （2） 化成顶点式 为，229D(2, ) 则顶点 的坐标为 D，255y C(0, ) ，当时， ，即 x 0 229 5 22C, D 则抛物线上 故答案为： 两点之间的距离是 ；，(2 0) ( ) 2 2 2 2 2 2 x（3）如图，过点 作轴的垂线，交 BC 于点 ，EF A(1,0) ，抛物线的对称轴为 ，x 2 B(5,0) ，y kx b 设直线 BC 的解析式为 ，125k b 0 k 5B(5,0),C(0, ) 将点 代入得： ，解得 ，5b 2522b 15y x 则直线 BC 的解析式为 ，221515E(t, t2 2t ) F(t, t ) 设点 的坐标为 E，则 ，，0 t 5 2222151515EF t2 2t ( t ) t2 t ，222222115115SBCE SCEF SBEF t( t2 t) (5t)( t2 t) ，22222255125 16 (t )2 ，425125 16 St 由二次函数的性质得：在 内，当 时， BCE 取最大值，最大值为 ，0 t 5 2125 ；16 即面积的最大值为 BCE P(2,m) ，（4）设点 P的坐标为 由题意，分以下三种情况： BCPQ ①当 BC 为矩形 的边时，则CP BC ，y 2x n ，设直线 的解析式为 代入得： CP 55C(0, ) n 将点 ，2252y 2x 则直线 的解析式为 ，CP 513 213 2P(2,m) m 22 P(2, )，将点 代入得： ，即 2将点 先向右平移2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度可得到点 P，CBCPQ 四边形 是矩形， Q平移至点 的方式相同， 点平移至点 P的方式与点 BCB(5,0) ，Q(5 2,0 4) Q(7,4) ，即 ；BCQP ②当 BC 为矩形 的边时，则 BP BC ，7Q(3, ) 2Q同（4）①的方法可得：点 的坐标为 ；，BPCQ ③当 BC 为矩形 的对角线时，则 BP CP CP2 BP2 BC2 ，55(2 0)2 (m )2 (2 5)2 (m 0)2 (5 0)2 (0 )2 即，2232m 解得 m 4 P(2,4) 或，，3P(2, ) 或2P(2,4) 时， 当点 P的坐标为 3则将点 P先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 个单位长度可得到点 ，C2BPCQ 四边形 是矩形， Q平移至点 的方式相同， 的点P平移至点 方式与点 BC33Q(5 2,0 ) Q(3, ) ，即 ；223Q时，点 的坐标为 Q(3,4) ，P(2, ) 同理可得：当点 P的坐标为 273Q综上，点 的坐标为 (7,4) (3,4) 或 ． (3, ) (3,- ) 或或22【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题 （4），正确分三种情况讨论是解题关键．
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