2021 年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷 一、填空题（将正确答案写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，满分 24 分） 1. 截止到 2021 年 6 月 10 日，全国累计新冠疫苗接种超 840000000 剂次，用科学记数法表 示 840000000，应记作____． 【答案】8.4×108 【解析】 【分析】根据绝对值大于 10 的数科学记数法的表示为 n 的形式即可求解，其中 a 10 1 a ＜10 ，n 为整数位数减 1． 【详解】解：840000000=8.4×108． 故答案 ：8.4×108 为【点睛】本题考查绝对值大于 10 的数的科学记数法的表示，绝对值大于 10 的数科学计数法 n1 a ＜10 ，n 为整数位数减 1，准确确定 a、n 的值是 一般可以写成 解题关键． 的形式，其中 a 10 2. 在四边形 ABCD 中，AB＝CD，请添加一个条件_____，使得四边形 ABCD 是平行四边 形． 【答案】AB//CD 等 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，结合已知条件即可解答. 【详解】∵AB＝CD， ∴当 AD＝BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．） 或 AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．）时，四边形 ABCD 是平行四边 形． 故答案为 AD＝BC 或者 AB∥CD． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边 分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组 对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5） 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 3. 甲乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表： 班级 甲参加人数 中位数 方差 平均数 45 109 181 110 乙45 111 108 110 某同学分析如表后得到如下结论：①甲，乙两班学生平均成绩相同；②乙班优秀人数多于甲 班优秀人数（每分钟跳绳≥110 次为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序 号是____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】首先根据表格信息即可得出二者平均数一样，然后再观察表格发现甲班的中位数是 109，乙班的中位数是 111，由此进一步比较二者的优秀人数即可，最后根据二者的方差大 小即可得出哪个班波动大或小，据此进一步得出答案即可． 【详解】甲、乙两班的平均数都是 110，故①正确， ∵甲班的中位数是 109，乙班的中位数是 111，乙班中位数比甲班的大， ∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，故②正确， ∵甲班的方差大于乙班的方差， ∴甲班的波动情况大，故③正确； 综上所述，①②③都正确， 故答案为①②③ 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数与方差的性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 4. 将抛物线 y＝x2﹣2x＋3 向左平移 2 个单位长度，所得抛物线为____． 【答案】y＝x2+2x＋3 【解析】 y (x 1)2 2 2【分析】把 y＝x ﹣2x＋3 配方得 ，把顶点向左平移 2 个单位长度即可得所求 ，其顶点坐标为(1,2)，抛物线的顶点向左平 抛物线的解析式． y (x 1)2 2 2【详解】把 y＝x ﹣2x＋3 配方得 y (x +1)2 2 2移 2 个单位长度后为(-1,2)，所以所得抛物线的解析式为 故答案为：y＝x2+2x＋3． ，即 y＝x +2x＋3 【点睛】本题考查了抛物线的平移，抛物线的一般式化顶点式，关键抓住抛物线的顶点平 移． 5. 半径等于 12的圆中，垂直平分半径的弦长为________ ． 【答案】12 3【解析】 【详解】试题分析：圆心为 O，AB 为弦，半径与弦的交点为 C，则 OC⊥AB，OA=12， OC=6，根据勾股定理可得 AC=6 考点：垂径定理. ，所以 AB=2AC=12 .336. 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形， 则原等腰三角形的底角度数为____． 【答案】45°或 36° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：①如图 1， 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则 AC=BC，AD=CD=BD， 设∠A=x°， 则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°， ∴∠BCD=∠B=x°， ∵∠A+∠ACB+∠B=180°， ∴x+x+x+x=180， 解得 x=45， ∴原等腰三角形的底角是 45°； ②如图 2， △ABC 中，AB=AC，BD=AD，AC=CD， ∵AB=AC，BD=AD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD， ∵∠CDA=2∠B， ∴∠CAB=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°， ∴∠B=36°， ∴原等腰三角形的底角为 36°； 故答案 为45°或 36° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的 图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方 程求解． 7. 春耕期间，市农资公司连续 8 天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售．若 进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥 存量 s（单位：吨）与时间 t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销 售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是____天． 【答案】10 【解析】 【分析】通过分析题意和图象可求调入化肥的速度，销售化肥的速度；从而可计算最后销售 化肥 20 吨所花的时间． 【详解】解：调入化肥的速度是 30÷6=5（吨/天）， 当在第 6 天时，库存物资应该有 30 吨，在第 8 天时库存 20 吨， 30 20 5 2 10 ∴销售化肥的速度是 （吨/天）， 2∴剩余的 20 吨完全调出需要 20÷10=2（天）， 故该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是 8+2=10（天）． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了从函数图象获取信息．解题的关键是注意调入化肥需 8 天，但 6 天 后调入化肥和销售化肥同时进行． 8. 如图，矩形 ABCD 中，AD AB，点 E 在 BC 边上，且 AE=AD，DF⊥AE 于点 F，连 = 2 接 DE，BF，BF 的延长线交 DE 于点 O，交 CD 于点 G．以下结论：①AF=DC，②OF： BF=CE：CG，③S△BCG △DFG，④图形中相似三角形有 6 对，则正确结论的序号是 S= 2 ____． 【答案】①② 【解析】 【分析】通过证明△ABE 和△ADF 是等腰直角三角形，结合已知条件，可判断①正确；通过 CE CG 2BF DE 2证明△DCE∽△BCG，得到 ，通过证明△ABF∽△ADE，得到 ，再通过 22OF CE 12相似和三角形的外角性质，得到 OE △BEF≌△FDG，连接 CF 后，可知 DE，进而证得 ，可判断②正确；证明 BF CG △BEF ，结合图象，即可判断③不正确；通 S△BCF 2S 过图形中相似三角形超过 6 对，可判断④不正确，问题即可得解． 2【详解】∵AE AD，AD AB， ∴AE AB． = 2 AB AE 在 Rt△ABE 中，∠ABE=90°，cos∠BAE= ，AB AE 2∴cos∠BAE= ．2∴∠BAE=45°，即△ABE 是等腰直角三角形． ∵在矩形 ABCD 中，∠BAD=90°， ∴∠DAF=45°． ∵DF⊥AE， ∴∠ADF=45°，即△ADF 是等腰直角三角形． ∴AD AF． = 2 ∴AF=AB． ∵在矩形 ABCD 中，AB=CD， ∴AF=CD ．故①正确； 又∵AF=AB，∠BAE=45°， ∴∠ABF=67.5°． ∴∠CBG=22.5°． 又∵AE=AD，∠DAE=45°， ∴∠ADE=67.5°． ∴∠CDE=22.5°． ∴∠CBG=∠CDE． ∵∠C=∠C， ∴△DCE∽△BCG． CE DC ∴．CG BC ∵在矩形 ABCD 中，BC=AD CD， = 2 CE CG 2∴．2在△ABF 和△ADE 中．∠BAF=∠DAE=45°，AF AB，AE AD， ∴△ABF∽△ADE． BF AB 2∴．DE AD 2在△ABF 和△OEF 中，∠OEF＝∠ADE＝67.5°＝∠ABF， ∵∠AFB=∠OFE，∠AFB=∠ABF， ∴△ABF∽△OEF，∠OEF=∠OFE． ∴OE＝OF，∠EOF=45°． 又∵∠EOF=∠DFO+∠ODF =45°，∠ODF=∠ADE-∠ADF=22.5°， ∴∠ODF =∠DFO． ∴OF OD． 12∴OE OF OD DE． OF 1 DE 2CE ∴．故②正确； BF 2 BF 2CG 在△BEF 和△FDG 中, BE =FD，∠EBF=∠DFG ，∠BEF =∠FDG=∠ADC-∠ADF=45°， ∴△BEF≌△FDG． 连接 CF． 又∵ BC=AD AD BE， = 2 = 2 ∴．故③不正确； S△BCF 2S△BEF 2S△DFG＜S△BCG ∵△ABF∽△ADE，△ABF∽△OEF， ∴△ADE∽△OEF． 在△BEF 和△BOE 中， ∠BEF ∠BOE 45°，∠EBF ∠OBE， ∴△BEF∽△BOE． 在△BOE 和△DOG 中， ∠ODG ∠OBE，∠BOE ∠DOG， ∴△BOE∽△DOG． ∴△BEF∽△DOG． 又∵△DCE∽△BCG， ∴图形中相似三角形超过 6 对，故④不正确． 综上，正确的结论是①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、 全等三角形的判定与性质，涉及了特殊角的三角函数值、三角形的外角性质、举反例等，是 一道综合题．相似和全等是证明边的比例关系中最常用的方法． 二、选择题（将正确选项涂在答题卡中相应的位置上，每小题 3 分，满分 36 分） 9. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. C. B. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对四个选项依次判断即可． 【详解】解：A 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故 A 选项不符合题意； B 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故 B 选项不符合题意； C 选项，是轴对称图形，是中心对称图形，故 C 选项符合题意； D 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，正确理解其定义是解题关键． 10. 下列运算正确的是（ ）A. 2a＋3a＝5a2 3＝﹣a6 B. 6m2﹣5m2＝1 C. a6÷a3＝a2 D. （﹣a2） 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可． 【详解】2a＋3a＝5a，故选项 A 不符合题意； 6m2﹣5m2＝m2，故选项 B 不符合题意； a6÷a3＝a3，故选项 C 不符合题意； （﹣a2）3＝﹣a6，故选项 D 符合题意． 故选 D． 【点睛】本题考查了整式的加减法，以及整式的乘除法中的同底数幂的乘除法、幂的乘方. 掌握相关运算法则是解答本题的关键． 11. 如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体 的小正方体的个数最少是（ ）A. 6 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出第二层的个 数，从而算出总的个数． 【详解】解：由俯视图易得最底层有 4 个小正方体，第二层最少有 1 个小正方体，那么搭成 这个几何体的小正方体最少为 4+1=5 个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能 力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到 答案． 12. 妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上 学时在这两个路口都直接通过的概率是（ ）14133412A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 1【分析】根据题意画出树形图，求出在这两个路口都直接通过的概率为 即可求解． 4【详解】解：由题意画树形图得， 1由树形图得共有 4 种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是 P= 故选：A ．4【点睛】本题考查了列表或画树形图求概率，理解题意，正确列表或画树形图得到所有等可 能的结果是解题关键． 13. 一条弧所对的圆心角为 135°，弧长等于半径为 3cm 的圆的周长的 5 倍，则这条弧的半 径为（ ）A. 45cm 【答案】B 【解析】 B. 40cm C. 35cm D. 30cm 【分析】设这条弧的半径为 rcm，根据弧长公式和已知条件列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这条弧的半径为 rcm， 135r 180 2 35 由题意得 ，解得 r=40， ∴这条弧的半径为 40cm． 故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，熟知弧长公式并根据题意列出方程是解题关键． k14. 如图，矩形 OABC 的面积为 36，它的对角线 OB 与双曲线 y ＝2：3，则 k 的值为（ 相交于点 D，且 OD：OB x）A. 12 B. ﹣12 C. 16 D. ﹣16 【答案】D 【解析】 【分析】过 D 点作 DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为 E、F，由双曲线的解析式可知 S 矩形 OEDF=|k|，由于 D 点在矩形的对角线 OB 上，可知矩形 OEDF∽矩形 OABC，并且相似比为 OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出 S 矩形 OEDF=16，再根据在反 k比例函数 y 图象在第二象限，即可算出 k 的值． x【详解】解：过 D 点作 DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为 E、F， k∵D 点在双曲线 y 上， x∴S 矩形 OEDF=|xy|=|k|， ∵D 点在矩形的对角线 OB 上， ∴矩形 OEDF∽矩形 OABC， SOEDF SOABC OD OB 49 ( )2 ∴，∵S 矩形 OABC=36， ∴S 矩形 OEDF=16， ∴|k|=16， k∵双曲线 y 在第二象限， x∴k=-16， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过 D 点作坐标轴的垂线，构造矩形， 再根据相似多边形的面积的性质求出|k|． 15. 已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了 160 元，其中一件盈利 60%，另一件亏损 20%，在这次买卖中这家商店（ ）A. 不盈不亏 元B. 盈利 20 元 C. 盈利 10 元 D. 亏损 20 【答案】B 【解析】 【分析】设分别设两件运动衫的进价分别是 a 元，b 元，根据售价=成本±利润，列方程求得 两件运动衫的进价，再计算亏盈． 【详解】解：设盈利 60%的运动衫的进价是 a 元，亏本 20%的运动衫的进价是 b 元．则有 （1）a（1+60%）=160， a=100； （2）b（1-20%）=160， b=200． 总售价是 160+160=320（元），总进价是 100+200=300（元）， 320-300=20（元）， 所以这次买卖中商家赚了 20 元． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．培养学生的理解题意的能力，关键是根据利润=售 价-进价，求出两个商品的进价，从而得解． 116. 如图，点 A，B，C 为⊙O 上的三点，∠AOB ∠BOC，∠BAC＝30°，则∠AOC 的 3度数为（ ）A. 100° 【答案】C 【解析】 B. 90° C. 80° D. 60° 13【分析】根据圆周角定理得出∠COB=2∠BAC=60°，结合已知得出∠AOB 从而得出∠AOC 的度数 ∠BOC=20°， 【详解】解：∵ 对的圆心角为∠BOC， 对的圆周角为∠BAC，∠BAC=30°， BC BC ∴∠BOC=2∠CAB=60°， 1∵∠AOB ∠BOC， 3∴∠AOB=20°， ∴∠AOC=∠AOB +∠BOC=80°， 故选：C 【点睛】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠COB=2∠CAB 是解此题的关 键． 17. 如图，△AOB 中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，将△AOB 绕原点 O 旋转 90°，则旋转 7后点 A 的对应点 A′的坐标是（ ）A. （4，2）或（﹣4，2） B. （2 ，﹣4）或（﹣2 ，4） 33C. （﹣2 ，2）或（2 ，﹣2） D. （2，﹣2 ）或（﹣2，2 3）333【答案】C 【解析】 【分析】先求出点 A 的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出 图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点 A′的坐标． 【详解】过点 A 作 在 Rt△AOC 中， 于点 C． AC OB 222．AC OA OC 2在 Rt△ABC 中， AC2 AB2 CB2 AB2 OB OC ．2∴ OA2 OC2 AB2 OB OC ．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，7∴∴OC 2 ．．AC 2 3 2,2 3 ∴点 A 的坐标是 ．根据题意画出图形旋转后的位置，如图， 2 3,2 ∴将△AOB 绕原点 O 顺时针旋转 90°时，点 A 的对应点 A′的坐标为 ；2 3,2 将△AOB 绕原点 O 逆时针旋转 90°时，点 A 的对应点 A′′的坐标为 ．故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原 点顺时针旋转 90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转 90°得到的坐标为（－b， a）． 18. 如图，正方形 ABCD 的边长为 3，E 为 BC 边上一点，BE＝1.将正方形沿 GF 折叠，使 点 A 恰好与点 E 重合，连接 AF，EF，GE，则四边形 AGEF 的面积为（ ）A. 2 B. 2 C. 6 D. 5 10 5【答案】D 【解析】 【分析】作 FH⊥AB 于 H，交 AE 于 P，设 AG=GE=x，在 Rt△BGE 中求出 x，在 Rt△ABE 中求出 AE，再证明△ABE≌△FHG，得到 FG=AE，然后根据 S 四边形 AGEF=S△AGF+S△EGF 求解 即可 【详解】解：作 FH⊥AB 于 H，交 AE 于 P，则四边形 ADFH 是矩形，由折叠的性质可知， AG=GE，AE⊥GF，AO=EO． 设 AG=GE=x，则 BG=3-x， 在 Rt△BGE 中， ∵BE2+BG2=GE2， ∴12+(3-x)2=x2， 5∴x= ．3在 Rt△ABE 中， ∵AB2+BE2=AE2， ∴32+12=AE2， ∴AE= ．10 ∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF， ∴∠HAP=∠OFP， ∵四边形 ADFH 是矩形， ∴AB=AD=HF． 在△ABE 和△FHG 中， HAP OFP ABE GHF AB HF ，∴△ABE≌△FHG， ∴FG=AE= ，10 ∴S 四边形 AGEF=S△AGF+S△EGF 121GF OA GF OE ====212GF OA OE 12GF AE 10 10 12=5． 故选 D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及 勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中 A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一 只瓢虫从点 A 出发以 2 个单位长度/秒的速度沿 A→B→C→D→A 循环爬行，问第 2021 秒瓢 虫在（ ）处． A. （3，1） ﹣2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （3， 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标求出四边形 ABCD 的周长，然后求出第 2021秒是爬了第几圈后的第 几个单位长度，从而确定答案． 【详解】 A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1） 四边形 ABCD 是矩形 AB 1- -2 =1+2=3 BC=3- -1 =4 AB BC CD AD 3 4 3 4 14 14 瓢虫转一周，需要的时间是 =7 秒2， 2021=288 7+5 按 A→B→C→D→A 顺序循环爬行，第 2021秒相当于从 A 点出发爬了 5 秒，路程是： 3,1 ．5 2=10 个单位，10=3+4+3，所以在 D 点 故答案为：A 【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形 ABCD 一周的长度，从而确 定 2021 秒瓢虫爬完了多少个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置 是解题的关键． 20. 如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与 x 轴的一个交点 B（3，0）， ab c53 与 y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：① ③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ 0；②﹣2＜b ；）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可 【详解】解：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n）， b1 ∴对称轴 x= ，2a ∴b=-2a＜0， ∵抛物线与 y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间 ∴-3＜c＜-2＜0， ab ∴0；故①正确； c∵抛物线线 x 轴的一个交点 B（3，0）， ∴9a+3b+c=0，抛物线线 x 轴的一个交点（-1，0）， ∵b=-2a 3b ∴c= ，23b ∴-3＜ ＜-2， 24 ∴﹣2＜b ，故②错误； 3∵抛物线线 x 轴的一个交点（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确； ∵a＞0，∴-a＜0 ∵b=-2a ∴3a+2b=-a＜0 ∴2c﹣a＞2（a+b+c）， ∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n）， ∴a+b+c=n， ∴2c﹣a＞2n；故④错误； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），明确 以下几点：①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口； 当 a＜0 时，抛物线向下开口；②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴 右；③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c）． 三、解答题（将解题过程写在答题卡相应的位置上，满分 60 分） x2 2x 1 x21. 先化简，再求值：（ 1） ，其中 x＝sin30°． x2 1 x 1 2-【答案】 【解析】 ，-4 x12=【分析】先把原式括号里的式子通分，然后把除法变乘法进行化简，最后将 x＝sin30° 代入计算即可． x2 2x 1 x【详解】解：（ 1） ，x2 1 x 1 x2 2x 1 x2 +1 x2 1 x，=x 1 -2 x 1 x 1 x=，x 1 x+1 2=- ，x12=当 x＝sin30° 时，原式=-4 【点睛】本题考查的是分式的化简求值和特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是 解答此题的关键． 22. 抛物线 y＝﹣x2＋bx＋c 经过点 A（﹣3，0）和点 C（0，3）． （1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点 D 的坐标； （2）若过顶点 D 的直线将△ACD 的面积分为 1：2 两部分，并与 x 轴交于点 Q，则点 Q 的 坐标为． b 4ac – b2 注：抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标（ ）-,2a 4a 72( ,0) 【答案】（1）y=-x -2x+3，顶点 D（-1，4）；（2）（-1，0）或 3【解析】 【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题； （2）根据点 A，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 AC 的函数表达式，设点 E 的坐标 为（x，x+3）（-3＜x＜0），结合已知可得 AE=2CE 或 CE=2AE，从而得出方程 2(x+3)2=2 或 2(x+3)2=8，得出点 E 的坐标，再求出直线 DE 的解析式即可得出点 Q 的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（-3，0）和点 B，与 y 轴相交于点 C （0，3）， 9 3b c 0 c 3 b 2 c 3 ∴，解得： ；∴抛物线的解析式为 y=-x2-2x+3， ∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4， ∴顶点 D（-1，4）． （2）设直线 AC 的函数表达式为 y=kx+b（k≠0）， 3k b 0 将 A（-3，0），C（0，3）代入 y=kx+a，得： ；b 3 k 1 b 3 解得： ，∴直线 AC 的函数表达式为 y=x+3． 设点 E 的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0）， ∵直线 AC 将△ADC 的面积分成 1：2 的两部分，且△ADE 和△CDE 等高， ∴AE=2CE 或 CE=2AE， ∵AC 3 2 ∴或AE 2 AE 2 2 ∴2(x+3)2=2 或 2(x+3)2=8 ∴x=-2 或-4 或-1 或-5 ∵-3＜x＜0 ∴x=-2 或-1 ∴点 E 的坐标为（-2，1）或（-1，2） 当点 E 的坐标为（-2，1）时 设直线 DE 的函数表达式为 y=mx+n（m≠0）， 将 E（-2，1），D（-1，4）代入 y=mx+n， 2m n 1 m n 4 得： ；m 3 n 7 解得： ，∴直线 AC 的函数表达式为 y=3x+7． 7x= 当 y=0 时， 373∴点 Q 的坐标为（ ，0） 当点 E 的坐标为（-1，2）时， ∵D（-1，4）， ∴直线 DE//y 轴， 点 Q 的坐标为（-1，0） 7( ,0) ∴点 Q 的坐标为（-1，0）或 3【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形 的面积待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：由 直线 AC 将△ADE 的面积分成 1：2 的两部分，找出关于 x 的一元二次方程． 23. Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形 CDEF 的另三个顶点 D，E，F 均在 Rt△ABC 的边上，且邻边之比为 1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值． 720 360 【答案】作图见解析，矩形的周长为： 或．31 19 【解析】 【分析】按题目要求画出相关图形见解析，根据邻边之比为 1：2，进行分类讨论． 【详解】解：如图 1， 四边形CDEF 为矩形，由题意， 若设又DE : DC 1: 2 ，DE a, DC 2a ，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8， 22, AC AB BC 15 AD AC DC 15 2a ，又QADE C ，，DE / /BC ADE∽ACB AD DE ，，AC BC 15 2a a，15 8120 31 a ，又矩形CDEF ，DE CF a, DC EF 2a ，120 720 C矩形CDEF 2(a 2a) 6a 6 ，31 31 如图 2， 四边形CDEF 为矩形，由题意， 若设DC :CF 1: 2 ，DC a,CF 2a ，DE CF 2a ，又因为四边形CDEF 为矩形， CDE C 90 ，AD 15 a ，，DE / /BC ADE∽ACB ，AD DE ，AC BC 15 a 2a ，15 860 19 a ，60 360 C矩形CDEF 2(a 2a) 6a 6 19 19 720 360 综上所述：矩形CDEF 的周长为 或．31 19 【点睛】本题考查了求解矩形的周长、三角形相似解、解题的关键是：画出满足条件的图形， 进行分类讨论求解． 24. 为了解某校八年级学生在语文学习中对小说、诗歌、散文、戏剧四类文学体裁的喜爱情 况，随机抽查了部分学生（每人只选一类），然后根据调查数据，绘制了不完整的条形统计 图和扇形统计图，结合统计图，解答下列问题． （1）本次抽样调查的样本容量为； （2）补全条形统计图； （3）喜爱戏剧的学生对应扇形的圆心角为； （4）已知该校八年级共有学生 800 人，请你估计课外活动小组诗歌社团拟招社员 200 人能 否实现，请说明理由． 【答案】（1）50；（2）答案见详解；（3）36°；（4）不能实现，原因见详解． 【解析】 【分析】（1）用喜爱小说人数除以所占百分比即可求解； （2）用样本容量 50 减去喜爱小说、散文、戏剧的人数，即可求解； （3）用 360°乘以喜爱戏剧人数所占百分比即可求解； （4）用八年级学生数 800 乘以喜爱诗歌学生所占百分比得出人数后与 200 进行比较即可求 解． 【详解】解：（1）15÷30%=50， 故答案为：50； （2）50-15-18-5=12， 补全条形统计图如下： 5360 =36 （3） ，50 故答案为：36°； 12 800 =192＜200 （4） ，50 ∴课外活动小组诗歌社团拟招社员 200 人不能实现． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，抽样调查，用样本估计总体等知识，综合性 较强，理解题意，根据两个统计图得到样本容量是解题关键． 25. 在一条笔直的道路上依次有 A，B，C 三地，男男从 A 地跑步到 C 地，同时乐乐从 B 地 跑步到 A 地，休息 1 分钟后接到通知，要求乐乐比男男早 1 分钟到达 C 地，两人均匀速运 动，如图是男男跑步时间 t（分钟）与两人距 A 地路程 s（米）之间的函数图象． （1）a＝ ，乐乐去 A 地的速度为 ； （2）结合图象，求出乐乐从 A 地到 C 地的函数解析式（写出自变量的取值范围）； 的（3）请直接写出两人距 B 地 距离相等的时间． 8734 9【答案】（1）2，200 米/分；（2）s=300t-900（3≤t≤7）；（3）t= 或 t=6 或 t= ．【解析】 【分析】（1）根据题意结合图象以及速度、路程和时间的关系解答即可； （2）先确定 F、G 的坐标以及 t 的取值范围，然后利用待定系数法解答即可； （3）先运用待定系数法确定 DE、OH，然后根据图象联立解析式，即可解答． 【详解】解：（1）由于乐乐休息 1 分钟，则 a=3-1=2； 乐乐去 A 地的速度为 400÷2=200 米/分； （2）设 FG 的解析式为 s=kt+b ∵F（3,0），G（7,1200） 0 3k b k 300 ∴解得 1200 7k b b 900 由图象可得乐乐从 A 地到 C 地时间 t 的取值范围为 3≤t≤7 ∴乐乐从 A 地到 C 地的函数解析式为 s=300t-900（3≤t≤7）； （3）设 OH 的解析式为：s=kt（k≠0）， ∵s=kt（k≠0）的图象过点 H（8，1200）， ∴1200=8k，解得：k=150， ∴OH 的解析式为：s=150t（0≤t≤8）， 即男男从 A 地到 C 地的函数解析式：s=150t， ①0≤t≤2 时， 200t=400-150t， 8解得：t= ；7②2＜t≤3 时， 400=150t-400， 8解得：t= ＞3，舍去； 7③3＜t≤7 时， 400-（300t-900）=150t-400 或（300t-900）-400=150t-400， 34 解得：t= 或 t=6， 9834 9综上，两人距 B 地的距离相等的时间为 分钟或 分钟或 6 分钟． 7【点睛】本题主要考查了一次函数图象与行程问题，审清题意、明确函数图象各点的意义成 为解答本题的关键． 26. 如图①，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，∠AEF＝90°，且 EF 交正方 形外角的平分线 CF 于点 F，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，连接 AC．易证：AC （EC＋ ＝ 2 FG）．（提示：取 AB 的中点 M，连接 EM） （1）当点 E 是 BC 边上任意一点时，如图②；当点 E 在 BC 延长线上时，如图③，请直接 写出 AC，EC，FG 的数量关系，并对图②进行证明； （2）已知正方形 ABCD 的面积是 27，连接 AF，当△ABE 中有一个内角为 30°时，则 AF 的长为． 【答案】（1）当点 E 是 BC 边上任意一点时，AC= （EC＋FG）；当点 E 在 BC 延长线上 2时，AC= （FG－CE）； 2（2） 或6 26 6 ．【解析】 【分析】（1）在 AB 的取一点 M，使得 AM=EC，连接 EM，先证明△AME≌△ECF ，得到 AE=EF，再证明△ABE≌△EGF，得到 BE=GF，结合图形中的点 E 所在的位置，即可得出 AC，EC，FG 的数量关系； （2）根据（1）证明过程中得出的结论：AE=EF，分∠BAE =30°或∠AEB=30°两种情况, 解直角三角形即可． 【详解】解：（1）当点 E 是 BC 边上任意一点时，AC= （EC＋FG）；当点 E 在 BC 延长 2线上时，AC= （FG－CE）； 2证明如下：当点 E 是 BC 边上任意一点时，如图②， 在 AB 的取一点 M，使得 AM=EC，连接 EM． ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°． ∵在正方形 ABCD 中，∠B =90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°． ∴∠BAE=∠FEG． ∴∠BME=45°． ∴∠AME=180°－∠BME=180°－45°=135°． ∵CF 平分∠DCG，GF⊥BC， ∴∠ECF=180°－∠FCG=180°－45°=135°，GF=CG． ∴∠AME = ∠ECF． ∴△AME≌△ECF． ∴AE=EF． 在△ABE 和△EGF 中，∠BAE=∠FEG，∠B=∠G ，AE=EF， ∴△ABE≌△EGF． ∴BE=GF． ∵AB=BC， ∴AB=BC=CE+BE=CE+FG． ∵AC= AB， 2∴当点 E 是 BC 边上任意一点时，AC= （EC＋FG）； 2当点 E 在 BC 延长线上时，如图③，在 AB 的取一点 M，使得 AM=EC，连接 EM． 同理可证得 BE=FG． ∴AB=BC = BE－CE= FG－CE． ∵AC= AB， 2∴当点 E 在 BC 延长线上时， AC= （2）∵正方形 ABCD 的面积是 27， （FG－CE）． 2∴AB=BC= ．3 3 根据（1）中 AE=EF，∠AEF＝90°，可知 AF= AE． 2当在△ABE 中，∠BAE =30°时，点 E 在 BC 边上． AB AE 3∵cos∠BAE= ∴AE=6． =，2∴AF= ．6 2 当在△ABE 中，∠AEB=30°时，点 E 在 BC 延长线上． AB AE 12∵sin∠BAE= =，∴AE= ∴AF= ．．6 3 6 6 故答案为： 或6 26 6 ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质在几何中的应用、解直角 三角形，考查了分类讨论这一基本数学思想方法．解决这类题目的关键是正确的分情况讨论， 数形结合，化繁为简． 27. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球多 30 元．已知用 360 元购进 的足球和用 480 元购进的篮球数量相等． （1）问篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若篮球的售价为 150 元，足球的售价为 110 元，商场计划用不超过 10350 元购进两种 球共 100 个，其中篮球不少于 40 个，问商场共有几种货方案？哪种方案商场获利最大？ （3）某希望小学为庆祝中国共产党成立 100 周年，举行百人球操表演，准备购买商场购进 的这 100 个篮球和足球，商场知晓后决定从中拿出 30 个球赠送给这所希望小学，这样，希 望小学相当于七折购买这批球．请直接写出商场赠送的 30 个球中篮球和足球的个数． 【答案】（1）足球的单价为 90 元，则篮球的单价为 120 元；（2）有 6 种方案，购进篮球 45 个，购进足球 55 个，商场获利最大；（3）商场赠送的 30 个球中篮球 14 个，足球 16 个 【解析】 【分析】（1）设足球的单价为 x 元，则篮球的单价为（x+30）元，根据用 360 元购进的足球 和用 480 元购进的篮球数量相等可得出方程，解出即可； （2）根据题意所述的不等关系：商场计划用不超过 10350 元购进两种球，其中篮球不少于 40 个，等量关系：两种球共 100 个，可得出不等式组，解出即可． （3）设商场赠送的 30 个球中篮球有 z 个，足球有（30-z）个，根据相当于七折购买这批球 列方程即可； 【详解】解：（1）设足球的单价为 x 元，则篮球的单价为（x+30）元， 360 480 =根据题意，得 xx+30 解得：x=90， 经检验 x=90 是原方程的解， x+30=120． 即足球的单价为 90 元，则篮球的单价为 120 元； （2）设购进足球 y 个，则购进篮球（100-y）个．商场获利 w 元； 90y 12（0 100 y）10350 100 y 40 ，解得：55≤y≤60． ∵y 为整数， ∴y=55，56，57，58，59，60． ∴有 6 种方案： w=（110-90）y+（150-120）（100-y）=-10y+3000 ∵k=-10＜0，w 随 y 的增大而减小， ∴当 y=55 时，w 有最大值=2450 ∴购进篮球 45 个，购进足球 55 个，商场获利最大； （3）设商场赠送的 30 个球中篮球有 z 个，足球有（30-z）个 150（45-z）+110[55-（30-z）]= （150×45+110×55）×0.7 解得：z=14 30-14=16 答：商场赠送的 30 个球中篮球 14 个，足球 16 个． 【点睛】本题考查了列分式方程的运用，一元一次不等式组解实际问题的运用，设计方案的 运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意所述的等量 关系及不等关系，列出不等式． 28. 如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．OB 是一元二次方程 x2﹣x﹣30＝0 的 3=一个根，且 tan∠OAB ，点 D 为 AB 的中点，E 为 x 轴正半轴上一点，BE＝2 ，直 10 4线 OD 与 BE 相交于点 F． （1）求点 A 及点 D 的坐标； k=（2）反比例函数 y 经过点 F 关于 y 轴的对称点 F′，求 k 的值； x（3）点 G 和点 H 在直线 AB 上，平面内存在点 P，使以 E，G，H，P 为顶点的四边形是边 长为 6 的菱形，符合条件的菱形有几个？请直接写出满足条件的两个点 P 的坐标． 18 34 6548 548 25 【答案】（1）（8,0），(4,3)；（2） ；（3）3个，（ ，），（ ，）． 55【解析】 【分析】 【详解】解：（1）∵OB 是一元二次方程 x2﹣x﹣30＝0 的一个根． ∴,OB=6,B点坐标为（0,6） 34OB OA 34=∵tan∠OAB ，即 ∴OA=8,即 A点坐标为（8,0） 0 8 6 0 ,∴D点坐标为（ ）,即(4,3)； 22（2）∵在 Rt△OBE中，BE＝2 ∴OE= ，OB=6 10 22BE2 OB2 2 10 6 2 ,即 E点坐标为（2,0） 设直线 BE的解析式为 y=kx+b 6 0k b 0 2k b k 3 b 6 则，解得 ∴设直线 BE的解析式为 y=-3x+6 3x同理：直线 OD的解析式为 y= 48565y 3x 6 x y 联立 解得 3y x4856，∴F点的坐标为（ ）58565∴F＇的坐标为（- ，）k=∵反比例函数 y 经过点 F 关于 y 轴的对称点 F′ x8648 ∴k=- × = 5；25 5（3）①如图 1：当 GH为菱形一条对角线时 要使四边形 EGPH为菱形，只需要 GH和 PE相互垂直平分即可， ∵A（8,0），B（0,6） 3 x 6 ∴由待定系数法可得直线 AB的解析式为 y= 44x +b 设过 E且垂直于 AB的直线 PE解析式为：y= 3483 2 b 则有：0= ，即 b= 3483 x 直线 PE解析式为：y= 338y x 6 x y 4524 5联立 ，解得 483y x 3824 5的直线 PE与直线 AB 垂直交点为（ , ）5设 P点坐标为（m，n） m 2 285n 0 24 648 5∴，，即 m= ，n= 5256548 5∴P点坐标为（ ，）； ②如图 2，当 GH为菱形一边时， 要使四边形 EGPH为菱形，只需要 GH//PE,PE=GH=6,在 AB上找 G、H使得 GE//PH且 GE=PH=6 即可 3 x b 设线段 EP所在的直线解析式为：y= 4332 2 b 则 0= ，即 b= 4332 x ∴直线 EP所在的直线为 y= 4过 P作 PJ⊥x轴 ∵AB//PE ∴∠PEA=∠BAO 3=设 PJ=3x tan∠OAB 434PJ ,则 34=∴tan∠PEA=tan∠OAB ，即 EJ=4x EJ 665∵PJ2+EJ2=EP2，即（3x）2+（4x）2=62,解得 x= 或- 5618 524 5∴当 x= 时，PJ= 5，EJ= 34 ∴OJ=OE+EJ= 518 34 ∴满足题意得 P点有两个，其中一个 P点坐标为（ ，）； 5518 34 6548 5综上，满足题意得 P点有三个，其中两个 P点坐标为（ ，），（ ，）． 55【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，一次函数图象的交点问题、菱形的 判定以及解直角三角形等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
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