黑龙江省大庆市2021年中考数学真题（解析版）

2021 年大庆市初中升学考试数学一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上） 47121. A. 在，，，这四个数中，整数是（）3 471B. C. D. 3 2C【答案】【解析】【分析】根据整数分为正整数、0、负整数，由此即可求解． 【详解】解：选项 A：是无理数，不符合题意； 1选项 B：是分数，不符合题意； 2选项 C：是负整数，符合题意； 3 4选项 D：是分数，不符合题意； 7故选：C．【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )A. B. C. D. A【答案】【解析】【详解】分析：根据中心对称图形的定义旋转 180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．详解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形不故选 A．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．北京故宫的占地面积约为 720 000m2，将 720 000 用科学记数法表示为( ). A. 72×104 B. 7.2×105 C. 7.2×106 3. D. 0.72×106 B【答案】【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．【详解】解：将 720000 用科学记数法表示为 7.2×105．故选 B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4. 下列说法正确的是（）| x | x | x 1| 2 | x 1| 0 A. B. 若 D. 若取最小值，则 x  0 x 1 y  1 | x || y | C. 若，则，则 x  1 D【答案】【解析】【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可． | x | x ，故该项错误；【详解】解：A．当时， x  0 x 1  0 | x 1| 2 B．∵ C．∵ D．∵ ，∴当时取最小值，故该项错误； x 1 x 1 y  1 x 1 y 1 ，| x |>| y | ，∴ ，∴ ，故该项错误；，故该项正确； | x 1| 0 | x 1| 0 且| x 1| 0 ，∴ ，∴ x  1 故选：D．【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键． aba 1 b 1 5. 已知，则分式与的大小关系是（）b  a  0 aba 1 b 1 aba 1 b 1 aba 1 b 1 A. B. C. D. 不能确定 A【答案】【解析】【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解． a b1 b a1 aba 1 b 1 a b b b1 【详解】解：，b b1 ∵∴，b  a  0 aba 1 a b  0 ，b 1 b b1 aba 1 b 1 ∴，故选：A．【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键． kyxy  kx  k 6. y  已知反比例函数，当时，随的增大而减小，那么一次的数的图像经过第 x  0 x（） A. 一，二，三象限 C. 一，三，四象限 B. 一，二，四象限 D. 二，三，四象限 B【答案】【解析】【分析】根据反比例函数的增减性得到，再利用一次函数的图象与性质即可求解． k  0 kyx随的增大而减小， y  【详解】解：∵反比例函数，当时， x  0 x∴∴，k  0 y  kx  k 的图像经过第一，二，四象限，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 7. 一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数字，从而可得出结论．【详解】由已知条件可知：主视图有 3 列，每列小正方形的数目分别为 4，2，3，根据此可画出图形如下：故选：B．【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是培养学生观察能力．的上除端点外一点，将 8. 如图，是线段 F绕正方形的顶点 A顺时针旋转，得到 CD ABCD 90 ADF ．下列结论正确的是（．连接交EF AB 于点 H）△ABE AF2  EH  EF EAF 120 A. B. C. D. EB : AD  EH : HF AE : EF 1: 3 D【答案】【解析】【分析】根据旋转的性质可以得到△EAF 是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可作出判断．【详解】解：根据旋转的性质知：∠EAF=90°，故 A 选项错误；根据旋转的性质知：∠EAF=90°，EA=AF，则△EAF 是等腰直角三角形， ∴EF= AE，即 AE：EF=1：，故 B 选项错误； 22EA EF 22若 C 选项正确，则，即，AF  AE  EH • EF EH EA ∵∠AEF=∠HEA=45°， ~∴△EAF △EHA， ∴∠EAH ∠EFA，而∠EFA=45°，∠EAH 45°， ∴∠EAH ∠EFA， ∴假设不成立，故 C 选项错误； ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴CD∥AB，即 BH∥CF，AD=BC， ∴EB：BC=EH：HF，即 EB：AD=EH：HF，故 D 选项正确；故选：D 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正确运用反证法是解题的关键． 9. 小刚家 2019 年和 2020 年的家庭支出如下，已知 2020 年的总支出 2019 年的总支出增加了 2 成，则下列说法正确的是（）A. 2020 年教育方面的支出是 2019 年教育方面的支出的 1.4 倍； B. 2020 年衣食方面的支出比 2019 年衣食方面的支出增加了 10%； C. 2020 年总支出比 2019 年总支出增加了 2%； D. 2020 年其他方面的支出与 2019 年娱乐方面的支出相同． A【答案】【解析】【分析】设 2019 年总支出为 a 元，则 2020 年总支出为 1.2a 元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可．【详解】解：设 2019 年总支出为 a 元，则 2020 年总支出为 1.2a 元， 1.2a 35%  0.42a 0.42a  0.3a 1.4 ，，故该项正确； A．2019 年教育总支出为 0.3a，2020 年教育总支出为 1.2a  40%  0.48a B．2019 年衣食方面总支出为 0.3a，2020 年衣食方面总支出为，0.48a  0.3a  0.3a  53% ，故该项错误； C．2020 年总支出比 2019 年总支出增加了 20%，故该项错误； 1.2a 15%  0.18a D．2020 年其他方面的支出为故选：A．，2019 年娱乐方面的支出为 0.15a，故该项错误；【点睛】本题考查扇形统计图，能够从扇形统计图中获取相关信息是解题的关键． y  ax2  a 1 x 1 10. 已知函数 ，则下列说法不正确的个数是（）xa 1 ①若该函数图像与轴只有一个交点，则 ax2  a 1 x 1 0 ②方程至少有一个整数根 1③若 ay  ax2  a 1 x 1  x 1 ，则 的函数值都是负数 ax2  a 1 x 1 0 ax对任意实数都成立 ④不存在实数，使得 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C【答案】【解析】【分析】对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；对于②：分情况讨论 a＝0 和 a≠0 时方程的根即可；对于③：已知条件中限定 a≠0 且 a＞1 或 a＜0，分情况讨论 a＞1 或 a＜0 时的函数值即可；对于④：分情况讨论 a＝0 和 a≠0 时函数的最大值是否小于等于 0 即可． x，与只有一个交点， y  x 1 【详解】解：对于①：当 a＝0 时，函数变为当 a≠0 时，D=(a +1)2 – 4a =(a – 1)2 =0，∴ ，a 1 x故图像与轴只有一个交点时， a 1 或a  0 ，①错误；对于②：当 a＝0 时，方程变为 x 1 0 ，有一个整数根为，x 1 ax2  a 1 x 1 0 (ax 1)(x 1)  0 当 a≠0 时，方程因式分解得到：，其中有一个根为，故此时 x 1 方程至少有一个整数根，故②正确； 1 x 1 对于③：由已知条件得到 a≠0，且 a＞1 或 a＜0 aa +1 1 = + 2a 2 2a 1y  ax2  a 1 x 1 x = 当 a＞1 时， 开口向上，对称轴为，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大， 1+1 11，∵a= + 2 2a 21y  0 ，此时函数最大值小于 0； x = , x =1 ∴离对称轴的距离一样，将代入得到 x 1 ay  ax2  a 1 x 1 当 a＜0 时， 开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 4a  (a 1)2 a2  2a 1 (a 1)2 4a 11x = + ∴时，函数取得最大值为，y    2 2a 4a 4a ∵a＜0， (a 1)2 4a x，即有一部分实数，其对应的函数值 y  0 ，故③错误； ∴最大值  0 x对于④：a＝0 时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故a＝0 不符合； x 1 0 y  ax2  a 1 x 1 a≠0 时，对于函数 ，ax2  a 1 x 1 0 x对任意实数都成立； y  0 当 a＞0 时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在 a 对 4a  (a 1)2 a2  2a 1 (a 1)2 4a 当 a＜0 时开口向下，此时函数的最大值为，  4a 4a ∵a＜0， (a 1)2 x，即有一部分实数，其对应的函数值 y  0 ∴最大值， 0 4a ax2  a 1 x 1 0 x此时不存在 a 对 对任意实数都成立；故④正确；综上所述，②④正确，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．二．填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 411. ________ – 2 【答案】【解析】 4【分析】先算 (2)4 ，再开根即可． 4【详解】解： – 2  2222  16  4 故答案是：．4【点睛】本题考查了求一个数的 4 次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则． xyzx2  xy 12.  0 已知，则 ________ 234yz 5【答案】【解析】 6xyzx, y, z  k ，再将【分析】设分别用的代数式表示，再代入约去即可求解． kk234xyz k  0 【详解】解：设，234x =2k，y =3k，z =4k 则故，x2  xy (2k)2  2k 3k 4k2  6k2 10k2 56，yz 3k  4k 12k2 12k2 56故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键． 2 ．高是5cm ．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm 的圆 13. 一个圆柱形橡皮泥，底面积是 12cm 2锥，则这个圆锥的底面积是______ cm 【答案】18 【解析】【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积． 2【详解】Ｖ圆柱＝=，Sh 12´ 5 = 60cm 1V = ´60 = 30cm2 这个橡皮泥的一半体积为：，2把它捏成高为5cm 的圆锥，则圆锥的高为 5cm， 1Sh = 30 Sg5=30 故即，，313解得 S=18（cm2），故填：18．的【点睛】本题考查了圆柱体积和圆锥的体积计算公式，解题关键是理解题意，熟练掌握圆柱体积和圆锥体积计算公式． 14. 如图，3 条直线两两相交最多有 3 个交点，4 条直线两两相交最多有 6 个交点，按照这样的规律，则 20 条直线两两相交最多有______个交点【答案】190 【解析】 12n【分析】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式： n(n 1) ．【详解】解：2 条直线相交有 1 个交点； 11 2  3  3 2 3 条直线相交最多有 4 条直线相交最多有个交点； 211 2  3  6  43 个交点； 211 2  3  4 10  5 4 5 条直线相交最多有 个交点； 21 2019 190 20 条直线相交最多有故答案为：190．．2n【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有 12n(n 1) ．a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范 1 a,1 2a 15. 三个数 3，围为______ 【答案】 3  a  2 【解析】【分析】根据三个数在数轴上的位置得到 3 1 a 1 2a ，再根据三角形的三边关系得到 1 a  3 1 2a ，求解不等式组即可． 1 a,1 2a 【详解】解：∵3，在数轴上从左到右依次排列， ∴3 1 a 1 2a ，解得，a  2 ∵这三个数为边长能构成三角形， ∴1 a  3 1 2a ，解得 a  3 ，a综上所述，的取值范围为，3  a  2 故答案为：．3  a  2 【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键． O FC O 的面积与阴影区域的面积 16. 如图，作的任意一条直经，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点 F､C FO E､A AB, BC, CD, DE, EF, FA O 和D､B ，顺次连接，得到六边形 ABCDEF ，则的比值为______； 2 3 【答案】 3【解析】 O【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙ 的半径与等边三角形的边长 a为，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解 OA 【详解】连接，，，，OE OD OB 由题可得： EF  OF  OE  FA  OA  AB  OB  BC  OC  CD  OD △EFO,△OFA,△OAB,△OBC,△OCD,△ODE 为边长相等的等边三角形 可将图中阴影部分的面积转化为和OAB 的面积之和，如图所示： ODE aO设⊙ 的半径与等边三角形的边长为，22O⊙ 的面积为 S  r  a a等边OED 与等边OAB 的边长为 3a2 S△OED  S△OAB 43a2 S阴=S△OED  S△OAB 2Sa2 3a2 2 3 =O⊙ 的面积与阴影部分的面积比为 S阴 322 3 故答案为：．3【点睛】本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键． 17. 某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间 150 元/间，双人间 140 元/ 间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个 46 人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费 1310 元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共________间；【答案】18．【解析】【分析】根据客房数×相应的收费标准=1310 元列出方程并解答． 46-3x 【详解】解：设住了三人间普通客房 x 间，则住了两人间普通客房间，由题意，得： 246-3x +=1310， 150×0.5x 140×0.5 ×2解得：x=10， 46-3x 则： =8， 2所以，这个旅游团住了三人间普通客房 10 间，住了两人间普通客房 8 间，共 18 间．故答案为：18．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出等式方程是解题关键． AB BD BAC =18. 已知，如图 1，若 BAC 是ABC 中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是AE AD AC CD ABC 中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图 2， BD  2,CD  3, AD 在ABC 中，是ABC 的内角平分线，则ABC 的BC 边上的中线长的取值范围 l是________ 1【答案】 252 l  【解析】 AB AC 23=【分析】根据题意得到边关系解题．，反向延长中线至，使得，连接，连接，最后根据三角形三 CF AE FAE  EF 【详解】如图，反向延长中线至，使得，CF AE FAE  EF BD  2,CD  3, AD 是ABC 的内角平分线， AB AC 23=DE  EC  AEB  CEF AE  EF ABE FEC(SAS)  AB  CF 由三角形三边关系可知， AC CF  AF  AC  CF 1 AF  5 152 AE  2152 l  故答案为：．2【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．三．解答题（本大题共 10 小题，共 66 分．请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22  2  2sin 45 1 19. 计算 【答案】【解析】 1【分析】直接利用去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算计算出结果即可． 22  2  2sin 45 1 【详解】解： 2 2  2  2 1 1 2故答案是：． 1【点睛】本题考查了去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则． 320. 先因式分解，再计算求值：，其中 x  3 ．2x 8x 2x x 2 x  2 ，30 【答案】【解析】  【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入 x 的值即可． 2×3 8x  2x x2  4  2x x 2 x  2 【详解】解：  ，当x  3时，原式  2351 30 ．【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． x521.  4 解方程： 2x 3 3 2x x 1 【答案】【解析】【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． x 5  4(2x 3) 【详解】方程两边乘，得：，2x 3 解得：，x 1 检验：当时，．x 1 2x 3  0 ∴是原分式方程的解． x 1 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 22. 小明在 A点测得点在 CA点的北偏西方向，并由 A点向南偏西 B方向行走到达点测得点在 75 45 点在点的北偏东22.5方向，求 CCB点的北偏西 45方向，继续向正西方向行走后到达点，测得 DD2km A,C 两点之间的距离．（结果保留，参数数据）0.1km 3 1.732 【答案】【解析】 km 2.3 【分析】根据题中给出的角度证明△CDB 为等腰三角形，得到 CB=DB=2，再证明△CBA 为 30°，60°， CB AC 390°直角三角形，最后根据即可求出 AC 的长． sinÐCAB =sin60 = =2【详解】解：如下图所示，由题意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°，在△BCD 中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°， ∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°， ∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴∠DCB=∠CDB，△CDB 为等腰三角形， ∴CB=DB=2，在△CBA 中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°， ∴△CBA 为直角三角形，又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°， ∴△CBA 为 30°，60°，90°直角三角形， CB AC 3∴，代入，CB  2 sinÐCAB =sin60 = =24 3 ∴故(km)， AC = » 2.3 3A,C 两点之间的距离为 km． 2.3 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，读懂题意，将题中信息转化成已知条件，本题中得出△CDB 为等腰三角形是解题的关键． 23. 如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁 y cm 与块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度 x min 之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：注水时间 （1）图②中折线表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段表示 EDC AB cm _____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为_____________ ．（2）注入多长时间，甲乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）､【答案】（1）乙，甲，16；（2）2 分钟【解析】【分析】（1）根据图象分析可知水深减少的图象为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深 16cm 之后增加的变慢，即可得到铁块的高度；（2）利用待定系数法求出两个水槽中水深与时间的解析式，即可求解．的表示乙槽中水深度与注入时间之间的关系；【详解】解：（1）图②中折线 EDC 线段表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系； AB cm 铁块的高度为 16 ．A 0,14 y  k x  b B 7,0 （2）设甲槽中水的深度为 1 ，把，代入，可得 11b 14 k  2 11，解得，7k1  b  0 b 14 11y  2x 14 ∴甲槽中水的深度为，1根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在 DE 段， D 4,16 y  k x b E 0,4 设乙槽 DE 段水的深度为 2 ，把 ，代入，可得 22b  4 k  3 22，解得，4k2  b2 16 b2  4 y  3x  4 ∴甲槽中水的深度为，22x 14  3x  4 ∴甲乙两个水槽中水的深度相同时，､，解得，x  2 故注入 2 分钟时，甲乙两个水槽中水的深度相同．､【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据题意理解每段函数对应的实际情况是解题的关键． AB  3 A的三等分点（靠近点），点为线段 24. 如图，在平行四边形中，，点为线段 ABCD CD EAB F的三等分点（靠近点，且CE  AB ．将沿BCE CE 对折， BC 边与 G边交于点，且 CAD ．DC  DG （1）证明：四边形 AECF 为矩形；（2）求四边形 AECG 的面积． 7 3 【答案】（1）证明见解析；（2） 4【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，AB//CD AB  CD ，根据题意三等分点可得 AE  CF ，根据对边平行且相等得到四边形 AECF 为平行四边形，再根据一个角为 90°的平行四边形是矩形即可得证； B’ AG B’BC （2）根据角度关系可得是等边三角形，是等边三角形，利用割补法即可求出面积．【详解】解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴，AB//CD AB  CD ，∵点为线段的三等分点（靠近点），点为线段 A的三等分点（靠近点）， CCD EAB F11AE  AB CF CD ，∴∴，33AE  CF ，∴四边形 AECF 为平行四边形， ∵CE  AB ，AECF AB  3 ，∴四边形（2）∵ ∴为矩形；，点为线段的三等分点（靠近点 A）， EAB ，AE 1 BE  2 ∵将沿BCE CE 对折， BC 边与边交于点 G，AD ∴∵，，BB’  2BE  4 BB’ ，DC  DG DGC  DCG ∴∵∴∴∴，，AB//CD B’  DCG B’ AG  D  B  B’ ，，B’ AG  B’  B’GA B’ AG ，B’BC 是等边三角形，是等边三角形，作 B’H⊥AG 于 H， 333∴∴，，B’H  AB’  CE  BC  2 3 222121327 3 4．SAECG  SCEB’  SGAB’  2 3 2  1 2【点睛】本题考查矩形的判定、割补法求面积、解直角三角形，掌握上述性质定理是解题的关键． 25. 某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的 8 次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：甲：92，95，96，88，92，98，99，100 乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98 由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，（1）求甲成绩的平均数和中位数；（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛． 4【答案】（1）平均数为 95 分，中位数为 95.5 分；（2）；（3）甲 5【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解即可；（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为 a，求出乙成绩的平均数，解不等式得到 a 的范围，利用概率公式即可求解；（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，选方差较小的即可． 92  95 96 88 92  98 99 100  95 【详解】解：（1）甲成绩的平均数为：；8甲成绩从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100 ， 95 96  95.5 ∴甲成绩的中位数为：；2（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为 a，（a 为 0-9 的整数） 100 87  92  93 90  a  95 97  98 752 a 则乙成绩的平均数为：，88752  a  95 当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即，8解得，a  8 0 ~ 7 ∴a 的值可以为这 8 个整数 84=∴P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数) ；10 5 752  a  95 （3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，此时乙的平均数也为 95，，解得，a  8 8∴甲的方差为： 12222222s甲2  92  95  95  95  96  95  88  95  92  95  98  95  99  95  100  95 2  819  0 1 49  9  9 16  25 14.75 ；8乙的方差为： 1s乙2  100 95 2  87 95 2  92 95 2  9395 2  9895 2  9595 2  97 95 2  9895 2  8125 64  9  4  9 1 4  9 15.5 ，8s2  s2 ∵，乙甲∴甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛．【点睛】本题考查求平均数、中位数和方差，以及概率公式，掌握求平均数、中位数和方差的公式是解题的关键． 4y的图象与轴的正半轴交于点 y  kx  b P, D 两26. y  如图，一次函数 A，与反比例函数的图像交于 xx点．以为边作正方形，点 B落在轴的负半轴上，已知BOD 的面积与AOB 的面积之比为 ABCD AD ．1: 4 y  kx  b （1）求一次函数的表达式：（2）求点的坐标及 P外接圆半径的长． △CPD 345 13 6y  x  4 ( ,3) 【答案】(1) ；(2)点 P的坐标为；外接圆半径的长为 △CPD 43【解析】【分析】(1)过 D 点作 DE∥y 轴交 x 轴于 H 点，过 A 点作 EF∥x 轴交 DE 于 E 点，过 B 作 BF∥y 轴交 EF 416 D(a, )(a >0) OA = 于 F 点，证明△ABF≌△DAE，，BOD 的面积与AOB 的面积之比为得到，1: 4 aa16 =a 进而得到，求出 A、D 两点坐标即可求解； a(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出 P 点坐标；再求出 C 点坐标，进而求出 CP 长度，Rt△CPD 外接圆的半径即为 CP 的一半．【详解】解：(1)过 D 点作 DE∥y 轴交 x 轴于 H 点，过 A 点作 EF∥x 轴交 DE 于 E 点，过 B 作 BF∥y 轴交 EF 于 F 点，如下图所示： ∵BOD 与AOB 有公共的底边 BO，其面积之比为 1:4， ∴DH:OA=1:4， 4416 DH = ，OA = ，OH = AE=a ，D(a, )(a >0) 设，则 aaa∵ABCD 为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∴∠BAF+∠EAD=90°， ∵∠BAF+∠FBA=90°， ∴∠FBA=∠EAD， F=E=90 FBA=EAD AB  AD 在△ABF 和△DAE 中： ,∴△ABF≌△DAE(AAS)， ∴又BF = AE =OA =a 16 OA = ，a16 =a ∴∴，解得 (负值舍去)， y  kx  b a  4 aA(0,4)，D(4,1) ，代入中， 344  0  b k   b  4 ∴，解得，1 4k  b 3y  x  4 ∴一次函数的表达式为；43y  x  4 4(2)联立一次函数与反比例函数解析式：，4y  x2整理得到：，3x 16x 16  0 4x  4 x  解得，，2134( ,3) ；D 点的坐标为（4,1） ∴点 P的坐标为 3∵四边形 ABCD 为正方形， 2222∴且在，DC = AD= AE +DE = 4 +3 =5 4100 9PD2 =( – 4)2 +(3- 1)2 = ，3100 325 PC2 = DC2 +PD2 =25+ =RtPCD 中，由勾股定理：，995 13 ∴，PC = 3又△CPD 为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边 PC 的中点处， 5 13 6∴△CPD 外接圆的半径为．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点 A、D 两点坐标． 27. O 的延长线于点 O O 如图，已知是的直径． BC 是的弦，弦垂直于点，交BC 于点 G．过点作CAB ED AB F的切线交 PED （1）求证：（2）判断；PC  PG 2是否成立？若成立，请证明该结论； PG  PD PE 5（3）若 G为BC 中点，，，求的长． DE OG  5 sin B  5【答案】（1）见解析；（2）结论成立，见解析；（3） 4 6 【解析】【分析】（1）连接，可得为等腰三角形，则，结合垂经定理和切线的性质可得 OC BOC B  OCB ，从而可得，即可得到结论； OCP  BFG  90 BGF  PCG （2）连接 EC，CD， CO并延长 CO交⊙O 于点结论即可求解； H，连接，证明PCD∽PEC ，在结合（1）中的 DH （3）连接 OD，OG，根据垂经定理的推论得出，OG  BG B  FGO ，在中利用三角函数 Rt△BOG OF 求出⊙O 的半径，在中利用三角函数即可求得长，在利用勾股定理求出，从而可求 DE Rt△GOF FD 【详解】（1）如图：连接 OC 为等腰三角形 BOC B  OCB ，切⊙O 于点 CPC OCP  BFG  90 OCB  PCG  90,B  BGF  90 ED  AB BGF  PCG BGF  PGC PGC  PCG PC  PG （2）结论成立；理由如下；如图：连接 EC，CD， CO并延长 CO交⊙O 于点 H，连接 DH 为⊙O 的直径 CH HDC  90 切⊙O 于点 PC CHCP  90 H  HCD  90,PCD  HCD  90 H  PCD H  E E  PCD △PCD∽△PEC PC PD PE PC PC  PG PG2  PDPE （3）如图：连接 OD，OG，为中点 G BC OG  BC BGO  90 5OG  5,sin B  5OG 55sin B  OB  5 OB OB 5OB  OD  5 与点 F ED  AB ED  2FD BOG  FGO  90,B  BOG  90 OFG  90 B  FGO sin FGO  5OF OF 5OG 5OF 1 在中有 RtOFD OD2  OF2  FD2 52 12  FD2 FD  2 6 DE  4 6 【点睛】本题考查了垂经定理及推论，相似三角形的判定和性质，切线的性质，以及解直角三角形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练掌握各部分内容，将所学知识贯穿起来．如图，抛物线 y  ax2  bx  c 2,1 与xxAB轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为 28. O．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线y  ax2  bx  c上的任意一点 G到定点的距离与点 GFFy  2 到直线的距离总相等． ①证明上述结论并求出点的坐标； F11②过点的直线与抛物线 y  ax2  bx  c交于两点．证明：当直线绕点旋转时， lM , N lFFMF NF 是定值，并求出该定值； y是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点 xC 3,m P,Q PQBC （3）点 ，使四边形周长最小，直接 P,Q 写出的坐标． 673111y  x2  x 1 ，证明见解析（3） F 2,0 P,0 Q 0, 【答案】（1）；（2） ；，10 4MF NF 【解析】 22,1 【分析】（1）先求出顶点 B的坐标为 ，在设抛物线的解析式为 y  a x 2 1，根据抛物线过原 点，即可求出其解析式； 12,b a, a2  a （2） ①设点坐标为 F，点 G坐标为，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量 4y  k x 2 M , N 关系； ②设直线的解析式为 l，直线与抛物线交于点 l，直线方程与抛物线联立得出的值，即可求解； yM  yN  4k2 , yM yN  4k2 MF, NF ①的结论，分别表示出，在结合 y关于轴的对称点 xx，交 （3）先求出点的坐标，分别作点关于轴的对称点 C，点 B，连接 CCBB C y，交轴于点，则点 QP,Q 即为所求轴于点 Px2,1 【详解】解：（1）点B 关于轴对称点的坐标为 2,1 点B的坐标为 2设抛物线的解析式为 y  a x 2 1 抛物点过原点 20  a 0  2 1 14a  解得 112y  x  2 1 y  x2  x 抛物线解析式为：即4412,b a, a2  a （2） ①设点坐标为 F，点 G坐标为 41122 a  2  a2  a b  a2  a  2 由题意可得： 442ab 2a b  0 整理得： 2b  0 2,0 点的坐标为 Fy  k x 2 M , N ，直线与抛物线交于点 ②设直线 1l的解析式为 ly  x2  x 4y  k x 2 21 y  2k y  2k y  4kk整理得： y2  4k2 y  4k2  0 22yM  yN  4k , yM yN  4k MF  y  2, NF  y  2 由①得MN1111MF NFyM  2 yN  2 11yM  yN  4 整理得： MF NFy y  2 y  y  4 N  MNM114k2  4 1 MF NF 4k2  4 1y  x2  x （3） C 3,m 在抛物线点上， 4134m  9 3=  434C 3, y关于轴的对称点 x如图：作点关于轴的对称点 CC，点 BB34y，交轴于点，则此时四边形 x，交轴于点 C 3, 2,1 QPQBC 周长最小则点，点 ，连接 PBB C y  kx  b 的解析式为设直线 B C 2k  b  1 33k  b  43b   10 解得 7k  20 73y  x  直线的解析式为 B C 20 10 673,0 Q，点坐标为 0, 点P坐标为 10 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强