重庆市2021年中考数学真题(A卷)（解析版）

重庆市 2021 年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分） 1. 2 A. 的相反数是（）112B. C. D. 22 2D【答案】【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2 的相反数是-2，故选 D． 62. 计算的结果是（）3a  a 3a6 2a5 2a6 3a5 A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】根据单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则解题． 65【详解】解： =，3a  a 3a 故选：D．【点睛】本题考查同底数幂相除、单项式除以单项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 不等式 x  2 在数轴上表示正确的是（） A. B. C. D. D【答案】【解析】 “≥” “≤”“ ” “ ” ，要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆圈表示，把已知解集表示在【分析】根据在表示解集时数轴上即可．【详解】解：不等式 x  2 在数轴上表示为：．D故选：．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟悉相关性质是解题的关键． 4. 如图，△ABC 与△BEF 位似，点 O 是它们的位似中心，其中 OE=2OB，则△ABC 与△DEF 的周长之比是（）A. B. C. D. 1：9 1：2 1：4 1：3 A【答案】【解析】【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点 O 为位似中心． ∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2， ∴△ABC 与△DEF 的周长比是：1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 5. 如图，四边形 ABCD 内接于☉O，若∠A=80°，则∠C 的度数是（）A. 80° B. 100° C. 110° D. 120° B【答案】【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【详解】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠C=180°-∠A=100°，故选：B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6. 计算的结果是（）14  7  2 A. 7 B. C. D. 6 2 2 7 7 2 B【答案】【解析】【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；【详解】解： 14  7  2  277  2  7 2 2 ， 6 2 故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 7. 如图，点 B，F，C，E 共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不等判断△ABC≌△DEF 的是（）A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD C【答案】【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解： BF=EC， BC  EF A. 添加一个条件 AB=DE， BC  EF,B  E 又∴△ABC ≌△DEF(SAS) 故 A 不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D BC  EF,B  E 又ABC≌DEF(AAS) 故 B 不符合题意； C. 添加一个条件 AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故 C 符合题意； D. 添加一个条件 AC∥FD ACB  EFD BC  EF,B  E 又ABC≌DEF(ASA) 故 D 不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 20m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升 10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y（单位：m）与无人机上升的时间 x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（） A. 5s 时，两架无人机都上升了 40m B. 10s 时，两架无人机的高度差为 20m C. 乙无人机上升的速度为 8m/s D. 10s 时，甲无人机距离地面的高度是 60m B【答案】【解析】【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度 y（米）和上升的时间 x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可． y  ax 【详解】解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得，40  5a a  8 甲y  8x ∴，甲y  kx  b 设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得：乙b  20 k  4 ，解得，5k  b  40 b  20 y  4x  20 ∴，乙A、5s 时，甲无人机上升了 40m，乙无人机上升了 20m，不符合题意； B、10s 时，甲无人机离地面 80m， 810  乙无人机离地面 60m，相差 20m，符合题意； 410  20  40  20  4 C、乙无人机上升的速度为 m/s，不符合题意； 5的D、10s 时，甲无人机距离地面高度是80m．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键． 9. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，M 是边 AD 上一点，连接 OM，过点 O 做 ON⊥OM，交 CD 于点 N．若四边形 MOND 的面积是 1，则 AB 的长为（）A. 1 B. C. 2 D. 22 2 C【答案】【解析】 MAO NDO(ASA) 【分析】先证明，再证明四边形 MOND 的面积等于，的面积，继而解得正 DAO 方形的面积，据此解题．【详解】解：在正方形 ABCD 中，对角线 BD⊥AC， AOD  90 ON  OM MON  90 AOM  DON MAO  NDO  45, AO  DO 又MAO NDO(ASA) SMAO  SNDO 四边形 MOND 的面积是 1， SDAO 1 正方形 ABCD 的面积是 4，  AB2  4  AB  2 故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10. 如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 MA 和 ND．甲在山脚点 C 处测得通信基站顶端 M 的仰角为 60°，测得点 C 距离通信基站 MA 的水平距离 CB 为 30m；乙在另一座山脚点 F 处测得点 F 5ND  DE 距离通信基站 ND 的水平距离 FE 为 50m，测得山坡 DF 的坡度 i=1：1.25．若，点 C，B，E， 8F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端 M 与顶端 N 的高度差为（）（参考数据：）2 1.41, 31.73 A. 9.0m B. 12.8m C. 13.1m D. 22.7m C【答案】【解析】【分析】分别解直角三角形和RtMBC ，求出 NE 和 MB 的长度，作差即可． Rt△DEF 【详解】解：∵ FE  50m ，DF 的坡度 i=1：1.25， DE  40m ，∴∴DE : EF 1:1.25，解得 5ND  DE  25m ，8∴∵NE  ND  DE  65m ，，BC  30m ，MCB  60 ∴，MB  BC tan 60  30 3m ∴顶端 M 与顶端 N 的高度差为故选：C．，NE  MB  6530 313.1m 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键． 3x  2  2 x  2 的解集为 11. 若关于 x 的一元一次不等式组，且关于 y 的分式方程 x  6 a  2x  5 y  2a 3y 8  2 的解是正整数，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（）y 1 1 y A. 5 B. 8 C. 12 D. 15 B【答案】【解析】 5 a 2 6 【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到 a  5 解得，再解分式方程得到 a  7 y= ，根据分式方程的解是正整数，得到 a  5，且是 2 的倍数，据此解得所有符合条件的整数 a  5 2a 的值，最后求和． 3x  2  2 x  2 ① 【详解】解： a  2x  5② 解不等式①得，解不等式②得， ，x  6 5+a x  2不等式组的解集为： x  6 5 a 2 6 a  7 y  2a 3y 8  2 得解分式方程 y 1 1 y y  2a 3y 8  2 y 1 y 1  y  2a  (3y 8)  2(y 1) a  5 y= 整理得，2a  5 2 y 1 0, 1, 则a  3, 分式方程的解是正整数， a  5  0 2，且是 2 的倍数， a  5 a  5 5  a  7 ，且 a  5 是2 的倍数， 整数 a 的值为-1, 1, 3, 5, 11 3 5  8 故选： B．【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X 轴， ky  x  0 的图象经过点 E，与 AO⊥AD，AO=AD．过点 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，DE=4CE．反比例函数 x11 S边 AB 交于点 F，连接 OE，OF，EF．若，则 k 的值为（）EOF 87321 221 4A. B. C. 7 D. A【答案】【解析】【分析】延长 EA 交 x 轴于点 G，过点 F 作 x 轴的垂线，垂足分别为 H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得 DE=AG，AE=OG，若设 CE=a，则 DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得 AE=OG=3a，故可得点 S SEOG  S梯形EGHF  SFOH ，即可 E、A 的坐标，由 AB 与 x 轴平行，从而也可得点 F 的坐标，根据求得 a 的值，从而可求得 k 的值． EOF 【详解】如图，延长 EA 交 x 轴于点 G，过点 F 作 x 轴的垂线，垂足分别为 H ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴CD=AD=AB，CD∥AB ∵AB∥x 轴，AE⊥CD ∴EG⊥x 轴，∠D+∠DAE=90 ゜ ∵OA⊥AD ∴∠DAE+∠GAO=90 ゜ ∴∠GAO=∠D ∵OA=OD ∴△DEA≌△AGO(AAS) ∴DE=AG，AE=OG 设 CE=a，则 DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a 在 Rt△AED 中，由勾股定理得：AE=3a ∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a ∴A（3a,4a），E(3a,7a) ∵AB∥x 轴，AG⊥x 轴，FH⊥x 轴 ∴四边形 AGHF 是矩形 ∴FH=AG=3a，AF=GH ky  x  0 上∵E 点在双曲线 x2∴k  21a 21a2 y  即x21a2 y  ∵F 点在双曲线上，且 F 点的纵坐标为 4a x21a x  ∴421a OH  即49a GH  OH OG  ∴∵∴4S SEOG  S梯形EGHF  SFOH EOF 1219a 1 21a 11 83a7a  (7a  4a)  4a  242419a2  解得： 173k  21a2  21  ∴9故选：A．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得 E、A、F 三点的坐标．二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13. 3 – p – 1 0 =( ) _______．计算：【答案】2．【解析】的【分析】分别根据绝对值性质、指数幂的运算法则计算出各数，再进行计算即可． 03 – p – 1 0 = 3- 1= 2 ，【详解】解： ()故答案是：2． 0【点睛】本题考查的是绝对值的性质、指数幂，熟悉相关运算法则是解答此题的关键． 14. 在桌面上放有四张背面完全一样的卡片．卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率 _______ 是．1【答案】【解析】 4【分析】画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积为负数的结果，再由概率公式即可求得答案．【详解】画树状图如图：共有 16 个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有 4 个， 414∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率= ．16 1故答案为：．4【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 4  x 215.  a  4 若关于 x 的方程的解是，则 a 的值为__________． x  2 【答案】3 【解析】【分析】将 x=2 代入已知方程列出关于 a 的方程，通过解该方程来求 a 的值即可．【详解】解：根据题意，知 4  2 2 a  4 ，解得 a=3．故答案是：3．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 16. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，分别以点 A，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交 AB，CD 于点 E，F．若 BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留 π）． 4【答案】 5【解析】【分析】利用矩形的性质求得 OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，且 BD=4， ∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2， 236 22 4∴，S阴影  2S扇形AOE   360 54故答案为：．5【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键． 17. 如图，三角形纸片 ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线 DE 翻折，点 A 与点 F 重合．若 DE∥BC，AF＝EF，则四边形 ADFE 的面积为__________．【答案】【解析】 5 3 【分析】根据折叠的性质得到 DE为ABC 的中位线，利用中位线定理求出 DE 的长度，再解出 AF 的长度，即可求解．求Rt△ACE 【详解】解：∵将这张纸片沿直线 DE 翻折，点 A 与点 F 重合， ∴DE 垂直平分 AF， ∵DE∥BC，，，，AD  DF AE  EF ADE  EDF EDF  BFD ∴∴∴∴，，，AFC  90 ，ADE  B B  BFD ，BD  DF ，即 D 为 AB 的中点， BD  AD ∴DE 为ABC 的中位线， 1DE  BC  5 ∴，2∵AF＝EF， ∴在是等边三角形，中， AEF CF  6 ，，CAF  60 Rt△ACE CF AF   2 3 ∴∴，tan 60 ，AG  3 1DE  AG2  5 3 ∴四边形 ADFE 的面积为，2故答案为：．5 3 【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 18. 某销售商五月份销售 A、B、C 三种饮料的数量之比为 3：2：4，A、B、C 三种饮料的单价之比为 1：2： 1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料 1的销售总额将比五月份有所增加，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的，B、C 饮料增加的销售额之比 15 为 2：1．六月份 A 饮料单价上调 20%且 A 饮料的销售额与 B 饮料的销售额之比为 2：3，则 A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________． 9【答案】 10 【解析】【分析】设销售 A 饮料的数量为 3x，销售 B 种饮料的数量 2x, 销售 C 种饮料的数量 4x，A 种饮料的单价 y． B、C 两种饮料的单价分别为 2y、y．六月份 A 饮料单价上调 20%，总销售额为 m，可求 A 饮料销售额 192117 41m=15xy ，六月份 A mxy  mxy  m，可求为 3xy+ ，B 饮料的销售额为 4xy ，C 饮料销售额： 10 20 15 10 x，A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之种预计的销售额，六月份预计的销售数量 310 3x : x计算即可比3【详解】解：某销售商五月份销售 A、B、C 三种饮料的数量之比为 3：2：4，设销售 A 饮料的数量为 3x，销售 B 种饮料的数量 2x, 销售 C 种饮料的数量 4x， A、B、C 三种饮料的单价之比为 1：2：1．, 设 A 种饮料的单价 y． B、C 两种饮料的单价分别为 2y、y．六月份 A 饮料单价上调 20%后单价为（1+20%）y,总销售额为 m， 1A 饮料增加的销售占六月份销售总额的 15 1mA 饮料销售额为 3xy+ ，15 A 饮料的销售额与 B 饮料的销售额之比为 2：3， 321913xy  m = xy  mB 饮料的销售额为 15 210 3213xy  m  4xy B 饮料的销售额增加部分为 15 1 3 2 2 13xy  m  4xy ∴C 饮料增加的销售额为 15 1 3 2 2 117 13xy  m  4xy +4xy  xy  m∴C 饮料销售额： 15 420 19117 13xy  m  xy  m  xy  m  m ∴∴15 210 420 m=15xy 13xy  15xy  4xy 六月份 A 种预计的销售额，15 10 4xy  1+20% y x六月份预计的销售数量 310 93x : x  9:10= ∴A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比 310 9故答案为 10 【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握销售额=销售单价×销售数量是解题关键三、解答题：（本大题 7 个小题，没小题 10 分，共 70 分） 219. 计算（1） x  y  x x 2y ； aa2  4 1 （2）．a  2 a2  4a  4 2【答案】（1） 2×2  y2 ；（2） a  2 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式和整式的乘法运算法则计算即可；（2）根据分式混合运算的运算法则计算即可． 2【详解】解：（1） x  y  x x 2y =x2﹣2xy+y2+x2+2xy =2×2+y2； aa2  4 1 （2） a  2 a2  4a  4 a  2 a  2 a  2 a(a  2)(a  2) (a  2)2 （=)  2(a  2)2 =a  2 (a  2)(a  2) 2=．a  2 【点睛】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 20. “惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取 10 个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用 x 表示，共分为四个等级：A． x 1，B．，1 x 1.5 C．，D．），下面给出了部分信息． 1.5  x  2 x  2 七年级 10 个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．八年级 10 个班的餐厨垃圾质量中 B 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数 1.3 中位数众数 a方差 0.26 0.23 A 等级所占百分比七年级八年级 1.1 40% 1.3 b1.0 m% 根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中 a，b，m 的值；（2）该校八年级共 30 个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合 A 等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）． a  0.8,b 1.0,m  20 【答案】（1）；（2）6 个；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解 a，b 的值，由扇形统计图可解得 m 的值；（2）先计算在 10 个班中，八年级 A 等级的比例，再乘以 30 即可解题；的（3）分别根据各年级众数、中位数、方差等数据结合实际分析解题即可．【详解】解：（1）根据题意得，七年级 10 个班的餐厨垃圾质量中，出现的此时最多，即众数是；0.8 0.8 由扇形统计图可知 m% 150% 10%  20%  20% ，八年级的 A 等级的班级数为 10×20%=2 个，八年级共调查 10 个班，故中位数为第 5 个和第 6 个数的平均数， A 等级 2 个班，B 等级的第 3 个数和第 4 个数是 1.0 和 1.0，故八年级 10 个班的餐厨垃圾质量的中位数为（1.0+1.0）÷2=1.0 m  20 a  0.8,b 1.0,m  20 ；（2）∵八年级抽取的 10 个班级中，餐厨垃圾质量为 A 等级的百分比是 20%， ∴估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合 A 等级的班级数为：30×20%＝6（个）；答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合 A 等级的班级数为 6 个．（3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为： ①七年级各班餐厨垃圾质量的众数 0.8 低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数 1.0； ②七年级各班餐厨垃圾质量 A 等级的 40%高于八年级各班餐厨垃圾质量 A 等级的 20%；八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为： ①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数 1.0 低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数 1.1； ②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差 0.23 低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差 0.26．【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 如图，在ABCD 中，AB>AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在 AB 上截取 AE，使得 AE=AD；作∠BCD 的平分线交 AB 于点 F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接 DE 交 CF 于点 P，猜想△CDP 按角分类的类型，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案；（2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90 【详解】解：（1）解：如图所示：E，F 即为所求； 即可得出答案．（2）△CDP 是直角三角形． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC． ∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED． 1∴∠CED=∠ADE= ∠ADC． 2∵CP 平分∠BCD， 1∴∠DCP= ∠BCD， 2∴∠CDE+∠DCP=90°． ∴∠CPD=90°． ∴△CDP 是直角三角形．【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应 4  x2 用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． y  x2 1 （1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x…－5 －4 －3 －2 －1 0120345……－4  x2 x2 1 21 12 32…－－04y  1217 26 （2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质； 4  x2 x2 1 33y  x  3 （3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解  x  3  22集．（近似值保留一位小数，误差不超过 0.2） 321 1221 , , , 【答案】（1）从左到右，依次为：，图见解析；（2）该函数图象是轴对称图象，对称轴是 2 1726 x  0.3,1 x  2 y 轴；（3）【解析】【分析】（1）直接代入求解即可；（2）根据函数图象，写出函数的性质即可；（3）根据图象交点写出解集即可． 321 1221 , , , 【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右，依次为：．2 1726 函数图象如图所示．；（2）①该函数图象是轴对称图象，对称轴是 y 轴； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当，函数取得最大值 4； x  0 ③当是，y 随 x 的增大而增大；当是，y 随 x 的增大而减小；（以上三条性质写出一条即可） x  0 x  0 4  x2 x2 1 3 x  3  3.3 （3）当 x  0.2时，，； 3.8 24  x2 x2 1 3 x  3  3.6 当x  0.4 时，，； 3.31 234  x2 x2 1 所以 x  0.3 是的一个解；  x  3  234  x2 由图象可知和x 1 x  2 是的另外两个解；  x  3  2×2 1 34  x2 x  0.3,1 x  2 ∴的解集为． x  3  2×2 1 【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键． 23. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 A 产品，乙车间生产 B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知 A 产品的销售单价比 B 产品的销售单价高 100 元，1 件 A 产品与 1 件 B 产品售价和为 500 元．（1）A、B 两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着 5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制 B 产品的生产车间．预计 A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加 a%； B 产品产量将在去年的基础上减少 a%，但 B 产品的销售单价将提高 3a%．则今年 A、B 两种产品全部售出 29 a后总销售额将在去年的基础上增加 %．求 a 的值． 25 【答案】（1）A 产品的销售单价为 300 元，B 产品的销售单价为 200 元；（2）20 【解析】【分析】（1）设 B 产品的销售单价为 x 元，则 A 产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出即可；（2）设去年每个车间生产产品的数量为 t 件，根据题意根据题意列出方程 29 300 1 a% t  200 1 3a% t 1 a%  500t  1 a%   解出即可； 25 【详解】解：（1）设 B 产品的销售单价为 x 元，则 A 产品的销售单价为（x+100）元．根据题意，得 x  x 100  500 ．解这个方程，得．x  200 则．x 100  300 答：A 产品的销售单价为 300 元，B 产品的销售单价为 200 元．（2）设去年每个车间生产产品的数量为 t 件，根据题意，得 29 300 1 a% t  200 1 3a% t 1 a%  500t  1 a%   25 2设 a%=m，则原方程可化简为．5m  m  0 1m  ,m  0 解这个方程，得（舍去）． 125∴a=20．答：a 的值是 20．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程． 0的个位数字不为，且能分解成 24. 如果一个自然数，其中 A与B都是两位数， A与B的十位数 MA B 字相同，个位数字之和为，则称数 10 为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分 MMM  A B 解”．例如609  2129 ，和29 的十位数字相同，个位数字之和为，10 21 609 是“合和数”．又如234 1813 ，和13的十位数相同，但个位数字之和不等于，18 10 “合和数”． 234不是（1）判断168 ，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数” 进行“合分解”，即．A的各个数位数字之和与 B的各个数位数字 MM  A B P M Q M 之和的和记为 ；A的各个数位数字之和与 B的各个数位数字之和的差的绝对值记为 ．令 P M ，当 G(M )  G(M ) 能被整除时，求出所有满足条件的 4．MQ M 【答案】（1）168不是“合和数”， 621是“合和数，理由见解析；（2）有，1224 1221 ，5624 ，M5616 ．【解析】 0的个位数字不为，且能分解【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数 M成，其中 A与B都是两位数， A与B的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”， M10 A B 再判断168 （2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示，621是否是“合和数”； A个位及十位上的数，同时也可以用来 P(M ) Q(M ) G(M )  表示 B．然后整理出：，根据能被 4 整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的．M【详解】解：（1） “合和数”，是“合和数”． 168不是 621 168 1214 ，2  4 10 ，“合和数”， 168 不是 621 2327，十位数字相同，且个位数字 “合和数”． 3  7 10 ，621 是m的十位数字为，个位数字为 nmn，为自然数，且（2）设 A（，3  m  9 1≤ n≤9 ）， A 10m  n, B 10m 10  n 则．P(M )  m  n  m 10  n  2m 10,Q(M )  (m  n)  (m 10  n)  2n 10 P(M ) 2m 10 m  5 ∴∴．G M  4k （是整数）． kQ(M ) 2n 10 n 5 3  m  9 ，8  m  5 14 ，是整数， k m  5  8 或m  5 12 ，，①当时， m  5  8 m  5  8 m  5  8 n 5  2 或n 5 1 M  3634 1224 或M  3733=1221 ．②当时， m  5 12 m  5 12 m  5 12 n 5  3 或，n 5 1 M  7674  5623 或M  7872  5616 ．综上，满足条件的有，1224 1221 5624 5616 ，，． M【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y  x2  bx  c 经过 A（0，﹣1），B（4，1）．直线 AB 交 x 轴于点 25. C，P 是直线 AB 下方抛物线上的一个动点．过点 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，PE∥x 轴，交 AB 于点 E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点 P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线 y  x2  bx  c 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 P．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个点 M 的坐标的过程写出来． 724 5 5y  x2  x 1 【答案】（1）；（2）t=2 时，△PDE 周长取得最大值，最大值为，点P 的坐标为 8 2（2，﹣4）；（3）满足条件的点 M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； 7t,t2  t 1 （2）先求出直线 AB 的函数表达式和点 C 坐标，设 P ，其中 0<t<4，则 E 272t2  7t,t2  t 1 ，证明△PDE∽△AOC，根据周长之比等于相似比可得 23 5 5 6 510 24 5 522，根据二次函数求最值的方法求解即可； l   2 t  2 8   t  2  8 55（3）分以下情况①若 AB 是平行四边形的对角线；②若 AB 是平行四边形的边，1）当 MN∥AB 时；2）当 NM∥AB 时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可．【详解】解（1）∵抛物线 y  x2  bx  c 经过点 A（0，﹣1），点 B（4，1）， c  1 ∴，16  4b  c 1 72b   解得，c  1 7y  x2  x 1 ∴该抛物线的函数表达式为；2（2）∵A（0，-1），B（4，1）， 1y  x 1 ∴直线 AB 的函数表达式为 ∴C（2，0），，27t,t2  t 1 设 P ，其中 0<t<4， 21y  x 1 ∵点 E 在直线上，PE∥x 轴， 272t2  7t,t2  t 1 ∴E ，∠OCA=∠DEP， 222∴PE= ，2t 8t  2 t  2 8 ∵PD⊥AB， ∴∠EDP=∠COA， ∴△PDE∽△AOC， ∵AO=1，OC=2， ∴AC= ，5∴△AOC 的周长为 3+ ，53 5 AC 令△PDE 的周长为 l，则，lPE 3 5 5 6 510 24 5 522∴，l   2 t  2 8   t  2  8 5524 5 ∴当 t=2 时，△PDE 周长取得最大值，最大值为此时点 P 的坐标为（2，﹣4），，8 5（3）如图所示，满足条件的点 M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 2由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线．y  x  4x x  2 ①若 AB 是平行四边形的对角线，当 MN 与 AB 互相平分时，四边形 ANBM 是平行四边形，即 MN 经过 AB 的中点 C（2，0）， ∵点 N 的横坐标为 2， ∴点 M 的横坐标为 2， ∴点 M 的坐标为（2，-4）； ②若 AB 是平行四边形的边， 1）MN∥AB 时，四边形 ABNM 是平行四边形， ∵A（0，-1），B（4，1），点 N 的横坐标为 2， ∴点 M 的横坐标为 2﹣4=﹣2， ∴点 M 的坐标为（﹣2，12）； 2）当 NM∥AB 时，四边形 ABMN 是平行四边形， ∵A（0，-1），B（4，1），点 N 的横坐标为 2， ∴点 M 的横坐标为 2+4=6， ∴点 M 的坐标为（6，12），综上，满足条件的点 M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分） 26. 在ABC 中，，．是边 BC 上一动点，连接，将绕点 A逆时针旋转至的位置， AE AB  AC DAD AD 使得 DAE  BAC 180 （1）如图，当时，连接 BE ，交于点．若BE 平分ABC ，，求的长； AF BAC  90 AC 1FBD  2 （2）如图，连接BE ，取 BE 的中点 G，连接 AG ．猜想 AG 与存在的数量关系，并证明你的猜想； CD 2（3）如图，在（2）的条件下，连接，DG CE ．若 BAC 120 ，当，BD  CD AEC 150 时， 3BD  DG 请直接写出的值． CE 1BD  DG 6AG  CD 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）．22CE 2【解析】【分析】（1）连接，过点作，垂足为 H，证明，得：，再在 CE FH  BC FABF≌HBF AF  HF 2等腰直角FHC 中，找到，再去证明△FCE 为等腰三角形，即可以间接求出 CF 的长； AF FH  2（2）作辅助线，延长至点，使 AM  AB ，连接，在中，根据三角形 BA MEM BEF 1AG  ME 的中位线，得出，再根据条件证明：，于是猜想得以证明； △ADC≌△AEM 2（3）如图（见解析），先根据旋转的性质判断出是等边三角形，再根据证ABC  AEC 180 ADE 四点共圆，然后根据等腰三角形的三线合一、角的和差可得 A, B,C, E 出是等腰直角三角形，设 △CDE ，从而可得，根据三角形全等的判定定理与性质可得 CE  DE  2a AD  2a,CD  2 2a ，从而可得，根据矩形的判定与性质可得四边形 BDP  BAP 120 AGD  GDP  APD  90 BD  DG AC AP CP 是矩形，，最后根据等量代换可得，解直角三角形求出 AGDP DG  AP CE CE CE 即可得出答案． CP  6a 【详解】解：（1）连接，过点作H，垂足为． CE FH  BC FBE 平分ABC ，，BAC  90 ．FA  FH  AB  AC ，ABC  ACB  45 ，2，FH  CF 2 BAC   DAE 180 ，，BAC  DAE  90 ，BAD  CAE AB=AC BAD  CAE AD  AE 在和ACE 中，，△ABD ABD≌ACE(SAS) ，，BD  CE  2 ABD  ACE  45 ，BCE  90 ，BE 平分ABC ABF  CBF AFB  BEC AFB  EFC BEC  EFC CEB  EFC ，.，，，．2． AF  CF= 2 21AG  CD 2（2）延长至点，使 AM  AB ，连接．EM BA M是BE 的中点， G 1 AG  ME ．2BAC  DAE  BAC  CAM 180 ，DAE  CAM ，，DAC  EAM AD  AE DAC  EAM AC  AM 在ADC 和中，，△AEM ADC≌AEM (SAS) ，CD  ME ，1 AG  CD ．2AC, BE DE, DP ，（3）如图，设交于点 P，连接 DAE  BAC 180BAC 120 ，，DAE  60 由旋转的性质得：，AD  AE 是等边三角形， VADE AED  60, AD  DE ，，AEC 150 ，CED  AEC  AED  90 BAC 120, AB  AC ，1ABC  ACB  (180 BAC)  30 ，2，ABC  AEC 180 A, B,C, E 点四点共圆， 1AEB  ACB  30 AED 由圆周角定理得：垂直平分，21DEB  AED  30 ，（等腰三角形的三线合一）， BE AD 2 AG  DG, AP  DP, BD  AB  AC ，平分ABC ，BE 1ABE  CBE  ABC 15 ，2，CDE  CBE  DEB  45 RtCDE 是等腰直角三角形，，CE  DE,CD  2CE 设，则，CE  DE  2a AD  2a,CD  2 2a 1AG  CD  2a 由（2）可知，，2，DG  AG  2a  AG2  DG2  AD2 ，ADG 是等腰直角三角形，且 AGD  90 ，1EGD  AGD  45 （等腰三角形的三线合一），，2BDG  EGD  CBE  30 BD  BA BP  BP DP  AP 在和△BDP BAP 中，，BDP  BAP(SSS) ，，BDP  BAP 120 ，GDP  BDP  BDG  90 CDP 180 BDP  60 ，，CPD 180 CDP  ACB  90 ，AGD  GDP  APD  90 四边形是矩形， AGDP ，DG  AP 3在则中，，Rt△CDP CP  CDcosPCD  2 2a  6a 2BD  DG AC AP CP 6a 6．CE CE CE 2a 2【点睛】本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、圆周角定理、解直角 A, B,C, E 三角形等知识点，综合能力比较强，较难的是题（3），判断出四点共圆是解题关键．