辽宁省锦州市 2021 年中考真题数学试卷 一、选择题（本大题共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ﹣2 的相反数是（ ）112A. B. C. 2 D. ﹣2 2【答案】C 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 的【详解】解：﹣2 相反数是 2， 故选：C． 的【点睛】本题主要考查 是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 据相关研究，经过 40min 完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加 25000 倍，将数据 25000 用科学记数法表示为（ ）A. 25×103 0.25×106 【答案】B 【解析】 B. 2.5×104 C. 0.25×105 D. 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值大于或等于 10 时， n 是正整数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负整数． 【详解】解：将数据 25000 用科学记数法表示为 2.5×104， 故选：B． 【点睛】此题考查科学计数法，科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数． 3. 如图所示的几何体是由 5 个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案． 【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的左视图，关键在于牢记左视图的定义． 4. 某班 50 名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示： 时间/h 67789人数 18 15 10 那么该班 50 名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是（ ）A. 18，16.5 【答案】D 【解析】 B. 18，7.5 C. 7，8 D. 7，7.5 【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可． 【详解】解：由统计表给出的数据可知阅读课外书籍的时间为 7 小时的有 18 人，出现的次 数最多，所以众数是 7， 因为有 50 个学生，所以第 25、26 个数的和的平均数是中位数，又因为 25、26 个数分别是 7，8，所以中位数是 7.5 故选：D． 【点睛】此题考查数据中关于众数，中位数的知识，根据题意解题即可． 的5. 如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN 度数是（ ）A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】过 C 点作 CF∥AM，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过 C 点作 CF∥AM， ∵AM∥BN， ∴AM∥CF∥BN， ∴∠MAC＝∠ACF，∠CBN＝∠FCB， ∵∠ACB＝90°，∠MAC＝35°， ∴∠CBN＝∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝∠ACB﹣∠MAC＝90°﹣35°＝55°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据题意构造平行线，并熟练掌握平行线的 性质定理是解题的关键． 2x y 10 x 2y 6. 二元一次方程组 的解是（ ）x 2 y 1 x 1 y 2 x 4 y 2 x 2 y 4 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 2x y 10① 【详解】解： ，x 2y② 把②代入①得：4y＋y＝10， 解得：y＝2， 把 y＝2 代入②得：x＝4， x 4 y 2 则方程组的解集为 ．故选：C． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与 加减消元法． 7. 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点（位于 AB 下方），CD 交 AB 于点 E，若∠BDC＝45°，BC＝6 ，CE＝2DE，则 CE 的长为（ ）2A. 2 B. 4 C. 3 D. 4 3652【答案】D 【解析】 【 分 析 】 连 接CO ， 过 点D 作 DG⊥AB 于 点G ， 连 接AD ， 因 为CE ＝ 2DE ， 构 造 △DGE∽△COE，求出 DG＝3，设 GE＝x，则 OE＝2x，DG＝3，则 AG＝6﹣3x，BG＝6＋ 3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决． 【详解】解：连接 CO，过点 D 作 DG⊥AB 于点 G，连接 AD， ∵∠BDC＝45°， ∴∠CAO＝∠CDB＝45°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵BC＝6 ∴AB＝ ，2BC＝12， 2∵OA＝OB， ∴CO⊥AB， ∴∠COA＝∠DGE＝90°， ∵∠DEG＝∠CEO， ∴△DGE∽△COE， DE GE 12DG CO ∴＝，CE OE ∵CE＝2DE， 设 GE＝x，则 OE＝2x，DG＝3， ∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x， ∵∠ADB＝∠AGD＝90°， ∠DAG＝∠BAD， ∴△AGD∽△ADB， ∴DG2＝AG•BG， ∴9＝（6﹣3x）（6＋3x）， ∵x＞0， ∴x＝ ，3∴OE＝2 ，3在 Rt△OCE 中，由勾股定理得： 22CE＝ ，OE OC 12 36 4 3 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助 线构造出△DGE∽△COE 是解题关键 8. 如图，在四边形 DEFG 中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC 的直角顶点 C 与点 G 重合，另一个顶点 B（在点 C 左侧）在射线 FG 上，且 BC＝1，AC＝ 2，将△ABC 沿 GF 方向平移，点 C 与点 F 重合时停止．设 CG 的长为 x，△ABC 在平移过 程中与四边形 DEFG 重叠部分的面积为 y，则下列图象能正确反映 y 与 x 函数关系的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点 B 到达点 G 之前，即 0＜x＜1 时，求 出 y 和 x 的关系式，确定图象，第二个是点 C 到达点 H 之前，即 1＜x＜2 时，求出 y 和 x 的关系式，确定图象，第三个是点 C 到达点 F 之前，即 2＜x＜3 时，求出 y 和 x 的关系式， 确定图象，即可确定选项． 【详解】解：过点 D 作 DH⊥EF， ∵∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3， ∴EH＝2，DH＝EF＝2， 当 0＜x＜1 时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为 x， 1×2 ∴y＝ ，21 0 ∵，2∴该部分图象开口向上， 当 1＜x＜2 时，如图， 设 A’B’与 DG 交与点 N，A’C’与 DG 交与点 M， 则 S 重叠＝S△GMC’﹣S△GNB’ 设 B’K＝a，则 NK＝2a， ∵GC’＝x，B’C’＝1， ∴GB’＝x﹣1， ，∵△GKN 是等腰直角三角形， ∴GK＝NK， ∴x﹣1＋a＝2a， ∴a＝x﹣1， ∴NK＝2x﹣2， 1S (x 1)(2x 2) x2 2x 1 ∴，GNB 21Sx2 ，∵GMC 2121×2 x2 2x 1 2∴S 重叠 ＝﹣（x ﹣2x＋1）＝ ，21 0 ∵，2∴该部分图象开口向下， 当 2＜x＜3 时，重叠部分的面积为 S△ABC，是固定值， ∴该部分图象是平行 x 轴的线段， 故选：B． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据 每个阶段的情况单独讨论，确定 y 和 x 之间的函数关系式，从而确定图象． 二、填空题（本大题共 8 道小题，每小题 3 分，共 24 分） 9. 若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是___ 2x-3 3【答案】x≥ 2【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列式求值． 【详解】∵二次根式 ∴2x-3≥0, 有意义， 2x-3 3∴x≥ . 23故答案是：x≥ . 2【点睛】考查二次根式有意义的条件；解题关键是运用了二次根式有意义的条件，即被开方 数为非负数． 10. 甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人 10 次射击成绩的平均数都是 9 环，方差 分别是 s2 甲＝1.2，s2 乙＝2.4，如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选____ （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵s2 甲＝1.2，s2 乙＝2.4， ∴s2 甲＜s2 ，乙则甲的成绩比较稳定， 故答案为：甲． 【点睛】此题考查方差的实际应用，掌握方差的大小对数据稳定性的决定性作用是解题的关 键． 11. 一个口袋中有红球、白球共 20 个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中 随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了 300 次球，发 现有 120 次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为____． 【答案】8 【解析】 【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为 0.4，然后根据概率公式计算这个 口袋中红球的数量． 【详解】解：因为共摸了 300 次球，发现有 120 次摸到红球， 所以估计摸到红球的概率为 0.4， 所以估计这个口袋中红球的数量为 20×0.4＝8（个）． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置 左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来 估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实 验次数的增多，值越来越精确． 12. 关于 x 的一元二次方程 x2＋2x﹣k＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是________． 【答案】k≥﹣1 【解析】 2的【分析】利用判别式 意义得到Δ＝2 ﹣4×（﹣k）≥0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得 Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0， 解得 k≥﹣1． 故答案为 k≥﹣1． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下 关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△ ＜0 时，方程无实数根． 13. 如图，在△ABC 中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC 边的垂直平分线 DE 交 AB 于 点 D，连接 CD，则 AB 的长为_________________． 【答案】2＋2 3【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝ 90°，根据含 30°角的直角三角形的性质求出 AD，根据勾股定理求出 DC，进而求出 AB． 【详解】解：∵DE 是 BC 的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠DCB＝∠B＝45°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝30°， 1∴AD＝ AC＝2， 2AC2 AD2 42 22 由勾股定理得：DC＝ ＝＝2 ，3∴DB＝DC＝2 ，3∴AB＝AD＋DB＝2＋2 ，3故答案为：2＋2 ．3【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾 股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，以点 B 为圆心、BC 的长为半径画弧交 AD 1于点 E，再分别以点 C，E 为圆心、大于 CE 的长为半径画弧，两弧交于点 F，作射线 BF 2交 CD 于点 G，则 CG 的长为__________________． 10 【答案】 3【解析】 【分析】根据作图过程可得 BF 是∠EBC 的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股 定理即可求出 CG 的长． 【详解】解：如图，连接 EG， 根据作图过程可知：BF 是∠EBC 的平分线， ∴∠EBG＝∠CBG， 在△EBG 和△CBG 中， EB CB EBG CBG BG BG ，∴△EBG≌△CBG（SAS）， ∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°， 在 Rt△ABE 中，AB＝6，BE＝BC＝10， BE2 AB2 ∴AE＝ ＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2， Rt△DGE 中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG， 在∴EG2﹣DE2＝DG2 ∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2， 10 解得 CG＝ ．310 3故答案为： ．【点睛】本题考查了矩形的性质，作图-基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 15. 如图，在平面直角坐标系中，▱OABC 的顶点 A，B 在第一象限内，顶点 C 在 y 轴上，经 k过点 A 的反比例函数 y＝ （x＞0）的图象交 BC 于点 D．若 CD＝2BD，▱OABC 的面积为 15， x则 k 的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】过点 D 作 DN⊥y 轴于 N，过点 B 作 BM⊥y 轴于 M，可得 ，设 OC＝ CN 2MN a，CN＝2b，则 MN＝b，根据▱OABC 的面积为 15 表示出 BM 的长度，根据 CD＝2BD 求出 ND 的长，进而表示出 A，D 两点的坐标，根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求出． 【详解】解：过点 D 作 DN⊥y 轴于 N，过点 B 作 BM⊥y 轴于 M， ∴∴，，DN / /BM CN MN CD BD ∵CD＝2BD， CN MN CD BD ∴，即 ， 2 CN 2MN 设 OC＝a，CN＝2b，则 MN＝b， ∵▱OABC 的面积为 15， 15 ∴BM＝ ，a∵∴，DN / /BM CDN CBM ，DN BM CD CB ∴，∵CD＝2BD， CD CB 23∴，210 ∴ND＝ BM＝ ，3a15 10 ∴A，D 点坐标分别为（ ，3b），（ ，a＋2b）， aa15 10 ∴ •3b＝ （a＋2b）， aa2∴b＝ a， 515 15 2∴k＝ •3b＝ •3× a＝18， aa5故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何意义，相似三角形的性质和 判定，利用数形结合思想是解题的关键． 16. 如图，∠MON＝30°，点 A1 在射线 OM 上，过点 A1 作 A1B1⊥OM 交射线 ON 于点 B1， 将△A1OB1 沿 A1B1 折叠得到△A1A2B1，点 A2 落在射线 OM 上；过点 A2 作 A2B2⊥OM 交射线 ON 于点 B2，将△A2OB2 沿 A2B2 折叠得到△A2A3B2，点 A2 落在射线 OM 上；…按此作法进 行下去，在∠MON 内部作射线 OH，分别与 A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn 交于点 P1，P2， P3，…Pn，又分别与 A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点 Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点 P1 为线段 A1B1 的中点，OA1＝ 含有 n 的式子表示）． ，则四边形 A P Q An＋1 的面积为___________________（用 n nn 35 34n2 【答案】 3【解析】 【分析】先证明△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，又点 P1 为线段 A1B1 的中点，从 而可得 P2 为线段 A2B2 的中点，同理可证 P3、P4、Pn 依次为线段 A3B3、A4B4、⋯AnBn 的中 点．结合相似三角形的性质可得△P1B1Q1 的 P1B1 上的高与△P2A2O1 的 A2P2 上的高之比为 1313A A2 A A 3 ⋯， 21∶2，所以△P1B1Q1 的 P1B1 上的高为 ，同理可得△P2B2Q2 的 P2B2 上的高为 1SSSS，以此类推来求 PB Q 1 1 1 S，从而找到 四边形An 从而 ＝﹣PQ A P Q2 A3 2四边形A A B A2 四边形A2 PnQnAn 112111的面积规律． 【详解】解：由折叠可知，OA1＝A1A2＝ 由题意得：A1B1//A2B2， ，3∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2， A POA OP PB 312111111∴＝A2P OA2 OP ＝＝，P B2 2223 3 又∵点 P1 为线段 A1B1 的中点， ∴A1P1＝P1B1， ∴A2P2＝P2B2， 则点 P2 为线段 A2B2 的中点， 同理可证，P3、P4、⋯Pn 依次为线段 A3B3、A4B4、⋯AnBn 的中点． ∵A1B1//A2B2， ∴△P1B1Q1∽△P2A2O1， PB A P 1 1 1211∴＝＝，P A2 P A2 22则△P1B1Q1 的 P1B1 上的高与△P2A2O1 的 A2P2 上的高之比为 1∶2， 1A A2 ∴△P1B1Q1 的 P1B1 上的高为 ，131 A A 同理可得△P2B2Q2 的 P2B2 上的高为 ，，233由折叠可知 A A ＝ ，A A ＝ ，2 3 4 3 2334∵∠MON＝30°， ∴A1B1＝tan30°×OA1＝1， ∴A2B2＝2，A3B3＝4， ，SSSPB Q 1∴＝PQ A 1 2 ﹣A B A2 四边形A 11111 1 12121A A A B A P A A2 ＝＝﹣12111113121 1 1 31 2 2 3 3，SSSP B2Q2 2同理， ＝﹣A2B2 A3 P Q2 A3 四边形A2 21121A2 A A2B2 A2P A2 A ＝＝﹣3232312112 32 1 2 3 ，23 SSS＝﹣四边形AnP Qn An1 AnBn An1 P BnQn nn121 2n1 12n1 32n1 2n1 3＝＝＝2232n2 3 2n2 (2n1 )35 34n2 ．35 34n2 故答案为： ．3【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角 三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律． 三、解答题 3x 2 17. 先化简，再求值：（x﹣1﹣ ）÷ ，其中 x＝ ﹣2． 3x 1 x2 x 【答案】x（x＋2），3﹣2 3【解析】 【分析】先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进 行约分化简，最后代入求值． x2 13 x(x 1) 【详解】解：原式＝ ×x 2 x 1 (x 2)(x 2) x(x 1) ＝×x 1 x 2 ＝x（x＋2）． 把 x＝ ﹣2 代入，原式＝（ ﹣2）（ ﹣2＋2）＝3﹣2 3．333【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠 时间应达到 9h．某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时 间分为 A，B，C，D 四组（每名学生必须选择且只能选择一种情况）： A 组：睡眠时间＜8h B 组：8h≤睡眠时间＜9h C 组：9h≤睡眠时间＜10h D 组：睡眠时间≥10h 如图 1 和图 2 是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问 题： （1）被调查的学生有人； （2）通过计算补全条形统计图； （3）请估计全校 1200 名学生中睡眠时间不足 9h 的人数． 【答案】（1）200；（2）见解析；（3）480 【解析】 【分析】（1）根据 C 组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生； （2）根据（1）中的结果可以计算出 B 组的人数，然后即可补全条形统计图； （3）根据统计图图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不足 9h 的人数． 【详解】解：（1）本次共调查了 90÷45%＝200（人）， 故答案为：200； （2）B 组学生有：200﹣20﹣90﹣30＝60（人）， 补全的条形统计图如图 2 所示： 20 60 200 （3）1200× ＝480（人）， 即估计该校学生平均每天睡眠时间不足 9h 的有 480 人． 【点睛】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，会计算部分的数量，根据部分的百分比求 总体的数量，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. 19. 为庆祝建党 100 周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将 编号为 A，B，C 的 3 张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上 洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取 1 张，按照卡片上的曲目演唱． （1）七年一班从 3 张卡片中随机抽取 1 张，抽到 C 卡片的概率为； （2）七年一班从 3 张卡片中随机抽取 1 张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽 取 1 张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率． 113【答案】（1） ；（2）图表见解析， 3【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 1【详解】解：（1）小明随机抽取 1 张卡片，抽到卡片编号为 C 的概率为 ，31故答案为： ；3（2）画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果数，其中两个班恰好选择一首歌曲的有 3 种结果， 3913所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为 ＝．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法，解题的关键是 理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事 件． 20. 小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完 600 本图书比小杰清点完 540 本图书少用了 5min．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的 1.25 倍，求两名同 学平均每分钟清点图书各多少本． 【答案】小杰平均每分钟清点图书 12 本，小江平均每分钟清点图书 15 本 【解析】 【分析】设小杰平均每分钟清点图书 x 本，则小江平均每分钟清点图书 1.25x 本，利用时间 ＝清点图书的总数÷平均每分钟清点图书的数量，结合小江清点完 600 本图书比小杰清点完 540 本图书少用了 5min，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验即可得出小杰平均每分钟 清点图书数量，再将其代入 1.25x 中可求出小江平均每分钟清点图书数量． 【详解】解：设小杰平均每分钟清点图书 x 本，则小江平均每分钟清点图书 1.25x 本， 540 600 依题意得： ﹣＝5， x1.25x 解得：x＝12， 经检验，x＝12 是原方程的解，且符合题意， ∴1.25x＝1.25×12＝15． 答：小杰平均每分钟清点图书 12 本，小江平均每分钟清点图书 15 本． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 21. 如图，山坡上有一棵竖直的树 AB，坡面上点 D 处放置高度为 1.6m 的测倾器 CD，测倾 器的顶部 C 与树底部 B 恰好在同一水平线上（即 BC//MN），此时测得树顶部 A 的仰角为 50°．已知山坡的坡度 i＝1∶3（即坡面上点 B 处的铅直高度 BN 与水平宽度 MN 的比），求 树 AB 的高度（结果精确到 0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.19） 【答案】约为 5.7m 【解析】 【分析】先求出 BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解． 【详解】解：∵山坡 BM 的坡度 i＝1∶3， ∴i＝1∶3＝tanM， ∵BC//MN， ∴∠CBD＝∠M， CD ∴tan∠CBD＝ ＝tanM＝1∶3， BC ∴BC＝3CD＝4.8（m）， AB BC 在 Rt△ABC 中，tan∠ACB＝ ＝tan50°≈1.19， ∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m）， 即树 AB 的高度约为 5.7m． 【点睛】此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．正确掌握解直 角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键． 22. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 的延长 线于点 E，延长 EC，AB 交于点 F，∠ECD＝∠BCF． （1）求证：CE 为⊙O 的切线； （2）若 DE＝1，CD＝3，求⊙O 的半径． 【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是 4.5 【解析】 【分析】（1）如图 1，连接 OC，先根据四边形 ABCD 内接于⊙O，得 ，再 CDE＝OBC 根据等量代换和直角三角形的性质可得 ，由切线的判定可得结论； OCE＝90 （2）如图 2，过点 O 作 于 G，连接 OC，OD，则 ，先根据三个角 OG AE OGE＝90 是直角的四边形是矩形得四边形 OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为 x，根据勾股定理列方程可 得结论． 【详解】（1）证明：如图 1，连接 OC， ∵∴，OB＝OC ，OCB＝OBC ∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴CDA ABC 180 又CDE CDA 180 ∴∵∴∵∴∴，CDE＝OBC ，CE AD ，E＝CDE＋ECD＝90 ，ECD＝BCF ，OCB＋BCF＝90 ，OCE＝90 ∵OC 是⊙O 的半径， ∴CE 为⊙O 的切线； （2）解：如图 2，过点 O 作 于 G，连接 OC，OD，则 ，OG AE OGE＝90 ∵，E＝OCE＝90 ∴四边形 OGEC 是矩形， ∴，OC＝EG，OG＝EC 设⊙O 的半径为 x， Rt△CDE 中， ，CD＝3，DE＝1 22∴，EC 3 1 2 2 ∴，，，GD＝x﹣1，OD＝x OG 2 2 222由勾股定理得 ：OD ＝OG DG 222∴，x (2 2) (x 1) 解得： ，x＝4.5 ∴⊙O 的半径是 4.5． 【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练 掌握相关性质是解决问题的关键． 23. 某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为 6.2 万元/t，加工过程中原料 的质量有 20%的损耗，加工费 m（万元）与原料的质量 x（t）之间的关系为 m＝50＋0.2x， 销售价 y（万元/t）与原料的质量 x（t）之间的关系如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）设销售收入为 P（万元），求 P 与 x 之间的函数关系式； （3）原料的质量 x 为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利 润＝销售收入﹣总支出）． 11y x 20 P x2 16x 【答案】（1） ；（2） ；（3）原料的质量为 24 吨时，所获销 45326 售利润最大，最大销售利润是 【解析】 万元 5【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式； （2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式； （3）设销售总利润为 W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式， 然后根据二次函数的性质分析其最值． y＝kx b 【详解】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 将（20，15），（30，12.5）代入， ，20k b 15 可得： 解得： ，30k b 12.5 1k ，4b 20 1y x 20 ∴y 与 x 之间的函数关系式为 ；4（2）设销售收入为 P（万元）， 411P 1 20% xy x 20 x x2 16x ∴，5451P x2 16x ∴P 与 x 之间的函数关系式为 ；5（3）设销售总利润为 W， 1W P 6.2x m x2 16x 6.2x 50 0.2x ∴，5148 51326 52W x2 x 50 x 24 整理，可得： ，551∵﹣ ＜0， 5326 5∴当 时，W 有最大值为 ，x＝24 326 5∴原料的质量为 24 吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是 万元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数 法求解析式是解决本题的关键． 24. 在△ABC 中，AC＝AB，∠BAC＝ ，D 为线段 AB 上的动点，连接 DC，将 DC 绕点 D 顺时针旋转 得到DE，连接 CE，BE． （1）如图 1，当 ＝60°时，求证：△CAD≌△CBE； 3（2）如图 2，当 tanα＝ 时， 4①探究 AD 和 BE 之间的数量关系，并说明理由； ②若 AC＝5，H 是 BC 上一点，在点 D 移动过程中，CE＋EH 是否存在最小值？若存在，请 直接写出 CE＋EH 的最小值；若不存在，请说明理由． AD BE 10 224 10 25 【答案】（1）见解析；（2）① ＝，理由见解析；②存在， 【解析】 【分析】（1）首先证明△ACB，△CDE 都是等边三角形，再根据 SAS 证明三角形全等即 可． AD BE 10 2（2）①结论： ＝．利用相似三角形的性质解决问题即可． ②如图 2 中，过点 C 作 CJ⊥BE 交 BE 的延长线于 J．作点 C 关于 BE 的对称点 R，连接 3 10 BR，ER，过点 R 作 RT⊥BC 于 T．利用相似三角形的性质求出 CJ＝ ，推出点 E 的运 5动轨迹是射线 BE，利用面积法求出 RT，可得结论． 【详解】（1）证明：如图 1 中， ∵＝60°，AC＝AB， ∴△ABC 是等边三角形， ∴CA＝CB，∠ACB＝60°， ∵将 DC 绕点 D 顺时针旋转 得到DE， ∴DC＝DE，∠CDE＝60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△CAD≌△CBE（SAS）． AD BE 10 2（2）解：①结论： ＝．如图 2 中，过点 C 作 CK⊥AB 于 K． CK AK 34∵tan∠CAK＝ ＝，∴可以假设 CK＝3k，AK＝4k，则 AC=AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k， ∴BC＝ k， BK2 CK2 ＝10 ∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC， ∴△ACB∽△DCE， AC CB ∴∴＝，，CD CE CD CE AC CB ＝∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， 5k AD AC 10 2∴＝＝＝．BE BC 10k ②如图 2 中，过点 C 作 CJ⊥BE 交 BE 的延长线于 J．作点 C 关于 BE 的对称点 R，连接 BR，ER，过点 R 作 RT⊥BC 于 T． ∵AC＝5， 由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝ ，10 ∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE， CK CJ AC BC 10 2∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比）， 3 10 5∴CJ＝ ，∴点 E 的运动轨迹是射线 BE， ∵C，R 关于 BE 对称， 6 10 ∴CR＝2CJ＝ ∵BJ＝ ，54 10 53 10 52( 10)2 ( )BC2 CJ 2 ＝＝，11∵S△CBR＝ •CR•BJ＝ •CB•RT， 226 104 10 24 10 25 ∴RT＝ ＝，5510 ∵EC＋EH＝ER＋EH≥RT， 24 10 ∴EC＋EH≥ ，25 24 10 25 ∴EC＋EH 的最小值为 ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形 的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定 点 E 的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题． 325. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y＝ x＋1 分别与 x 轴、y 轴交于点 A，C，经过点 413C 的抛物线 y＝ x2＋bx＋c 与直线 y＝ x＋1 的另一个交点为点 D，点 D 的横坐标为 6． 44（1）求抛物线的表达式． （2）M 为抛物线上的动点． ①N 为 x 轴上一点，当四边形 CDMN 为平行四边形时，求点 M 的坐标； ②如图 2，点 M 在直线 CD 下方，直线 OM（OM∥CD 的情况除外）交直线 CD 于点 B，作 ¢¢与坐标轴平行时，直接写出点 M 的横 直线 BD 关于直线 OM 对称的直线 B D，当直线 B D坐标． 143923 65 3 65 ，x2 x 1 【答案】（1）y＝ ；（2）①点 M 的坐标为（ ，）或（ 4229411 105 ）；②点 M 的横坐标为 3 或 或232【解析】 【分析】（1）先由直线解析式求出 A，C，D 的坐标，再由 C，D 坐标求出抛物线解析式； （2）①设 N（n，0），由平移与坐标关系可得点 M 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解 ¢¢¢¢即可；②因为直线 B D与坐标轴平行，所以 B D∥x 轴和 B D∥y 轴分类讨论，以 B D∥x ¢BM，等量代换，可以证得△AOB ¢轴为例，画出草图，由于 BM 平分∠DB D，又∠AOB＝∠ D是等腰三角形，求出 AB 的长度，并且有 A 和 D 点坐标，求出∠DAO 的三角函数值，过 B 作 BH⊥x 轴于 H，在直角△ABH 中，利用 AB 的长度，和∠BAH 的三角函数值，求出 AH 和 BH 的长度，得到 B 点坐标，进一步得到直线 OB 的解析式，联立直线 OB 和抛物线解析 ¢D∥y 轴，用同样的方法解决． 式，求得交点 M 点坐标，当 B 3【详解】解：（1）令 x＝0，则 y＝ x＋1＝1， 4∴C 点坐标为（0，1）， 3x 1 0 令 y＝0，则 ，① 44x ∴，34∴A 点坐标为（ 令 x＝6，则 y＝ ∴D 点坐标为（ ，0）， 33411 x 1 ，211 ）， 26, 将 C，D 两点坐标代入到抛物线解析式中得， c 1 ，11 29 6b c 34c 1 b 解得 ，143×2 x 1 ∴抛物线的表达式为：y＝ （2）①设 N（n，0）， ；4∵四边形 CDMN 为平行四边形， ∴，MN //CD 9∴由平移与坐标关系可得 M（n＋6， ）， 2∵点 M 在抛物线上， 14392(n 6)2 (n 6) 1 ∴，4∴n2＋9n+4＝0， 9 65 ∴，n 29923 65 3 65 ∴点 M 的坐标为（ ，）或（ ，）； 222¢D∥x 轴时，分别过 B，D 作 x 轴的垂线，垂足分别为 H，Q， ②第一种情况：如图 1，当 B 422 311 2在直角△ADQ 中，AQ＝6＋ ＝，DQ＝ ，355 ∴由勾股定理得： ，AD 6DQ ∴tan∠DAQ＝ AQ 3＝，44∴cos∠DAQ＝ ，5∵∠BAH＝∠DAQ， AH 45∴cos∠BAH＝ ，AB ¢D关于直线 OM 对称， ∵直线 BD 与直线 B ¢BM， D∴∠DBM＝∠ ¢D∥x 轴， ∵B ∴∠HOB＝∠ ¢BM＝∠DBM， D4∴AB＝AO＝ ，3AH 445∴，316 15 ∴AH＝ ，12 5∴OH＝AH＋AO＝ ，12 345x 1 令 x＝﹣ ，则 y＝ ＝，5412 4∴B 点坐标为（﹣ ，）， 5513设直线 OB 的解析式为 y＝kx，代入点 B 得，k＝ ，1∴直线 OB 的解析式为 y＝ x， 31y x 31联立 解得 ，3y x2 x 1 444x1 y1 x 3 3492，，y2 1 4∴点 M 的横坐标为 3 或 ，3¢¢交 x 轴于 G， 第二种情况，如图 2，当 B D∥y 轴时，设 B D∴∠COB＝∠OBG， ¢D关于直线 OM 对称， ∵直线 BD 与直线 B ∴∠CBO＝∠OBG＝∠COB， ∴CB＝CO＝1， 过 C 作 CE⊥BG 于 E， ∴CE//x 轴， ∴∠BCE＝∠CAO， CO 34∵tan∠CAO＝ ＝，AO 4∴cos∠CAO＝ ，5CE BC 4∴cos∠BCE＝ ＝，，544BC ∴CE＝ ＝55322∴＝，BE BC CE 5∵CE⊥BG，BG⊥x 轴， ∴∠CEG＝∠BGO＝∠COG＝90°， ∴四边形 CEGO 为矩形， 4∴EG＝CO＝1，CE＝OG＝ ，58∴BG＝BE＋EG＝ ，54 8 ,∴点 B 的坐标为（ ）， 5 5 ∴直线 OB 的解析式为 y＝2x， y 2x 联立 ，13y x2 x 1 44化简得，x2－11x＋4＝0， 11 105 ∴，x 2∵点 M 在直线 CD 下方， ∴x＜6， 11 105 ∴x＝ ，211 105 ∴点 M 的横坐标为 ，24311 105 ．即点 M 的横坐标为 3 或 或2【点睛】本题是一道二次函数综合题，数形结合是本题的解题的突破口，同时，对于“平行 线十角平分线”这种条件，要联想到等腰三角形，是此题的解题关键，此题对学生解直角三 角形的能力也有一定要求．
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