辽宁省本溪市2021年中考数学真题（解析版）

2021 年辽宁省本溪市中考数学试卷一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. A. －5 的相反数是( )115B. C. D. -5 55C【答案】【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可. 【详解】-5 的相反数是 5 故选 C 【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键. 2. 下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. D. C. A【答案】【解析】【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答．【详解】选项 A，是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；选项 B，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；选项 C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；选项 D，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．故选 A．【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解决问题的关键． 3. 下列运算正确的是（）(xy3 )2  x2 y6 x2  x  x3 x2  x  2×2 A. B. D. x6  x3  x2 C. B【答案】【解析】【分析】根据同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则逐一计算即可得答案． 2【详解】选项 A，根据同底数幂乘法法则可得 3 ，选项 A 错误； x  x  x 322选项 B，根据积的乘方的运算法则可得选项 C，根据同底数幂的的除法法则可得 6 ，选项 B 正确； 3 ，选项 C 错误； (xy )  x y 63x  x  x 选项 D， 2 与 x 不是同类项，不能合并，选项 D 错误． x故选 B．【点睛】本题考查了同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则，熟练运用法则是解决问题的关键． 4. 如图，该几何体的左视图是（）A. C. B. D. D【答案】【解析】【分析】画出从左面看到的图形即可．【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：，故选：D．【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出． 5. 如表是有关企业和世界卫生组织统计的 5 种新冠疫苗的有效率，则这 5 种疫苗有效率的中位数是（）疫苗名称克尔来福阿斯利康莫德纳辉瑞卫星V 有效率 79% 76% 95% 95% 92% A. 79% B. 92% C. 95% D. 76% B【答案】【解析】【分析】根据中位数的定义，对 5 种新冠疫苗的有效率从小到大（或从大到小）进行排序，取中间（第三个）的有效率即可．【详解】解：根据中位数的定义，将 5 种新冠疫苗的有效率从小到大进行排序，如下： 76%，79%，92%，95%，95% 数据个数为 5，奇数个，处于中间的数为第三个数，为 92% 故答案为 B．【点睛】此题考查了中位数的定义，求中位数之前不要忘记对原数据进行排序是解决本题的关键． ky  kx  k 6. y  反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则直线不经过的象限是（）xA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A【答案】【解析】 k【分析】先根据反比例函数 y= 的图象在第二、四象限内判断出 k 的符号，再由一次函数的性质即可得出 x结论． k【详解】解：∵反比例函数 y= 的图象在第二、四象限内， x∴k＜0， ∴一次函数 y=kx+k 的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限．故选：A． k【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数 y= 中，当 k＜0，双曲线 x的两支分别位于第二、第四象限． 7. 如图为本溪、辽阳 6 月 1 日至 5 日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这 5 天最低气温波动情况是（）A 本溪波动大 B. 辽阳波动大 D. 无法比较 C. 本溪、辽阳波动一样 C【答案】【解析】【分析】分别计算两组数据的方差，比较，即可判断． 16 14 131313 13.8 【详解】解：辽阳的平均数为：，51S  [(16 13.8)2  (14 13.8)2  3 1313.8)2 1.36 方差为：，，15151312 12 12 12.8 本溪的平均数为：，51S  [(1512.8)2  (1312.8)2  3 12 12.8)2 1.36 方差为： 25S  S ∴，21∴本溪、辽阳波动一样，故选：C．【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 8. 一副三角板如图所示摆放，若，则 2 的度数是（） 1 80 A. 80° 【答案】【解析】 B. 95° C. 100° D. 110° B【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°， ∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°， ∴∠3=∠4=35°， ∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键． 9. 如图，在ABC 中， AB  BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点 E，点 F 为 BC AC BD △CEF 的中点，连接，若，则的周长为（） BE  AC  2 EF A. B. C. D. 4 3 1 5  3 5 1 C【答案】【解析】【分析】根据作图可知平分ABC ，，由三线合一，解 Rt ，即可求得． AB  BC △BEC BD 【详解】平分ABC ,,AB  BC BE  AC  2 BD 1AE  EC  AC 1 ,BE  AC 22222BC  BE  EC  2 1  5 点 F 为 BC 的中点 15EF  BC  FC  22△CEF 的周长为: 55CE  EF  FC 1 故选 C．  5 1 22【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出 BC 边是解题的关键． BC 1 ADB  60 10. 如图，在矩形中，，，动点 P 沿折线运动到点 B，同时动点 Q ABCD 沿折线 DB  BC 运动到点 C，点线上的运动速度为每秒 2 个单位长度．设运动时间为 t 秒， AD  DB P,Q 在矩形边上的运动速度为每秒 1 个单位长度，点 P，Q 在矩形对角 △PBQ 的面积为 S，则下列图象能大致反映 S 与 t 之间函数关系的是（）A. B. C. D. D【答案】【解析】 DQ  2t 【分析】结合运动状态分段讨论：当点 P 在 AD 上，点 Q 在 BD 上时，，，过点 P 作 AP  t ，通过解直角三角形求出 PE，表示出面积的函数表达式；当点 P 在 BD 上，点 Q 在 BC 上时， PE  BD BP  2  2 t 1  4  2t BQ  t 1 ，，过点 P 作，通过解直角三角形求出 PE，表示出面积的函 PF  BC 数表达式，利用二次函数的性质即可得出结论．【详解】解：当点 P 在 AD 上，点 Q 在 BD 上时， DQ  2t ，，AP  t PD 1 t 则，过点 P 作，PE  BD ADB  60 ∵∴，AD BD 12PE 3 cos60  ，， sin60  PD 23∴，，PE  1 t BD  2 2，BQ  2  2t ∴，133t2  3t  0  t 1 △PBQ ∴的面积，为开口向上的二次函数； S  BQ  PE  222△PBQ 当时，点 P 与点 D 重合，点 Q 与点 B 重合，此时的面积 S  0 ；t 1 BP  2  2 t 1  4  2t BQ  t 1 当点 P 在 BD 上，点 Q 在 BC 上时，过点 P 作，，，PF  BC PF PB 33则，即， sin60  PF  BP  2 3 3t 2213t2  3t  2 △PBQ ∴的面积，为开口向下的二次函数； S  BQ  PF  22故选：D．【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是解题的关键．二、填空题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） x在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 11. 若2  x 【答案】x≤2 【解析】【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答．【详解】解：依题意得 2-x≥0 解得 x≤2．故答案为：x≤2．【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方 a数必须是非负数，否则二次根式无意义． 212. 分解因式： ________． 2x  4x  2  2【答案】 2 x 1 【解析】【分析】先提公因式 2，再利用完全平方公式分解即可． 22×2  4x  2  2 x2  2x 1  2 x 1 【详解】解：，2故答案为： 2 x 1 ．【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． 13. 有 5 张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，0，，2，从中随机抽取一张，则抽出卡片 1  7 3上写的数是的概率为________． 31【答案】 5【解析】【分析】利用概率公式即可求解． 1【详解】解：抽出卡片上写的数是的概率为，531故答案为：．5【点睛】本题考查简单事件求概率，掌握概率公式是解题的关键． 214. ________ ．若关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则 k 的值为 3x  2x  k  0 1【答案】【解析】．32【分析】根据关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，得出关于 k 的方程，求解即 3x  2x  k  0 可． 2【详解】∵关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根， 3x  2x  k  0 2∴△= 2  43 k =4+12k=0， 13解得 k= ．1故答案为：．3【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当△>0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 △=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△< 0 时，一元二次方程没有实数根． 15. 为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A 种奖品的单价比 B 种奖品的单价多 10 元，用 300 元购买 A 种奖品的数量与用 240 元购买 B 种奖品的数量相同．设 B 种奖品的单价是 x 元，则可列分式方程为________． 300 240 【答案】【解析】 x 10 x【分析】设 B 种奖品的单价为 x 元，则 A 种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用 300 元购买 A 种奖品的件数与用 240 元购买 B 种奖品的件数相同，即可得出关于 x 的分式方程．【详解】解：设 B 种奖品的单价为 x 元，则 A 种奖品的单价为（x+10）元， 300 240 依题意得：故答案为：，x 10 300 x240 x 10 x【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 16. 如图，由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在格点上，以为直径的圆经过点 C 和 AB 点 D，则 tan ADC= ________． 3【答案】 2【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得 ABC  ADC ，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：∵ ABC  ADC ，3tan ADC= tan ABC= ∴，23故答案为：．2【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． kA(2,0) B(0,1) ，y  (x  0) 17. 如图，是半圆的直径，C 为半圆的中点，，反比例函数的图象经过点 AB xC，则 k 的值为________． 94【答案】【解析】【分析】连接 CD，并延长交 x 轴于点 P，分别求出 PD，PO，CD 和 PC 的长，过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F，求出 PF，CF 的长，进一步得出点 C 的坐标，从而可得出结论．【详解】解：连接 CD，并延长交 x 轴于点 P，如图， ∵C 为半圆的中点， ∴CP⊥AB，即∠ADP=90° 又∠AOB=90° ∴∠APD=∠ABO ∵A（2，0），B（0，1） ∴AO=2，OB=1 2222∴∴AB  AO  BO  1  2  5 15AD  AB  22PD OB 12tan A  又∴AD OA 1155PD  AD   2224553 5 5∴PC  PD  CD  42555422AP  PD  AD  ( )2  ( )2  ∴∴42534OP  AO  AP  2   4过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F， CF AO 2sin APD  sin ABO  ∴PC AB 523 5 4232∴∴CF  PC  553 5 433422PF  PC CF  ( )2  ( )2  23 3 3OF  OP  PF    ∴4 4 2323∴点 C 的坐标为（，）2ky  (x  0) ∵点 C 在反比例函数的图象上 x3 3 94k    ∴，2 2 9故答案为： 4的【点睛】本题考查反比例函数解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；求出点 C 坐标是关键． PQ 18. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点 C 的对称点 E 落在边上，点 D 的对称点为点 F， EF ABCD AB PQ CG △PBE∽△QFG 交于点 G，连接交于点 H，连接．下列四个结论中：① ；② CE AD 平分；④ EG2﹣CH 2＝GQGD ，正确的是________（填序号 S△CEG =S△CBE  S 四边形CDQH ；③ EC BEG 即可）．【答案】①③④．【解析】【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可； ②过点 C 作 CM⊥EG 于 M，通过证明△BEC≌△MEC 进而说明△CMG≌△CDG，可得 S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC＋S 四边形 CDQH ；③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，由 AB∥CD 可得∠BEC=∠DCE，结论③成立； ④连接 DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG 可知：∠BCE=∠MCE,∠MCG=∠DCG，则 1∠ECG=∠ECM+∠GCM= ∠BCD，由于 EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°， 2利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由 CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以 E，M，H，C 四点共圆，通过△CMH≌△CDH，易证△GHQ∽△GDH，则得 GH2=GQ·GD，从而说明④成立．【详解】解：①∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°由折叠可知: ∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90 ∴∠BEP+∠AEG=90°， ∵∠A=90° ∴∠AEG+∠AGE=90°， ∴∠BEP=∠AGE， ∵∠FGQ=∠AGE， ∴∠BEP=∠FGQ， ∵∠B=∠F=90， ∴△PBE~△QFG，故①说法正确，符合题意； ②过点 C 作 CM⊥EG 于 M，由折叠可得:∠GEC=∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠BEC=∠DCE，∠BEC=∠GEC，在△BEC 和△MEC 中， ∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC， CE= CE ∴△BEC≌△MEC(AAS) ∴CB=CM，S△BEC=S△MBC ∵CG=CG，，∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)， ∴S△CMG=S△CDG ，∴S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC +S 四边形 CDQH ∴②说法不正确，不符合题意； ③由折叠可得:∠GEC=∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠BEC=∠DCE， ∴∠BEC=∠GEC，即 EC 平分∠BEG ∴③说法正确，符合题意； ④连接 DH，MH，HE，如图： ∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG， ∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG， 1∴∠ECG=∠ECM+∠GCM= ∠BCD=45°， 2∵EC⊥HP， ∴∠CHP=45°， ∴GHQ=∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°， ∴EH⊥CG ∴EG2 -EH2=GH2 由折叠可知:EH=CH ∴EG2 -CH2= GH2， ∵CM⊥EG，EH⊥CG， ∴∠EMC=∠EHC=90°， ∴E，M，H，C 四点共圆， ∴∠HMC=∠HEC=45°，在△CMH 和△CDH 中， ∵CM=CD，∠MCG=∠DCG， CH= CH ∴△CMH≌△CDH(SAS) ∴∠CDH=∠CMH=45 °， ∵∠CDA=90°， ∴∠GDH=45° ∵∠GHQ=∠CHP=45°， ∴∠GHQ=∠GDH=45°， ∵∠HGQ=∠DGH， ∴△GHQ∽△GDH ， GQ GH ∴，GH GD ∴GH2=GQ·GD ∴GE2-CH2=GQ·GD 故④说法正确，符合题意；综上可得，正确的结论有:①③④ 故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似的判定与性质．翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．三、解答题（第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，共 22 分） 6a a2 9 2a 3 a  3  1 19. 先化简，再求值：，其中．a  2sin30 3 2【答案】【解析】，2a 3 a【分析】先把分式化简后，再求出的值代入求出分式的值即可． 6a a2 9 2a 3 a  3  1 【详解】 6a a2 9 a  3 2a 3 a  3 a  3 =6a a  3 =（a  3)(a 3) 3a 2=a 3 a  2sin30 3 1 2 3 2 4 2==2 当时，原式．a  4 4 3 【点睛】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键． 20. 为迎接建党 100 周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生共有________名；（2）在扇形统计图中“B 项目”所对应的扇形圆心角的度数为________，并把条形统计图补充完整；（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出 2 名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率． 1【答案】（1）60；（2）90°，补全条形统计图见解析；（3） 6【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知 A 项目的有 9 人，占 15%，即可求出总人数；（2）作差求出 B 项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并补全条形统计图；（3）列出表格，利用概率公式即可求解．【详解】解：（1）9 15%  60 ；60  9  24 12 15 （2）B 项目的总人数为人， 15 ∴“B 项目”所对应的扇形圆心角的度数为，360  90 60 补全条形统计图如下：；（3）列出表格如下：小华小光小艳小萍小华小光小艳小萍小华，小光小华，小艳小光，小艳小华，小萍小光，小萍小萍，小艳小华，小光小华，小艳小华，小萍小光，小艳小光，小萍小萍，小艳共有 12 种情况，其中恰好小华和小艳的有 2种， 16∴P(恰好小华和小艳) ．【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键．四、解答题（第 21 题 12 分，第 22 题 12 分，共 24 分） 21. 某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买 1 本手绘纪念册和 4 本图片纪念册共需 135 元，购买 5 本手绘纪念册和 2 本图片纪念册共需 225 元．（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共 40 本，总费用不超过 1100 元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？【答案】（1）每本手绘纪念册 35 元，每本图片纪念册 25 元；（2）最多能购买手绘纪念册 10本．【解析】【分析】（1）设每本手绘纪念册 x 元，每本图片纪念册 y 元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； 40  a （2）设购买手绘纪念册 a 本，则购买图片纪念册 本，根据题意列出不等式，求解不等式即可．【详解】解：（1）设每本手绘纪念册 x 元，每本图片纪念册 y 元， x  4y 135 根据题意可得：，5x  2y  225 x  35 y  25 解得，答：每本手绘纪念册 35 元，每本图片纪念册 25 元； 40  a （2）设购买手绘纪念册 a 本，则购买图片纪念册 35a  25 40 a 1100 本，根据题意可得： ，解得 a 10 ，∴最多能购买手绘纪念册 10本．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． 22. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道 8m s ．无人机从点 A 的正上方点 C，沿正东方向以的速度飞行 15s 到达点 D，测得 A 的俯角为 60°， AB 然后以同样的速度沿正东方向又飞行 50s 到达点 E，测得点 B 的俯角为 37°．（1）求无人机的高度（结果保留根号）； AC （2）求的长度（结果精确到 1m）．（参考数据：，，，sin37  0.60 cos37  0.80 tan37  0.75 AB ）3 1.73 【答案】（1）无人机的高度 AC= ；（2）AB 的长度为 382m． 60 3m 【解析】【分析】（1）在 Rt△CDA 中，利用正切函数即可求解；（2）先证明四边形 ABFC 为矩形，在 Rt△BFE 中，求得 EF m，即可求解． 138 【详解】（1）根据题意得：CD=8 (m)， 15 120 在 Rt△CDA 中，∠ACD=90°，∠ADC=60°， AC tan 60  ∴，CD 3∴AC=120 (m)，  60 3 2答：无人机的高度 AC= ；60 3m （2）根据题意得：DE=8 则 CE= DE+CD=520(m)， (m)， 50  400 过点 B 作 BF⊥CE 于点 F，则四边形 ABFC 为矩形， ∴AB=FC，BF=AC= ，60 3m 在 Rt△BFE 中，∠BFE=90°，∠BEF=37°， BF tan37   0.75 ∴，EF 60 3 ∴EF= =138.4 (m)， 138 0.75 ∴AB=FC=CE-EF=520-138=382(m)，答：AB 的长度为 382m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．五、解答题（满分 12 分） 23. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个 40 元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为 60 元时，每星期卖出 100 个．如果调整销售单价，每涨价 1 元，每星期少卖出 2 个，现网店决定提价销售，设销售单价为 x 元，每星期销售量为 y 个．（1）请直接写出 y（个）与 x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是 2400 元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是 70 元或 80 元时，该网店每星期的销售利润是 2400 元；（3）当销售单价是 75 元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是 2450 元．【解析】【分析】（1）根据题意中销售量 y（个）与售价 x（元）之间的关系即可得到结论；（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；（3）设每星期利润为 w 元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；（2）由题意可得，（-2x+220）（x-40）=2400， x  70 x  80 解得，，，21∴当销售单价是 70 元或 80 元时，该网店每星期的销售利润是 2400 元．答：当销售单价是 70 元或 80 元时，该网店每星期的销售利润是 2400 元．（3）设该网店每星期的销售利润为 w 元，由题意可得 2w=（-2x+220）（x-40）= ，2x  300x 8800 bx    75 时，w 有最大值，最大值为 2450，当2a ∴当销售单价是 75 元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是 2450 元．答：当销售单价是 75 元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是 2450 元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．六、解答题（满分 12 分） ACB=90 O 24. 如图，在中，，延长到点 D，以 CA 为直径作，交的延长线于点 E， BA RtABC AD 延长 BC 到点 F，使 BF=EF ．O （1）求证：是的切线； EF （2）若OC=9 ，，AE=8 ，求的长． AC=4 BF 65 【答案】（1）证明见解析；（2） 6【解析】 BEF  OEA  B  BAC  90 【分析】（1）连接 OE，通过倒角得到，即可得证；（2）连接 DE、OF，通过证明理，得出方程，即可求解．【详解】解：（1）连接 OE，求出 AB 的长度，在 RtOCF 和中应用勾股定 △ADE ∽△ABC Rt△OEF ∵∴∵∴∴，OE  OA OEA  OAE  BAC ，BF  EF ，，BEF  B BEF  OEA  B  BAC  90 ，即OE  EF O ，的∴是切线； EF （2）连接 DE、OF， ∵，OC=9 AC=4 ，O ∴的半径为 5， ∴AD 10 ∵AD 为直径， ∴，DEA  ACB DAE  BAC DEA  90 ∴∵∴，，，△ADE ∽△ABC AE DE AD ∴，AC BC AB ∵AE=8 ，， AC=4 AD AB  2 ∴∵，AD 10 ，∴∴，AB  5 22，BC  AB  AC  3 设 BF 的长为 x，则，EF  BF  x CF  x 3 ，，2在在RtOCF 中，OF2  OC 2 CF2  x  3  81 2222中，，Rt△OEF OF  OE EF  x  25 22∴，x  3  81 x  25 65 x  解得．6【点睛】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理、并作出合适的辅助线是解题的关键．七、解答题（满分 12 分） 25. 在▱ 中，ÐBAD= ，平分，交对角线于点 G，交射线 AC 于点 E，将线段 AB EB ABCD  ADC DE 1绕点 E 顺时针旋转得线段．EP 2（1）如图 1，当时，连接 AP ，请直接写出线段 AP 和线段的数量关系； =120 AC （2）如图 2，当=90 时，过点 B 作于点，连接，请写出线段，，之间的数 AF AF AD BF  EP AB 量关系，并说明理由； 1BE= AB （3）当时，连接 AP ，若，请直接写出与CDG 面积的比值． =120 VAPE 2134AF2  (AD2  AB2 ) 【答案】（1） AP  AC ；（2） ,理由见解析；（3） 2【解析】 Q于点，根据已知条件证明 △APE≌△ACQ 即可；【分析】（1）延长，交 CD PE FC F（2）连接，过作交FM  BC CB 的延长线于点，由，得 AF  FC ，在 △AFE≌△CBF MRtFMC 由三边关系利用勾股定理可得； EG （3）证明，得值，与CDG 的面积分别与的面积成比例，可得 △AEG △AEG∽△CDG VAPE GD 与CDG 面积的比值．，交 VAPE Q【详解】（1）如图,延长于点，CD PE 12由题意，将线段绕点 E 顺时针旋转，EB BEP  60 =120 B  60 EQ//BC 四边形是平行四边形是平行四边形 ABCD AD//BC EQ//AD AEQD 四边形 平分  ADC DE ADE  CDE Q AB//CD AED  EDC ADE  AED AE  AD AEQD 四边形是菱形  AE  EQ AED  BEP  60 △AEQ 是等边三角形  AE  AQ,AQE  60 AB//CD CQE  AEQ  60 AQC  AQE  EQC 120 ,AEP 120 EQ//AD BE//CQ ，，AD//BC BCQE 四边形是平行四边形 CQ  BE =BE PE PE  CQ ACQ 在和中VAPE AE  AQ AEP  AQC PE  CQ △APE≌△ACQ ． AP  AC FC F（2）连接，过作交FM  BC CB 的延长线于点 M=90 四边形是矩形， FEB  45 ABCD BF  EP ，，FBE  45 FB  FE ，FBC  FBE  ABC 135 FEA 180 BEF 135 平分  ADC DE 1ADE  ADC  45 2AED  PEB  45 AE  AD 四边形是矩形 ABCD AD  BC AE  BC △ AFE 在和CFB 中AE  BC AEF  CBF EF  BF △AFE≌△CBF  AF  FC AD  a, AB  b, AF  c 设则BE  AB  AE  AB  AD  b  a FM  BC FBM  45 2MF  MB  sin FBM  FB  FB 22BF  sin FEB EB  BE 211MF  MB  BE  (b  a) 22在RtFMC 中FC2  FM 2  MC2 b  a 2b  a 2c2  ( )2  (  a)2 即1c2 = (a2  b2 ) 整理得： 21222AF  (AD  AB ) ．2（3）如图 △APE≌△ACQ 由（1）可知 1BE= AB 2PE  BE  AE 平分  ADC DE ADE  CDE Q AB//CD AED  EDC ADE  AED AE  AD PE  AD 四边形是平行四边形 APED S△APE  S△ADE  AE//CD △AEG∽△CDG EG AE GD CD 11 AE  BE  AB  CD 22AE 1=CD 2 EG GD 12S△ADE  3S△AEG S△CGD  4S△AGE S△APE : S△CDG  3: 4 ．的【点睛】本题考查了轴对称性质，旋转的性质，三角形全等的性质与判定，三角形相似，勾股定理，锐角三角函数，相似比的概念，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，知识点比较多，熟练掌握以上知识点是解题的关键．八、解答题（满分 14 分） 326. y  x2  bx  c B(0,3) C(1,0) 如图，抛物线与 x 轴交于点 A 和点，与 y 轴交于点，连接，AB 4P 是抛物线第一象限上的一动点，过点 P 作 PD  x 轴于点 D，交于点 E． BC ，点 AB （1）求抛物线的解析式； 1PF= OA （2）如图 1，作于点 P，使，以，PE PF 为邻边作矩形．当矩形的PEGF PEGF PF  PD 2面积是面积的 3 倍时，求点 P 的坐标； BOC （3）如图 2，当点 P 运动到抛物线的顶点时，点 Q 在直线角三角形，请直接写出点 Q 纵坐标 n 的取值范围．上，若以点 Q、A、B 为顶点的三角形是锐 PD 39910 33 2 63 2 6 y  x2  x  3 【答案】（1）（2）（1，）或（3，3）；（3）- ＜n＜或＜n＜ 442225．【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求出直线 AB 的解析式，表示出 P，E 的坐标，故可表示出 PE 的长，再根据矩形面积的 3 倍，得到方程，故可求解；是PEGF BOC （3）当∠ABQ 为直角时，求出直线 BQ 的解析式，得到 n 的值，当∠BQA 为直角时，利用解直角三角形的方法求出此时 n 的值，同理求出当∠BAQ 为直角时 n 的值，故可求解． 3 b  c  0 B(0,3) 代入解析式得 C(1,0) 【详解】（1）把，4c  3 94c  3 b  解得 39y  x2  x  3 ∴抛物线的解析式为 4439y  x2  x  3 （2）对于，令 y=0 44解得 x=4 或-1 ∴A（4,0），则 1PF= OA =2 2设直线 AB 的解析式为 y=px+q 340  4p  q q  3 p   q  3 B(0,3) 把 A（4，0），代入得，解得 3y  x  3 ∴直线 AB 的解析式为 4393 x2  x  3  x  3 设 P（x，），则 E（x，）444393  PF  PE  2  x2  x  3  x  3 ∴矩形的面积= =3 PEGF   444  13SBOC  3 BOCO  31 22解得 x=1 或 3 9∴P 点坐标为（1，）或（3，3）； 239b323y  x2  x  3 （3）由可得其对称轴为 x= ，设 Q 点坐标为（，n） 442a 2①当∠ABQ 为直角时，如图 2-1 设 BQ 交 x 轴于点 H， AO 在 Rt△ABO 中，tan∠ABO= BO 43，∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠BHO=90° ∴∠BHO =∠ABO 4∴tan∠BHO= tan∠ABO = 34B(0,3) 可设直线 BQ 的解析式为 y= x+t，代入可得 t=3 34∴直线 BQ 的解析式为 y= x+3 334当 x= 时，y= x+3=5 23故 n=5； ②当∠BQA 为直角时，如图 2-2，过点 Q 作直线 MN∥y 轴于点 N，交过点 A 与 y 轴的平行线于点 M， ∵∠BQN+∠MQA=90°，∠MQA+∠MAQ=90°， ∴∠BQN=∠MAQ ∴tan∠BQN=tan∠MAQ 34  BN MQ n 3 32即，则 NQ MA n23 2 6 解得 n= 24③当∠BAQ 为直角时，同理可设直线 AQ 的解析式为 y= x+h 316 代入 A（4，0）得 h=- 3416 3∴直线 AQ 的解析式为 y= x- 33416 10 当 x= 时，y= x- =- 332310 故 n=- ；3综上，以点 Q、A、B 为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ 不为直角三角形，故点 Q 纵坐标 n 的取值范 10 33 2 63 2 6 围为- ＜n＜或＜n＜5． 22【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、矩形的特点及面积公式、解直角三角形的方法及数形结合的特点．