2021 年辽宁省朝阳市中考数学试卷 一、选择题 11. 在有理数 2，﹣3， ，0 中，最小的数是（ ）313A. 2 B. ﹣3 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数．依此即可求解． 1【详解】解：∵﹣3＜0＜ ＜2， 31∴在有理数 2，﹣3， ，0 中，最小的数是﹣3． 3故选：B． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于 0；②负数都 小于 0；③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 的2. 如图所示 几何体是由6 个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层左边有 1 个正方形，如图所示： 故选：B． 【点睛】此题考查几何体的三视图，解题关键在于掌握左视图是从物体的左面看得到的视 图． 3. 下列运算正确的是（ ）A. a3＋a3＝a6 a8 B. a2•a3＝a6 C. （ab）2＝ab2 D. （a2）4＝ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方求出每个式子的值， 再得出选项即可． 【详解】解：A．a3＋a3＝2a3，故本选项不符合题意； B．a2•a3＝a5，故本选项不符合题意； C．（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意； D．（a2）4＝a8，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的运用． 4. 某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动，从九年级 5 个班收集到的艺术作品数量 （单位：件）分别为 48，50，47，44，50，则这组数据的中位数是（ ）A. 44 B. 47 C. 48 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的意义，排序后处在中间位置的数即可． 【详解】解：将这五个数据从小到大排列后 处在第 3 位的数是 48，因此中位数是 48； 故选：C． 【点睛】本题考查中位数的意义，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个 数的平均数是中位数． 5. 一个不透明的口袋中有 4 个红球，6 个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从口袋中随机 摸出 1 个球，则摸到绿球的概率是（ ）1253512A. B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先求出总的球的个数，再根据概率公式即可得出摸到绿球的概率． 【详解】解：∵袋中装有 4 个红球，6 个绿球， ∴共有 10 个球， 635∴摸到绿球的概率为： ＝；10 故选：D． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其 m中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）＝ ．n6. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1 的度数为（ ）A. 45° B. 65° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】由平角等于 180°结合三角板各角的度数，可求出∠2 的度数，由直尺的上下两边平 行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1 的度数． 【详解】解：∵∠2＋60°＋45°＝180°， ∴∠2＝75°． ∵直尺的上下两边平行， ∴∠1＝∠2＝75°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 7. 不等式﹣4x﹣1≥﹣2x＋1 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）AB. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式移项，合并，把 x 系数化为 1，求出解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式﹣4x﹣1≥﹣2x＋1， 移项得：﹣4x＋2x≥1＋1， 合并得：﹣2x≥2， 解得：x≤﹣1， 数轴表示，如图所示： 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式 的解法是解本题的关键． 8. 如图，O 是坐标原点，点 B 在 x 轴上，在 OAB 中，AO＝AB＝5，OB＝6，点 A 在反比 k例函数 y＝ （k≠0）图象上，则 k 的值（ ）xA. ﹣12 B. ﹣15 C. ﹣20 D. ﹣30 【答案】A 【解析】 【分析】过 A 点作 AC⊥OB，利用等腰三角形的性质求出点 A 的坐标即可解决问题． 【详解】解：过 A 点作 AC⊥OB， ∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6， ∴OC＝BC＝3， 在 Rt△AOC 中，OA＝5， 2222∵AC＝ ，OA OC 5 3 4 ∴A（﹣3，4）， k把 A（﹣3，4）代入 y＝ ，可得k＝﹣12 x故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解 题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 BE＝2AE，DF＝2CF，点 G，H 分别是 AC 的三等分点，则 S 四边形 EHFG÷S 菱形 ABCD 的值为（ ）19161329A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可证 EG∥BC，EG＝2，HF∥AD，HF＝2，可得四边形 EHFG 为平行四边 形，即可求解． 【详解】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC， CF DF 12AE BC 12∴，∵G、H 分别是 AC 的三等分点， AG GC 12CH AH 12∴∴，，AE AG ，BE GC ∴EG∥BC EG AE 1∴，BC AB 3HF AD 13同理可得 HF∥AD， ，S四边形EHFG 1 1 3 3 19∴，S菱形ABCD 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证 EG∥BC，HF∥AD 是本题的关键． 10. 如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 射线 AB 运动，同时动点 N 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 AD→DC→CB 运动，当点 N 运动到点 B 时，点 M，N 同时停止运动．设 AMN 的面积为 y，运动时间为 x （s），则下列图象能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点 N 的运动情况，分点 N 在 AD，DC，CB 上三种情况讨论，分别写出每种情 况 x 和 y 之间的函数关系式，即可确定图象． 【详解】解：当点 N 在 AD 上时，即 0≤x＜2 ∵AM＝x，AN＝2x， 1y x2x x2 ∴，2此时二次项系数大于 0， ∴该部分函数图象开口向上， 当点 N 在 DC 上时，即 2≤x＜4， 此时底边 AM＝x，高 AD＝4， 14x ∴y＝ ＝2x， 直线段， 当点 N 在 CB 上时，即 4≤x＜6 时， 2∴该部分图象 为此时底边 AM＝x，高 BN＝12﹣2x， 1x(12 2x) x2 6x ∴y＝ ，2∵﹣1＜0， ∴该部分函数图象开口向下， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键． 二、填空题 11. 2020 年 9 月 1 日以来，教育部组织开展重点地区、重点行业、重点单位、重点群体“校 园招聘服务”专场招聘活动，提供就业岗位 3420000 个，促就业资源精准对接．数据 3420000 用科学记数法表示为____________． 【答案】3.42×106 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值大于或等于 10 时，n 是正整数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负整数． 【详解】解：数据 3420000 用科学记数法表示为 3.42×106． 故答案为：3.42×106． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12. 因式分解：﹣3am2＋12an2＝____________． 【答案】﹣3a（m＋2n）（m﹣2n） 【解析】 【分析】直接提取公因式﹣3a，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：原式＝﹣3a（m2﹣4n2） ＝﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）． 故答案为：﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是 解题关键． 13. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖 （飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________． 1【答案】 3【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比 值． 【详解】解：∵总面积为 9 个小等边形的面积，其中阴影部分面积为 3 个小等边形的面积， 3913∴飞镖落在阴影部分的概率是 ＝，1故答案为： ．3【点睛】本题主要考查了概率求解问题，准确分析计算是解题的关键． 14. 已知⊙O 的半径是 7，AB 是⊙O 的弦，且 AB 的长为 7 ，则弦 AB 所对的圆周角的度 3数为__________． 【答案】60°或 120° 【解析】 【分析】∠ACB 和∠ADB 为弦 AB 所对的圆周角，连接 OA、OB，如图，过 O 点作 OH⊥AB 7 3 2于 H，根据垂径定理得到 AH＝BH＝ ，则利用余弦的定义可求出∠OAH＝30°，所以 ∠AOB＝120°，然后根据圆周角定理得到∠ACB＝60°，根据圆内接四边形的性质得到∠ADB＝ 120°． 【详解】解：∠ACB 和∠ADB 为弦 AB 所对的圆周角， 连接 OA、OB，如图， 17 3 2过 O 点作 OH⊥AB 于 H，则 AH＝BH＝ AB＝ ，27 3 AH 3在 Rt△OAH 中，∵cos∠OAH＝ ＝＝，27OA 2∴∠OAH＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠OBH＝∠OAH＝30°， ∴∠AOB＝120°， 1∴∠ACB＝ ∠AOB＝60°， 2∵∠ADB＋∠ACB＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°， 即弦 AB 所对的圆周角的度数为 60°或 120°． 故答案为 60°或 120°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心 角的一半．也考查了垂径定理． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(5，0)，点 M 的坐标为(0，4)，过点 M 作 MN x 轴，点 P 在射线 MN 上，若 MAP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为___________． / / 41 10 【答案】( ，4)或( ，4)或(10，4) 41 【解析】 【分析】分三种情况：①PM＝PA，②MP＝MA，③AM＝AP，分别画图，根据等腰三角形 的性质和两点的距离公式，即可求解． 【详解】解：设点 P 的坐标为（x，4）， 分三种情况：①PM＝PA， ∵点 A 的坐标为（5，0），点 M 的坐标为（0，4）， 242 5 x ∴PM＝x，PA＝ ∵PM＝PA， ，41 10 242 5 x ∴x＝ ，解得：x＝ ，41 ∴点 P 的坐标为（ ②MP＝MA， ，4）； 10 ∵点 A 的坐标为（5，0），点 M 的坐标为（0，4）， 42 52 ∴MP＝x，MA＝ ∵MP＝MA， ＝，41 ∴x＝ ，41 ∴点 P 的坐标为（ ③AM＝AP， ，4）； 41 ∵点 A 的坐标为（5，0），点 M 的坐标为（0，4）， 242 x 5 42 52 ∴AP＝ ，MA＝ ＝，41 ∵AM＝AP， 242 x 5 ∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去）， 41 ∴点 P 的坐标为（10，4）； 41 综上，点 P 的坐标为（ ，4）或（ ，4）或（10，4）． 41 10 41 故答案为：( ，4)或( ，4)或(10，4)． 41 10 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利 用坐标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键． 16. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝2，连接 AC，过点 D 作 DC1⊥AC 于点 C1，以 C1A，C1D 为邻边作矩形 AA1DC1，连接 A1C1，交 AD 于点 O1，过点 D 作 DC2⊥A1C1 于点 C2，交 AC 于点 M1，以 C2A1，C2D 为邻边作矩形 A1A2DC2，连接 A2C2，交 A1D 于点 O2，过 点 D 作 DC3⊥A2C2 于点 C3，交 A1C1 于点 M2；以 C3A2，C3D 为邻边作矩形 A2A3DC3，连接 A3C3，交 A2D 于点 O3，过点 D 作 DC4⊥A3C3 于点 C4，交 A2C2 于点 M3…若四边形 AO1C2M1 的面积为 S1，四边形 A1O2C3M2 的面积为 S2，四边形 A2O3C4M3 的面积为 S3…四边形 An﹣1OnCn＋1Mn 的面积为 Sn，则 Sn＝__________．（结果用含正整数 n 的式子表示） 94n1 【答案】 5n1 【解析】 AB BC 【分析】根据四边形 ABCD 是矩形，可得 AC＝ ，运用面积法可得 DC1＝ ＝＝5AC n 2n 9992 5 52 5 52 5 5DC12 DCn2 ＝，进而得出 DCn＝ ，得出 S1＝ ，……，Sn＝ ×20 20 20 94n1 ．5n1 【详解】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1， AB2 BC2 12 22 ∴AC＝ ＝＝，5∵DC1•AC＝AB•BC， 1 2 AB BC 2 5 ∴DC1＝ ＝＝，55AC 2 5 2 5 5同理，DC2＝ DC1＝（ ）2， 52 5 DC3＝（ ）3， 5……， 2 5 DCn＝（ ）n， 5DC1 AD CD ∵＝tan∠ACD＝ ＝2， CC1 15∴CC1＝ DC1＝ ，25DC1 CD AD 1∵tan∠CAD＝ ＝＝，，AC1 24 5 5∴A1D＝AC1＝2DC1＝ 313 5 5∴AM1＝AC1﹣C1M1＝2DC1﹣ DC1＝ ×DC1＝ ，223同理，A1M2＝ ×DC2， 23A2M3＝ ×DC3， 2……， 3An﹣1Mn＝ ×DCn， 2∵四边形 AA1DC1 是矩形， ∴O1A＝O1D＝O1A1＝O1C1＝1， 同理∵DC2•A1C1＝A1D•DC1， 4 52 5 A D DC1 451∴DC2＝ ＝＝，55AC1 12353442O D2 DC2 12 ( )2 在 Rt△DO1C2 中，O1C2＝ ＝＝＝DC2， 153同理，O2C3＝ DC3， 43O3C4＝ DC4， 4……， 3OnCn＋1 ＝DCn＋1 ，4S S S S ∴＝1ADM1 O DC2 四边形AO C2M1 1111×AM1×DC1﹣ ×O1C2×DC2 22343DC2 ）＝（ ﹣110 9DC12 ＝20 9＝，25 9S S SO DC DC22 同理， 2A DM2 12320 994 2 5 4＝×＝，()53 20 5942 992 5 5DC32 6S3＝ ＝×＝，()54 20 20 ……， 94n1 2n 9Sn＝ 20 92 5 5DCn2 ＝×＝．5n1 20 94n1 故答案为： ．5n1 【点睛】本题考查了矩形性质，勾股定理，解直角三角形，三角形面积等，解题关键是通过 计算找出规律． 三、解答题 2×2 2x x17. 先化简，再求值：（ ＋1）÷ ，其中 x＝tan60°． x2 4 x 2 x 2 x2 3 【答案】 【解析】 ，1＋ 3【分析】先把括号内的分式通分，再把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，代入求 值即可． 2x(x 1) (x 2)(x 2) x x 2 x 2 【详解】解：原式＝ ÷x 2 x 2 2(x 1) x 2 × ＝＝2x(x 1) x 2 ．x3+2 2 3 3x＝tan60°＝ ，代入得：原式＝ ＝1＋ ．33【点睛】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简 的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 18. 为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比 每个足球的进价多 25 元，用 2000 元购进篮球的数量是用 750 元购进足球数量的 2 倍，求： 每个篮球和足球的进价各多少元？ 【答案】每个足球的进价是 75 元，每个篮球的进价是 100 元 【解析】 【分析】设每个足球的进价是 x 元，则每个篮球的进价是（x＋25）元，利用数量＝总价÷单 价，结合用 2000 元购进篮球的数量是用 750 元购进足球数量的 2 倍，即可得出关于 x 的分 式方程，解之经检验后即可得出足球的单价，再将其代入（x＋25）中即可求出篮球的单 价． 【详解】解：设每个足球的进价是 x 元， 则每个篮球的进价是（x＋25）元， 2000 750 依题意得： ＝2× ，x 25 x解得：x＝75， 经检验，x＝75 是原方程的解，且符合题意， ∴x＋25＝75＋25＝100． 答：每个足球的进价是 75 元，每个篮球的进价是 100 元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 19. “赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将 成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘 制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的人数； （2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 （3）将条形统计图补充完整； ；（4）该校共有 1500 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人 数． 【答案】（1）120 人；（2）90°；（3）见解析；（4）500 人 【解析】 【分析】（1）由良好的人数除以占的百分比求本次抽样调查的人数； （2）根据一般的人数所占百分比即可求出圆心角的度数； （3）求出优秀的人数即可画出条形图； （4）求出优秀占的百分比，乘以 1500 即可得到结果． 150 【详解】解：（1）总人数＝50÷ ＝120（人）； 360 30 （2）阴影部分扇形的圆心角＝360°× 故答案为：90°； ＝90°， 120 （3）优秀的人数为：120﹣30﹣50＝40（人）， 条形统计图如图所示： 40 （4）测试成绩达到优秀的学生人数有：1500× ＝500（人）， 120 答：该校 1500 名学生中测试成绩达到优秀的学生有 500 人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统 计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 为了迎接建党 100 周年，学校举办了“感党恩•跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社 团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母 A，B，C，D 依次表示这四 个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片 背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团 D 的概率是 ；（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机 抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中 有一张是演讲社团 C 的概率． 112【答案】（1） ；（2）见解析， 4【解析】 【分析】（1）共有 4 种可能出现的结果，其中是舞蹈社团 D 的有一种，即可求出概率； （2）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出一张是演讲社团 C 的结果数，进而求 出概率． 【详解】解：（1）∵共有 4 种可能出现的结果，其中是舞蹈社团 D 的有 1 种， 1∴小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团 D 的概率是 ，41故答案为： ；4（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下： ABCDA—— AB AC AD BCDBA CA DA —— CB BC BD —— DC CD CB —— 共有 12 种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团 C 的有 6 种， 612∴小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团 C 的概率是 ＝．12 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确画出树状图或表格是解决本题的关 键． 21. 一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在 G 处放置一个小平面镜，当 一位同学站在 F 点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时测得 FG＝3m， 这位同学向古树方向前进了 9m 后到达点 D，在 D 处安置一高度为 1m 的测角仪 CD，此时 测得树顶 A 的仰角为 30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离 EF＝1.5m，点 B，D，G，F 在同一水平直线上，且 AB，CD，EF 均垂直于 BF，求这棵古树 AB 的高．（小平面镜的大小 和厚度忽略不计，结果保留根号） 【答案】（9＋4 ）m 3【解析】 【分析】过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，则 CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求 EF FG 出 BD＝CH＝ AH，再证△EFG∽△ABG，得 ，求出 AH＝（8＋4 ）m，即 33AB BG 可求解． 【详解】解：如图，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H， 则 CH＝BD，BH＝CD＝1m， 由题意得：DF＝9m， ∴DG＝DF﹣FG＝6（m）， 在 Rt△ACH 中，∠ACH＝30°， AH CH 3∵tan∠ACH＝ ＝tan30°＝ ，3∴BD＝CH＝ AH， 3∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG＝∠ABG＝90°． 由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG， EF FG ∴即，AB BG 1.5 3，AH 1 3AH 6 解得：AH＝（8＋4 ）m， 3∴AB＝AH＋BH＝（9＋4 ）m， 3即这棵古树的高 AB 为（9＋4 ）m． 3【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确 作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG 是解题的关键． 22. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，且∠AOD＝90°，点 C 是⊙O 外一点，分别连 接 CA，CB、CD，CA 交⊙O 于点 M，交 OD 于点 N，CB 的延长线交⊙O 于点 E，连接 AD，ME，且∠ACD＝∠E． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； 1（2）连接 DM，若⊙O 的半径为 6，tanE＝ ，求DM 的长． 312 5 【答案】（1）见解析；（2） 5【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理和等量代换可得∠BAC＝∠ACD，进而得出 AB∥CD，由 ∠AOD＝90°可得 OD⊥CD，从而得出结论； 11（2）由 tanE＝ ，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝ ，在直角三角形中由锐角三角函 33数可求出 ON、DN、CD，由勾股定理求出 CN，由三角形的面积公式求出 DF，再根据圆周 角定理可求出∠AMD＝45°，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出 DM 即可． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴AB∥CD， ∴∠ODC＝∠AOD＝90°， 即 OD⊥CD， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）过点 D 作 DF⊥AC 于 F， 1∵⊙O 的半径为 6，tanE＝ ＝tan∠ACD＝tan∠OAN， 311∴ON＝ OA＝ ×6＝2， 33∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4， ∴CD＝3DN＝12， 在 Rt△CDN 中， DN2 CD2 42 122 CN＝ ＝＝4 ，10 由三角形的面积公式可得， CN•DF＝DN•CD， 即 4 DF＝4×12， 10 6 10 5∴DF＝ ，11又∵∠AMD＝ ∠AOD＝ ×90°＝45°， 22∴在 Rt△DFM 中， 6 1012 5 DM＝ DF＝ ×＝．2255【点睛】本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理，掌握锐角三角 函数以及勾股定理是解决问题的前提． 23. 某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高 于 38 元，经市场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件售价（元）之间符合一次 函数关系，如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该商场销售这种商品要想每天获得 600 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3）设商场销售这种商品每天获利 w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利 润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣2x＋120；（2）30 元；（3）售价定为 40 元/件时，每天最大利润 800 元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据“每件利润×销售量＝总利润”列出一元二次方程，解之可得； （3）根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得． 【详解】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b（k≠0）， 25k b 70 35k b 50 由所给函数图象可知： ，k 2 解得 ，b 120 故 y 与 x 的函数关系式为 y＝﹣2x＋120； （2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣2x＋120）＝600， 整理，得：x2﹣80x＋1500＝0， 解得：x＝30 或 x＝50（不合题意，舍去）， 答：每件商品的销售价应定为 30 元； （3）∵y＝﹣2x＋120， ∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x＋120） ＝﹣2×2＋160x﹣2400 ＝﹣2（x﹣40）2＋800， ∴当 x＝40 时，w 最大＝800， ∴售价定为 40 元/件时，每天最大利润 w＝800 元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法 求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式． 24. 如图，在 Rt ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 O 在线段 AB 上（点 O 不与点 A，B 重合），且 OB＝kOA，点 M 是 AC 延长线上的一点，作射线 OM，将射线 OM 绕点 O 逆时 针旋转 90°，交射线 CB 于点 N． （1）如图 1，当 k＝1 时，判断线段 OM 与 ON 的数量关系，并说明理由； （2）如图 2，当 k＞1 时，判断线段 OM 与 ON 的数量关系（用含 k 的式子表示），并证明； CM AC 3 1 ，请直接写 2（3）点 P 在射线 BC 上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 ＜NC 出的值（用含 k 的式子表示）． PC NC 1 3k 【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3） PC k 1 【解析】 【分析】（1）作 OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON； （2）作 OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON； a,k NC, PN, 再利 （3）设 AC＝BC＝a，解 Rt△EON 和斜△AOM，用含 用比例的性质可得答案． 的代数式分别表示 【详解】解：（1）OM＝ON，如图 1， 作 OD⊥AM 于 D，OE⊥CB 于 E， ∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°， ∴∠DOE＝90°， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝45°， 在 Rt△AOD 中， 2，OD OAsin A OA 22同理：OE＝ OB， 2∵OA＝OB， ∴OD＝OE， ∵∠DOE＝90°， ∴∠DOM＋∠MOE＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠EON＋∠MOE＝90°， ∴∠DOM＝∠EON， 在 Rt△DOM 和 Rt△EON 中， MDO NEO OD OE ，DOM EON ∴△DOM≌△EON（ASA）， ∴OM＝ON． （2）如图 2， 作 OD⊥AM 于 D，OE⊥BC 于 E， 22由（1）知：OD＝ OA，OE＝ OB， 22OD OA 1∴，OE OB k由（1）知： ∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°， ∴△DOM∽△EON， OM OD 1∴，ON OE k∴ON＝k•OM． （3）如图 3， 设 AC＝BC＝a， ∴AB＝ a， 2∵OB＝k•OA， k1∴OB＝ ∴OE＝ •a，OA＝ •a， 222k 1 k 1 kOB＝ a， k 1 2∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°， OE k∴EN＝ ＝OE＝ •3a， 3tan N k 1 12∵CE＝OD＝ OA＝ a， k 1 21k∴NC＝CE＋EN＝ a＋ •a， 3k 1 k 1 OM OA 1由（2）知： ，△DOM∽△EON， ON OB k∴∠AMO＝∠N＝30° AM PN 1∵∴，kOM AM ，ON PN ∴△PON∽△AOM， ∴∠P＝∠A＝45°， k∴PE＝OE＝ a， k 1 kk∴PN＝PE＋EN＝ 设 AD＝OD＝x， a＋ •a， 3k 1 k 1 ∴DM＝ ，3x 由 AD＋DM＝AC＋CM 得， （＋1）x＝AC＋CM， 313 1 23 1 23 1 2∴x＝ （AC＋CM）＜ （AC＋ AC）＝ AC， 2∴k＞1 1ka 3 a 3 aaNC ∴1 3k k 3k k 1 kk 1 k，PN k 1 k 1 PN PC NC PC k 3k 1 3k ∴1 ,NC NC NC PC NC k 1 ,1 3k NC 1 3k ．PC k 1 的【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题 关键是作 CM AC 3 1 2OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件 得出 k＞1． ＜25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2＋bx＋c 与 x 轴分别交于点 A(﹣1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图 1，点 D 与点 C 关于对称轴对称，点 P 在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点 P 的 坐标； （3）点 M 是抛物线上位于对称轴右侧的点，点 N 在抛物线的对称轴上，当 BMN 为等边 三角形时，请直接写出点 M 的坐标． 9 3 【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴 x＝1；（2）P(1，1)或(2，1)；（3）M( ，34 31 2 33 )或(1＋ ，)333【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）如图 1 中，连接 BD，设 BD 的中点 T，连接 PT，设 P（1，m）．求出 PT 的长，构建 方程求出 m 即可． （3）分两种情形：当点 M 在第一象限时，△BMN 是等边三角形，过点 B 作 BT⊥BN 交 NM 的延长线于 T，设 N（1，t），设抛物线的对称轴交 x 轴于 E．如图 3﹣2 中，当点 M 在第四 象限时，设 N（1，n），过点 B 作 BT⊥BN 交 NM 的延长线于 T．分别利用相似三角形的性 质求出点 M 的坐标，再利用待定系数法求解． 【详解】解：（1）把 A（﹣1，0），点 C（0，3）的坐标代入 y＝﹣x2＋bx＋c，得到 c 3 ，1b c 0 b 2 c 3 解得 ，2∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴 x＝﹣ ＝1． 2 （2）如图 1 中，连接 BD，设 BD 的中点 T，连接 PT，设 P（1，m）． ∵点 D 与点 C 关于对称轴对称，C（0，3）， ∴D（2，3）， ∵B（3，0）， 523222∴T（ ，），BD＝ ，3 2 3 10 ∵∠NPD＝90°，DT＝TB， 110 2∴PT＝ BD＝ ，25310 2∴（1﹣ ）2＋（m﹣ ）2＝（ ）2， 22解得 m＝1 或 2， ∴P（1，1），或（2，1）． （3）当点 M 在第一象限时，△BMN 是等边三角形，过点 B 作 BT⊥BN 交 NM 的延长线于 T，设 N（1，t），作 TJ⊥x 轴于点 J，设抛物线的对称轴交 x 轴于 E． ∵△BMN 是等边三角形， ∴∠NMB＝∠NBM＝60°， ∵∠NBT＝90°， ∴∠MBT＝30°，BT＝ BN， 3∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°， ∴∠MBT＝∠BTM＝30°， ∴MB＝MT＝MN， ∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°， ∴∠NBE＝∠BTJ， ∵∠BEN＝∠TJB＝90°， ∴△BEN∽△TJB， TJ BJ BT ∴＝，3EB EN BN ∴BJ＝ t，TJ＝2 ，33∴T（3＋ t，2 ）， 33∵NM＝MT， 4 3t 2 3 t ∴M（ ，）， 22∵点 M 在 y＝﹣x2＋2x＋3 上， 2 3 t 4 3t 4 3t ∴＝﹣（ ）2＋2× ＋3， 222整理得，3t2＋（4 ＋2）t﹣12＋4 2 3 2 ，＝0， 33解得 t＝﹣2 （舍弃）或 339 3 4 31 ）． ∴M（ ，33的如图 3﹣2 中，当点 M 在第四象限时，设 N（1，n），过点 B 作 BT⊥BN 交 NM 延长线于 T． 4 3n n 2 3 ）， 同法可得 T（3﹣ n，﹣2 ），M（ 3，322n 2 3 4 3n 4 3n 则有 ＝﹣（ ）2＋2× ＋3， 222整理得，3n2＋（2﹣4 ）n﹣12﹣4 2 3 6 ，＝0， 332 3 4 解得 n＝ （舍弃）或 332 33 ）， ∴M（1＋ ，339 3 4 31 2 33 ）． 综上所述，满足条件的点 M 的坐标为（ ，）或（1＋ ，3333【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二 次方程求解计算是解题的关键．
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