辽宁省丹东市2021年中考数学试题（解析版）下载

辽宁省丹东市 2021 中考数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题 3 分，共 24 分） 5 1. A. 的相反数是（ ）155 B. C. D. 0.5 5A【答案】 【解析】 【分析】由相反数的定义可得答案． A-5 5【详解】 ：的相反数是 ，正确， BC-5 -5 5的相反数是 ，错误， ：5的相反数是 ，错误， ：D-5 5的相反数是 ，错误． ：A故选： ． 【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. A. 下列运算正确的是（ ）(m  n)2  m2  mn  n2 a2 a3  a6 B. D. 32a3  8a6 (2m 1)(2m 1)  4m2 1 C. 【答案】 D【解析】 【分析】根据同底数幂相乘､积的乘方､完全平方公式及平方差公式的知识,分别进行各选项的判断,继而可得 出答案． 2 3【详解】A． B． ,故 A 选项错误, a a  a (m  n)2  m2  2mn  n2 ,故 B 选项错误, 3333 3 C． 9 , 故 C 选项错误, ( 2a )  2  (a )  8a 22D． ， 故D 选项正确． 2m 1 2m 1  2m 1 4m 1    故选 D． 【点睛】此题考查了同底数幂相乘､积的乘方､平方差公式､完全平方公式,解答本题的关键是熟练掌握幂的 运算､平方差公式､完全平方公式的运算法则． 3. 如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】根据从上面向下看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】从上面向下看是两列，每列有 1个小正方形，如图所示： 故选：B． 【点睛】本题考查了简单小立方体堆砌立体图形的三视图，解题时注意从上面向下看，得到的图形是俯视 图． 4. 若一组数据 1，3，4，6，m 的平均数为 4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A. 4，6 【答案】 【解析】 B. 4，4 C. 3，6 D. 3，4 A【分析】根据平均数的定义求出 m 的值，故可得到这组数据的中位数和众数． 【详解】解：依题意可得 1+3+4+6+m=5×4， 解得 m=6， 故数据为 1，3，4，6，6，中位数和众数分别为 4、6； 故选 A． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知中位数和众数的定义． y  kx  b 的图象不经过 (x  3)(x 1)  0 5. 若实数 k、b 是一元二次方程 的两个根，且 k  b ，则一次函数 （）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法求出 k、b 的值，由一次函数的图像即可求得． (x  3)(x 1)  0 【详解】∵实数 k、b 是一元二次方程 k  3,b 1 的两个根，且 k  b ，∴,y  3x 1 ∴一次函数表达式为 ，有图像可知，一次函数不经过第三象限． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和 一次函数图像． BDE, BE 6. 如图，在矩形 中，连接 ，将 沿对角线 折叠得到 交于点 O， BE AD ABCD △BCD BD BD 恰好平分 ，若 ，则点 O 到 的距离为（ ）ABD BD AB  2 3 3C. 3AB. 2 D. 3 32B【答案】 【解析】 【 分 析 】 如 图 ， 过 点O 作 OF⊥BD 于 F ， 可 得OF 为 点O 到 的 距 离 ， 根 据 矩 形 的 性 质 可 得 BD ∠A=∠ABC=90°，根据折叠性质可得∠EBD=∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ABO=∠EBD，即可得出 ∠ABO=30°，根据角平分线的性质可得 OA=OF，利用∠ABO 的正切值求出 OA 的值即可得答案． 【详解】如图，过点 O 作 OF⊥BD 于 F， ∴OF 为点 O 到 的距离， BD ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=∠ABC=90°， ∵将 沿对角线 折叠得到△BDE， BD △BCD ∴∠EBD=∠CBD， BE 恰好平分 ∵，ABD ∴∠ABO=∠EBD，OA=OF， ∴∠EBD=∠CBD=∠ABO， ∴∠ABO=30°， ∵，AB  2 3 ∴OF=OA=AB·tan30°=2， 故选：B． 的【点睛】本题考查矩形 性质、折叠性质、角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特 殊角的三角函数值是解题关键． 2k7. y  (x  0) y  (x  0) 如图，点 A 在曲线到 上，点 B 在双曲线 上， 轴，点 C 是 x 轴上一点， AB//x 21xx连接 、BC ，若ABC 的面积是 6，则 k 的值（ ）AC 8 A. B. C. 10 D. 6 12 C【答案】 【解析】 S SAOB  6 【分析】根据 轴可以得到 ，转换成反比例函数面积问题即可解题． AB//x ABC 【详解】连接 OA、OB，设 AB 与 y 轴交点为 M， ∵轴AB//x Sk SAOB  6 ∴AB⊥y 轴， ABC 11SSS， 2 1 ∴∵∴BOM AOM 22 SAOB  SBOM  SAOM  6 ABC 12k 1 6 解得 k  10 ky  (x  0) ∵点 B 在双曲线 上，且 B 在第二象限 2x∴k  0 ∴k  10 故选 C 【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与 k 的关系是解题的关键． 132已知抛物线 y  ax2  bx  c(a  0) ，且 ．判断下列结论：① ；② 8. a  b  c  ,a  b  c   abc 0 2y 3a x 轴正半轴必有一个交点；④当 时， ；⑤该抛物线与直线 2a  2b  c  0 ；③抛物线与 y  x  c 2  x  3 最小 有两个交点，其中正确结论的个数（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 D【答案】 【解析】 11b  ,c  1 a y  a  b  c   【分析】由题意易得 ，则有 c  0 ，进而可判定①②，当 x=1 时，则 ，2231y  a b  c   x    0 当 x=-1 时，则有 有当 ，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线 ，则 24a 时，y 随 x 的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤． 2  x  3 132a  b  c  ,a  b  c   【详解】解：∵ ，212b  ∴两式相减得 ，两式相加得 c  1 a ，∴∵∴∴c  0 ，a  0,b  0,c  0 ，，故①正确； abc 0 12a  2b  c  2a  2 1 a  a  0 ，故②正确； 2132y  a  b  c   y  a b  c   ∵当 x=1 时，则 ，当 x=-1 时，则有 ，22y  0 ∴当 时，则方程 的两个根一个小于-1，一个根大于 1， 0  ax  bx  c ∴抛物线与 x 轴正半轴必有一个交点，故③正确； b1x      0 由题意可知抛物线的对称轴为直线 ，2a 4a ∴当 ∴当 时，y 随 x 的增大而增大， 2  x  3 y  4a  2b  c  4a 11 a  3a 时，有最小值，即为 ，故④正确； ，整理得： x  2 1ax2  x  2c  0 联立抛物线 y  ax2  bx  c及直线 可得： ，2y  x  c x  c  ax  bx  c 21 8ac  0 ∴，4y  x  c ∴该抛物线与直线 有两个交点，故⑤正确； ∴正确的个数有 5 个； 故选 D． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第二部分 主观题 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9. 按照现行贫困标准计算，中国 770000000 村贫困人口摆脱贫困，将数据 770000000 用科学记数法表示为 _________． 8【答案】 7.710 【解析】 【分析】根据科学记数法的形式 n1 a  ，其中 ，n 为整数，直接表示即可． a  10 8【详解】数字 770000000 用科学记数法表示为 7.710 8故答案为： 7.710 n1 a  ，n 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 ，其中 a  10 为整数，确定 a 的值以及 n 的值是解题的关键． x  3 10. 在函数 中，自变量 x 的取值范围_________． y  x  2 【答案】 x  3 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【详解】根据题意得： x 3  0 x  2  0 ，解得 x  3 ∴自变量 x 的取值范围是 x  3 故答案为： x  3 ．．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 22 ＝________． 11. 分解因式： ma  2mab  mb 2【答案】 m a b 【解析】 【分析】 22222.【详解】解： 故答案为： ma  2mab  mb  m(a  2ab  b )  m(a  b) 2m a b 212. 关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是________． kx  2x 1 0 【答案】 【解析】 且k＞1 k  0 ．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可. 【详解】∵关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，   b2  4ac  22  4k  1  4  4k  0 ，解得 k  1 ．又∵该方程为一元二次方程， ，k  0 k  1 且．k  0 故答案为： k  1 且．k  0 【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程 的定义是解题的关键． 2x 1 3 x  m 13. 不等式组 无解，则 m 的取值范围_________． 【答案】 【解析】 m  2 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于 m 的不等式，求出不等式的解集即可． 2x 1 3① 【详解】解： x  m② 解不等式①得： x  2 x  m 由②式知： ∵不等式组无解 ∴m  2 故答案为： m  2 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于 m 的不等式是解题 的关键． E(BE  CE) ，点 F 是 14. B  45, AB 如图，在ABC 中， 的垂直平分线交 于点 D，交 BC 于点 AB BC  7, AC  5 △CEF 的周长为_________． 的中点，连接 、AE EF ，若 ，则 AC 【答案】8 【解析】 △CEF 【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA 的度数，然后根据勾股定理求出 EC 长度，即可求出 的周 长． 【详解】解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线， ∴∴，BE=AE， BAE  ABE  45 ，BEA  90 BC  7, ∵∴∴BE  CE  7, AE  CE  7, AE  7CE, 又∵AC=5， ∴在AEC 中， AE2  CE2  AC2 ，27 CE  CE2  52 解得：CE=3， 又∵点 F 是 的中点， AC 15EF  FC  AC  ∴∴，22525 3 8 2△CEF 的周长=CF+CE+FE= ．故答案为：8． 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是 熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质． 15. 如图，在矩形 中，连接 ，过点 C 作 平分线 BE 的垂线，垂足为点 E，且交 于点 ABCD DBC BD BD F；过点 C 作 平分线 的垂线，垂足为点 H，且交 于点 G，连接 HE ，若 ，∠BDC DH BD BC  2 2 ，则线段 的长度为_________． HE CD  2 3 2 10 【答案】 【解析】 2【分析】先证明 ，可得 CE=FE，BF= ，同理：CH=GH，DG= ，从而 BEC≌BEF BC  2 2 CD  2 1GF 得 HE= ，再利用勾股定理得 BD= ，进而即可求解． 10 2【详解】解：∵BE 平分∠DBC， ∴∠CBE=∠FBE， ∵CF⊥BE， ∴∠BEC=∠BEF=90°， 又∵BE=BE， ∴，BEC≌BEF ∴CE=FE，BF= BC  2 2 同理：CH=GH，DG= ，CD  2 ∴HE 是 的中位线， △CGF 1∴HE= 2GF ，∵在矩形 中， ，BC  2 2CD  2 ，ABCD 22∴BD= ，BC  CD  10 ∴GF= BF+ DG-BD= ，3 2 10 3 2 10 ∴=．HE 2【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出 HE 是 的中位线，是解题的关键． △CGF 16. 已知：到三角形 3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果ABC 是锐角（或直角）三 角形，则其费马点 P 是三角形内一点，且满足 APB  BPC  CPA 120．（例如：等边三角形的费 马点是其三条高的交点）．若 ，P 为ABC 的费马点，则 AB  AC  7, BC  2 3 PA PB  PC  _________；若 PA PB  PC  _________． ，P 为 ABC 的费马点，则 AB  2 3,BC  2, AC  4 ①. ②. 2 7 【答案】 【解析】 5B,C 【分析】①作出图形，过 分别作 DBP  DCP  30,勾股定理解直角三角形即可   B, P, P ,C 四点共线，即 ②作出图形，将 绕点 A逆时针旋转 60 ，P 为ABC 的费马点则 △APC PA PB  PC  BC ，再用勾股定理求得即可 AD  BC 【详解】①如图,过 B,C A作，垂足为 ,D过分别作 DBP  DCP  30, 则 , P 为ABC 的费马点 PB  PC AB  AC  7, BC  2 3 1BD  DC  BC  3 2PD BD 3tan30  PD 1 3PD PB   2 sin30 22AD  AB  BD  7 3  2 5PA PB  PC  ②如图： .AB  2 3,BC  2, AC  4  AB2  BC2 16, BC2 16  AB2  BC2  AC2 ABC  90 BC AC 12sin BAC  BAC  30  sin30 将A  绕点 逆时针旋转60 △APC 由旋转可得：   △APC≌△AP C    AP  AP, PC  P C , AC  AC CAC  PAP  60  是等边三角形， APP BAC  90 P 为 的费马点 ABC   B, P, P ,C 即四点共线时候， PA PB  PC  BC   BC BP  PP  P C =PA PB  PC   (2 3)2  42  2 7 22  AB  AC 故答案为：①5，② 2 7 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的 △PAB,△PBC 关键．本题旋转 也可，但必须绕顶点旋转． 三、（每小题 8 分，共 16 分） 22a  4 a 1 017. 先化简，再求代数式的值： ，其中 ．a  2sin30  2( 1) a  2 a2  4 2 a a2  a  2 8【答案】 【解析】 ；a2  4 5【分析】先通分，然后进行分式的加减运算，化简整理，最后代入求值即可． 2a  4 2a  4 a2  3a  2 【详解】原式 a2  4 a2  4 a2  4 a2  a  2 a2  4 0∵a  2sin30  2( 1) 1 2  3 32  3 2 85a  3 ∴将 代入原式   32  4 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔 细，属于常考题型． 的18. CO 并延长交 如图，在ABCD 中，点 O 是 ．中点，连接 的延长线于点 E，连接 BA 、AC AD DE （1）求证：四边形 ACDE 是平行四边形； （2）若 ，判断四边形ACDE 的形状，并说明理由． AB  AC 12【答案】（ ）证明见详解；（ ）四边形 ACDE 是菱形，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可判定 ，即可得到 ，再根据 AOE≌DOC AE  CD CD∥AE，即可证得四边形 ACDE 是平行四边形； （2）利用（1）的结论和平行四边形的性质可得 AC=CD，由此即可判定是菱形． 【详解】（1）证明：在 ABCD 中，AB∥CD， ∴，EAO  CDO ∵点 O 为 AD 的中点， ∴在∵，AO  DO 与AOE DOC EAO  CDO 中， ，，AO  DO EOA  COD ∴，，AOE≌DOC ∴，AE  CD 又∵BE∥CD ， ∴四边形 ACDE 是平行四边形； （2）解：由（1）知四边形 ACDE 是平行四边形， ，AE  CD ∵∴，AB  AC ，AE  CD  AB  AC ∴四边形 ACDE 是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等、菱形的判定等，熟练掌握判定定理并融会贯 通是解题的关键． 四、（每小题 10 分，共 20 分） 19. 某中学为了增强学生体质，计划开设 A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解学 生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查（每人只能选择一种体育活动），并绘制成如图 所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）求这次抽样调查的学生有多少人？ （2）求出 B 所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整； （3）若该校有 800 名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢 B 的人数． 【答案】（1）120 人；（2）126°，补全条形统计图见解析；（3）280 人 【解析】 【分析】（1）根据 A 的人数和所占的百分数求解即可； （2）根据 B 占圆周角的的百分数求解即可；求出 C 的人数即可补全条形统计图； （3）由该校人数乘以 B 所占的百分数即可求解． 【详解】解：（1）由统计图可知，36÷30%=120（人）， 答：这次抽样调查的学生有 120 人； 42 （2）360°× =126°，120×20%=24（人）， 120 答：B 所在扇形圆心角的度数为 126°，补全条形统计图如图所示： 42 （3）800× =280（人）， 120 答：估计喜欢 B 的人数为 280 人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识，能从统计图中获取有效信息是解答 的关键． 20. 一个不透明的袋子中装有 4 个只有颜色不同的小球，其中 2 个红球，2 个白球，摇匀后从中一次性摸出 两个小球． （1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性； （2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平 吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高 【解析】 【分析】（1）列表格列出所有可能性； （2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可． 【详解】（1）所有可能性如下表： 甲红 1 红 2 白 1 白 2 乙红 1 红 2 白 1 白 2 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） （红，白） （白，白） 总共 12 种情况． （2）摸到两个小球的颜色相同有 4种，摸到两个小球颜色不同有 8种 413823∴甲获胜概率= ，乙获胜概率= 12 12 ∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平， 否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 五、（每小题 10 分，共 20 分） 21. 为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成， 已知乙队比甲队每天少改造 20 米，甲队改造 400 米的道路与乙队改造 300 米的道路所用时间相同，求甲、 乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？ 【答案】甲工程队每天改造的道路长度是 80 米，乙工程队每天改造的道路长度是 60 米． 【解析】 【分析】根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是 x 米， 400 300 列方程得： ，xx  20 解得：x=80． 80-20=60． 答：甲工程队每天改造的道路长度是 80 米，乙工程队每天改造的道路长度是 60 米． 【点睛】此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程． 22. O EF//BC 如图， 是ABC 的外接圆，点 D 是 的中点，过点 D 作 分别交 、的延长线于 AC AB BC 点 E 和点 F，连接 、AD BD ，ABC 的平分线 交于点 M． AD BM O （1）求证： 是的切线； ，EF 的长． （2）若 AB : BE  5: 2 ，求线段 DM AD  14 【答案】（1）见详解；（2）2 【解析】 【分析】（1）连接 OD，由垂径定理得 OD⊥BC，从而得 OD⊥EF，进而即可得到结论； 214 （2）由平行线分线段定理得 DN= ∠BMD=∠DBM，进而即可求解． ，再证明 ，可得 BD=2，最后证明 BDN∽ADB 7【详解】（1）证明：连接 OD，如图， ∵点 D 是 的中点， BC   ∴ BDCD， ∴OD⊥BC， ∵BC∥EF， ∴OD⊥EF， ∴EF 为⊙O 的切线； （2）设 BC、AD 交于点 N， EF//BC ，∵AB : BE  5: 2 ，，，AD  14 AN AB 52∴DN BE 214 ∴DN= ，7∵点 D 是 的中点， BC ∴∠BAD=∠CAD=∠CBD， 又∵∠BDN=∠ADB， ∴，BDN∽ADB 214 DN BD BD ∴，即： ，7DB DB AD 14 ∴BD=2， ABC 的平分线 ∵交于点 M， AD BM ∴∠ABM=∠CBM， ∴∠ABM+∠BAD=∠CBM+∠CBD，即：∠BMD=∠DBM， ∴DM=BD=2． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理相似三角形的判定和性质，平行线分线段定理，等 腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，是解题的关键． 六、（每小题 10 分，共 20 分） 23. 如图，一架无人机在空中 A 处观测到山顶 B 的仰角为36.87，山顶 B 在水中的倒影 C 的俯角为 B 到水面距离 的高度． 63.44，此时无人机距水面的距离 AD  50 米，求点 BM （参考数据：sin36.87  0.60 ，cos36.87  0.80 ，tan36.87  0.75 ，sin63.44  0.89 ，cos63.44  0.45 ，tan63.44  2.00 ）【答案】110 【解析】 【分析】过点 A 作 交于点 H，由题意可得： AD  HM  50 ，设 ，在 中， BM  x RtABH AH  BM BH CH AH  AH  ，在 中， ，进而可根据 ，求出 x 的值，即为 BM RtAHC AH  AH tan36.87 tan 63.44 的值 【详解】过点 A 作 交于点 H，由题意可得： AD  HM  50 AH  BM 设∵∴，则 MC  BM  x BM  x BH  BM  HM BH  x 50 BH 43AH  x 50 ∴在 中， RtABH tan36.87 ∵∴HC  HM  MC HC  50  x CH 50  x AH  ∴在 中， RtAHC x 50  tan 63.44 24∴50  x 32解得 x 110 即BM 110 【点睛】本题主要考查了锐角三角形的实际运用，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是 解题的关键，属于常考题型． 24. 某超市销售一种商品，每件成本为 50 元，销售人员经调查发现，销售单价为 100 元时，每月的销售量 为 50 件，而销售单价每降低 2 元，则每月可多售出 10 件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为 4000 元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了 每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ y  5x  550 1270 380 【答案】（ ） ；（ ）元；（ ）元． 【解析】 1【分析】（ ）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可； -（ ）根据题意，按照等量关系 销售量（售价 成本） 2“”列出方程，求解即可得到该商品此时的销  4000 售单价； w（ ）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可． 311∵【详解】解：（ ） 依题意得 y  50  100  x  10 ，2yxy  5x  550 ∴与的函数关系式为 ；y x50  4000 2∵（ ） 依题意得 ，5x  550 x 50  4000  即，x  70 x  90 ，解得： ，12∵∴70  90 当该商品每月销售利润为 ，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为 元； 4000 70 w（ ）设每月总利润为，依题意得 3w  y x50  5x  550 x 50  5×2 800x  27500    ∵∴∴，此图象开口向下 5  0 800 2x    80 时， w当有最大值为： （元）， 580 80080  27500  4500 2 5 当销售单价为 元时利润最大，最大利润为 80 元， 4500 故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为 元． 80 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法 是解题的关键． 七、（本题 12 分） 25. 已知,在正方形 中,点 M､N 为对角线 上的两个动点,且 ,过点 M、N 分别作 ､ABCD AC MBN  45 AB SSS的面积为 ． 3E,垂足分别为 F､G,设 的面积为 ,的面积为 ,BC 的垂线相交于点 NGC MEN △AFM 21（1）如图（1）,当四边形 EFBG 为正方形时, ①求证:AFM≌CGN ;S  S  S ②求证: ;231SSS,2（2）如图（2）,当四边形 EFBG 为矩形时,写出 ,3 三者之间的数量关系,并说明理由; 1BG : GC  m : n m n （3）在（2）的条件下,若 ,请直接写出 的值． AF : FB (m  n) (m  n) S  S  S 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 2 ；（3） ：31【解析】 【分析】（1）①利用两个正方形性质易证AFM≌CGN ；②连接 BD，则 BD 过点 E，且 ，，由①知 AM=CN，易证 BD  AC ABD  CBD  45 ，可得 BM=BN，进一步证明 ，从而得到 ，同理 ABM CBN CGN EOM FBM OBN AFM EON S  S  S ，故 ；231BF OB BM （2）如图，连接 BD 交 AC 于点 O，易证 ，进而得到 ，仿照上面同样的方法， FBM OBN BN BM BN OB BG 2S S S  S  S ；可证 ，即 ，从而得到 ABC ，故 312OB  BF  BG 矩形EFBG S S ABC ，根据题意可设 BG=mx，GC=nx，AB=BC=(m+n)x，先求出 BF （3）在（2）的条件下，有 矩形EFBG 的长，进而求出 AF 的长，即可得出答案． 【详解】（1）①在正方形 ABCD 和正方形 EFBG 中， AB=CB，BF=BG， ∴AF=CG， ，，FAM  GCN  45 AFM  CGN  90 AFM≌CGN(ASA) ∴②如图，连接 BD，则 BD 过点 E，且 ，BD  AC ABD  CBD  45 ，由①知 AM=CN， ∵∴BAM  BCN ，AB=BC， ABM CBN(SAS) ，∴BM=BN， ∵，∴ ，ABM  OBN MBN  45 ∵∴，BFM  BON  90 FBM OBN( AAS) ，∴FM=ON， ，AFM EON 同理 ，CGN EOM S  S  S EON ∵，3EOM S  S  S ∴．231S  S  S （2） 2 ，理由如下: 31如图，连接 BD 交 AC 于点 O，则 ，，，BD  AC BFM  BON  90 ，AC=BD=2OB， ABD  CBD  45 ∵∴，FBM  OBN  90 MBN  45 FBM OBN( AA) ，BF OB BM BN ∴，同理 ，BOM BGN BM OB BG ∴，BN BF OB OB BG 2所以 ，即 ，OB  BF  BG 121OB  AC  OB  2OB  OB2 S BF  BG ∵，，S矩形EFBG ABC 2S S ABC ∴∴∴，矩形EFBG S  S  S  S五边形MFBGN S  S ， S五边形MFBGN 12ABC 3矩形EFBG S  S  S ．231（3）根据题意可设 BG=mx，GC=nx，AB=BC=(m+n)x， 1122 （m+n)2×2 BF  BG  （m+n) x ∴，即 ，S矩形EFBG  S ABC 22( m  n)2x 2m ∴，BF  ( m  n2) x 2∴AF  AB  BF  2m ( m  n2) x( m  n)2x 2(m  n) (m  n) ：∴AF：BF= :=．2m 2m 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定三角形及矩形面积的求解，解题 的关键是巧妙的正方形的性质构造全等三角形或相似三角形来解决问题，本题还运用到了类比探究的思 想． 八、（本题 14 分） B(5,4) A(8,0) y  2x  m 过点 B 交 y 轴于点 C，交 x 轴于点 D，抛物线 26. 如图，已知点 ，点 ，直线 11 y  ax2  x  c 经过点 A、C、D，连接 、．AC AB 4（1）求抛物线的表达式； （2）判断ABC 的形状，并说明理由； 12tanECA  （3）E 为直线 上方的抛物线上一点，且 ，求点 E 的坐标； AC AC （4）N 为线段 上的动点，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 BN 运动到点 N，再 NC 以每秒 个单位长度的速度沿线段 运动到点 C，又以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 CO向点 O 运动， 5当点 P 运动到点 O 后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点 N 的坐标． 111 y  x2  x  6 【答案】（1） ；（2）△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，理由见解析；（3）E 44113 500 3的）；（4）运动时间 t 最小值为 （，，此时 N 坐标为（﹣6， ）4 5+6 11 121 2【解析】 【分析】（1）由点 B 坐标求出 m 值，进而求得点 C 坐标，利用待定系数法求抛物线的表达式即可； （2）由两点间距离公式求得 AC2、AB2、BC2，利用勾股定理的逆定理即可做出判断； （3）由（2）中数据可知∠BCA=∠ECA，延长 BA 至 F，使 AF=AB，连接 CF，则点 E 为直线 CF 与抛物线 的交点，求出直线 CF 的解析式，与抛物线联立方程组，解之即可求得点 E 坐标； NC （4）过 N 作 MN⊥AC 于 M，过 F 作 ⊥BC 交 AC 于 ，连接FN，则 FN=BN，求得 MN= ，由点 NFM 5BN NC CO P 运动时间 t= ==，当 F、N、M 三点共线时，t 最小，进一步 BN  MN  6 FN  MN  6 115求解即可解答． 【详解】解：（1）∵直线 B(5,4) y  2x  m 过点 B 交 y 轴于点 C， ∴将 代入得：﹣4=2×（﹣5）+m， 解得：m=6，则 C（0，6）， 11 y  ax2  x  c 将 A（﹣8，0）、C（0，6）代入 ，414c  6 64a  22  c  0 a  得： ，解得： ，c  6 111 y  x2  x  6 ∴抛物线的表达式为 ；44（2）△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，理由为： 由题意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25， AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125， ∴AC2+AB2=BC2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°； （3）由（2）知 AB=5，AC=10， AB AC 12∴tan∠BCA= =tan∠ECA， ∴∠BCA=∠ECA， 延长 BA 至 F，使 AF=AB，连接 CF，则点 B、F 关于点 A 对称，∴F（﹣11，4）， ∵∠BAC=∠FAC=90°，AF=AB，AC=AC， ∴△FAC≌△BAC， ∴∠BCA=∠FCA， ∴点 E 为直线 CF 与抛物线的交点， 设直线 CF 的解析式为 y=kx+b， 11k  b  4 b  6 2k  则，解得： ，11 2y  x  6 ∴直线 CF 的解析式为 ，11 2113 11 500 y  x  6 x   x  0 y  6 11 联立方程组 ，解得： 或（舍去）， 111 y  x2  x  6 y  44121 113 500 ，11 121 故点 E 坐标为（ ）； （4）过 N 作 MN⊥BC 于 M，过 F 作 ⊥BC 交 AC 于 ，连接 FN，则 FN=BN， NFM ∵AB=5，BC= ，125=5 5 AB 5MN NC ∴sin∠BCA= ，BC 5NC ∴MN= ，又 CO=6， 5BN NC CO ∴点 P 运动时间 t= ==≥+6， FM BN  MN  6 FN  MN  6 115当 F、N、M 三点共线时，t 最小， ∵AC=10，BC= ，5 5 AC 2 5F M ∴sin∠ABC= ，BC 5BF ∴=，FM 4 5 ∴点 P 运动时间 t 的最小值为 ，4 5+6 由直线 BC 的表达式 y=2x+6 得点 D 坐标为（﹣3，0）， 22∵FD= ，(11 3)  4  4 5 ∴点 D 与点 重合，则点 N（即 ）为直线 FD 与直线 AC 的交点， NM3y  x  6 由点 A（﹣8，0）和 C（0，6）得直线 AC 的表达式为 由点 F（﹣11，4）和 D（﹣3，0）得直线 FD 的表达式为 ，4132y  x  ，23x  6 y  x  6 4联立方程组 ，解得： ，3y  2132y  x  23∴此时 N 坐标为（﹣6， ）， 2【点睛】 本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解函数解析式、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、锐 角的三角函数、垂线段最短、轴对称性质、解二元二次方程组、解一元一次方程组、全等三角形的判定与 性质等知识，综合性强，难度较难，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法 和数形结合思想进行探究、推理和计算．