湖南省湘西州2021年中考数学真题（解析版）

2021 年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. A. 2021的相反数是（）11B. C. D. 2021 2021 2021 2021 B【答案】【解析】【分析】根据相反数的定义可直接进行排除选项．【详解】解： 2021的相反数是故选 B．；2021 【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键． 2. 计算 -1+3 的结果是（）A. 2B. C. 4D. -2 -4 A【答案】【解析】【分析】根据有理数的加法法则可直接进行求解．【详解】解：；1 3  31 2 故选 A．【点睛】本题主要考查有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 3. 在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中，11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前 5 名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这 11 名同学成绩的( A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 )B【答案】【解析】【分析】由于比赛取前 5 名参加决赛，共有 11 名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【详解】11 个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有 5 个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选 B．【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数． 4. 下列计算结果正确的是（）212A. a3  a5 B. (bc)4 (bc)2  b2c2 C. D. 1 aa1ab2 a  b  bD【答案】【解析】【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可． 2【详解】解：A. a3  a6 ，故 A 选项错误； (bc)4 (bc)2  b4c4 b2c2  b2c2 ，故 B 选项错误； B. C. D. 1aa11a 1 aa1 ，故 C 选项错误； aaa 1 b bb2 a b    ，故 D 选项正确． b故答案为 D．【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 5. 工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（）A. C. B. D. B【答案】【解析】【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得该几何体的俯视图为故选 B．；【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 6. 如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果EF  5.5，那么菱形 ABCD AC EF//CD ABCD EAD F的周长是（） A. 11 B. C. 33 D. 44 22 D【答案】【解析】 1EF  CD 【分析】由题意易得解．，则有，然后可得，进而根据菱形的性质可求 △AEF ∽△ACD CD  11 2【详解】解：∵ ∴，EF//CD ，△AEF ∽△ACD AE EF ∴∵∴，AC CD 是的中点， AC EAE EF 121EF  CD ，即，2AC CD ∵∴EF  5.5 ，，CD  11 ∵四边形是菱形， ABCD C 4CD  44 ；∴菱形ABCD 故选 D．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键． C  90 7. 如图，在 ECD 中，，于点 B，，AB 1.2 EB 1.6 ，BC 12.4 ，则 CD 的长 AB  EC 是（）A. B. 12.4 C. D. 10.5 9.3 14 C【答案】【解析】【分析】由题意易得 ABE  C  90 ，EC 14 ，则有，然后可得，然后根 AB//CD ABE∽DCE 据相似三角形的性质可求解． C  90 【详解】解：∵ ，，AB  EC ∴∴∴ABE  C  90 ，，AB//CD ，ABE∽DCE AB EB ∴，CD EC ∵∴，AB 1.2 EB 1.6 ，BC 12.4 ，EC 14 ，1.2 1.6 ∴∴，CD 14 CD 10.5 ；故选 C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 8. 如图，面积为的正方形 18 内接于⊙O，则的长度为（）ABCD AB 923 2949 A. B. C. D. C【答案】【解析】 OB  3,AOB  90 【分析】连接 BD、AC，由题意易得【详解】解：连接 BD、AC，，然后根据弧长计算公式可求解． ∵四边形是正方形，且面积为 18， ABCD ∴∴∴AOB  90, BD2  36 ，BD  6 ，1OB  BD  3 ，2nr 903 3 ∴的长度为 AB ；180 180 2故选 C．【点睛】本题主要考查弧长计算及正多边形与圆，熟练掌握弧长计算及正多边形与圆是解题的关键． 29. y = 如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为 x – 1 的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）xA. 图象与轴没有交点 y  0 B. 当时x  0 1(0, ) 2yC. 图象与轴的交点是 yx随的增大而减小 D. A【答案】【解析】【分析】根据函数图象可直接进行排除选项．【详解】解：由图象可得：，即，x 1 0 x 1 A、图象与 x 轴没有交点，正确，故符合题意； y  0 B、当 0  x 1时， C、图象与 y 轴的交点是 D、当，错误，故不符合题意； 0,2 ，错误，故不符合题意； x 1 时，y 随 x 的增大而减小，且 y 的值永远小于 0，当 x 1 时，y 随 x 的增大而减小，且 y 的值永远大于 0，错误，故不符合题意；故选 A．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． M (x, y) x轴上，当 OMA 为直角三角形时，点 x  y 12 A(10,0) 在10. 已知点在第一象限，且，点 M的坐标为（）(10,2) (8,4) (6,6) (8,4) (9,3) (5,7) ，或 A. C. ，或B. D. (8,4) (9,3) (10,2) (10,2) (9,3) (7,5) ，或，或C【答案】【解析】【分析】由题意可分当时和当时，然后根据题意进行分类求解即可． OAM  90 OMA  90 【详解】解：由题意得：当时，如图所示： OAM  90 A 10,0 M x, y ，∵，∴∵∴∴当，x 10 x  y 12 ，y  2 ，M 10,2 ；时，过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B，如图所示： OMA  90 ∴∴MBO  MBA  OMA  90 ，，MBO∽ABM ，BM OB 2∴∵∴∵∴∴，即 BM  OB AB AB BM A 10,0 M x, y ，，OB  x, BM  y,OA 10 ，x  y 12 ，OB  x, BM 12  x, AB 10  x ，2x  8, x  9 ，解得：，12  x  x 10  x 12y  3 ，y  4 ∴当时，则；当时，则 x  8 x  9 M 8,4 M 9,3 ；∴或故选 C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上） 21211. 计算： ______． 1【答案】【解析】 4【分析】根据乘方运算的符号规律，即可得到结果． 21214【详解】解：，1故答案为： 4．【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟记乘方运算的符号规律． 12. 分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，北京时间 2021 年月日19 时10 52 2顺利进入近火点，高度约 400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，用科学记数法可以表 400000 示为____． 5【答案】 410 【解析】【分析】根据科学记数法可直接进行求解． 5【详解】解：把用科学记数法可以表示为；400000 410 5故答案为．410 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 213. 因式分解： _____． a  2a  a a 2 【答案】 【解析】 a a 2 =【详解】原式 x在实数范围内有意义，则的取值范围是 14. ____ ．若二次根式 2x 1 1x  【答案】【解析】 2【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得： 2x 1 12x 1 0 x  ，解得：；21x  故答案为．2【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2mnmn  m  n 的两个根，则多项式的值为____． 15. 实数，是一元二次方程 x 3x  2  0 【答案】【解析】 1 m  n  3,mn  2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后代入求解即可． 2mn是一元二次方程【详解】解：∵ ，的两个根， x 3x  2  0 m  n  3,mn  2 ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得，mn  m  n  mn  m  n  2 3  1 ∴；故答案为．1 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2y的值为零，则＝___． 1 16. 若式子 y  2 【答案】0 【解析】【分析】根据分式的值为零的条件可直接进行求解． 21 【详解】解：由式子的值为零可得： y  2 2y1  0 ，y  2 y  2 y  0 y  2  0 且， ∴∴y  0 ；故答案为 0．【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 17. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，1=20，则 CD CD//BE AB 的度数是____． 2 【答案】40° 【解析】【分析】如图，由折叠的性质可得 BAF  1=20，进而可得 CHB  HAB  HBA  40，然后易得四边形CHBD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解．【详解】解：如图所示： ∵1=20 ，由折叠的性质可得 BAF  1=20 ，∵∴∴∵，CD//BE HBA  BAF  20 CHB  HAB  HBA  40 CH //BD ，，，∴四边形CHBD 是平行四边形， ∴CHB  2  40 ；故答案为 40°．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键． 18. 15 ，古希腊数学家把，， 36，，，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表 10 121 a 1 a  3 示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为，第二个图形表示的三角形数记为，…， 12nn则第个图形表示的三角形数n ＝___．（用含的式子表达） a1 n n 【答案】【解析】 2a 1 a 1 2  3 a 1 2  3  6 a 1 2  3 4 10 ；…..；然后由此规【分析】由题意易得，，，1234n律可得第个图形表示的三角形数．【详解】解：由图及题意可得： a 1 a 1 2  3 a 1 2  3  6 a 1 2  3 4 10 ，，，；….. 12341 n n n∴第个图形表示的三角形数；an 1 2  3 4 n  21 n n 故答案为．2【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可．三、解答题（本大题共 8 小题，共 78 分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 019. 计算：．2  8  5  4sin 45 【答案】 4 【解析】【分析】根据零次幂、特殊三角函数值及算术平方根可直接进行求解． 2【详解】解：原式= ．1 2 25 4  4 2【点睛】本题主要考查零次幂、特殊三角函数值及算术平方根，熟练掌握零次幂、特殊三角函数值及算术平方根是解题的关键． 3(x 1)  x x 3 20. 解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 1 2x  2【答案】无解，数轴见详解【解析】【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解，然后再数轴上表示出解集即可． 3 x 1  x① 【详解】解： x 3 1 2x  ②232x  由①得：，由②得： x 1 ，∴原方程无解，在数轴上的表示如图所示：【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 21. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到 C的位置，使得 ABC CB  CD CA CE DAB ECA  DCB ，连接与AC 交于点，且B  70 ，A  10 ．DE F（1）求证：；AB  ED （2）求的度数． AFE 【答案】（1）见详解；（2） AFE  50 【解析】【分析】（1）由题意易得 ECD  ACB ，，则有△ACB≌△ECD ，然后问题可求证； AC  EC （2）由（1）可得 E  A 10，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行 ECA  DCB  40 求解．【详解】（1）证明：∵ ECA  DCB ，∴∵ECA ACD  DCB  ACD ，即 ECD  ACB ，，AC  EC CB  CD ，ACB≌ECD SAS ∴∴，；AB  ED （2）解：∵ ，，B  70 ，CB  CD CDB  B  70 ∴∴根据三角形内角和可得，BCD 180 2B  40 ∴，ECA  DCB  40 由（1）可得△ACB≌△ECD ，∵∴∴，A  10 E  A 10 AFE  E  ACE  50 ，．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22. 为庆祝中国共产党成立周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号 100 如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行的问卷调查．根据统计数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．（1）该校此次调查共抽取了名学生；（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；（3）若该校共有名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动． 2000 活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文活动代号 CABDE【答案】（1）50；（2）图见详解；（3）该校有 240 名学生参加舞蹈活动．【解析】【分析】（1）由统计图及题意可直接进行求解；（2）由（1）可得参加舞蹈活动的学生人数为 50-8-10-12-14=6 名，然后补全条形统计图即可；（3）由（2）及题意可直接进行求解．【详解】解：（1）由题意得：该校此次调查共抽取的学生人数为10  20％ 50 （名）；故答案为 50；（2）由（1）及题意可得：参加舞蹈活动的学生人数为 50-8-10-12-14=6（名）；补全条形统计图如图所示：（3）由题意得： 62000 240 （名）； 50 答：该校有 240 名学生参加舞蹈活动．【点睛】本题主要考查条形统计图及扇形统计图，解题的关键是根据统计图得到基本信息，然后求解即可． 23. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987 年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉 CH 学校数学实践活动小组为测量“一心阁” 的高度，在楼前的平地上 A 处，观测到楼顶处的仰角为 CCH 的高 30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为 BC45 B20m ，并测得 A、两处相距，求“一心阁” 度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）3 1.73 2 1.41 【答案】CH  27.5 m【解析】 AH  20  x m，进而根据三角函数可进行求解．【分析】由题意易得 CH=BH，设 CH=BH=xm，则有 CHA  90,CBH  45,A  30, AB  20m 【详解】解：由题意得：，∴CH=BH， AH  20  x 设 CH=BH=xm，则有 m， 3∴CH  AH tan30，即，x  20  x 3解得： x  27.5 ，∴CH  27.5 m．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 24. 如图，为⊙ 的直径，为⊙O 上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为 C．DOCAB AD （1）求证：平分；AC DBA 34tan CAB  （2）若，，求：边及的长． AD  8 AC AB 25 2AB  【答案】（1）见详解；（2） AC 10 ，【解析】【分析】（ 1 ）连接OC ，由题意易得 ACO  OAC  DAC ，然后问题可求证；，则有，进而可得 ADC  OCD  90 AD//OC 3tan CAD  tan CAB  （2）连接 BC，由题意及（1）易得，则有 DC=6，然后可得 44cosCAB  cosCAD  ，然后问题可求解． 5【详解】（1）证明：连接 OC，如图所示： ∵CD 是⊙O 的切线， OCD  90 ∴，∵AD⊥CD， ∴，ADC  OCD  90 ∴∴∵∴∴，AD//OC DAC  ACO ，，OA  OC ACO  OAC  DAC ，平分；AC DBA （2）解：连接 BC，如图所示：由（1）可得： BAC  DAC ，3tan CAB  ∵∴，434tan CAD  tan CAB  ，∵∴，AD  8 CD  ADtan DAC  6 ，22∴∴，AC  AD  CD 10 AD AC 45cosCAB  cosCAD  ，∵∴为⊙ 的直径， OAB ，ACB  90 AC 25 2AB  ∴．cosCAB 【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键． 25. 2020 年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向 A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作个 3A类微课和个 5B类微课需要 4600 元成本，制作个 A类微课和 B个类微课需要元成本．李老师又把做好的微课出售给某 510 8500 1500 视频播放网站，每个 A类微课售价元，每个 BA类微课售价1000元．该团队每天可以制作个类微课 1或者1.5 个B类微课，且团队每月制作的 BA A B类微课数不少于类微课数的倍（注：每月制作的、两 2aA A B类微课天，制作、两类微课类微课的个数均为整数）．假设团队每月有天制作微课，其中制作 22 w的月利润为元．（1）求团队制作一个 AB类微课和一个类微课的成本分别是多少元？ wa a 与之间的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求（3）每月制作【答案】（ 1 ）团队制作一个 wA类微课多少个时，该团队月利润最大，最大利润是多少元？类微课和一个类微课的成本分别是700 元、 500 元；（ 2 ） AB66 7w0  a  16900 w  50a 16500 ，；（ 3）每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是 A8元．【解析】 y类微课的成本为元，由题意得 x的类微课成本为元，制作一个【分析】（1）设团队制作一个 AB3x  5y  4600 5x 10y  8500 ，然后求解即可；（2）由（1）及题意可直接进行求解；（3）由（2）及结合一次函数的性质可直接进行求解． y类微课的成本为元，由题意得： x类微课的成本为元，制作一个【详解】解：（1）设团队制作一个 AB3x  5y  4600 5x 10y  8500 ，x  700 y  500 解得：；答：团队制作一个 A类微课和一个 B类微课的成本分别是 700 元、500 元． 22  a （2）由题意得制作 B类微课 天，则有： w  1500  700 a 1.5 1000 500 22 a  50a 16500  ，∵团队每月制作的 B类微课数不少于 A类微课数的倍， 266 1.5 22 a  2a 0  a  ∴，且，解得：，a  0 766 0  a  （3）由（2）可得： w  50a 16500 ，，7wa∴随的增大而增大， ∵每月制作的两类微课的个数均为整数， 22  a A、B∴为偶数，时，w 取最大，最大值为 w  508 16500 16900 ∴当；a  8 w类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是 16900 元．答：每月制作 A8【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用是解题的关键． 2y两点，交轴于点 A(1,0) B(4,0) ，26. 如图，已知抛物线 y  ax  bx  4 经过．C（1）求抛物线的解析式；（2）连接 BC ，求直线 BC 的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点 P，使 AP  PC 的值最小，求点 P的坐标，并求出此时 AP  PC 的最小值； x（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以 NA、、、四点为顶点的四边形 CNMM是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． N3 5 ,【答案】（1） y  x2  3x  4 ；（2）直线 BC 的解析式为 y  x  4 ；（3），此时 AP  PC 的P2 2 3 41 N 3,4 ,4 最小值为【解析】；（4）存在， 或．4 2 2【分析】（1）把点 A、B 的坐标代入求解即可； y  kx  b （2）设直线 BC 的解析式为（3）由题意易得点 A、B 关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得 AP  PC  BP  PC ，要使 B、P、C 三点共线时，即为 BC 的长，然后问题可求解；，然后把点 B、C 的坐标代入求解即可； AP  PC 的值为最小，则需满足点 M m,0 ,N n,n2  3n  4 ，然后可分①当 AC 为对角线时，②当 AM 为对角线时，（4）由题意可设点 ③当 AN 为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解． 2A 1,0 B 4,0 两点，【详解】解：（1）∵抛物线 y  ax  bx  4 经过 ，a b  4  0 a  1 b  3 ∴，解得：，16a  4b  4  0 ∴抛物线的解析式为 y  x2  3x  4 ；（2）由（1）可得抛物线的解析式为 y  x2  3x  4 ， ∵抛物线与 y 轴的交点为 C， ∴C 0,4 ，y  kx  b 设直线 BC 的解析式为，把点 B、C 的坐标代入得： 4k  b  0 b  4 k  1 ，b  4 ，解得： y  x  4 ∴直线 BC 的解析式为；b322x   （3）由抛物线 y  x  3x  4 可得对称轴为直线，由题意可得如图所示： 2a 连接 BP、BC， ∵点 A、B 关于抛物线的对称轴对称， ∴∴，AP  BP AP  PC  BP  PC ，要使 AP  PC 的值为最小，则需满足点 B、P、C 三点共线时，即为 BC 的长，此时 BC 与对称轴的交点即为所求的 P 点， ∵∴，OC  OB  4 ，BC  4 2 ∴AP  PC 的最小值为，4 2 3∵点 P 在直线 BC 上， 352x  y   4  ∴把代入得：，223 5 ,P∴；2 2 （4）存在，理由如下： M m,0 ,N n,n2  3n  4 A 1,0 ,C 0,4 由题意可设点 ，，当以 A、、、四点为顶点的四 CN边形是平行四边形，则可分： M①当 AC 为对角线时，如图所示：连接 MN，交 AC 于点 D， ∵四边形 ANCM 是平行四边形， ∴点 D 为 AC、MN 的中点， x  x  x  x 1 0  m  n 0  4  0  n2  3n  4 ACMN∴根据中点坐标公式可得：，即，yA  yC  yM  yN m  4 n  3 解得：，N 3,4 ；∴②当 AM 为对角线时，同理可得： x  x  x  x 1 m  0  n 0  0  4  n2  3n  4 AMCN，即，yA  yM  yC  yN 3 41 解得：，n  23 41 N∴,4 ；2③当 AN 为对角线时，同理可得： x  x  x  x 1 n  m  0 0  n2  3n  4  4  0 ANMC，即，yA  yN  yM  yC 解得：，n  3 N 3,4 ；∴3,4 或∴综上所述：当以 A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为 NCNM3 41 ,4 ．2【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．