湖北省黄石市2021年中考数学真题试卷（解析版）下载

2021 年湖北省黄石市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 11. A. 的倒数是（ ）2121212B. C. D. ﹣2 A【答案】 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义得出答案． 1【详解】解： 的倒数是：-2． 2故选：A． 【点睛】本题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键． 2. 下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. 梯形 【答案】 【解析】 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 矩形 B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可． 【详解】A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误； B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误； D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质 是解题的关键． 3. 如图是由 6 个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（ ）A. C. B. D. D【答案】 【解析】 【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可． 【详解】解：左视图有 2 列，每列小正方形数目分别为 2，1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置． 计算 (5×3 y)2 的结果是（　　） 4. A. 25x5y2 B. 25x6y2 C. －5x3y2 D. -10x6y2 B【答案】 【解析】 5×3 y 【详解】解： 2 = 25×6 y2 ．故选 B． 10 的 自变量 的取值范围是（ y   x  2 x5. 函数 ）x 1 x  1 A. B. C. 且D. 且x  1 x  2 x  1 x  2 x  2 C【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不为 0 以及零次幂的底数不为 0，列式计算即可得解． 10y   x  2 x的自变量 的取值范围是： 【详解】解：函数 x 1 且x  2  0 ，x 1 0 x  1 解得： 且，x  2 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 6. 为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展主题为《党在我心中》的绘画、书法、摄影等艺术作品征集 活动，从八年级 5 个班收集到的作品数量（单位：件）分别为 50、45、42、46、50，则这组数据的众数是 （）A. 46 B. 45 C. 50 D. 42 C【答案】 【解析】 【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的是 50， 所以众数为 50， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了众数，解题的关键是掌握众数的定义． 1,0 7. 如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中 A点的坐标是 ，现将ABC A绕 点按逆 时针方向旋转 ，则旋转后点 的坐标是（ C）90 2,3 2,3 2,2 3,2 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】在网格中绘制出 CA 旋转后的图形，得到点 C 旋转后对应点． 的【详解】如图，绘制出 CA 绕点 A 逆时针旋转 90° 图形， C的坐标为(-2，3) ． 由图可得：点 C 对应点 故选 B． 【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转． 8. O O 如图， A、B是上的两点， ，AOB  60 OF  AB 交于点 ，则 F等于（ ）BAF A. 20 B. C. 15 D. 12.5 22.5 C【答案】 【解析】 AOB 【分析】由题意得 是等边三角形，结合 可得 ，再根据“同弧所对的圆周角等 OF  AB BAF  30 于它所对圆心角的一半”即可得出 ．BAF 【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=60° ∴△AOB 是等边三角形， ∵OF  AB 1BOF  AOB  30 ∴211BAF  BOF  30 15 ∴22故选：C 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系，掌握“同 弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”是解题的关键． 9. 如图，在 中， B，按以下步骤作图：①以 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 RtABC ACB  90 1MN CD 、BC 于、两点；②分别以 M、为圆心，以大于 P的长为半径作弧，两弧相交于点 ； NNBA M2③作射线 ，交边 于点．若 ，AB 10 BC  6 ，则线段 的长为（ ）AC DBP 10 38316 5A. 3 B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】由尺规作图痕迹可知，BD 是∠ABC 的角平分线，过 D 点作 DH⊥AB 于 H 点，设 DC=DH=x 则 (8 x)2  x2  42 ，由此即 AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在 Rt△ADH 中，由勾股定理得到 可求出 x 的值． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD 是∠ABC 的角平分线， 过 D 点作 DH⊥AB 于 H 点， ∵∠C=∠DHB=90°， ∴DC=DH， 2222，AC  AB  BC  10 6  8 设 DC=DH=x，则 AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4， 222在 Rt△ADH 中，由勾股定理： ，AD  AH  DH 代入数据： (8 x)2  x2  42 ，解得 x  3，故CD  3 故选：A． ，【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等 相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键． 二次函数 y  ax2  bx  c （、y）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表： ac、 是常数，且 x10. xba  0 …02122 … 1 ymn……3220 x；③关于 的方程 y  0 x  m  n   且当 时，对应的函数值 的负实数根在 ．有以下结论：① ；② abc  0 312P t1, y P t1, y 和 0 之间；④ 1  1  和2  2  在该二次函数的图象上，则当 ax  bx  c  0 21y  y t  实数 时， 2 ．其中正确的结论是（ ）13A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ B【答案】 【解析】 【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到 a、b 互为相反数，c=2，即可判断； 3y  0 x  ②将 x=-1 与 x=2 代入解析式得到 m 和 n 的表达式，再结合当 时，对应的函数值 ，即可表示出 2m+n 的取值范围； 32y  0 x  ③根据点（1，2）与当 时，对应的函数值 可知方程 的正实数根在 1 和 2 之间， ax  bx  c  0 22结合抛物线的对称性即可求出方程 的负实数根的取值范围； ax  bx  c  0 y  y ④分类讨论，当 P P1 在抛物线的右侧时， 1 的横坐标恒大于等于对称轴对应的 x 的值时必有 2 ，求出 1对应的 t 即可；当 P PPP1 与 2 在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当 1 的横坐标到对称轴的距离小于 2 到 y  y 对称轴的距离时满足 2 ，求出对应的 t 即可. 1c  2 【详解】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得： ，则 a、b 互为相反数，∴ ，abc＜0 a  b  c  2 故①错误； ②∵a、b 互为相反数， ∴将 x=-1 与 x=2 代入解析式得： ，m  n  2a  2 则： ∵当 ，m  n  4a  4 3y  0 x  时，对应的函数值 ，283a＜- ∴得： ，即： ，3a 8＜0 20 m  n  4a  4＜- ∴.3故②正确； 32y  0 x  ③∵函数过点（1，2）且当 时，对应的函数值 ，32∴方程 的正实数根在 1 和 之间， ax  bx  c  0 2∵抛物线过点（0，2）与点（1，2）， 1x  ∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线 ，2122x∴结合抛物线的对称性可得关于 的方程 的负实数根在 和 0 之间. ax  bx  c  0 故③正确； 32y  0 x  ④∵函数过点（1，2）且当 时，对应的函数值 ，∴可以判断抛物线开口向下， y  y ∵ P P1 在抛物线的右侧时， 2 恒在抛物线的右侧，此时 2 恒成立， 113y  y t -1 t  ∴ P x1 的横坐标大于等于对称轴对应的 ，即 ，解得 时；2122∵当 P PPP1 与 2 在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当 1 的横坐标到对称轴的距离小于 2 到对称轴的距离 1212t 1＜ 1212y  y y  y – t -1 ＜t 1- 时满足 ，即当 时， 满足 ，2121t 1＞ 1211232y  y – ＜t＜ t＞ ＜t＜ ，即 P P∴当 时，解得 1 与 2 在抛物线的异侧时满足 ，2，12321y  y t＞ ∴综上当 时， .212故④错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛 物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题. 二、填空题（11－14 小题，每小题 3 分，15－18 小题，每小题 3 分，共 28 分） 1 1  11. 计算： ______．  3  2    2  【答案】 【解析】 3【分析】先分别化简负整数指数幂和绝对值，然后再计算． 1 1  【详解】 ， 3  2  2  ( 3 2)  2  3  2  3   2  故填： ．3【点睛】本题考查负整数指数幂及实数的混合运算，掌握运算法则准确计算是解题关键． 3212. 分解因式： ______． a  2a  a  2【答案】 a a1 ．【解析】 【分析】观察所给多项式有公因式 a，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解．  a a2  2a 1 【详解】解：原式 ，2 a a1 ，2故答案为： a a1 ．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一 般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止． 13. 2021 年 5 月 21 日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全国人口总数约为 14.12 亿人用科学记数法表示 14.12 亿人，可以表示为______人． 【答案】1.412×109 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：14.12 亿人=1412000000 人．用科学记数法表示，可以表示成为 1.412×109， 故答案为：1.412×109． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 11 x  3 的解是______． 14. 分式方程 x  2 2 x 【答案】 x  3 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解． 11 x  3 【详解】解： x  2 2 x 1 1 x  3 x  2 去分母得： ，去括号化简得： ，2x  6 解得： x  3 经检验 x  3是分式方程 根， 故填： x  3 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． ，的．15. 如图，直立于地面上的电线杆 ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 BC 、，测得 CD AB AB BC  5 米，CD  4米， ，在 处测得电线杆顶端 DA的仰角为 ，则电线杆 的高度约 BCD 150 45 为______米．（参考数据： ，，结果按四舍五入保留一位小数） 2  1.414 3 1.732 【答案】10.5 【解析】 【分析】延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DF⊥BE 于 F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出 DF、CF 的长，根据正切的定义求出 EF，得到 BE 的长，根据正切的定义解答即可． 【详解】解：延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DF⊥BE 于 F， ∵∠BCD=150°， ∴∠DCF=30°，又 CD=4， CD2  DF2 ∴DF=2，CF= ＝2 ，3由题意得∠E=45°， ∴EF=DF=2， ∴BE=BC+CF+EF=5+2+2 =7+2 ，33∴AB=BE×tanE=（7+2 故答案为：10.5． ）×1≈10.5 米， 3【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定 义是解题的关键． mmy  x 1 16. 将直线 向左平移 （m  0）个单位后，经过点(1，−3)，则 的值为______． 【答案】3 【解析】 y  x  m 1 【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为 可． ，然后把点(1，−3)的坐标代入求值即 y  x  m 1 【详解】解：将一次函数 y=-x+1 的图象沿 x 轴向左平移 m（m≥0）个单位后得到 ，3  1 m 1 把(1，−3)代入，得到： ，解得 m=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解 析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 3x的延长线交 轴于点，且 17. y   如图， A、B两点在反比例函数 （）的图象上， x  0 CAB xAB  2BC ，则 的面积是______． △AOC 【答案】 【解析】 6【 分 析 】 过A 、 B 两 点 作x 轴 的 垂 线 ， 交x 轴 分 别 于E 、 F 两 点 ， 得 到 △CBF∽△CAE ， 设 311A(a,- ),其中(a <0) BF= AE = – ，进而得到 ，即可求出△AOC 的面积． OC  4a a3a【详解】解：过 A、B 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴分别于 E、F 两点，如下图所示： ∵∴AB  2BC ，CB CA 13，∵EF∥BF， ∴△CBF∽△CAE， CB CF BF 13===∴设，CA CEAE 33A a, ,其中(a  0) AE = – ，则 ，aa11BF= AE = – ∴∴∴∴，31aB(3a,- ) ，a1OF = – 3a，OE = – a，EF = – 2a，CF = EF = – a，OC = – 4a ，2113S= OC´ AE= ´ (- 4a)´ (- ) =6 ，DACO 22a6故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图形及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各图形的性质及判定 方法是解决本题的关键． EAF  45 18. 如图，在正方形 中，点 、分别在边 BC 、上，且 ，交于点， ABCD CD EFAE BD M交于点． NAF BD △CEF （1）若正方形的边长为 2，则 的周长是______． 2 ；②若 22（2）下列结论：① 是的中点，则 ；③连接 ，则 CD tan AEF  2 FMF BM  DN  MN 为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）． AMF ①. ②. ①③ 【答案】 【解析】 4DEAF≌DEAG(SAS) 【 分 析 】 (1) 将 AF 绕 点A 顺 时 针 旋 转90°， F 点 落 在G 点 处 ， 证 明 ，DFAD≌DGAB(SAS) △CEF 的周长； ，进而得到 ，即可求出 EF  DF  BE DBAM≌DDAH(SAS) (2)对于①：将 AM 绕点 A 逆时针旋转 90°，M 点落在 H 点处，证明 ，DMAN≌DHAN(SAS) 即可判断； 对于②：设正方形边长为 2，BE=x，则 EF=x+1，CE=2-x，在 Rt△EFC 中使用勾股定理求出 x，在利用 ∠AEF=∠AEB 即可求解； 对于③：证明 A、M、F、D 四点共圆，得到∠AFM=∠ADM=45°进而求解． 【详解】解：(1)将 AF 绕点 A 顺时针旋转 90°，F 点落在 G 点处，如下图所示： EAF  45 ∵∴，且 ÐFAG =90 ，EAG  45 AF  AG EAF  EAG=45 AE=AE 在和EAG 中： ，EAF DEAF≌DEAG(SAS) ∴∴，EF =GE ，又∠1+∠2=45°，∠3+∠2=45°， ∴∠1=∠3， ∵ABCD 为正方形， ∴AD=AB， AD  AB 1 3 AF=AG 在FAD 和GAB 中： ，DFAD≌DGAB(SAS) ∴∴∴，ÐABG =ÐADF=90 ，ÐABG+ÐABE=90 +90 =180 ∴∴G、B、三点共线， EEF =GE =GB +BE = DF +BE ，C= EF +EC +CF =(DF +BE) +EC +CF =(DF +CF) +(BE +EC) =CD +BC =4 ∴，DCEF 故答案为： ；4(2)对于①：将 AM 绕点 A 逆时针旋转 90°，M 点落在 H 点处，如下图所示： ∵∠1+∠2=45°，∠1+∠4=∠EAH-∠EAF=45°， ∴∠2=∠4， BA  DA 2  4 AM  AH 在和BAM DAH 中： ,DBAM≌DDAH(SAS) ∴，∴，，BM  DH ÐADH =ÐABM =45 ，∴ÐNDH =ÐADH +ÐADN =45 +45 =90 22222RtDHND ∴在 中，由勾股定理得： ，NH = DH +DN = BM +DN AN  AN MAN  HAN  45 AM  AH MAN 在和DHAN 中： ,DMAN≌DHAN(SAS) ∴∴∴，，MN  NH 2222 ，故①正确； MN = NH = BM +DN 对于②：由(1)中可知：EF=BE+DF，设正方形边长为 2，当 F 为 CD 中点时， GB=DF=1，CF=1，设 BE=x，则 EF=x+1，CE=2-x， 222在 Rt△EFC 中，由勾股定理： ，EF  CF  CE 223x  BE  ∴∴(x +1)2 =12 +(2 – x)2 ，解得 ，即 ，3AB 3tanÐAEF = tanÐAEB = =2´ =3 ,故②错误； BE 2对于③：如下图所示： ∵∠EAF=∠BDC=45°， ∴A、M、F、D 四点共圆， ∴∠AFM=∠ADM=45°， ∴△AMF 为等腰直角三角形，故③正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的证明，四点共圆的判定方法等，属于综合 题，具有一定难度，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 62 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 1a2 1 a19. 1 先化简，再求值： ，其中 ．a = 3 – 1 a13【答案】 【解析】 ，a 1 3【分析】先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后因式分解，约分化简，代入求值，再将结果化为最 简二次根式即可． a1(a + 1)(a- 1) ( – )¸ 【详解】解：原式= aaaa- 1 a==ga(a + 1)(a- 1) 1，a 1 113将代入，原式 ．a = 3 – 1 33 11 3【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解，分式的通分，约分，二次根式的化简是解题的关 键． 20. 如图， 是ABC 的边 上一点， 的长． ，交于点， ．CF//AB AC DDF DE  EF AB E1（ ）求证： ≌；CFE ADE ，2（ ）若 ，求 AB  5 CF  4 BD 121【答案】（ ）证明见详解；（ ） ． 【解析】 【分析】（1）根据 证明即可； ASA BD = AB- AD = AB- CF 求解即可． 21（ ）根据（ ）可得 ，即由 ，根据 ADE  CFE AD  CF  AB / /FC 【详解】（1）证明： ，，ADE  F 在和中， CFE ADE ìÐADE = ÐF DE = EF ïïïïíïïï ÐAED = ÐCEF ïî\ DADE @DCFE ASA ()；（2）由（1）得 ADE  CFE  AD  CF BD = AB- AD = AB- CF = 5- 4 = 1 ∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． 22x已知关于 的一元二次方程 21. 有实数根． x  2mx  m  m  0 m（1）求 的取值范围； x2  x2 12 m，求 的值． xx2 ，且 （2）若该方程的两个实数根分别为 、112【答案】（1） m  0；（2） m  2 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即   0 求解即可； x2  x2 12 x  x x x 2 分别用含 m 的式子表示出来，然后根据完全平方公式将 1（2）由韦达定理把 2 和 变形 1122为，再代入计算即可解出答案． x  x  2x1x2 12 2  12 2m  4 m2  m  0 【详解】（1）由题意可得： 解得： m  0 即实数 m 的取值范围是 m  0 ．x  x 2  2x1x2 12 x2  x2 12 （2）由 可得： 2  121x x m2  m x  x  2m ∵∴；112222m  2 m2  m 12 解得： 或m  3 m  2 ∵∴即m  0 m  2 m的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当   0 时，方程有实数根；（2） 掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 22. 黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿 山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级 某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的 统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有______人，扇形统计图中 A 部分所对应的扇形圆心角是 ______； （2）补全条形统计图； （3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入 A、B 两个小组中，求 两位老师在同一个小组的概率． 1【答案】（1）50，108；（2）见解析；（3） ．2【解析】 【分析】（1）根据 B 的人数和所占的百分比可以求得本次活动的总人数，根据扇形统计图中 A 组所占的百 分比可以求得 A 部分的扇形的圆心角的度数； （2）根据（1）中的结果可以求得 C 的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据题意画树状图，求出所有等可能的结果，再用两位老师在同一个小组的结果数除以总的结果数即 可． 【详解】解：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20÷40%=50， 15 扇形统计图中，表示 A 部分的扇形的圆心角是：360°× =108°， 50 故答案为：50，108； （2）C 组人数为：50-15-20-5=10， 补全的条形统计图，如图所示； （3）根据题意画树状图如下： 共有 4 种等可能的结果，其中两位老师在同一个小组的结果有 2 种， 2412∴两人恰好选中同一个的概率为 ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式．用 到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几 何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚，问笼中各有几 只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题： （1）笼中鸡、兔各有多少只？ （2）若还是 94 只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少 30 只且不超过 40 只．鸡每只值 80 元，兔每只值 60 元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ 【答案】（1）鸡有 23 只，兔有 12 只；（2）这笼鸡兔最多值 3060 元，最少值 2060 元． 【解析】 【分析】（1）设笼中有 x 只鸡，y 只兔，根据上有 35 个头、下有 94 只脚，即可得出关于 x、y 的二元一次 方程组，解之即可得出结论； （2）设笼中有 m 只鸡，n 只兔，总价值为 w，根据“笼中鸡兔至少 30 只且不超过 40 只”列出不等式，再 根据“鸡每只值 80 元，兔每只值 60 元”得到一元一次函数，利用函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设笼中有 x 只鸡，y 只兔， x  y  35 根据题意得： ，2x  4y  94 x  23 y 12 解得： ．答：鸡有 23 只，兔有 12 只； （2）设笼中有 m 只鸡，n 只兔，总价值为 w 元， 根据题意得： ∵，即 ，，2m  4n  94 m  47  2n ，即 30  m  n  40 30  47  2n  n  40 解得： ，7  n 17 w  80m  60n  80 47 2n  60n ∴，整理得： ∵，w  100n  3760 ，100  0 wn的增大而减少， ∴随w时， 有最大值，最大值为3060， ∴当 n  7 w时， 有最小值，最小值为2060， 当n 17 答：这笼鸡兔最多值 3060 元，最少值 2060 元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，理清题中的数量关系并掌 握一次函数的性质是解题的关键． 24. O O O 如图， 、PB 是的切线， A、B是切点， 是的直径，连接 ，交 于点 ，交 DAC OP PA AB 于点 ．E（1）求证： BC//OP （2）若 恰好是 ；的中点，且四边形 的面积是 ，求阴影部分的面积； OD OAPB E16 3 1sin BAC  （3）若 ，且 ，求切线 的长． PA AD  2 3 316 3  4 3 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 6 2 【解析】 【分析】（1）证明∠POB=∠CBO，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； 3（2）证明△AOD 是等边三角形得∠AOD=60°，设 OA=R，求出 AE= ，AB= ，PO=2R，根据四边 3R R2S S扇形AOB  S AOB 求解即可； 形的面积是 求出 R，再利用 OAPB 16 3 阴影 13sin BAC  （3）利用 设出 BC=m，则 AC=3m，分别求出 ，DE=m，在 Rt△AED 中运用勾股 AE  2m 1sin BAC  定理列方程，求出 m 的值，再证明∠APO=∠BAC，利用 求出 PA 的长． 3O 【详解】解：（1）证明：∵ 是的切线 PA，PB ∴∴，即 OEB  90 PO  AB EOB  OBE  90 O ∵AC 是 的直径 ∴∠ABC=90° EBO  CBO  90 ∴EOB  CBO ∴BC / /OP （2）∵E 是 OD 的中点，且 AB⊥OD， ∴AO=AD， 又 AO=OD ∴△AOD 是等边三角形 ∴∠AOD=60° 的O O ∵PA 是 切线，OA 是 的半径， ∴∠OAP=90° ∴∠APO=30° ∴PO=2AO 在中，∠AOE=60° RtAOE ∴∠OAE=30° 设 OA=R，则 ROE  23∴AE  R2∴AB  2AE  3R, PO  2AO  2R ∵四边形 的面积是 ，OAPB 16 3 11AB·PO 16 3 ∴，即 3R2R 16 3 22解得， ∴（负值舍去） R=±4 AB  4 3,OE  2 ∵∴AOD  60 AOB 120 2120  4   116 ∴S阴影 =S扇形AOB  SAOB  4 32    4 3 360 23（3）∵ ABC  90 BC 13sin BAC  ∴AC 故设 BC=m，则 AC=3m， 3AO  m ∴2∵OE//BC 11OE  BC  m ∴2231DE  OD OE  m  m  m 2222在 Rt△AEO 中， 在 Rt△AED 中， AE  AO OE  2m 222AE  DE  AD 222∴∴∴( 2m)  m  (2 3) m  2 (负值舍去) AE  2 2 OAE  AOE  90,APO  AOE  90 ∵∴OAE  APO 1sin APO  sin BAC  3AE PA 13∴∴PA  3AE  6 2 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算、勾股定理以及解直角三角形等知识，灵活运 用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键． 抛物线 y  ax2  2bx  b （ ）与 ，为对称 Dy轴相交于点C 0,3 的，且抛物线 对称轴为x  3 25. a  0 x轴与 轴的交点． （1）求抛物线的解析式； xx（2）在 轴上方且平行于 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 、两点，若 是等腰直角三角 EFDEF 形，求 的面积； DEF P 3,t Q是对称轴上一定点， 是抛物线上的动点，求 PQ t的最小值（用含 的代数式表示）． （3）若 t  6 (t  6) 11 【答案】（1） y  x2  6x 3 ；（2）4；（3） PQ  6 t ( t  6) 223 4t 211 (t  )2【解析】 y轴相交于点C 0,3 【分析】（1）与 ，得到b  3 ，再根据抛物线对称轴，求得 a  1 ，代入即可． xx（2）在 轴上方且平行于 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 、两点，可知 、两点关于对称 EFEFE(m,n)(n  0) 轴对称， 是等腰直角三角形得到 FED  45，设 ，根据等腰直角三角形的性质求 DEF 得 E 点坐标，从而求得 的面积． DEF 222，根据距离公式求得 PQ  q  (2t 1)q  t  6 ，注意到 q的范围，利用二次函数 Q( p,q)(q  6) （3） t的性质，对 进行分类讨论，从而求得 PQ 的最小值． 【详解】解：（1）由抛物线 y  ax2  2bx  b （ 2b 2a ∴抛物线的方程为 y  x2  6x 3 ）与 得到b  3 y轴相交于点C 0,3 a  0  3 抛物线的对称轴为 x  3，即 ，解得 a  1 （2）过点 E 作 交 AB 于点 M，过点 F 作 FN  AB ，交 AB 于点 N，如下图： EM  AB ∵是等腰直角三角形 DEF ∴，FED  45 DE  DF EF∥x 又∵ ∴轴EDM  45 ∴∴为等腰直角三角形 EMD EM  DM E(m,n)(n  0) M (m,0) DM  3 m, EM  n ，设∴，则 n  3 m 2又∵ n  m  6m 3 2∴3 m  m  6m 3 m2  7m  6  0 m  6 n  2 解得 m  1 或DM  EM  2, MN  4 当m  1时， ，符合题意， 1S△DEF  MN  EM  4 2m  6 当时， ，不符合题意 n  3  0 综上所述： SDEF 4． 在抛物线上，则 q   p2  6p 3 QQ( p,q)(q  6) （3）设 ，PQ2  ( p 3)2  (q t)2  p2  6p  9  q2  2tq  t2 q   p2  6p 3代入上式，得 PQ2  q2  (2t 1)q  t2  6 将11 22t 1 22q  6 PQ t   6 当时， ，∴ 时， 最小，即 最小 PQ PQ2  36 12t  6  t2  6  t2 12t  36  (t  6)2 t  6 (t  6) PQ t  6  =11 6 t (  t  6) 211 2t 1 22t 1 22PQ 最小 t   6 q  当时， ，∴ 时， 最小，即 PQ 223 4t 23 4t 2PQ2  ，PQ  4t  6 (t  6) 11 PQ  6 t ( t  6) 综上所述 223 4t 11 2(t  )2【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等 知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键．