湖北省十堰市 2021 年数学中考试题 一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相 应的格子内． 11. A. 的相反数是（ ） 21212B. 2 C. D. 2 D【答案】 【解析】 1212112【详解】因为- 故选 D. +＝0，所以- 的相反数是 .2AB / /CD,1 55,2 32 2. 如图，直线 ，则 （）3 87 A. B. C. D. 90 23 67 A【答案】 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到 C 1 55 ，再利用三角形外角的性质即可求解． AB / /CD,1 55 【详解】解：∵ ，∴∴，C 1 55 ，3 2 C 87 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 3. 由 5 个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（ ）A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案． 【详解】解：该几何体从上向下看，其俯视图是 ，故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图． 4. 下列计算正确的是（ ） a3 a3 2a3 A. B. (2a)2 4a2 C. (a b)2 a2 b2 D. (a 2)(a 2) a2 2 B【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可． 33【详解】解：A． 6 ，该项计算错误； a a a 2B． C． D． 2 ，该项计算正确； (2a) 4a 22(a b) a 2ab b 2 ，该项计算错误； 2(a 2)(a 2) a 4 ，该项计算错误； 故选：B． 【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键． 5. 某校男子足球队的年龄分布如下表 年龄 人数 13 214 615 816 317 218 1则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）A. 8，15 B. 8，14 C. 15，14 D. 15，15 D【答案】 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数， 众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是 15 岁，共 8 人，所以众数是 15 岁； 22 名队员中，按照年龄从小到大排列，第 11 名队员与第 12 名队员的年龄都是 15 岁，所以，中位数是（15 ＋15）÷2＝15 岁． 故选：D． 【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数 可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据 有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据 中的数． 6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 400 台机器所需时间比原计划生产 450 台机器 所需时间少 1 天，设现在平均每天生产 x 台机器，则下列方程正确的是（ ）400 450 450 400 400 450 450 400 1 1 50 5 A. B. C. D. xx 50 x 50 xxx 1 x 1 xB【答案】 【解析】 【分析】设现在每天生产 x 台，则原来可生产（x−50）台．根据现在生产 400 台机器的时间与原计划生产 450 台机器的时间少 1 天，列出方程即可． 【详解】解：设现在每天生产 x 台，则原来可生产（x−50）台． 450 400 1 依题意得： ．x 50 x故选：B． 【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产 400 台机器的时间与原计划生产 450 台 机器的时间少 1 天”这一个条件，列出分式方程是解题关键． 30° 的7. 如图，小明利用一个锐角是 三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 BC 为15m ，为1.5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）AB 323215 3 m5 3 mA. B. C. D. 5 3m 15 3m D【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出 AD 的长，在 Rt△AED 中利用锐角三角函数的定义求出 ED 的长，由 CE＝CD＋DE 即可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∵BC＝15m，AB＝1.5m， ∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m， 在 Rt△AED 中， ∵∠EAD＝30°，AD＝15m， 3∴ED＝AD•tan30°＝15× ＝5 ，33325 3 m．∴CE＝CD＋DE＝ 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键， 属于基本知识的考查． 8. O,BAC 120, AB AC, BD O 是如图，ABC 内接于 的直径，若 AD 3 ，则 BC （ ） A. B. C. 3 D. 4 2 3 3 3 C【答案】 【解析】 1【分析】首先过点 O 作 OF⊥BC 于 F，由垂径定理可得 BF＝CF＝ BC，然后由∠BAC＝120°，AB＝ 2AC，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C 与∠BAC 的度数，由 BD 为⊙O 的直径，即可求 得∠BAD 与∠D 的度数，又由 AD＝3，即可求得 BD 的长，继而求得 BC 的长． 【详解】解：过点 O 作 OF⊥BC 于 F， 1∴BF＝CF＝ BC， 2∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°， ∵∠C 与∠D 是同弧所对的圆周角， ∴∠D＝∠C＝30°， ∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝60°， ∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°， ∵AD＝3， 3∴BD＝AD÷cos30°＝3÷ =2 ，321∴OB＝ BD＝ ，32323∴BF＝OB•cos30°＝ ×＝，32∴BC＝3． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函 数值等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助 线． 9. 将从 1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第 4 行第 3 列的数为 27，则位于第 32 行第 13 列的数是（ ）A. 2025 【答案】 【解析】 B. 2023 C. 2021 D. 2019 B【分析】根据数字的变化关系发现规律第 n 行，第 n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第 32 行，第 32 列的 数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加 2，到第 32 行，第 13 列的数据，即可． 【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第 n 行，第 n 列的数据为：2n(n-1)+1， ∴第 32 行，第 32 列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985， 根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加 2， ∴第 32 行，第 13 列的数据为：1985+2×(32-13)=2023， 故选：B． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问 题． kA(2,1) y x 0 AB y ，过 A 作 轴于点B，连 10. OA ，直线 如图，反比例函数 的图象经过点 x，交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，若点 B 关于直线 的对称点 恰好落在该反比例函数图像 CD OA CD B上，则 D 点纵坐标为（ ）52735 51 5 51 A. B. C. D. 44A【答案】 【解析】 2B a, 【分析】设点 B 关于直线 的对称点 ，易得 BB’//OA求出 a 的值，再根据勾股定理得到两点 CD a间的距离，即可求解． kxA(2,1) ，y x 0 的【详解】解：∵反比例函数 图象经过点 ∴，k 2 1y x，∴直线 OA 的解析式为 2∵，CD OA y 2x b ∴设直线 CD 的解析式为 D 0,b ，则，2B a, 设点 B 关于直线 的对称点 ，CD a222 b 1 a2 b 则①， a且即BB’//OA ，21 12，解得 ，a 5 1 aa5 51 代入①可得 ，b 4故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 2021 年 5 月 11 日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为 1412000000 人，把数字 1412000000 科学记数法表示为_________． 9【答案】 1.41210 【解析】 【分析】直接利用科学记数法表示数的方法即可求解． 9【详解】解：1412000000 用科学记数法表示为 ，1.41210 9故答案为： ．1.41210 【点睛】本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键． ，则 2×3 y 12×2 y2 18xy3 _________． xy 2, x 3y 3 12. 已知 【答案】36 【解析】 【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可． xy 2, x 3y 3 【详解】∵ ，2∴原式= 2xy x3y 2232 36 ，故答案是：36． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 13. 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为_______. 20 【答案】 【解析】 ．【详解】∵AB＝5，AD＝12， ∴根据矩形的性质和勾股定理，得 AC＝13. ∵BO 为 Rｔ△ABC 斜边上的中线 ∴BO＝6.5 ∵O 是 AC 的中点，M 是 AD 的中点， ∴OM 是△ACD 的中位线 ∴OM＝2.5 ∴四边形 ABOM 的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20 故答案为 20 22x x 1 3 ，则 x 的值为 14. 对于任意实数 a、b，定义一种运算： ，若 a b a b ab ________． 【答案】 或 2 1 【解析】 2【分析】根据新定义的运算得到 x x 1 x2 x 1 x x1 3，整理并求解一元二次方程即 可． 【详解】解：根据新定义内容可得： x x 1 x2 x 1 x x1 3， 22整理可得 ，x x 2 0 x 1 ， x 2， 解得 12故答案为： 或2． 1 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键． 15. 于点 E，以 C 为圆心、 BC AC 如图，在边长为 4 的正方形 中，以 为直径的半圆交对角线 ABCD AB 长为半径画弧交 于点 F，则图中阴影部分的面积是_________． AC 【答案】3 -6 【解析】 【分析】连接 BE，可得 是等腰直角三角形，弓形 BE 的面积= 2 ，再根据阴影部分的面积=弓形 △ABE BE 的面积+扇形 CBF 的面积- 【详解】连接 BE， 的面积，即可求解． BCE ∵在正方形 中，以 为直径的半圆交对角线 于点 E， AC ABCD AB ∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE， ∵∠CAB=45°， ∴是等腰直角三角形，即：AE=BE， △ABE 141 22 22 2 ∴弓形 BE 的面积= ，2∴阴影部分的面积=弓形 BE 的面积+扇形 CBF 的面积- 的面积 BCE 45 42 1 1 44 =3 -6． = 2 +-2 2 360 故答案是：3 -6． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是 解题的关键． ACB 90, AC 8, BC 6 16. 如图，在 中， ，点 P 是平面内一个动点，且 ，Q 为 BP RtABC AP 3 CQ 的中点，在 P 点运动过程中，设线段 的长度为 m，则 m 的取值范围是__________． 713 2【答案】 ≤m≤ 2【解析】 【分析】作 AB 的中点 M，连接 CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中 位线定理求得 QM 和 CM 的长，然后在△CQM 中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作 AB 的中点 M，连接 CM、QM． AP 3, P在以 A为圆心， 为半径的圆上运动， 32222在直角△ABC 中，AB＝ ，AC ＋BC 8 6 10 ∵M 是直角△ABC 斜边 AB 上的中点， 1∴CM＝ AB＝5． 2的∵Q 是 BP 中点，M 是 AB 的中点， 321∴MQ＝ AP＝ ．233713 2∴在△CMQ 中，5− ≤CQ≤ ＋5，即 ≤m≤ ．222713 2故答案是： ≤m≤ ．2【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半，作圆，作 AB 的中点 M，连接 CM、QM，构造三角形，是解题的关键． 三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分） 1 1 17. 计算： 2 cos45 3 ． 3 【答案】1 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解． 2【详解】解：原式 2 3 3 2．1 【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质是解题的关键． a 2 a 1 a 4 a18. 化简： ．a2 2a a2 4a 4 1【答案】 【解析】 (a 2)2 【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法运算，进行约分，即可求解． a 2 a 1 a【详解】解：原式= a(a 2) (a 2)2 a 4 a 2 a 2 a a1 a====a(a 2)2 a(a 2)2 a 4 a2 4 a2 a a(a 2)2 aa 4 a 4 aa(a 2)2 a 4 1(a 2)2 【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键． 19. 为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得 分划分为 A、B、C、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图． 等级 成绩（x） 人数 15 aABCD90 x 100 80 x 90 70 x 80 x 70 18 7根据图表信息，回答下列问题： a 的（1）表中 __________；扇形统计图中，C 等级所占 百分比是_________；D 等级对应的扇形圆心角为 ________度；若全校共有 1800 名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为 A 等级的学生共有_______ 人． （2）若 95 分以上的学生有 4 人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这 4 人中随机选出两人参加市 级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有 1 人被选中的概率 5【答案】（1）20,30%，42°，450 人；（2） 6【解析】 【分析】（1）先由 A 等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到 a 的值，再根据 C 和 D 占总 人数的比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为 A 等级的人数； （2）先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解． 90 15 60 人， 【详解】解：（1）总人数为 360 a 60 15 18 7 20 ∴，18 100% 30% C 等级所占的百分比 ，60 7360 42 D 等级对应的扇形圆心角 ，60 15 1800 450 若全校共有 1800 名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为 A 等级的学生共有 人； 60 （2）列表如下： 甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙 甲丙 乙丙 甲丁 乙丁 丙丁 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 共有 12种情况，其中甲、乙两人至少有 1 人被选中的有 10种， 10 12 56∴P(甲、乙两人至少有 1 人被选中) ．【点睛】本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键． 220. 已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． x 4x 2m 5 0 （1）求实数 m 的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数 m 的值． 1m 【答案】（1） ；（2）1 2【解析】 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得 x1x2 2m 5 0， 进行分类讨论即可求解． 1252x x 4 m ，得到 ，根据两个根和 m 都是整数， 122【详解】解：（1）∵一元二次方程 有两个不相等的实数根， x 4x 2m 5 0 ∴ 16 4 2m 5 0 ， 12m 解得 ；xx，2（2）设该方程的两个根为 、1∵该方程的两个根都是符号相同的整数， x x 4 ∴ x1x2 2m 5 0， ，121252 m ∴，∴m 的值为 1 或 2， x 1 x 3 、当当m 1时，方程两个根为 ；12xxm 2 时，方程两个根 1 与 2 不是整数； ∴m 的值为 1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键． 21. 如图，已知ABC 中，D 是 AC 的中点，过点 D 作 DE AC BC 于点 E，过点 A 作 AF / /BC 交 交 DE 于点 F，连接 、．CF AE （1）求证：四边形 AECF 是菱形； CF 2,FAC 30,B 45 （2）若 ，求 的长． AB 【答案】（1）证明见解析；（2） 6【解析】 △ADF≌△CDE 【分析】（1）通过证明 相垂直的平行四边形是菱形即可得证； AM BC 得到 ，即四边形 AECF 是平行四边形，再根据对角线互 AF CE （2）点 A 作 ，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：（1）∵ AF / /BC ，∴，FAD ECD ∵D 是 的中点， ，AC DE AC ∴∴∴，FDA EDC AD CD ，△ADF≌△CDE ，，AF CE ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∵，DE AC ∴平行四边形 AECF 是菱形； （2）∵AECF 是菱形， AF CF 2 ∴，∴，AD AF cos30 3 ∴，AC 2AD 2 3 AM BC 过点 A 作 ，∴∴，AM AC sin30 3 AM AB 6 ．sin 45 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、解直角三角形等内容，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. O O ．O 如图，已知 是的直径，C 为 上一点， 的角平分线交 于点 D，F 在直线 上， OCB AB AB 且，垂足为 E，连接 、DF BC AD BD O （1）求证： 是的切线； DF 1tan A O （2）若 ，的半径为 3，求 的长． EF 28EF 【答案】（1）证明见解析；（2） 5【解析】 【分析】（1）连接 OD，通过等边对等角和角平分线的定义得到 ，利用平行线的性质与判 ODC BCD 定即可得证； （2）通过证明 求出线段 DF 和 BF 的长度，再通过证明ODF∽BEF ，利用相似三角 △ADF∽△DBF 形的性质即可求解． 【详解】解：（1）连接 OD， ，OD OC ∵∴，，OCD ODC ∵CD 平分 ，OCB OCD BCD ODC BCD ∴∴∴，，，OD//BC ∵DF BC ∴∴OD DF O ，是的切线； DF ADO BDO 90 （2）∵ ，FDB BDO 90 ，∴∵∴∴，，，ADO FDB ADO OAD OAD FDB ，△ADF∽△DBF DB DF BF 12 tan A ∴，AD AF DF 1DF AF 2BF ∴即，21BF 6 2BF ，解得 ，，DF 4 BF 2 2∵OD DF ，，BE DF ∴，ODF∽BEF EF BF 28EF ∴，解得 ．DF OF 2 3 5【点睛】本题考查圆与相似综合，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． kg 23. 某商贸公司购进某种商品的成本为 20 元/ ，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天的销售单价 y 0.25x 30(1 x 20) 35(20 x 40) kg y （元/ ）与时间 x（天）之间的函数关系式为： 且 x 为整数，且日销量 m kg 与时间 x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间 x（天） 13610 … m kg 日销量 填空： 142 138 132 124 … （1）m 与 x 的函数关系为___________； （2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 1kg （3）在实际销售的前 20 天中，公司决定每销售 商品就捐赠 n 元利润（ ）给当地福利院，后发现： n 4 在前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 x 的增大而增大，求 n 的取值范围． m 2x 144 【答案】（1） ；（2）第 16 天销售利润最大，最大为 1568 元；（3） 0 n 2 【解析】 1,142 3,138 【分析】（1）设 ，将 ，代入，利用待定系数法即可求解； m kx b 1 x 20 （2）分别写出当 时与当 20 x 40 时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可 求解； 16 2n 20 （3）写出在前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴 ，求解即可． 1,142 3,138 代入可得： 【详解】解：（1）设 ，将 ，m kx b 142 k b k 2 ，解得 ，138 3k b b 144 m 2x 144 ∴；（2）当 时， 1 x 20 12W my 20m 2x 144 0.25x 30 20 x 16 1568 销售利润 ，2当x 16 时，销售利润最大为 1568 元； 20 x 40 时， 当W my 20m 30x 2160 销售利润 ，当x 21时，销售利润最大为 1530 元； 综上所述，第 16 天销售利润最大，最大为 1568 元； （3）在前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为： 1W ‘ my 20m nm 0.25x 10 n 2x 144 x2 16 2n x1440 144n ，2∵时， 1 x 20 W ‘ 随 x 的增大而增大， 16 2n 20 ∴对称轴 ，解得 ．0 n 2 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 24. 已知等边三角形 ，过 A 点作 的垂线 l，点 P 为 l 上一动点（不与点 A 重合），连接 CP ，把线 ABC AC CQ QB ．段绕点 C 逆时针方向旋转 得到 ，连 CP 60 BQ 的数量关系； （1）如图 1，直接写出线段 AP 与CQ ；（2）如图 2，当点 P、B 在 （3）如图 3，若等边三角形 同侧且 AP AC 时，求证：直线 PB 垂直平分线段 AC APQ 的边长为 4，点 P、B 分别位于直线 异侧，且 的面积等于 ABC AC 3，求线段 AP 的长度． 42321 3【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 3 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得 CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，进而即可 得到结论； △BCQ （2）先证明 是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到 结论； △ACP≌△BCQ （3）过点 B 作 BE⊥l，过点 Q 作 QF⊥l，根据 ，可得 AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°， 4343333)× 设 AP=x，则 BQ=x，MQ=x- ，QF=( x- ，再列出关于 x 的方程，即可求解． 2CQ ，【详解】（1）证明：∵线段 ∴CP=CQ，∠PCQ=60°， 绕点 C 逆时针方向旋转 得到 CP 60 ∵在等边三角形 中，∠ACB=60°，AC=BC， ABC ∴∠ACP=∠BCQ， △ACP≌△BCQ ∴∴，BQ ；AP =（2）∵ AP AC ，CA⊥l， ∴∵是等腰直角三角形， △ACP △ACP≌△BCQ ，△BCQ ∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°， ∵在等边三角形 中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°， ABC ∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°， ∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°， ∴∠CBD=180°-75°-60°=45°， ∴PD 平分∠CBQ， CQ ∴直线 PB 垂直平分线段 ；（3）过点 B 作 BE⊥l，过点 Q 作 QF⊥l， △ACP≌△BCQ 由（1）小题，可知： ，∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°， ∵∠ACB=60°，∠CAM=90°， ∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°， ∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4， 1AB 2 ∴BE= ，24333，∴BM=BE÷sin60°=2÷ =24343333)× 设 AP=x，则 BQ=x，MQ=x- ，QF= MQ×sin60°=( x- ，23APQ ∵∴的面积等于 ，4121433332321 32321 33AP×QF= ，即： x×( x- )× =，解得： 或（不合 x 3 x 3 2442题意，舍去）， 221 3∴AP= 3 ．3【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据 题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 已知抛物线 y ax2 bx 5与 x 轴交于点 和A 1,0 B 5,0 ，与 y 轴交于点 C，顶点为 P，点 N 在 25. 抛物线对称轴上且位于 x 轴下方，连 交抛物线于M，连 、AC CM ．AN （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，当 时，求 M 点的横坐标； tanACM 2 （3）如图 2，过点 P 作 x 轴的平行线 l，过 M 作 MD l 于 D，若 ，求 N 点的坐标． MD 3MN 63 【答案】（1） y x2 6x 5 ；（2） ；（3） N 3,2 6 11 【解析】 A 1,0 B 5,0 【分析】（1）将点 （2）由 和点 代入解析式，即可求解； 想到将 放到直角三角形中，即过点 A 作 交 CM 的延长线于点 E， tanACM 2 ACM AE AC AE AC 2 即可知 ，再由 AOC EAC 90想到过点 E 作 轴，即可得到 AOC∽EFC ，故点 EF x E 的坐标可求，结合点 C 坐标可求直线 CE 解析式，点 M 是直线 CE 与抛物线交点，联立解析式即可求解； （3）过点 M 作 L 的垂线交于点 D，故设点 M 的横坐标为 m，则点 M 的纵坐标可表示，且 MD 的长度也可 HM / /NQ AHM∽AQN 即可结合两点间距离公式表示出 MN，最后由 表示，由 可求解 可得 即MD 3MN 【详解】解：（1）将点 和点 代入 y ax2 bx 5 B 5,0 得A 1,0 a b 5 0 a 1 b 6 ，解得： 25a 5b 5 0 y x2 6x 5 E, 如下图 （2）点 A 作 交 CM 的延长线于点 E，过 作轴于 AE AC EF x E轴， EF x AE AC EFA EAC 90 FAE OAC 90 又ACO OAC 90 EAF ACO AOC∽EFA AC AO CO EA EF AF AE 2 tan ACM 2 即AC AC AO CO 1EA EF AF 2y 5 当时， x 0 C 0,5 即OC 5 EF 2, AF 10 E 11,2 即y kx b k 0 设直线 CE 的解析式为 ，并将 C、E 两点代入得 311k b 2 b 5 k 解得 11 b 5 3 y x 5 11 点 M 是直线 CE 与抛物线交点 3y x 5 63 x , x 0 11 2解得 （不合题意，舍去） 1211 y x 6x 5 63 点 M 的横坐标为 11 （3）设过点 M 垂直于 L 的直线交 x 轴于点 H，对称轴交 x 轴于点 Q，M 的横坐标为 m 则OH m AH 1 m y x2 6x 5 bx = – = – 3 对称轴 2a OQ 3 P、Q、N 的横坐标为 ，即 3 AQ OQ OA 2 2当x 3时， y 3 3 6 5 4 P 3,4 点 D 的纵坐标为 4 222MD 4 m 6m 5 m 6m 9 m 3 HM / /NQ AHM∽AQN 1 m m2 6m 5 AH HM 即AQ QN 2QN QN 2m 10 N 3,2m 10 2 222 m 5 1 22MN m 3 m 6m 5 2m 10 3 m 3 MD 3MN MD2 3MN 422 ，2 ，即 m 3 3 m 3 m 5 1 m 3 0,m 3 不符合题意，舍去， 当时， m 3 0 2m2 24m 69 0, 12 6 解得 ，m 212 6 由题意知 m 2N 3,2 6 【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的 距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．
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