浙江省宁波市2021年中考数学试卷（解析版）

浙江省宁波市 2021 中考数学试卷试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） ﹣﹣1. A. 310，，这四个数中，最小的数是（　　） 2在，3B. C.0 1D. 2 ﹣﹣A【答案】【解析】【分析】画出数轴，在数轴上标出各点，再根据数轴的特点进行解答即可．【详解】这四个数在数轴上的位置如图所示：由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3．故选 A． a3  a 2. 计算的结果是（ B. ）a2 a2 a4 a4 A. C. D. D【答案】【解析】【分析】根据单项式乘以单项式和同底数幂的运算法则解答即可． 4【详解】解：原式． a 故选：D 【点睛】本题考查了整式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键． 3. 2021 年 5 月 15 日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约 320000000 千米．数 320000000 科学记数法表示为（）32107 3.2109 0.32109 3.2108 A. B. C. D. B【答案】【解析】 nnn，其中1 a ＜10，【分析】科学记数法的形式是：为整数．所以，取决于原数小数点 a  3.2 a  10 nn的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题 n小数点往左移动到的后面，所以 3n  8. 8【详解】解： 320000000=3.210 . 故选： B. 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定 a,n 好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）A. C. B. D. C【答案】【解析】【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可．【详解】解：由于圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，所以该物体的主视图是：．故选：C．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于常考题型，熟知主视图是从物体的正面看到的图形是解题关键． 25. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人 10 次射击成绩的平均数（单位：环）及方差 Sx（单位：环 2 ）如下表所示：甲乙丙丁9899xS2 1.6 0.8 30.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 D【答案】【解析】【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取，由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是 9， ∴从甲，丙，丁中选取， ∵甲的方差是 1.6，丙的方差是 3，丁的方差是 0.8， ∴S 2 丁＜S 2 甲＜S 2 ，乙∴发挥最稳定的运动员是丁， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁．故选：D．【点睛】本题重点考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 16. 要使分式有意义，x 的取值应满足（）x  2 A. B. C. D. x  0 x  2 x  2 x  2 B【答案】【解析】【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案． 1【详解】解：分式有意义， x  2 x  2  0, x  2. 故选： B. 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键． 7. B  45,C  60, AD  BC 如图，在ABC 中，于点 D，．若 E，F 分别为，BC AB BD  3 的中点，则的长为（）EF 336A. B. C. 1 D. 322C【答案】【解析】【分析】根据条件可知△ABD 为等腰直角三角形，则 BD=AD，△ADC 是 30°、60°的直角三角形，可求 AC 出 AC 长，再根据中位线定理可知 EF= 。2【详解】解：因为 AD 垂直 BC，则△ABD 和△ACD 都是直角三角形， B  45,C  60, 又因为所以 AD= ，BD  3 AD 3因为 sin∠C= 所以 AC=2，，AC 2因为 EF 为△ABC 的中位线， AC 所以 EF= =1， 2故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键． 8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值 10 斗谷子，一斗醑酒价值 3 斗谷子，现在拿 30 斗谷子，共换了 5 斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒 x 斗，醑酒 y 斗，那么可列方程组为（）x  y  30 x  y  30 x  y  5 x  y  5 A. B. C. D.  x y x y10x  3y  30 3x 10y  30  5  5 10 33 10 A【答案】【解析】【分析】根据“现在拿 30 斗谷子，共换了 5 斗酒”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解． x  y  5 【详解】解：依题意，得：．10x  3y  30 故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． k2 y  k xk  0 9. y  k  0 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于 A，B 两点，点 B 11122xy  y 的横坐标为 2，当 2 时，x 的取值范围是（）1A. 或或x  2 0  x  2 B. 或或x  2 x  2 x  2 2  x  0 2  x  0 C. D. 0  x  2 C【答案】【解析】【分析】根据轴对称的性质得到点 A 的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴点 A 与点 B 关于原点对称， ∵点 B 的横坐标为 2， ∴点 A 的横坐标为-2， k2 xy  k xk  0 的图象在反比例函数 2y  k  0 由图象可知，当的图象的上方，或0  x  2时，正比例函数 x  2 1112y  y ∴当或0  x  2时，，2x  2 1故选：C．【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键． 10. 如图是一个由 5 张纸片拼成的ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形 SSS纸片的面积都为 1 ，另两张直角三角形纸片的面积都为 2 ，中间一张矩形纸片 EFGH 的面积为， 3FH GE AEO,BFO,CGO,DHO 与相交于点 O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（）S1 = S2 S1  S3 A. B. C. D. EH  GH AB  AD A【答案】【解析】【分析】根据△AED 和△BCG 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 HEFG 是矩形可得出 AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点 O 是矩形 HEFG 的中心，设 AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点 O 作 OP⊥EF 于点 P，OQ⊥GF 于点 Q，可得出 OP，OQ 分别是△FHE 和△EGF 的中 SSS， 3 进行判断即可位线，从而可表示 OP，OQ 的长，再分别计算出，21【详解】解：由题意得，△AED 和△BCG 是等腰直角三角形， ∴ADE  DAE  BCG  GBC  45 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB ∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF， ∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF ∴AE=DE=BG=CG ∵四边形 HEFG 是矩形 ∴GH=EF，HE=GF 设 AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c 过点 O 作 OP⊥EF 于点 P，OQ⊥GF 于点 Q， ∴OP//HE，OQ//EF ∵点 O 是矩形 HEFG 的对角线交点，即 HF 和 EG 的中点， ∴OP，OQ 分别是△FHE 和△EGF 的中位线， 1111OP  HE  b OQ EF  c ，∴∵22221111S BFOQ  (a b) c  (a b)c BOF 2 22 4 12111SAOE AEOP  a b  ab 224S SAOE ∵∴而BOF 141(a b)c  ab ，即 ac bc  ab 411S  S AEDE  a2 ，1AED 22121111S2  SAFB AFBF  (a  c)(a b)  (a2  ab  ac bc)  (a2  ab  ab)  a2 2222S = S 所以， 2 ，故选项 A 符合题意， 1S3 =HEEF  (a b)(a  c)  a2 bc  ab  ac  a2  ab  ab  a2 S  S ∴而3 ，故选项 B 不符合题意， 1C, D 都不符合题意，于EH  GH 都不一定成立，故 AB  AD 故选：A 【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出 S1，S2，S3 之间的关系．试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 5 11. 的绝对值是__________．【答案】5 【解析】【分析】根据绝对值的定义计算即可．【详解】解：|-5|=5，故答案为：5．的【点睛】本题考查了绝对值定义，掌握知识点是解题关键． 212. 分解因式： _____________． x 3x  【答案】x(x-3) 【解析】【详解】直接提公因式 x 即可，即原式=x(x-3). 13. 一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 5 个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________． 3【答案】 8【解析】【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．【详解】解：从袋中任意摸出一个球有 8 种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有 3 种结果， 3的所以从袋中任意摸出一个球是红球概率为，83故答案为：．8【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数÷ 所有可能出现的结果数． AC, BD 14. O 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切，则图中  的长为 AC, BD O 于点 C，D，延长交于点 P．若P  120 ，的半径为 6cm CD cm ________ ．（结果保留）【答案】【解析】 2 【分析】连接 OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得 OCP  ODP  90 ，再利用弧长公式求得答案． COD  60 【详解】连接 OC、OD， AC, BD O ∵分别与相切于点 C，D， ∴∵∴，OCP  ODP  90 P  120 ，OCP  ODP  P  COD  360 ，，COD  60 60p ´ 6 ∴  的长= = 2p （cm）， CD 180 故答案为：．2 ．【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．  1 1 A x, y B,15. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点称为点 A 的“倒数 x y 23,0 y  x  0 点”．如图，矩形OCDE 的顶点 C 为 ，顶点 E 在 y 轴上，函数的一边上，则的图象与交于点 DE xA．若点 B 是点 A 的“倒数点”，且点 B 在矩形的面积为_________． OCDE OBC 1432【答案】【解析】或【分析】根据题意，点 B 不可能在坐标轴上，可对点 B 进行讨论分析：①当点 B 在边 DE 上时；②当点 B 在边 CD 上时；分别求出点 B 的坐标，然后求出OBC 的面积即可．【详解】解：根据题意，  1 1 B,A x, y 称为点的“倒数点”， ∵点 x y y  0 ∴，，x  0 ∴点 B 不可能在坐标轴上； 2y  x  0 ∵点 A 在函数的图像上， ，则点 B 为，x21 x (x, ) ( , ) ，设点 A 为 xx 2 3,0 ∵点 C 为 ∴，OC  3 ①当点 B 在边 DE 上时；点 A 与点 B 都在边 DE 上， ∴点 A 与点 B 的纵坐标相同， 2x即，解得：，x  2 x2经检验，是原分式方程的解；，x  2 1( ,1) ∴点 B 为 2132S  31 ∴OBC 的面积为：；2②当点 B 在边 CD 上时；点 B 与点 C 的横坐标相同， 113 3 x  ∴，解得：，x1x  经检验，是原分式方程的解；，31(3, ) ∴点 B 为 6111S  3  ∴OBC 的面积为：；2641432故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析． EC 16. 如图，在矩形中，点 E 在边上，与△BEC FEC 关于直线对称，点 B 的对称点 F 在，则 BN 的 ABCD AB CE,CF 边上，G 为中点，连结分别与交于 M，N 两点，若，CD BG MG 1 AD BM  BE 长为________，sin AFE 的值为__________． ①. ②. 【答案】【解析】【分析】由 22 1 ABCD, BEC≌FEC, BCN≌CFD, EC 与△BEC FEC 关于直线对称，矩形证明再证明 AE EF BN  CD, CD  2, AFE∽CBG, x, 即可得到答案． BM  x, ,设可得再求解即可得 BN 的长；先证明可得： CG BG BE  BM  FE  x, BG  x 1, AE  2  x, 则再列方程，求解 ABCD, EC 对称，矩形【详解】解：与△BEC FEC 关于直线 BEC≌FEC, ABC  ADC  BCD  90, EBC  EFC  90,BEC  FEC, BE  FE, BC  FC, BM  BE, BEM  BME, FEC  BME, EF//MN, BNC  EFC  90， BNC  FDC  90, BCD  90, NBC  BCN  90  BCN  DCF, NBC  DCF, BCN≌CFD, BN  CD, ABCD, 矩形  AB//CD, AD//BC, BEM  GCM , BEM  BME  CMG, MG 1,G GMC  GCM , 为的中点， CD CG  MG 1,CD  2, BN  2. BM  BE  FE, MN//EF, 如图，四边形都是矩形， ABCD  AB  CD, AD//BC,A  BCG  90, AEF  ABG, AFE  AEF  90  ABG  CBG, AFE  CBG, AFE∽CBG, AE EF 设,CG BG BM  x, BE  BM  FE  x, BG  x 1, AE  2  x, 则2  x 1x,x 1 解得： x  2, 经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去， x  2 x  2  AE  2  2, EF  2, AE 2  2 sin AFE   2 1. EF 2故答案为： 2, 21. 的【点睛】本题考查是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（本大题有 8 小题，共 80 分） 217. （1）计算：．1 a 1 a  a  3   2x 1 9 ① （2）解不等式组：．3 x  0 ②【答案】（1）；（2） 3  x  4 ．6a 10 【解析】【分析】（１）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可；（２）先解出①，得到，再解出②，得到 x  3，由大小小大中间取得到解集． x  4 22【详解】解：（1）原式  1 a  a  6a  9 ． 6a 10 （2）解不等式①，得解不等式②，得 x  3 ，x  4 ，所以原不等式组的解是 3  x  4 ．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算和解不等式组，关键在于平方差公式、完全平方公式以及不等式基本性质的应用，特别注意不等式的基本性质 3，不等号的方向要改变． 18. 如图是由边长为 1 的小正方形构成的 6 4 的网格，点 A，B 均在格点上．（1）在图 1 中画出以可）．为边且周长为无理数的ABCD ，且点 C 和点 D 均在格点上（画出一个即为对角线的正方形 AEBF ，且点 E 和点 F 均在格点上． AB AB （2）在图 2 中画出以【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，只要使得 AB 的邻边 AD 的长是无理数即可；（2）如图，取格点 E、F，连接 EF，则 EF 与 AB 互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边形 AEBF 为所作．【详解】.解：（1）如图四边形即为所作，答案不唯一． ABCD 的（2）如图，四边形 AEBF 即为所求作正方形．【点睛】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关键． y  x 1 x  a 19.  如图，二次函数（a 为常数）的图象的对称轴为直线．x  2 （1）求 a 的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 2a  3 【答案】（1）；（2） y  x  4x 【解析】 bx   【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案； 2a 2c  0, （2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则从而可 yx 4x3 得平移方式及平移后的解析式．【详解】解：（1） y  (x 1)(x  a)  x2  (1 a)x  a ． ∵图象的对称轴为直线，x  2 a 1 2 2 ∴∴，a  3 ．a  3 （2）∵ ，2∴二次函数的表达式为，yx 4x3 ∴抛物线向下平移 3 个单位后经过原点， 2∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为．y  x  4x 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键． 20. 图 1 表示的是某书店今年 1～5 月的各月营业总额的情况，图 2 表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店 1～5 月的营业总额一共是 182 万元，观察图 1、图 2，解答下列向题：（1）求该书店 4 月份的营业总额，并补全条形统计图．（2）求 5 月份“党史”类书籍的营业额．（3）请你判断这 5 个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由．【答案】（1）45 万元，见解析；（2）10.5 万元；（3）5 月份党史类书籍的营业额最高，见解析【解析】【分析】（1）用该书店 1～5 月的营业总额减去其它 4 个月的营业总额即可求出该书店 4 月份的营业总额，进而可补全统计图；（2）用 5 月份的营业总额乘以折线统计图中其所占百分比即可；（3）结合两个统计图可以发现：在 5 个月中 4、5 月份的营业总额最高，且 1~3 月份的营业总额以及“党史” 类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于 4、5 月份，故只需比较 4、5 月份“党史”类书籍的营业额即可． 182  (30  40  25 42)  45 【详解】解：（1）（万元），答：该书店 4 月份的营业总额为 45 万元．补全条形统计图：（2） 4225%  10.5（万元）．答：5 月份“党史”类书籍的营业额为 10.5 万元．（3）4 月份“党史”类书籍的营业额为： 4520%  9 （万元）． 10.5  9 ，且 1~3 月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于 4、5 月份， ∵∴5 月份“党史”类书籍的营业额最高．【点睛】本题考查了条形统计图和折线统计图，属于常考题型，读懂图象信息、熟练应用所学知识是解题的关键． 21. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图 1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞 BAC 骨所成的角，且，从而保证伞圈 D 能沿着伞柄滑动．如图 2 是伞完全收拢时伞骨的示意 AB  AC ¢¢图，此时伞圈 D 已滑动到点 D的位置，且 A，B， D三点共线， AD  40cm ，B 为 中点，当 AD 时，伞完全张开． BAC  140 （1）求的长． AB （2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 D 沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据： sin70  094,cos70  0.34,tan70  2.75 ）【答案】（1）20cm；（2）26.4cm 【解析】【分析】（1）根据中点的性质即可求得；（2）过点 B 作于点 E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出．利用角平分线的性质 AD  2AE BE  AD 求出∠BAE 的度数，再利用三角函数求出 AE，即可得到答案．【详解】解：（1）∵B 为 中点， AD 1AB  AD ∴∵∴，2AD  40 ，AB  20 cm ．（2）如图，过点 B 作于点 E． BE  AD ∵∴∵，．AB  BD AD  2AE BAC,BAC  140 AP 平分，1BAE  BAC  70 ∴．2在∴∴∵中， AB  20 ，Rt△ABE AE  AB cos70  200.34  6.8 AD  2AE  13.6 AD  40 ，．，40 13．6  26.4 cm ∴，∴伞圈 D 沿着伞柄向下滑动的距离为 26.4cm ．【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键． 22. 某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： ABC方案方案方案 20 56 mn266 每月基本费用（元） 1024 n每月免费使用流量（兆）超出后每兆收费（元）无限 A，B，C 三种方案每月所需的费用 y（元）与每月使用的流量 x（兆）之间的函数关系如图所示．（1）请直接写出 m，n 的值．（2）在 A 方案中，当每月使用的流量不少于 1024 兆时，求每月所需的费用 y（元）与每月使用的流量 x （兆）之间的函数关系式．（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择 C 方案最划算？ y  0.3x  287.2 x  1024 m  3072,n  0.3 3【答案】（1）；（2）；（）当每月使用的流量超过兆 3772 时，选择 C 方案最划算【解析】【分析】（1）m 的值可以从图象上直接读取，n 的值可以根据方案 A 和方案 B 的费用差和流量差相除求得；（2）直接运用待定系数法求解即可；的（3）计算出方案 C 图象与方案 B 的图象的交点表示的数值即可求解． m  3072, 【详解】解：（1） 56  20 1144 1024 n   0.3 ．y  kx  b(k  0) （2）设函数表达式为，y  kx  b ，得 1024,20 1144,56 代入 把，20 1024k  b 56 1144k  b ，，k  0.3 解得 b  287.2 y  0.3x  287.2 x  1024 ∴y 关于 x 的函数表达式（注：x 的取值范围对考生不作要求）．3072  (266  56)  0.3  3772 （3）（兆）．由图象得，当每月使用的流量超过 3772 兆时，选择 C 方案最划算．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 23. 【证明体验】（1）如图 1，为ABC 的角平分线，，点 E 在上，．求证：平分 ADC  60 AE  AC AD AB DE ．ADB 【思考探究】 FC （2）如图 2，在（1）的条件下，F 为上一点，连结交于点 G．若 AD ，FB  FC DG  2 ，AB CD  3 ，求的长． BD 【拓展延伸】 BAD,BCA  2DCA （3）如图 3，在四边形中，对角线平分，点 E 在 AC 上， ABCD AC ．若，求的长． EDC  ABC AC BC  5,CD  2 5,AD  2AE 916 3【答案】（1）见解析；（2）；（3） 2【解析】【分析】（1）根据 SAS 证明△EAD≌△CAD ，进而即可得到结论； BD DE （2）先证明EBD∽GCD ，得，进而即可求解； CD DG （3）在上取一点 F，使得，连结，可得，从而得DCE∽BCF ，可 AFC≌ADC CF AB AF  AD CD CE ,CED  BFC 得，，最后证明EAD∽DAC ，即可求解． CE  4 BC CF BAC ，【详解】解：（1）∵ 平分 AD ∴∵，EAD  CAD AE  AC, AD  AD ，EAD≌CAD SAS ∴，∴∴∴ADE  ADC  60 ，EDB  180  ADE  ADC  60 ，，即平分；∠BDE ∠ADE DE ADB （2）∵ ，FB  FC EBD  GCD BDE  GDC  60 ∴∵∴，，EBD∽GCD ，BD DE ∴．CD DG ∵∴∵△EAD≌△CAD ，DE  DC  3 ．，DG  2 9BD  ∴；2（3）如图，在上取一点 F，使得，连结．CF AB AF  AD ∵∴∵平分 BAD ，AC FAC  DAC AC  AC ，AFC≌ADC SAS ∴，CF  CD,ACF  ACD,AFC  ADC ∴∵∴∵∴．ACF  BCF  ACB  2ACD ，DCE  BCF ．EDC  FBC ，DCE∽BCF ，CD CE ,CED  BFC ∴∵．BC CF ，BC  5,CF  CD  2 5 ∴∵．CE  4 AED  180  CED  180  BFC  AFC  ADC ，又∵ ，EAD  DAC ∴∴∴∴EAD∽DAC EA AD 1，AD AC AC  4AE 42，16 AC  CE  ．33【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．为直径，  上存在点 E，满足 24. O 如图 1，四边形内接于，，连结 BE 并延长 ABCD BD AE  CD AD 交的延长线于点 F， BE 与交于点 G． AD CD ，请用含的代数式表列 DBC  （1）若 AGB ．CE,CE  BG （2）如图 2，连结．求证；．EF  DG CG （3）如图 3，在（2）的条件下，连结，．AD  2 3①若 ②求，求FGD 的周长． tanADB  2CG 的最小值． 5 7 【答案】（1）AGB  90  ；（2）见解析；（3）① ；② 32【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再根据，求得ABG  DBC   ，即可得 BAD  90 AE  CD 到答案；（2）由BEC  BDC  90  ，得到BEC  AGB ，从而推出CEF  BGD ，证得 CFE≌BDG ASA ，由此得到结论； 3（3）①连结．利用已知求出，证得，得到，利用 RtABG BG  AD  2 DE AB  AD  3 DA  CE 21AGB  60, AG  BG  1 中，根据正弦求出，求出 EF 的长，再利用 Rt△DEG 中，，EGD  60 2求出 EG 及 DE，再利用勾股定理求出 DF 即可得到答案； BAD≌CHF AAS CH  BF ，得到 FH  AD ，证明BHC∽CHF ，得到 ②过点 C 作于 H，证明 BH CH CH 2  2 2 x 222，设GH  x，得到，利用勾股定理得到，求得 CG  GH  CH CH FH CG2  x2  2(2  x)  (x 1)2  3，利用函数的最值解答即可． O 【详解】解：（1）∵ 为的直径， BD ∴∵，BAD  90 ，AE  CD ∴∴ABG  DBC   ，AGB  90  O ．（2）∵ 为的直径， BD ∴，BCD  90 BEC  BDC  90  BEC  AGB CEF  180  BEC,BGD  180  AGB ∴，∴，∵，∴CEF  BGD ．CE  BG,ECF  GBD 又∵ ，CFE≌BDG ASA ∴∴，．EF  DG （3）①如图，连结．DE O ∵∴为的直径， BD A  BED  90 ．3在∴中，，，Rt△ABD AD  2 tanADB  23．AB  AD  3 2∵∴，AE  CD ，AE  DE  CD  DE 即，DA  CE ∴∵∴．，AD  CE CE  BG ．BG  AD  2 AB BG 3∵在 RtABG 中，，sinAGB  21AGB  60, AG  BG  1 ∴∴，2EF  DG  AD  AG  1 ．∵在 Rt△DEG 中，，EGD  60 1133∴在∴∴．EG  DG  , DE  DG  22227222中，，RtVFED DF  EF  DE  5 7 ，FG  DG  DF  25 7 FGD 的周长为．2CH  BF ②如图，过点 C 作于 H． ∵∴∵BDG≌CFE ，BD  CF,CFH  BDA ．BAD  CHF  90 BAD≌CHF AAS ，∴．∴∵∴∵∴∵∴∵∴FH  AD ，，．AD  BG FH  BG BCF  90 ，．，BCH  HCF  90 BCH  HBC  90 HCF  HBC ，BHC  CHF  90 ，BHC∽CHF ，BH CH ∴．CH FH 设∴GH  x ，BH  2  x ，CH 2  2 2 x ∴在．222RtGHC 中，，CG  GH  CH ∴CG2  x2  2(2  x)  (x 1)2  3，当∴时， 2 的最小值为 3， x 1 CG CG 的最小值为．3【点睛】此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键．