浙江省丽水市2021年中考数学真题（解析版）

2021 年浙江省丽水市中考数学试卷一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. -2 的倒数是（） 1212A. B. C. D. 2-2 B【答案】【解析】【分析】根据倒数的定义求解. 1【详解】-2 的倒数是- 2故选 B 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握 2计算： a a4 的结果是（）2. A. - a8 a8 a6 a6 D. B. C. B【答案】【解析】【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可． 2424  a a  a  a6 【详解】解：原式．故选 B．【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 3. 如图是由 5 个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（）A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看下面一层是三个正方形，上面一层中间是一个正方形．即：故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4. 一个布袋里装有 3 个红球和 5 个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（）13155838A. B. C. D. C【答案】【解析】【分析】先求出所有球数的总和，再用红球的数量除以球的总数即为摸到红球的概率．【详解】解：任意摸一个球，共有 8 种结果，任意摸出一个球是红球的有 3 种结果，因而从中任意摸出一 3个球是红球的概率是．8故选：C．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，关键注意所有可能的结果是可数的，并且每种结果出现的可能性相同． 5. 若，两边都除以，得（ 3 ）3a 1 11a   a   A. B. C. D. a  3 a  3 33A【答案】【解析】【分析】利用不等式的性质即可解决问题．【详解】解：两边都除以，3a 1 13a   ，得，3 故选：A．【点睛】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 26. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（）x  4x 1 0 A. (x  2)2  5 B. (x  2)2  3 C. (x  2)2  5 D. (x  2)2  3 D【答案】【解析】【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 2【详解】解：， x  4x 1 0 2，x  4x  1 2，x  4x  4  1 4 (x  2)2  3，故选：D．【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． OC,OD m,AOD   7. O O 如图，是的直径，弦于点 E，连结．若的半径为，则 CD  OA AB 下列结论一定成立的是（）SCOD  m2 sin A. OE  mtan B. CD  2msin C. AE  mcos D. B【答案】【解析】的【分析】根据垂径定理、锐角三角函数定义进行判断即可解答． O 【详解】解：∵ 是的直径，弦于点 E， CD  OA AB 1DE  CD ∴2在RtEDO 中，，OD  m AOD   DE tan= OE  ∴∴又OE DE CD =，故选项 A 错误，不符合题意；，故选项 B 正确，符合题意； tan 2tan DE sin  OD ∴∴DE  ODsin CD  2DE  2msin OE cos  OD 又∴∵∴∵OE  ODcos  mcos AO  DO  m ，故选项 C 错误，不符合题意； AE  AO OE  m  mcos ，CD  2msin OE  mcos 11S CDOE  2msin mcos  m2 sincos ∴，故选项 D 错误，不符合题意； COD 22故选 B．【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义． 8. 四盏灯笼的位置如图．已知 A，B，C，D 的坐标分别是 (−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移 y 轴右侧的一盏灯笼，使得 y 轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A. 将 B 向左平移 4.5 个单位 C. 将 D 向左平移 5.5 个单位 B. 将 C 向左平移 4 个单位 D. 将 C 向左平移 3.5 个单位 C【答案】【解析】【分析】直接利用利用关于 y 轴对称点的性质得出答案．【详解】解：∵点 A (−1，b) 关于 y 轴对称点为 B (1，b)， C (2，b)关于 y 轴对称点为(-2，b)，需要将点 D (3.5，b) 向左平移 3.5+2=5.5 个单位，故选：C．【点睛】本题主要考查了关于 y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 9. 一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、 F 、F 、F 、F 丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，甲乙丁丙F  F  F  F 若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）乙甲丁丙A. 甲同学 B. 乙同学 C. 丙同学 D. 丁同学 B【答案】【解析】【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小， F  F  F  F 根据题意，∵ ，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，乙甲丁丙∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键． ACB  90, AC  4, BC  3 D, E AB, AC 分别在上，连结 10. 如图，在，将纸片中，，点 Rt△ABC 沿ADE DE 翻折，使点 A 的对应点 F 落在 BC 的延长线上，若平分 EFB ，则 AD 的长为 DE FD （）25 25 815 720 A. B. C. D. 97D【答案】【解析】【分析】先根据勾股定理求出 AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明 Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得 AD 的长． ACB  90, AC  4, BC  3 【详解】解：∵ ，2222∴=5， AB  AC  BC  4  3 由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则 BD=5﹣AD，平分 EFB ∵，FD ∴∠BFD=∠DFE=∠DAE， ∵∠DAE+∠B=90°， ∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°， ∴Rt△ABC∽Rt△FBD， BD BC 5 AD 34∴即，DF AC AD 20 解得：AD= 故选：D．，5【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 211. 分解因式： _____． m  4  (m  2)(m  2) 【答案】【解析】【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】 m2  4  (m  2)(m  2) ，(m  2)(m  2) 故填【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 要使式子有意义，则 x 可取的一个数是__________． x 3 【答案】如 4 等（答案不唯一， x  3 ）【解析】【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．【详解】解：∵式子有意义， x 3 ∴x﹣3≥0， ∴x≥3， ∴x 可取 x≥3 的任意一个数，故答案为：如 4 等（答案不唯一， x  3 ．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键． A, B,C, D, E, F 13. 根据第七次全国人口普查，华东六省 60 岁及以上人口占比情况如图所示，这六省 60 岁及以上人口占比的中位数是__________．【答案】18.75% 【解析】【分析】由图，将六省 60 岁及以上人口占比由小到大排列好，共有 6 个数，所以中位数等于中间两个数之和除以二． 16.0,16.9,18.7,18.8,20.9,21.8 【详解】解：由图，将六省人口占比由小到大排列为：，18.7 18.8 的由中位数定义得：人口占比的中位数为 18.75 ，2故答案为：18.75% ．【点睛】本题考查了求解中位数，解题的关键是：将数由小到大排列，根据数的个数分为两类．当个数为奇数时，中位数等于最中间的数；当个数为偶数个时，中位数等于中间两个数之和除以 2． 14. 一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________． 720 【答案】6 或 7 【解析】【分析】求出新的多边形为 6 边形，则可推断原来的多边形可以是 6 边形，可以是 7 边形．【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°， ∴n=6， ∴新的多边形为 6 边形， ∵过顶点剪去一个角， ∴原来的多边形可以是 6 边形，也可以是 7 边形，故答案为 6 或 7．【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键． 15. 小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图 1 的七巧板，设计拼成图 2 的“奔跑者”形象来激励自己．已知图 1 正方形纸片的边长为 4，图 2 中，则“奔跑者”两脚之间 FM  2EM AB, CD 的跨度，即之间的距离是__________． 13 【答案】 3【解析】 AB, CD 【分析】先根据图 1 求 EQ 与 CD 之间的距离，再求出 BQ，即可得到间的距离+BQ．之间的距离= EQ 与 CD 之 EQ//CD 【详解】解：过点 E 作 EQ⊥BM，则 121 1 4+  4=3 2 2 根据图 1 图形 EQ 与 CD 之间的距离= 2由勾股定理得： 2 ，解得：；2EF  4 EF  2 2 12 AM 2  2 4 ，解得： AM  2 2 2∵∴FM  2EM 11EM = FM = AM 33∵EQ⊥BM， B  90 EQ//AB ∴∴224BQ  BM  2= 3334 13 =3+ = 之间的距离= EQ 与 CD 之间的距离+BQ AB, CD ∴3313 故答案为．3的【点睛】本题考查了平行线间距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键． 16. 数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： baab22a,b 已知实数同时满足 a  2a  b  2, b  2b  a  2 ，求代数式的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，a 的值是__________． a  b baaba¹ b （2）当时，代数式的值是__________． (1). (2). 7【答案】【解析】或 1 2 22a【分析】（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可； a  b ba  2a  b  2 b  2b  a  2 baaba¹ b （2）当时，求出 a  b  3  0，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可． 2a  2a  b  2① a，实数，同时满足①，②，【详解】解：已知 bb2  2b  a  2② 22①-②得， a b  3a 3b  0 (a b)(a  b  3)  0 ∴∴或a  b  3  0 a b  0 22①+②得， a +b =4  a b 2（1）当时，将代入得， a  b a  b a  2a  b  2 a2  a  2  0 a 1 a  2 解得，，21b 1 b  2 ，∴把把122a  b=1代入得，3=3，成立； b  2b  a  2 2a  b=  2 代入得，0=0，成立； b  2b  a  2 ∴当时，a 的值是 1 或-2 a  b 故答案为：1 或-2； a¹ b （2）当时，则 a  b  3  0，即 a  b= 3 22∵a +b =4  a b 22∴a +b =7 ∴∴(a  b)2 =a2 +2ab+b2  9 ab 1 baa a2  b2  = 71∴ 7 bab 故答案为：7．【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．三、解答题（本题有 8 小题，第 17～19 题每题 6 分，第 20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 66 分，各小题都必须写出解答过程） 017. 计算：．| 2021| (3)  4 【答案】2020 【解析】【分析】先计算绝对值、零指数幂和算术平方根，最后计算加减即可； 0【详解】解： | 2021| (3)  4  20211 2  2020 ，．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则． x  2y 18. 解方程组：．x  y  6 x 12, y  6. 【答案】【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可． x  2y① 【详解】解：，，x  y  6② 2y  y  6 把①代入②，得 y  6 解得．y  6 把代入①，得．．x 12 x 12 y  6 的∴原方程组解是 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． 19. 在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图信息解答下列问题：抽取的学生视力情况统计表检查结类别人数果A正常 88 轻度近视B______ 中度近视CD59 重度近视______ （1）求所抽取的学生总人数；（2）该校共有学生约 1800 人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．【答案】（1）200 人；（2）810 人；（3）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）根据检查结果正常的人数除以所占百分比即可求出抽查的总人数；（2）首先求出近视程度为中度和重度的人数所占样本问题的百分比，再依据样本估计总体求解即可；（3）可以从不同角度分析后提出建议即可．【详解】解：（1）88 44%  200（人）． ∴所抽取的学生总人数为 200 人． 1800(1 44% 11%)  810 （2）（人）． ∴该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数有 810 人．（3）本题可有下面两个不同层次的回答， A 层次：没有结合图表数据直接提出建议，如：加强科学用眼知识的宣传． B 层次：利用图表中的数据提出合理化建议．如：该校学生近视程度为中度及以上占比为 45% ，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校要加强电子产品进校园及使用的管控．【点睛】本题考查了频率分布表及用样本估计总体的知识，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息． 20. 如图，在55的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图． AB AC  AB, C （1）如图 1，画出一条线段（2）如图 2，画出一条线段，使，使在格点上； AC EF E, F EF, AB 互相平分，均在格点上； A, B （3）如图 3，以为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可；（2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以 AB 对角线的平行四边形即可画出另一条对角线 EF；（3）画出平行四边形 ABPQ 即可．【详解】解：（1）如图 1，线段 AC 即为所作；（2）如图 2，线段 EF 即为所作；（3）四边形 ABPQ 为所作；【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 李师傅将容量为 60 升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程 s（千米）与行驶时间 t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为 10 升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为 0.1 升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求 s 关于 t 的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间 t 在怎样的范围内货车应进站加油？ 25 415 2s  80t 880(0  t 11)  t  【答案】（1）工厂离目的地的路程为 880 千米；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根据图象直接得出结论即可；（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为（3）分别求出余油量为 10 升和 0 升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的 t 值，即可求得 t 的范围． t  0 【详解】解：（1）由图象，得时，，s  880 答：工厂离目的地的路程为 880 千米． s  kt  b(k  0) t  4, s  560 （2）设，将t  0，s  880 和分别代入表达式， 880  b, k  80 b  880 得，解得，560  4k  b. s  80t 880(0  t 11) ∴s 关于 t 的函数表达式为．s  880  (60 10) 0.1 380 （3）当油箱中剩余油量为 10 升时，（千米）， 25 t  380  80t 880 ，解得（小时）． 4当油箱中剩余油量为 0 升时， s  880  60 0.1 280 （千米）， 15 t  280  80t 880 ，解得 k  80  0,s （小时）． 2随 t 的增大而减小， 25 15 2t  t  的取值范围是．4【点睛】本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，能从函数图象上提取有效信息解决问题． 22. 如图，在ABC 中，于点 E．，以 BC 为直径的半圆 O 交于点 D，过点 D 作半圆 O 的切线，交 AB AC  BC AC （1）求证：；ACB  2ADE ，求  的长．（2）若 DE  3, AE  3 CD 4 3 【答案】（1）见解析；（2） 3【解析】 OD,CD 【分析】（1）连结，利用圆的切线性质，间接证明： ADE  ODC ，再根据条件中： AC  BC OD  OC 且，即能证明：；ACB  2ADE （2）由（1）可以证明：为直角三角形，由勾股定求出的长，求出，可得到的度数， tan A AED AD A 从而说明ABC 为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出，半径 ,最后根据弧长公式即可求解． COD 120 OC  2 3 OD,CD 【详解】解：（1）证明：如图，连结．ODE  90,ODC  EDC  90 相切， O DE 与．BDC  90,ADC  90 BC 是圆的直径，．ADE  EDC  90,ADE  ODC  AC  BC,ACB  2DCE  2OCD ．．OD  OC,ODC  OCD ．ACB  2ADE （2）由（1）可知，．ADE  EDC  90,ADE  DCE,AED  90 ，，DE  3, AE  3 22，，tan A  3,A  60  AD  3  ( 3)  2 3  AC  BC,ABC 是等边三角形． ,B  60, BC  AB  2AD  4 3 ，COD  2B 120,OC  2 3 l120 2 34 3 ．CD  180 3【点睛】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质. 23. L : y  x2  bx  c 经过点 A(0,5), B(5,0) 如图，已知抛物线．b,c （1）求的值；，交抛物线 L 的对称轴于点 M．（2）连结 AB ①求点 M 的坐标； m(m  0) LMN / / y L②将抛物线 L 向左平移个单位得到抛物线 1 ．过点 M 作轴，交抛物线 1 于点 N．P 是抛 L物线上一点，横坐标为，过点 P 作轴，交抛物线 L 于点 E，点 E 在抛物线 L 对称轴的右 PE / /x 1 1侧．若 PE  MN 10，求 m 的值． 1 65 ．4,5 (2,3) ；②1 或【答案】（1）；（2）① 2【解析】【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线 AB 的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物 L线1 的表达式，再分三种情况进行求解即可．的坐标分别代入 y  x2  bx  c ，A(0,5), B(5,0) 【详解】解：（1）把点 c  5, b  4, c  5. 得．解得 25 5b  c  0. b,c 4,5 的值分别为．y  kx  n(k  0) （2）①设所在直线的函数表达式为，AB n  5, A(0,5), B(5,0) 把的坐标分别代入表达式，得 5k  n  0. k 1, 解得 n  5. y  x 5 所在直线的函数表达式为． AB 由（1）得，抛物线 L 的对称轴是直线 y  x 5  3 ，x  2 当时，．x  2 (2,3) ∴点 M 的坐标是．②设抛物线 1 的表达式是 y  (x  2  m)2 9 ，LMN / / y 轴， 2,m2 9 点 N 的坐标是．1, ∵点 P 的横坐标为 1,m2  6m ∴点 P 的坐标是，L交抛物线 1 于另一点 Q，设PE L∵抛物线 1 的对称轴是直线 x  2  m, PE / /x 轴， 5 2m,m2  6m ∴根据抛物线的轴对称性，点 Q 的坐标是．（i）如图 1，当点 N 在点 M 下方，即时， 0  m  6 PQ  5 2m  (1)  6  2m ，MN  3 m2 9  6  m2 ，QE  m, 由平移性质得 ∴，PE  6  2m  m  6  m QPE  MN 10， 2∴，6  m  6  m 10 m  2 m  1 解得（舍去），．12（ii）图 2，当点 N 在点 M 上方，点 Q 在点 P 右侧，即时， PE  6  m, MN  m2  6 ， 6  m  3 QPE  MN 10， 2，6  m  m  6 10 1 41 1 41 （舍去）．解得（舍去）， m1  m2  22（ⅲ）如图 3，当点 N 在点 M 上方，点 Q 在点 P 左侧， m  3时，即PE  m, MN  m2  6 ，QPE  MN 10， 2，m  m  6 10 1 65 1 65 ．解得（舍去）， m1  m2  221 65 综上所述，m 的值是 1 或．2【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键． 24. 如图，在菱形中，ABC 是锐角，E 是 BC 边上的动点，将射线绕点 A 按逆时针方向旋转， AE ABCD 交直线于点 F． CD （1）当时， AE ^ BC，ÐEAF =ÐABC ①求证： AE  AF ；ＳEF BD 25ＡＥＦ ②连结 BD，EF ，若，求的值；Ｓ菱形ABCD 1EAF  BAD （2）当时，延长 BC 交射线于点 M，延长交射线于点 N，连结 AE ，DC 是等腰三角形． 4AC，MN AF AMN 42若，则当为何值时， AB  4，AC  2 CE 8CE  【答案】（1）①见解析；② ；（2）当或 2 或时，是等腰三角形． AMN 3525 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出，得到 BAE  DAF CE  CF ，由，，得到AC 是 EF 的垂直平分线，得到EF / /BD ， ABE ≌ADF △CEF∽△CBD AE=AF ，再根据已知条件证明出，算出面积之比； AEF ∽BAC 4（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当 CE=2；当时，ANC≌MAC ，得到 CE= ；当 AM  AN 34NA  NM 时，CEN≌BEA，得到 MA=MN 时，，得到 CE= ．△CEN∽△BEA 5【详解】（1）①证明：在菱形中， ABCD ，AB = AD，ÐABC =ÐADC，AD / /BC ， AE ^ BC，\ AE ^ AD ABE  BAE  EAF  DAF  90 ，EAF  ABC,BAE  DAF ，∴∴（ASA）， ABE ≌ADF ．AE=AF ②解：如图 1，连结．AC 由①知，，ABE≌ADF，\ BE = DF，\ CE =CF ． AE = AF，\ AC ^ EF 在菱形中，，ABCD AC ^ BD，\ EF / /BD，\ CEF∽CBD EC EF =2=∴设，BC BD 5，则．EC=2a AB = BC =5a，BE =3a，\ AE = 4a ， AE = AF，AB = BC，ÐEAF =ÐABC ∴，AEF ∽BAC 22æöæ ö SAEF SBAC AE 4a 16 25 ∴çç÷ ç ÷÷，===÷ ç AB 5a èøèøSAEF SAEF 1 16 = ´ 8==∴．S菱形ABCD 2SBAC 2 2525 11ÐBAC = ÐBAD，ÐEAF = ÐBAD （2）解：在菱形中，，ABCD 22，\ ÐBAC =ÐEAF，\ ÐBAE =ÐCAM ， AB / /CD，\ ÐBAE =ÐANC，\ ÐANC =ÐCAM 同理， AMC  NAC ，AC AM MAC∽ANC，\ =∴．CN NA 是等腰三角形有三种情况： AMN ①如图 2，当时，ANC≌MAC ，AM  AN CN  AC  2 ，， AB / /CN，\ CEN∽BEA CE CN 1 AB = 4，\ ==，BE AB 214BC = 4，\ CE = BC = ．33②如图 3，当 NA  NM 时， NMA  NAM  BAC  BCA ，AM AC 12ANM∽ABC，\ ==，AN AB ，\ CN = 2AC = 4，\ CEN≌BEA 1CE  BE  BC  2 ∴．2③如图 4，当时， MA=MN ，ÐMNA =ÐMAN =ÐBAC =ÐBCA，\ AMN∽ABC AM AB 1\== 2，\ CN = AC =1 ，AN AC 2CE CN 14CEN∽BEA，\ ==，BE AB 145CE  BC  ．544CE  综上所述，当或 2 或时，是等腰三角形． AMN 35【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比求出所需线段的长．